人教B版數(shù)學(xué)必修五：《不等式的實(shí)際應(yīng)用》學(xué)案(含答案解析)

§3.4不等式的實(shí)際應(yīng)用自主學(xué)習(xí)知識梳理1．設(shè)a，b是兩個正數(shù)，則eq\f(2ab,a＋b)≤________≤________≤eq\r(\f(a2＋b2,2)).2．已知x，y是正數(shù)，如果xy是常數(shù)p，則x＋y有最______值，且這個值是________；如果x＋y是常數(shù)S，則xy有最______值，且這個值是________．3．解有關(guān)不等式應(yīng)用題的步驟(1)設(shè)未知數(shù)．用字母表示題中的未知數(shù)．(2)列不等式(組)．找出題中的不等量關(guān)系，列出關(guān)于未知數(shù)的不等式(組)．(3)解不等式(組)．運(yùn)用不等式知識求解不等式(組)，同時要注意未知數(shù)在實(shí)際問題中的取值范圍．(4)答．規(guī)范地寫出答案．自主探究向a克糖水中加入m克糖，糖水變得更甜了．你能把這一現(xiàn)象用一個不等式表示出來嗎？對點(diǎn)講練知識點(diǎn)一和一次不等式或分式不等式有關(guān)的應(yīng)用題例1某商場在促銷期間規(guī)定：商場內(nèi)所有商品按標(biāo)價的80%出售；同時，當(dāng)顧客在該商場內(nèi)消費(fèi)滿一定金額后，按如下方案獲得相應(yīng)金額的獎券：消費(fèi)金額(元)的范圍[200，400)[400，500)[500，700)[700，900)…獲得獎券的金額(元)3060100130…根據(jù)上述促銷的方法，顧客在該商場購物可以獲得雙重優(yōu)惠．例如，購買標(biāo)價為400元的商品，則消費(fèi)金額為320元，獲得的優(yōu)惠額為：400×0.2＋30＝110(元)．設(shè)購買商品得到的優(yōu)惠率＝eq\f(購買商品獲得的優(yōu)惠額,商品的標(biāo)價).試問：(1)若購買一件標(biāo)價為1000元的商品，顧客得到的優(yōu)惠率是多少？(2)對于標(biāo)價在[500,800](元)內(nèi)的商品，顧客購買標(biāo)價為多少元的商品，可得到不小于eq\f(1,3)的優(yōu)惠率？總結(jié)本題中的優(yōu)惠額實(shí)質(zhì)上是一個分段函數(shù)．變式訓(xùn)練1商場出售的A型冰箱每臺售價為2190元，每日耗電量為1度，而B型節(jié)能冰箱每臺售價雖比A型冰箱高出10%，但每日耗電量卻為0.55度．現(xiàn)將A型冰箱打折出售(打一折后的售價為原價的eq\f(1,10))，問商場至少打幾折，消費(fèi)者購買才合算(按使用期為10年，每年365天，每度電0.40元計算)?知識點(diǎn)二和二次不等式有關(guān)的應(yīng)用問題例2汽車在行駛過程中，由于慣性作用，剎車后還要向前滑行一段距離才能停住，我們稱這段距離為“剎車距離”．剎車距離是分析交通事故的一個重要因素，在一個限速為40千米/時以內(nèi)的彎道上，甲、乙兩車相向而行，發(fā)現(xiàn)情況不對，同時剎車，但還是相撞了．事后現(xiàn)場測得甲車的剎車距離為12米，乙車的剎車距離為超過10米，又知甲、乙兩種車型的剎車距離s(米)與車速x(千米/時)之間分別有如下關(guān)系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2，問兩車相撞的主要責(zé)任是誰？總結(jié)解實(shí)際應(yīng)用問題，審題是關(guān)鍵，要把實(shí)際問題準(zhǔn)確提煉為相應(yīng)的不等式問題后再求解．變式訓(xùn)練2某省每年損失耕地20萬畝，每畝耕地價值24000元，為了減小耕地?fù)p失，決定按耕地價格的t%征收耕地占用稅，這樣每年的耕地?fù)p失可減少eq\f(5,2)t萬畝，為了既減少耕地的損失又保證此項(xiàng)稅收一年不少于9000萬元，t應(yīng)在什么范圍內(nèi)變動？知識點(diǎn)三和均值不等式有關(guān)的應(yīng)用問題例3經(jīng)過長期觀測得到，在交通繁忙的時段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y(千輛/小時)與汽車的平均速度v(千米/小時)之間的函數(shù)關(guān)系為y＝eq\f(920v,v2＋3v＋1600)(v>0)．(1)在該時段內(nèi)，當(dāng)汽車的平均速度v為多少時，車流量最大？最大車流量為多少？(精確到0.1千輛/小時)(2)若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/小時，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？總結(jié)不等式的應(yīng)用性問題，最值問題是重點(diǎn)，要讀懂題意、理解實(shí)際背景、領(lǐng)悟數(shù)學(xué)實(shí)質(zhì)，抽象歸納出其中的數(shù)量關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，常用均值不等式求解．