高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí)專題能力訓(xùn)練14空間中的平行與垂直文

專題能力訓(xùn)練14空間中的平行與垂直能力突破訓(xùn)練1.在三棱柱ABCA1B1C1中,D為該棱柱的九條棱中某條棱的中點(diǎn),若A1C∥平面BC1D,則D為()A.棱AB的中點(diǎn) B.棱A1B1的中點(diǎn)C.棱BC的中點(diǎn) D.棱AA1的中點(diǎn)2.(2022廣西南寧二模)在正方形ABCD中,E為AB的中點(diǎn),H為AD的中點(diǎn),F,G分別為BC,CD上的點(diǎn),且CF=2FB,CG=2GD,將△ABD沿著B(niǎo)D折起得到空間四邊形A1BCD,則在翻折過(guò)程中,下列說(shuō)法正確的是()A.EF∥GH B.EF與GH相交C.EF與GH異面 D.EH與FG異面3.(2022全國(guó)乙,文9)在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),則()A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D4.在四面體ABCD中,E,F分別為棱AC,BD的中點(diǎn),AD=6,BC=4,EF=2,則異面直線AD與BC所成角的余弦值為()A.34 B.56 C.9105.已知正四棱錐SABCD的底面邊長(zhǎng)為2,高為2,E是邊BC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在表面上運(yùn)動(dòng),并且總保持PE⊥AC,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的周長(zhǎng)為.

6.已知∠ACB=90°,P為平面ABC外一點(diǎn),PC=2,點(diǎn)P到∠ACB兩邊AC,BC的距離均為3,則點(diǎn)P到平面ABC的距離為.

7.如圖,AB為圓柱底面圓的一條直徑,AC為圓柱的一條母線,D為AB的中點(diǎn),AB=AC=4.(1)證明:BD⊥平面ACD;(2)求點(diǎn)A到平面BCD的距離.8.如圖,四邊形ABCD為矩形,△ABE和△BCF均為等腰直角三角形,且∠BAE=∠BCF=∠DAE=90°,EA∥FC.(1)求證:ED∥平面BCF;(2)設(shè)BCAB=λ(λ>0),則是否存在λ,使得三棱錐ABDF的高等于33BC?若存在,求出λ9.(2022廣西桂林、崇左、賀州3月模擬)在平行四邊形ABCD中,AB=3,BC=2,過(guò)點(diǎn)A作CD的垂線交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,AE=3,連接BE交AD于點(diǎn)F,如圖①,將△ADE沿AD折起,使得點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)P的位置,如圖②.圖①圖②(1)求證:AD⊥平面BFP;(2)若G為PB的中點(diǎn),H為CD的中點(diǎn),且平面ADP⊥平面ABCD,求三棱錐GBCH的體積.10.(2022全國(guó)乙,文18)如圖,四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC的中點(diǎn).(1)證明:平面BED⊥平面ACD;(2)設(shè)AB=BD=2,∠ACB=60°,點(diǎn)F在BD上,當(dāng)△AFC的面積最小時(shí),求三棱錐FABC的體積.思維提升訓(xùn)練11.(2022廣西南寧二中模擬)如圖,在三棱柱ABCA'B'C'中,側(cè)棱AA'⊥底面ABC,AB=AC,BC=2AA',D,E分別為BC,BB'的中點(diǎn).