數(shù)學(xué)-湖南省名校教育聯(lián)盟2025屆高三12月大聯(lián)考試題和答案

數(shù)學(xué)參考答案第1頁(yè)(共6頁(yè))湖南名校教育聯(lián)盟·2025屆高三12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案一、選擇題:本題共6小題,每小題4分,共24分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。2.】={-1,1},選B.【解析】A={x|2x≤3}={x|x≤log23},B={-1,1,3,2.】={-1,1},選B.==2,所以a3+a6=q(a2==2,所以a3+a6=q(a2+a5)=2×6=12,a2a1D=(a1+a4)+(a2+a5)+(a3+a6)=3+6+12=21,選C.2(1+i)【解析】復(fù)數(shù)z1在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限,設(shè)z1=a+bi(a>0,b>0)2(1+i)∵=2=i=-i,∴z2=-iz1=b-ai,b>0,-a<0,∵=∴復(fù)數(shù)z2在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限,選D.【解析】∵(a-b)⊥b,∴(=3-1(i2θ)==3-1(i2θ)=2.【解析】因?yàn)閒(x)是偶函數(shù),所以f(x)-f(-x)=2x2xs-ix-2-x2·-n-(x)=[2x-2(a1-)x·sinx=0,6.inx不恒等于0,所以2x=2(a-1)x恒成立,即x=(a-1)x恒成立,所以a=2.x∈(,)時(shí),ωx-π+∈(,ω+).因?yàn)間(x)在區(qū)間(,)上單調(diào)遞減,所以π+≤π,所以ω≤5,ω的最大值為5.【解析】連接PF1,由題意知=,|PF1|+|PF2|=2a=4c,|F1F2|=|PF2|=2c,∴|PF1|=|PF2|=2c,=a2ac2=.∴點(diǎn)P為橢圓C的上(下)頂點(diǎn),=a2ac2=.【解析】A:f'(x)=acosx,令f(x)=f'(x),則asinx=acosx,則x=+kπ,k∈Z,存在“堅(jiān)定點(diǎn)”;B:f'(x)=,f'(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,x→0時(shí),f'(x)→+∞,x→+∞時(shí),f'(x)→0,1xf(x)=lnax在(0,+∞)上單調(diào)遞增,x→0時(shí),f(x)→-∞,x→+∞時(shí),f(x)→+∞1x所以關(guān)于x的方程=lnax在(0,+∞)上有一解,存在“堅(jiān)定點(diǎn)所以關(guān)于x的方程,數(shù)學(xué)參考答案第2頁(yè)(共6頁(yè))11【解析】由x>y>0,同除以xy得<,A選項(xiàng)正確;xy由基本不等式xy≥xy,又x≠y,所以等號(hào)不成立,所以>2,B選項(xiàng)正確;由f(x)=0.2x在R上單調(diào)遞減,因?yàn)閤>y>0,所以0.2x<0.2y,C選項(xiàng)不正確;取x=2,y=,得lnx=ln2>0,lny=ln<0,得ln1x>ln1y,D選項(xiàng)不正確.【解析】對(duì)于A選項(xiàng),當(dāng)MP⊥AC1時(shí),∵AC1⊥平面B1CD1,∴MP在平面B1CD1內(nèi)或MP與平面B1CD1平行,故當(dāng)且僅當(dāng)M與B1重合,且P與C重合時(shí),MP⊥AC1,A選項(xiàng)正確;對(duì)于B選項(xiàng),過(guò)M在平面AB1C1內(nèi)作AC1的平行線,與底面ABCD沒(méi)有公共點(diǎn),故不存在M,P,使得MP∥AC1,B選項(xiàng)不正確;對(duì)于C選項(xiàng),M為線段B1C1的中點(diǎn),過(guò)M作與平面AB1D1平行的截面,與底面ABCD的交線為△ABD22中BD的中位線,即為動(dòng)點(diǎn)P的軌跡,其長(zhǎng)度為,C選項(xiàng)正確;2對(duì)于D選項(xiàng),設(shè)A1關(guān)于平面ABCD的對(duì)稱點(diǎn)為A0,則MP+PA1=MP+PA0≥MA0=A1M2+A1A=+4=1,D選項(xiàng)正確.