變式訓(xùn)練3某商品進(jìn)貨價每件50元，據(jù)市場調(diào)查，當(dāng)銷售價格(每件x元)在50<x≤80時，每天售出的件數(shù)P＝eq\f(105,x－402)，若想每天獲得的利潤最多，銷售價格每件應(yīng)定為多少元？1．解有關(guān)不等式的實(shí)際問題時，若文字較長，數(shù)據(jù)較多，要學(xué)會正確地梳理數(shù)據(jù)，準(zhǔn)確地找出數(shù)據(jù)之間的主要聯(lián)系，建立能反映問題實(shí)質(zhì)的數(shù)學(xué)模型，再利用不等式求解．2．解不等式實(shí)際應(yīng)用題的思路eq\x(實(shí)際問題)eq\o(→,\s\up7(建模),\s\do5(審題、抽象、轉(zhuǎn)化))eq\x(數(shù)學(xué)問題)eq\o(→,\s\up7(解題利用不等式),\s\do5(推理運(yùn)算))eq\x(數(shù)學(xué)問題答案)eq\o(→,\s\up7(檢驗(yàn)))eq\x(實(shí)際問題結(jié)論)課時作業(yè)一、選擇題1.如圖所示，某汽車運(yùn)輸公司剛買了一批豪華大客車投入營運(yùn)，據(jù)市場分析每輛客車營運(yùn)的總利潤y(單位：10萬元)與營運(yùn)年數(shù)x(x∈N)為二次函數(shù)關(guān)系．則每輛客車營運(yùn)多少年，其營運(yùn)的年平均利潤最大？()A．3年B．4年C．5年D．6年2．某公司租地建倉庫，每月土地費(fèi)用與倉庫到車站距離成反比，而每月貨物的運(yùn)輸費(fèi)用與倉庫到車站距離成正比．如果在距離車站10km處建倉庫，則土地費(fèi)用和運(yùn)輸費(fèi)用分別為2萬元和8萬元，那么要使兩項(xiàng)費(fèi)用之和最小，倉庫應(yīng)建在離車站()A．5km處B．4km處C．3km處D．2km處3．把長為12cm的細(xì)鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是()A.eq\f(3,2)eq\r(3)cm2B．4cm2C．3eq\r(2)cm2D．2eq\r(3)cm24．做一個面積為1平方米，形狀為直角三角形的框架，有下列四種長度的鋼管供選用，其中最合理(夠用且最省料)的是()A．4.7米B．4.8米C．4.9米D．5米二、填空題5．三棱錐的三條側(cè)棱兩兩互相垂直，其中一條側(cè)棱長為1，另兩條側(cè)棱長的和為4，則此三棱錐體積的最大值是______．6．用兩種材料做一個矩形框，按要求其長邊和寬邊選用價格每米分別為3元和5元的材料，且長和寬必須為整數(shù)，現(xiàn)預(yù)算花費(fèi)不超過100元，則做成的矩形框的最大面積是________．三、解答題7.某住宅小區(qū)為了使居民有一個優(yōu)雅、舒適的生活環(huán)境，計劃建一個八邊形的休閑小區(qū)，它的主體造型的平面圖是由兩個相同的矩形ABCD和EFGH構(gòu)成的面積為200m2的十字型地域．現(xiàn)計劃在正方形MNPQ上建一花壇，造價為4200元/m2，在四個相同的矩形上(圖中陰影部分)鋪花崗巖地坪，造價為210元/m2，再在四個空角上鋪草坪，造價為80元/m2(1)設(shè)總造價為S元，AD的邊長為xm，試建立S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)計劃至少要投入多少元，才能建造這個休閑小區(qū)．§3.4不等式的實(shí)際應(yīng)用知識梳理1.eq\r(ab)eq\f(a＋b,2)2．小2eq\r(p)大eq\f(1,4)S2自主探究解設(shè)原來a克糖水中含糖b克，加入m克糖后，糖水濃度變大了，用不等式表示為eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)(其中a，b，m均為正數(shù)，且a>b)．證明如下：eq\f(b＋m,a＋m)－eq\f(b,a)＝eq\f(ab＋m－ba＋m,aa＋m)＝eq\f(ma－b,aa＋m)，又a，b，m均為正數(shù)且a>b，∴a－b>0，m(a－b)>0，a(a＋m)>0，∴eq\f(ma－b,aa＋m)>0.因此，eq\f(b＋m,a＋m)>eq\f(b,a)，也就是糖水濃度更大了，糖水變得更甜了．對點(diǎn)講練例1解(1)eq\f(1000×0.2＋130,1000)＝33%.(2)設(shè)商品的標(biāo)價為x元，則500≤x≤800，消費(fèi)額：400≤0.8x≤640，由已知得①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0.2x＋60,x)≥\f(1,3),400≤0.8x<500))或②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(0.2x＋100,x)≥\f(1,3),500≤0.8x≤640)).不等式組①無解，不等式組②的解為625≤x≤750.因此，當(dāng)顧客購買標(biāo)價在[625,750]元內(nèi)的商品時，可得到不小于eq\f(1,3)的優(yōu)惠率．變式訓(xùn)練1解設(shè)商場將A型冰箱打x折出售，則消費(fèi)者購買A型冰箱需耗資2190×eq\f(x,10)＋365×10×1×0.4(元)，購買B型冰箱需耗資2190(1＋10%)＋365×10×0.55×0.4(元)．