(1)求證:DC'⊥平面ADE;(2)試探究三棱錐CAC'E的體積與三棱錐C'ADE的體積的比值是否為定值.若是,求出此定值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.12.如圖,AB是圓O的直徑,點(diǎn)C是AB的中點(diǎn),點(diǎn)V是圓O所在平面外一點(diǎn),D是AC的中點(diǎn),已知AB=2,VA=VB=VC=2.(1)求證:OD∥平面VBC;(2)求證:AC⊥平面VOD;(3)求三棱錐CABV的體積.13.如圖,在四棱錐PABCD中,底面四邊形ABCD是菱形,AC∩BD=O,△PAC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,PB=PD=6,AP=4AF.(1)求四棱錐PABCD的體積VP(2)在線段PB上是否存在一點(diǎn)M,使得CM∥平面BDF?如果存在,求BMBP的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由14.如圖①,在△ABC中,D,E分別為AB,AC的中點(diǎn),O為DE的中點(diǎn),AB=AC=25,BC=4.將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使得平面A1DE⊥平面BCED,F為A1C的中點(diǎn),如圖②.圖①圖②(1)求證:EF∥平面A1BD.(2)求證:平面A1OB⊥平面A1OC.(3)在線段OC上是否存在點(diǎn)G,使得OC⊥平面EFG?說(shuō)明理由.答案：能力突破訓(xùn)練1.B解析:如圖,當(dāng)D為棱A1B1的中點(diǎn)時(shí),取AB的中點(diǎn)E,連接A1E,CE.∵A1E∥BD,DC1∥EC,DC1∩BD=D,EC∩A1E=E,∴平面A1CE∥平面BC1D,又A1C?平面A1CE,則A1C∥平面BC1D.2.B解析:連接EH,FG(圖略).由CF=2FB,CG=2GD,得FG∥BD,且FG=23BD由E為AB的中點(diǎn),H為AD的中點(diǎn),得EH∥BD,且EH=12BD所以EH∥FG,且EH≠FG,所以四邊形EFGH為梯形,所以EF與GH相交.故選B.3.A解析:如圖,對(duì)于A,∵E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),∴EF∥AC.在正方體ABCDA1B1C1D1中,AC⊥BD,DD1⊥AC,又BD∩DD1=D,∴AC⊥平面BDD1,∴EF⊥平面BDD1.又EF?平面B1EF,∴平面B1EF⊥平面BDD1.故A正確.對(duì)于B,連接AC1,易證AC1⊥平面A1BD.假設(shè)平面B1EF⊥平面A1BD,又AC1?平面B1EF,∴AC1∥平面B1EF.又AC∥EF,AC?平面B1EF,EF?平面B1EF,∴AC∥平面B1EF.又AC1∩AC=A,∴平面AA1C1C∥平面B1EF.又平面AA1C1C∩平面AA1B1B=AA1,平面B1EF∩平面AA1B1B=B1E,∴AA1∥B1E,顯然不成立,∴假設(shè)不成立,即平面B1EF與平面A1BD不垂直.故B錯(cuò)誤.對(duì)于C,由題意知,直線AA1與B1E必相交,故平面B1EF與平面A1AC必相交.故C錯(cuò)誤.對(duì)于D,連接AB1,CB1,易證平面AB1C∥平面A1C1D,又平面B1EF與平面AB1C相交,∴平面B1EF與平面A1C1D不平行.故D錯(cuò)誤.4.D解析:如圖,取CD的中點(diǎn)G,連接EG,FG,則FG∥BC,EG∥AD,所以∠EGF為異面直線AD與BC所成的角(或其補(bǔ)角).