【解析】對(duì)于A選項(xiàng),|PF1|+|PF2|=10,由橢圓定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為橢圓;22,|F(|,y)|P,2(||x||)2+|)+||F|21+|·|P|||||1||2+2【解析】對(duì)于A選項(xiàng),|PF1|+|PF2|=10,由橢圓定義可知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡為橢圓;∴則=,∴|,即||PF1|-|PF2||=10,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線;對(duì)于D選項(xiàng),設(shè)P(x,y),則|,∴,即|PF1|+|PF2|=10,動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓.12.【答案】(x-5)2+(y-1)2=13或(x-1)2+(y-7)2=13(寫1個(gè)即可)—【解析】設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,b),半徑為13,且與直線2x-3y+6=0—(--=-,(--=-,|=13,所以所求圓的方程為(x-5)2+(y-1)2=13或(x-1)2+(y-7)2=13.13.【答案】-y=ex-1+lnx-3過(guò)點(diǎn)(1,-2),故直線l與曲線y=ex-1+lnx-3(無(wú)拐點(diǎn))相切于y=ex-1+lnx-3過(guò)點(diǎn)(1,-2),故直線l與曲線y=ex-1+lnx-3(無(wú)拐點(diǎn))相切于點(diǎn)(1,-2),∵y'=ex-1+,∴直線l的斜率k=e1-1+2,∴直線l的方程為2x-y-4=0,∴a∶b∶c=2∶(-1)∶(-4),:bc=-.x-1法二:設(shè)切點(diǎn)為(x0,ex0-1十lnx0-3),則直線l的斜率k=ex0-1十0=e00l-n0-1,:(x0-2)ex0-1十2-0-lnx0=0,設(shè)g(x)=(x-2)ex-1十2--lnx(x>0),則g'(x)=(x-1)ex-1十2-=(x-1)(ex-1-2).111>0,g'(x)>0,-2xx∈(0,1]時(shí),x-1≤0,ex-1-2≤0,g'(x)≥0;x∈(1,十∞)時(shí),x>0,g'(x)>0,-2xx:g'(x)≥0,:g(x)在(0,十∞)上單調(diào)遞增,又g(1)=0,:(x0-2)ex0-1十2-0-lnx0=0有唯一解x0=1,的方程為2x-y-4=0,bc=-.所以切點(diǎn)為(1,-2),k=2,直線l:a:b:c=2:的方程為2x-y-4=0,bc=-.86π14【答案】.9則三棱錐ABCD與直三棱柱ABFEDC的外接球相同.在Rt△ACF中,AC=6,CF=2,:AF=2.在△ABF中,AB=BF=5,AF=2,cos上BAF=,所以sin上BAF=.設(shè)△ABF的外接圓半徑為r,由正弦定理得故△ABF的外接圓半徑r=562,設(shè)三棱2柱ABFEDC的外接球半徑為R,由勾股定理R2=12十562=,則三棱錐ABCD外接球的表面積S=4πR2=4π×=8π.415.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)BD=5412absinC,化簡(jiǎn)得2acosC=b-a,…12absinC,化簡(jiǎn)得2acosC=b-a,………1分,得2sinAcosC=sinB-sinA.,得2sinAcosC=sinB-sinA.………3分由正弦定理=在等腰三角形ACD中,cosA=.①……………8分?jǐn)?shù)學(xué)參考答案第3頁(yè)(共6頁(yè))數(shù)學(xué)參考答案第4頁(yè)(共6頁(yè))又S△ABC=S△ACD+S△BCD,∴absinCbsinA+asinA,化簡(jiǎn)得2abcosA=b+a.又a,∴bcosA=b+.②…………10分①代入②,得6b2-5b-6=0,解得b或b=-(舍去),∴cosA,在△BCD中,由余弦定理得BD2=CD2+a2-2CD·acosA=1+-2××,∴BD.……………………13分16.【解析】(1)在△PBD中,作BE⊥PD,垂足為E,點(diǎn)E即為點(diǎn)B在平面PAD的射影.