依題意，得2190×eq\f(x,10)＋365×10×1×0.4≤2190×(1＋10%)＋365×10×0.55×0.4.解不等式，得x≤8.因此，商場應(yīng)將A型冰箱至少打八折出售，消費(fèi)者購買才合算．例2解由題意知，對于甲車，令0.1x＋0.01x2＝12，解得x＝30或x＝－40(舍去)．即甲車的車速是30千米/時，沒有超過限速．對于乙車，令0.05x＋0.005x2>10，解得x>40或x<－50(舍去)，即乙車超過了限速40千米/時，故乙車應(yīng)負(fù)主要責(zé)任．變式訓(xùn)練2解由題意可列不等式如下：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(20－\f(5,2)t))·24000·t%≥9000?3≤t≤5.所以t%應(yīng)控制在3%到5%范圍內(nèi)．例3解(1)依題意，y＝eq\f(920,3＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(v＋\f(1600,v))))≤eq\f(920,3＋2\r(1600))＝eq\f(920,83)，當(dāng)且僅當(dāng)v＝eq\f(1600,v)，即v＝40時，上式等號成立，所以ymax＝eq\f(920,83)≈11.1(千輛/小時)．(2)由條件得eq\f(920v,v2＋3v＋1600)>10，整理得v2－89v＋1600<0，即(v－25)(v－64)<0，解得25<v<64.故當(dāng)v＝40千米/小時時，車流量最大，最大車流量約為11.1千輛/小時．如果要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/小時，則汽車的平均速度應(yīng)大于25千米/小時且小于64千米/小時．變式訓(xùn)練3解設(shè)銷售價定為每件x元(50<x≤80)，每天獲得利潤y元，則y＝(x－50)·P＝eq\f(105x－50,x－402)，令t＝x－50，t∈(0,30]．∴y＝eq\f(105t,t＋102)＝eq\f(105t,t2＋20t＋100)＝eq\f(105,t＋\f(100,t)＋20)≤eq\f(105,20＋20)＝2500.當(dāng)且僅當(dāng)t＝10，即x＝60時，ymax＝2500.∴要想每天獲得的利潤最多，銷售價格每件應(yīng)定為60元．課時作業(yè)1．C[由圖象設(shè)y＝a(x－6)2＋11(a<0)．當(dāng)x＝4時，y＝7，∴4a∴a＝－1.∴y＝11－(x－6)2＝－x2＋12x－25∴eq\f(y,x)＝12－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))≤12－10＝2.當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(25,x)，即x＝5時，取“＝”，故選C.]2．A[設(shè)倉庫應(yīng)建在離車站x千米處．由已知得y1＝2＝eq\f(k1,10)，得k1＝20，∴y1＝eq\f(20,x)，y2＝8＝k2·10，得k2＝eq\f(4,5)，∴y2＝eq\f(4,5)x，∴y1＋y2＝eq\f(20,x)＋eq\f(4x,5)≥2eq\r(\f(20,x)·\f(4x,5))＝8，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(20,x)＝eq\f(4x,5)，即x＝5時，費(fèi)用之和最?。甝3．D[設(shè)一個正三角形的邊長為xcm，則另一個三角形的邊長為(4－x)cm，兩個三角形的面積和為S＝eq\f(\r(3),4)x2＋eq\f(\r(3),4)(4－x)2＝eq\f(\r(3),2)[(x－2)2＋4]≥2eq\r(3)(cm2)．]4．C[設(shè)直角三角形框架的兩直角邊分別為a，b.則直角三角形框架的長度為eq\r(a2＋b2)＋a＋b≥eq\r(2ab)＋2eq\r(ab)＝(2＋eq\r(2))eq\r(ab)，∵eq\f(1,2)ab＝1.∴ab＝2，∴eq\r(a2＋b2)＋(a＋b)≥(2＋eq\r(2))eq\r(2)＝2eq\r(2)＋2.∵2eq\r(2)＋2>4.8.∴應(yīng)選用4.9米長的鋼管．]5.eq\f(2,3)解析設(shè)一條側(cè)棱長為x，另一條長為4－x，則V＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)x(4－x)≤eq\f(1,6)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋4－x,2)))2＝eq\f(2,3).當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時“＝”成立．6．40m解析設(shè)該矩形框長為x，寬為y，則3x＋5y≤50(x、y∈N*)，故eq\r(3x·5y)≤eq\f(3x＋5y,2)≤25，于是xy≤eq\f(125,3)，又x、y∈N*，xy≤41，若xy＝41，則只有x＝41，y＝1，與3x＋5y≤50不符；若xy＝40，則x＝8，y＝5或x＝10，y＝4，故矩形框的最大面