福建省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽暨全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建預(yù)賽試卷

2010年福建省高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽暨全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽福建預(yù)賽試卷

、填空題(6X10=60，)

1.用區(qū)間表示函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

2.在AABC中，若sinA+cosA=-,，則cos2A=。

3

3.在數(shù)列｛4｝中，已知％=2,。m―2a〃=2"+i("eN*),則使4〉10成立的最小正

整數(shù)“的值為o

4.已知/(%)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意xwR均有/(%+2)=/(%)，且xe(O,l)

時(shí)，f(x)=x2,貝|1+/(1)=。

5.如圖，在四棱錐P—A3CD中，底面ABCD為正方形，4PAB為等邊三角形，。為

AB邊中點(diǎn)，且POJ_平面ABCD,則二面角P—AC-。的余弦值為

6.已知集合A=｛無+qx7+%x7?+/x71，其中q.e｛0,1,2,3,4,5,6｝,

i=0,1,2,3?且。3。。。若正整數(shù)次，nGA,且。+〃=2010,m>n,則符合條

件的正整數(shù)也有個(gè)。

7.函數(shù)/(X)=sin2"x+cos2A:x[kGN*)的最小值____________________。

8.將方程13—3X國=4的實(shí)數(shù)解從小到大排列得和程&，，%，則

x：+x：+x；++X；的值為O([%]表小不超過x的

最大整數(shù))

9.若正整數(shù),"使得對(duì)任意一■組滿足qa2a3。4=1的正數(shù)都

有a；+^+?；n+<>-+—+—+—成立，則正整數(shù)機(jī)的最小值為

ciya?^^3^^4

10.如圖，記從“田字型”網(wǎng)格（由4個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形構(gòu)成）

的9個(gè)交點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)構(gòu)成的三角形面積為J（當(dāng)所取的三

11.當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，關(guān)于x的方程ax=lnx無解、一解、兩解?

12.已知函數(shù)/(尤)=小-24。試求/(%)在區(qū)間［0,1］上的最大值g(a)。

13.如圖，在銳角AABC中，AB=AC,NACfi的平分線交A3于點(diǎn)。，過AABC

的外心。作C￡)的垂線交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作AB的平行線交CD于點(diǎn)F。①求證：

C、E、0、F四點(diǎn)共圓；②求證：A、0、F三點(diǎn)共線；③求證：EA=EF。

14.已知雙曲線C:q—學(xué)=1（?！?/〉0）的離心率為2,過點(diǎn)尸（0,m）（加＞0）斜率為

1的直線/交雙曲線C于A3兩點(diǎn)，且AP=3PB,OAOB=3.①求雙曲線方程；

②設(shè)。為雙曲線C右支上動(dòng)點(diǎn)，咒為雙曲線C的右焦點(diǎn)，在無軸負(fù)半軸上是否存在定

點(diǎn)河使得NQfM=2NQMF?若存在，求出點(diǎn)河的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由。

15.數(shù)列｛qj中，已知％=2,且對(duì)一切正整數(shù)〃都有a“+i=a1/4+1。求證:

—+—+—++—->—+—+—+