下面證明BE⊥平面PAD:,等腰梯形,所以∠ADC=π-∠A,scs,A,解得cos∠A,BD=23.D,AB=…4…,∴…A…D+B=…A,……………………3分∴AD⊥平面PBD,又平面PBD⊥平面ABCD,平面PBD∩平面ABCD=BD,AD?∴AD⊥平面PBD,又BE⊥平面PBD,∴AD⊥BE.又(2,O,A,,PAD,∴BE⊥平面PAD.…………………6分標(biāo)系,則A(2,0,0),B(0,23,0),P(0,3,3).……………………8分設(shè)平面設(shè)平面PAD的法向量為n1=(x,y,z),易知=(2,0,0),=(0,3,3),2z=0,取z=1,則x=0,y=-3,則n(0,-3,1).…………………10分設(shè)平面PAB的法向量為n2=(x1,y1,z1),易知AB=(-2,23,0),AP=(-2,3,3),,=0,取x1=3,則y1=3,z1=1,則n2=(3,3,1).……………12分n1·n2|n1|·|nn1·n2|n1|·|n2∴cos<n1,n2>=,13故平面PAB與平面PAD法二:(幾何法)簡(jiǎn)易思路15分的夾角的余弦值為…………………故平面PAB與平面PAD法二:(幾何法)簡(jiǎn)易思路15分的夾角的余弦值為13.過(guò)B作BH⊥PA,垂足為H,易證AP⊥平面BHE(證明略),則∠BHE即為所求角.………………9分在等邊三角形△PBD中,BE=3在△PBA中,AP=AB=4,PB=23,等面積法可求得BH,…………………12分∴sin∠BHE,又∠BHE∈(0,,∴cos∠BHE.…………15分?jǐn)?shù)學(xué)參考答案第5頁(yè)(共6頁(yè))3317.【解析】(1)由題可知,k1,k2,點(diǎn)P(-1,在橢圓C上,且k1+k2=1.故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+1.………(2)設(shè)點(diǎn)Q(x0,y0),①若點(diǎn)Q在x軸下方,則y0∈[-3,0),如圖1所示,則S△PAB|AB|×3.92因?yàn)辄c(diǎn)P,Q,A,B組成的四邊形的面積為,2所以S△ABQ|AB|·|y0|,解得y0=-,代入橢圓方程得x0=±,故點(diǎn)Q(±,-,3分6分所以直線l的方程為yx+或yx+.……………10分②若點(diǎn)Q在x軸上方,則x0∈(-1,2),y0∈(0,3],如圖2所示,設(shè)點(diǎn)Q到直線PB的距離為d,則|PB|=(-1-2)2+2,則S△PBQ|PB|d,解得d.0方-|為+2y-2=0,由d=1+22=5,得x0+2y0=0或x0+2y0=4.(+0=0,得〈(x0!4+3=1,!y0(=-3,==,=2,==3,=-2x0 3(舍去)或 3y0!(舍去);所以直線l的方程為y.綜上,直線l的方程為y=或y=2-213x+5-213或y=2+213x+5+213.…15分-2e(+,令2f)'(-)<20),e,-2<x<2,所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-2),(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(-2,2).…4分(2)當(dāng)x<0時(shí),f(x)<ax等價(jià)于a<f)=(x-2)ex,由(1)可知,f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,--=由(1)可知,f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,在(2,+∞)上單調(diào)遞增,,1<2<x2<2.數(shù)學(xué)參考答案第6頁(yè)(共6頁(yè))1<x<2),')f(x-xx2-,1<x<2),'2+2x-2)ex>0,所以n(x)在(3-1,2)上單為,n>)0,,所以x∈(3-1,1)時(shí),n(x)<0;x∈(1,2)所以m(x)在(3-1,1)上單調(diào)遞減,在(1,2)上單調(diào)遞增,設(shè)'直線=b與直線l1交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x,則-ex=b,則x1=-e,則b=f(x1)=-ex≥-ex1,所以x1≥x=-.同理可得x2<x2'=be2,所以x2-x1<x2'-x=be2-(-)=b+22+4e2,得證.…………17分19.【解析】(1)記用1積分購(gòu)買簽字筆為A,用2積分