因?yàn)镕G=12BC=2,EG=12所以cos∠EGF=4+9-故異面直線AD與BC所成角的余弦值為11125.2+6解析:如圖,取CD的中點(diǎn)F,SC的中點(diǎn)G,連接EF,EG,設(shè)EF交AC于點(diǎn)H,連接GH,易知AC⊥EF.又GH∥SO,∴GH⊥平面ABCD,∴AC⊥GH.又GH∩EF=H,∴AC⊥平面EFG.故點(diǎn)P的軌跡是△EFG,其周長(zhǎng)為2+6.2解析:如圖,過(guò)點(diǎn)P作PO⊥平面ABC于點(diǎn)O,則PO為點(diǎn)P到平面ABC的距離.再過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E,OF⊥BC于點(diǎn)F,連接PA,PB,PC,PE,PF,OC,易得PE⊥AC,PF⊥BC.又因?yàn)镻E=PF=3,所以易得OE=OF.所以CO為∠ACB的平分線,即∠ACO=45°,所以易得△CEO為等腰直角三角形.在Rt△PEC中,PC=2,PE=3,所以CE=1.所以O(shè)E=1.所以Rt△POE中,PO=PE7.(1)證明:因?yàn)锳B為圓柱底面圓的一條直徑,所以由圓的性質(zhì)可知BD⊥AD.由AC為圓柱的一條母線,可知AC⊥平面ABD,又因?yàn)橹本€BD在平面ABD內(nèi),所以AC⊥BD.因?yàn)锽D⊥AD,AC⊥BD,AC∩AD=A,AD,AC?平面ACD,所以BD⊥平面ACD.(2)解:由BD⊥平面ACD,CD?平面ACD,所以BD⊥CD.因?yàn)镈為AB的中點(diǎn),所以AD=BD.因?yàn)锳B=4,所以在Rt△ABD中,有AD=BD=22.又因?yàn)锳C=4,所以在Rt△ACD中,CD=AC2+A所以S△BCD=12BD·CD=12×22×26=4設(shè)點(diǎn)A到平面BCD的距離為d.VCABD=13×4×12×22×2VABCD=13d×43=由VCABD=VABCD,有433d=163,可得故點(diǎn)A到平面BCD的距離為438.(1)證明:因?yàn)锳D∥BC,所以AD∥平面BCF.因?yàn)镋A∥FC,所以EA∥平面BCF.又EA∩AD=A,所以平面ADE∥平面BCF,所以ED∥平面BCF.(2)解:因?yàn)锽CAB=λ,所以BC=λAB設(shè)AB=a,則BC=λa.因?yàn)椤螧AE=∠DAE=90°,所以EA⊥AB,EA⊥AD,所以EA⊥平面ABCD.又EA∥FC,所以FC⊥平面ABCD,所以FC⊥CD.由題意可知BD=1+λ2a,BF=2λa,DF=1+λ2a,AD=λa,所以S△ABD=12·a·λa=λ2a2,S△BDF=12·2λa·設(shè)三棱錐ABDF的高為h,則由V三棱錐ABDF=V三棱錐FABD,得13·2+λ22λa2·h=所以h=λa2+若h=33BC,則λa2+λ2=33故存在λ=1,使得三棱錐ABDF的高等于33BC9.(1)證明:折疊前,由已知得AE⊥AB,又AB=3,AE=3,∴∠AEB=60°,BE=23.∵AE⊥CE,AE=3,AD=BC=2,∴∠EAD=30°.∴∠AFE=180°∠AEB∠EAD=90°,即BE⊥AD.∴折疊后,PF⊥AD,BF⊥AD.又PF∩BF=F,∴AD⊥平面BFP.(2)解:由(1)知PF⊥AD,又平面ADP⊥平面ABCD,平面ADP∩平面ABCD=AD,PF?平面ADP,∴PF⊥平面ABCD.由(1)得EF=12AE=32,∴PF=又G為PB的中點(diǎn),∴點(diǎn)G到平面ABCD的距離為34∵H為CD的中點(diǎn),∴CH=12CD=12AB=由題意可知點(diǎn)B到CD的距離為3,∴S△BCH=12∴VGBCH=1310.(1)證明:∵AD=CD,∠ADB=∠BDC,BD=BD,∴△ABD≌△CBD.∴AB=BC.又E為AC的中點(diǎn),∴BE⊥AC.∵AD=CD,且E為AC的中點(diǎn),∴DE⊥AC.又DE∩BE=E,∴AC⊥平面BED.