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復(fù)習(xí)學(xué)案五函數(shù)奇偶性、指數(shù)、指數(shù)函數(shù)【知識(shí)梳理】函數(shù)的奇偶性⑴函數(shù)有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,確定奇偶性方法有定義法、圖像法;⑵若是偶函數(shù),那么;定義域含零的奇函數(shù)必過(guò)原點(diǎn)();⑶判斷函數(shù)奇偶性可用定義的等價(jià)形式:或;2.根式的性質(zhì):①當(dāng)n為任意正整數(shù)時(shí),()=a②當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),=a;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),=|a|=3.指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì):4.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域:R(2)值域:(0,+∞)(3)過(guò)點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí),y=1(4)在R上是增函數(shù)(4)在R上是減函數(shù)【典型例題】例1.設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù),(1)討論的奇偶性;(2)求的最小值例題2已知函數(shù)(1)求函數(shù)的定義域、值域;(2)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.例題3已知的最大值和最小值.例題4已知函數(shù),(1)判斷函數(shù)的奇偶性;(2)求該函數(shù)的值域(3)證明是上的增函數(shù)。例題5.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=eq\f(-2x+b,2x+1+a)是奇函數(shù).(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)若對(duì)任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范圍.【練習(xí)題】1.設(shè)是定義在上的奇函數(shù),且當(dāng)時(shí),,則()A. B. C. D.2.設(shè)指數(shù)函數(shù),則下列等式中不正確的是 ()A.f(x+y)=f(x)·f(y) B.C. D.3.函數(shù)F(x)=(1+2/(2x1))f(x)(x≠0)是偶函數(shù),且f(x)不恒等于零,則f(x)是()(A)是奇函數(shù)(B)是偶函數(shù)(C)既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)(D)非奇非偶函數(shù)4.函數(shù)f(x)=eq\f(x,|x|)·ax(a>1)的圖象的大致形狀是()5.下列函數(shù)中值域?yàn)?0,+∞)的是()A.y=eq\f(1,2-x)B.y=(eq\f(1,3))1-xC.y=eq\r(\f(1,2)x-1) D.y=eq\r(1-2x)6.用min{a,b,c}表示a,b,c三個(gè)數(shù)中的最小值.設(shè)f(x)=min{2x,x+2,10-x}(x≥0),則f(x)的最大值為()A.4B.5C.67.若函數(shù)y=ax+b-1(a>0且a≠1)的圖象經(jīng)過(guò)第二、三、四象限,則一定有()A.0<a<1且b>0B.a(chǎn)>1且b>0C.0<a<1且b<0 8.函數(shù)的值域是()A、B、C、D、9.函數(shù)得單調(diào)遞增區(qū)間是 ()A. B. C. D.10.若函數(shù)分別是上的奇函數(shù)、偶函數(shù),且滿足,則有A.
B.C.
D.11.函數(shù)滿足,且,則與的大小關(guān)系是()A.B.C.> D.與有關(guān)不確定12.已知實(shí)數(shù)a,b滿足等式eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))a=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))b,下列五個(gè)關(guān)系式:①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b=0.其中不可能成立的關(guān)系式有()A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)13.已知函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax(x<0),,(a-3)x+4a(x≥0)))滿足對(duì)任意x1≠x2,都有eq\f(f(x1)-f(x2),x1-x2)<0成立,則a的取值范圍是() A.(0,eq\f(1,4)] B.(0,1)C.[eq\f(1,4),1) D.(0,3)14.(1)計(jì)算=.(2)=.(3)已知,則=.15.函數(shù)f(x)=eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(fx+2x<2,2-xx≥2)),則f(-3)的值為.16.已知是奇函數(shù),求常數(shù)m的值為_.17.若函數(shù)y=(eq\f(1,2))|1-x|+m的圖像與x軸有公共點(diǎn),則m的取值范圍是__________.18.關(guān)于x的方程有負(fù)根,則a的取值范圍是__________.19.已知,求的最小值與最大值.20.若函數(shù)的值域?yàn)?,試確定的取值范圍.21.設(shè)試求的值..復(fù)習(xí)學(xué)案五參考答案函數(shù)奇偶性、指數(shù)、指數(shù)函數(shù)【典型例題】例1.設(shè)為實(shí)數(shù),函數(shù),(1)討論的奇偶性;(2)求的最小值解:(1)當(dāng)時(shí),,此時(shí)為偶函數(shù);當(dāng)時(shí),,,∴此時(shí)函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)(2)①當(dāng)時(shí),函數(shù),若,則函數(shù)在上單調(diào)遞減,∴函數(shù)在上的最小值為;若,函數(shù)在上的最小值為,且②當(dāng)時(shí),函數(shù),若,則函數(shù)在上的最小值為,且;若,則函數(shù)在上單調(diào)遞增,∴函數(shù)在上的最小值綜上,當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值是,當(dāng)時(shí),函數(shù)的最小值是,當(dāng),函數(shù)的最小值是例題2已知函數(shù)(1)求函數(shù)的定義域、值域;(2)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解:(1)易知,此函數(shù)的定義域是R,先求出函數(shù)u=x2-6x+11在R上的值域,再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求得此函數(shù)的值域?yàn)閑q\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0,\f(4,9))).(2)由函數(shù)與u=x2-6x+11在同一區(qū)間上的單調(diào)性相反,易知函數(shù)在區(qū)間(-∞,3)上是增函數(shù),在區(qū)間[3,+∞)上是減函數(shù).例題3已知的最大值和最小值.解:因?yàn)樗怨十?dāng)時(shí),有最大值;當(dāng)時(shí),有最小值。例題4已知函數(shù),(1)判斷函數(shù)的奇偶性;(2)求該函數(shù)的值域(3)證明是上的增函數(shù)。解:(1)∵定義域?yàn)?且是奇函數(shù);(2)即的值域?yàn)椋唬?)設(shè),且,(∵分母大于零,且)∴是上的增函數(shù)。例題5.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)=eq\f(-2x+b,2x+1+a)是奇函數(shù).(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)若對(duì)任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求k的取值范圍.解析(Ⅰ)因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),所以f(0)=0,即eq\f(b-1,a+2)=0?b=1∴f(x)=eq\f(1-2x,a+2x+1),又由f(1)=-f(-1)知eq\f(1-2,a+4)=-eq\f(1-\f(1,2),a+1)?a=2.(Ⅱ)解法一由(Ⅰ)知f(x)=eq\f(1-2x,2+2x+1),易知f(x)在(-∞,+∞)上為減函數(shù).又因f(x)是奇函數(shù),從而不等式:f(t2-2t)+f(2t2-k)<0等價(jià)于f(t2-2t)<-f(2t2-k)=f(k-2t2),因f(x)為減函數(shù),由上式推得:t2-2t>k-2t2.即對(duì)一切t∈R有:3t2-2t-k>0,從而判別式Δ=4+12k<0?k<-eq\f(1,3)解法二由(Ⅰ)知f(x)=eq\f(1-2x,2+2x+1).又由題設(shè)條件得:eq\f(1-2t2-2t,2+2t2-2t+1)+eq\f(1-22t2-k,2+22t2-k+1)<0,即:(22t2-k+1+2)(1-2t2-2t)+(2t2-2t+1+2)(1-22t2-k)<0,整理得23t2-2t-k>1,因底數(shù)2>1,故:3t2-2t-k>0上式對(duì)一切t∈R均成立,從而判別式Δ=4+12k<0?k<-eq\f(1,3)【練習(xí)題】1. C2.D3.A4
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