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2025高考數(shù)學二輪復習極值點偏移問題1.極值點偏移是指函數(shù)在極值點x0左邊和右邊的增減速度不一樣,導致函數(shù)圖象不關于直線x=x0對稱,如圖所示.(1)左右對稱,無偏移,如二次函數(shù).若f(x1)=f(x2),則x1+x2=2x0,如圖(1).(2)左陡右緩,極值點向左偏移.若f(x1)=f(x2),則x1+x2>2x0,如圖(2).(3)左緩右陡,極值點向右偏移.若f(x1)=f(x2),則x1+x2<2x0,如圖(3).圖(1)圖(2)圖(3)2.極值點偏移問題的結論不一定總是x1+x2>2x0(或<2x0),也可能是x1x2>常用的解法有對稱化構造函數(shù)法和比值代換法.角度一對稱化構造函數(shù)例1(2024廣東湛江一模)已知函數(shù)(1)討論f(x)的單調性;(2)若方程f(x)=1有兩個根x1,x2,求實數(shù)a的取值范圍,并證明:x1x2>1.當0<x<1時,f'(x)>0,則f(x)在(0,1)內單調遞增,當x>1時,f'(x)<0,則f(x)在(1,+∞)內單調遞減.角度二比(差)值換元例2(2024天津一模)設函數(shù)f(x)=x2+lnx.(1)求曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程;(2)設函數(shù)g(x)=f(x)-ax(a∈R).①若x=1時,g(x)取得極值,求g(x)的單調區(qū)間;(1)解

f'(x)=2x+,則f'(1)=3,f(1)=1,∴曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y-1=3(x-1),即y=3x-2.針對訓練1.(2024山西太原模擬)已知函數(shù)f(x)=lnx++mx.(1)討論函數(shù)f(x)的單調性;(2)若f(x1)-mx1=f(x2)-mx2(0<x1<x2),求證:x1+x2>2.當-<m<0時,0<x2<x1,∴函數(shù)f(x)在(0,x2),(x1,+∞)內單調遞減,在(x2,x1)內單調遞增.當m>0時,x1<0<x2,∴函數(shù)f(x)在(0,x2)內單調遞減,在(x2,+∞)內單調遞增.∴函數(shù)h(x)在(0,1)內單調遞增,∴h(x1)=g(2-x1)-g(x1)<h(1)=0,∴g(2-x1)<g(x1)=g(x2).∵2-x1>1,x2>1,g(x)在(1,+∞)內單調遞增,∴2-x1<x2,故x1+x2>2.2.(2024江西南昌高三期末)已知函數(shù)f(x)=x-lnx-2.(1)求f(x)的最小值;(2)若方程f(x)=a有兩個不相等的實數(shù)根x1,x2(x1<x2),證明:x1+2x2>3.所以f'(x)>0?x>1,f'(x)<0?0<x<1,從而f(x)在(0,1)內單調遞減,在(1,+∞)內單調遞增,故f(x)min=f(1)=-1.(2)證明

由(1)可得0

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