又AC?平面ACD,∴平面BED⊥平面ACD.(2)解:∵AB=BC=2,∠ACB=60°,∴△ABC為等邊三角形.∴AC=2,BE=3.∵AD⊥CD,AD=CD,∴△ACD為等腰直角三角形,∴DE=1.又BD=2,∴BE2+DE2=BD2,即DE⊥BE.連接EF,∵點(diǎn)F在棱BD上,∴EF?平面BED.由(1)知,AC⊥平面BED,從而AC⊥EF,于是S△AFC=12AC·EF=EF故當(dāng)EF⊥BD時(shí),EF最小,即△AFC的面積最小,此時(shí)EF=DE·由(1)知,AC⊥平面BED,所以AC⊥BD.又EF∩AC=E,∴BD⊥平面AFC.在Rt△BEF中,BF=BE

∴三棱錐FABC的體積V=13S△AFC·BF=13×12思維提升訓(xùn)練11.(1)證明:在三棱柱ABCA'B'C'中,設(shè)AA'=BB'=CC'=a,則BC=2AA'=2a.又D,E分別為BC,BB'的中點(diǎn),所以CC'所以CC'又AA'⊥平面ABC,AA'∥BB'∥CC',所以BB'⊥平面ABC,CC'⊥平面ABC,所以BB'⊥BC,CC'⊥BC,所以∠C'CD=∠DBE=90°,所以△C'CD∽△DBE,所以∠CC'D=∠BDE.又∠CC'D+∠CDC'=90°,所以∠BDE+∠CDC'=90°,所以∠C'DE=90°,即DC'⊥DE.因?yàn)镃C'⊥平面ABC,AD?平面ABC,所以CC'⊥AD.因?yàn)锳B=AC,D為BC的中點(diǎn),所以AD⊥BC.又BC∩CC'=C,所以AD⊥平面BCC'B',所以AD⊥DC'.又DE∩AD=D,所以DC'⊥平面ADE.(2)解:由(1)知AD⊥平面BCC'B',BB'=CC'=a,BC=2a,DC'⊥DE,CC'⊥BC,BB'⊥BC.又D,E分別為BC,BB'的中點(diǎn),所以CD=BD=22a,BE=12所以DC'=CC'2DE=BD2所以S△CC'E=12·a·2a=22a2,S△C'DE=12×62a·所以VC所以三棱錐CAC'E的體積與三棱錐C'ADE的體積的比值為定值,此定值為4312.(1)證明:∵O,D分別是AB和AC的中點(diǎn),∴OD∥BC.又OD?平面VBC,BC?平面VBC,∴OD∥平面VBC.(2)證明:∵VA=VB,O為AB中點(diǎn),∴VO⊥AB.在△VOA和△VOC中,OA=OC,VO=VO,VA=VC,∴△VOA≌△VOC,∴∠VOA=∠VOC=90°,∴VO⊥OC.∵AB∩OC=O,AB?平面ABC,OC?平面ABC,∴VO⊥平面ABC.又AC?平面ABC,∴AC⊥VO.∵VA=VC,D是AC的中點(diǎn),∴AC⊥VD.∵VO?平面VOD,VD?平面VOD,VO∩VD=V,∴AC⊥平面VOD.(3)解:由(2)知VO是三棱錐VABC的高,且VO=VA∵點(diǎn)C是AB的中點(diǎn),∴CO⊥AB,且CO=1,AB=2,∴△ABC的面積S△ABC=12AB·CO=12×2×1=∴三棱錐VABC的體積VVABC=13S△ABC·VO=13×1×3=33.13.解:(1)∵底面ABCD是菱形,∴O為AC,BD的中點(diǎn).又PA=PC,PB=PD,∴PO⊥AC,PO⊥BD.∵AC∩BD=O,AC?平面ABCD,BD?平面ABCD,∴PO⊥底面ABCD.在△PAC中,AC=2,∴PO=3.在△PBD中,PB=PD=6,BD=23.∴VPABCD=13·PO·S菱形ABCD=13×3×12×(2)如圖,過(guò)C作CE∥BD交AB的延長(zhǎng)線于E,過(guò)E作EH∥BF交PA于H,EH與PB的交點(diǎn)為M.∵CE∥BD,BD?平面BDF,CE?平面BDF,∴CE∥平面BDF.∵EH∥BF,BF?平面BDF,EH?平面BDF,∴EH∥平面BDF.又CE∩EH=E,CE?平面CEM,EH?平面CEM,∴平面BDF∥平面CEM