電路基礎(chǔ)與實(shí)踐（第4版）課件：線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻

線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析

拉普拉斯變換及其性質(zhì)拉普拉斯反變換動(dòng)態(tài)線性電路的復(fù)頻域模型線性電路的復(fù)頻域法求解線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析

7.1拉普拉斯變換及其性質(zhì)

7.2拉普拉斯反變換7.3動(dòng)態(tài)線性電路的復(fù)頻域模型7.4線性電路的復(fù)頻域法求解

線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析

引例：高階電路高階電路就是能用高階微分方程描述的電路，高階電路可以是含有兩個(gè)不同種類的儲(chǔ)能元件或者含有一種儲(chǔ)能元件，但是儲(chǔ)能元件有多個(gè)串并聯(lián)，且不能化簡(jiǎn)成一個(gè)儲(chǔ)能元件的電路。典型的高階電路如圖7-1所示，它是R、L、C串聯(lián)的二階電路。圖7-1R、L、C串聯(lián)的二階電路線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析

開(kāi)關(guān)閉合后，對(duì)圖7-1電路應(yīng)用基爾霍夫電壓定律列方程有在學(xué)過(guò)，各個(gè)元件的電壓電流關(guān)系為,因此有把uR、uL帶入KVL方程，把uL放前面有可見(jiàn)該電路可用二階微分方程描述。圖7-1R、L、C串聯(lián)的二階電路線性動(dòng)態(tài)電路的復(fù)頻域分析

對(duì)于二階微分方程的求解過(guò)程非常麻煩，更遑論高階微分方程求解。而實(shí)際工程中，有些系統(tǒng)或者電路，數(shù)學(xué)建模都是高階微分方程，這給工程分析和應(yīng)用帶來(lái)很大麻煩。如何解決這個(gè)問(wèn)題？本章的復(fù)頻域分析法給出很好的答案。前面幾章的內(nèi)容，研究的是電路中的電壓和電流隨時(shí)間變化情況，稱為時(shí)域分析；本章將研究電路中的電壓和電流隨復(fù)頻率的變化。2024/12/280:02培養(yǎng)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)能力目標(biāo)素養(yǎng)目標(biāo)1)熟練掌握常用信號(hào)的拉普拉斯變換。2)熟練掌握拉普拉斯反變換的部分分式法。3)熟練掌握電路元件的復(fù)頻域電壓電流關(guān)系及電路的復(fù)頻域模型。4)掌握電路定律的復(fù)頻域形式及線性電路的復(fù)頻域分析方法。1)能夠?qū)ΤＳ眯盘?hào)進(jìn)行拉普拉斯變換。2)能夠應(yīng)用電路的基本定理對(duì)電路進(jìn)行分析計(jì)算。3)能夠應(yīng)用部分分式法進(jìn)行拉普拉斯反變換。4)會(huì)把給定電路變換為復(fù)頻域模型。1）具有創(chuàng)造性思維、創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。2）具有良好合作交流能力及團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神。3）具有安全意識(shí)，自覺(jué)遵守規(guī)章制度。4）具有良好的工程意識(shí)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ髯黠L(fēng)，自覺(jué)遵守工程規(guī)范。5）具有社會(huì)責(zé)任心與節(jié)能和環(huán)境保護(hù)意識(shí)。一、拉普拉斯變換的定義

7.1拉普拉斯變換及其性質(zhì)

定義：由電氣一個(gè)定義在[0，∞]區(qū)間的函數(shù)f（t）它的拉普拉斯變換（簡(jiǎn)稱拉氏變換）定義為：

象函數(shù)

：F（s）即為函數(shù)f（t）的拉普拉斯變換，F(xiàn)（s）稱為f（t）的象函數(shù)。原函數(shù)：F（s）即為函數(shù)f（t）的拉普拉斯變換，f（t）稱為F（s）的原函數(shù)。拉氏變換存在條件:對(duì)于一個(gè)時(shí)域函數(shù)f（t），若存在正的有限值M和c，使得對(duì)于所有t滿足：f（t）的拉氏變換F（s）總存在。象函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系還可以表示為單邊氏變換收斂域復(fù)平面稱為s平面，水平軸稱為軸，垂直軸稱為軸，稱為收斂坐標(biāo)，通過(guò)的垂直線是收斂域的邊界稱為收斂軸。對(duì)于單邊拉氏變換，其收斂域位于收斂軸的右邊。單邊拉氏變換的收斂域

1．線性性質(zhì)二、拉普拉斯變換的基本性質(zhì)

a1，a2為常數(shù)

2．微分性質(zhì)推論若則3．積分性質(zhì)若則4．尺度性質(zhì)若則收斂區(qū)間

5．時(shí)移性質(zhì)若收斂區(qū)間

則表7-1常用信號(hào)的拉普拉斯變換三、常用信號(hào)的拉普拉斯變換例7-1已知f（t）=e-atu（t），試求其導(dǎo)數(shù)的拉氏變換

解：解法一：由基本定義式求：因?yàn)閒（t）導(dǎo)數(shù)為解法二：由微分性質(zhì)求

已知兩種方法結(jié)果相同，但后者考慮了f（0-）

例7-2衰減余弦的拉氏變換

解：經(jīng)查表7-1得

7.2拉普拉斯反變換定義

在計(jì)算出信號(hào)的拉普拉斯變換以后，通過(guò)反變換，可以將信號(hào)還原為其原函數(shù)。則由F（s）到f（t）的變換稱為拉普拉斯反變換，它的定義為例如拉普拉斯變換表示為拉普拉斯反變換表示為部分分式展開(kāi)法（Haviside展開(kāi)法）基本思想是根據(jù)拉氏變換的線性特性，將復(fù)雜的F（s）展開(kāi)為多個(gè)簡(jiǎn)單的部分的和，通過(guò)一些已知的拉氏變換的結(jié)果，得到的F（s）的原函數(shù)。假設(shè)F（s）可以表示成有理函數(shù)形式

式中，an、bm為實(shí)常數(shù)，n、m為正整數(shù)?？梢詫⑵渫ㄟ^(guò)部分分式展開(kāi)，表示為多個(gè)簡(jiǎn)單的有理分式之和。這里分幾種情況討論：1．m＜n，D（s）=0無(wú)重根假設(shè)D（s）=0的根為S1，S2，…Sn，則可以將F（s）表示為：常數(shù)Kk的求法：為了確定系數(shù)Kk，可以在上式的兩邊乘以因子（s-sk），再令s=sk，這樣上式右邊只留下Kk項(xiàng)，便有求得系數(shù)Kk后，則與F（s）對(duì)應(yīng)的時(shí)域函數(shù)可表示為

例7-3求的原函數(shù)f（t）解:

首先將F（s）化為真分式

令解得：

s1=-1，s1=-2，s1=-3所以F（s）的真分式可展成部分分式系數(shù)K1、K2、K3為

F（s）可展開(kāi)為則得：2．m＜n，D（s）=0有重根

若D（s）=0只有一個(gè)r重根s1，即s1=s2=s3=…sr，而其余（n-r）個(gè)全為單根，則D（s）可寫成F（s）展開(kāi)的部分分式為例7-4求的原函數(shù)f（t）

解:由于D（s）=0有復(fù)根，根據(jù)D（s）=0有重根F（s）展開(kāi)的部分分式為各系數(shù)為所以原函數(shù)3．m≥n時(shí)先通過(guò)長(zhǎng)除，將其變?yōu)橐粋€(gè)關(guān)于s的真分式和多項(xiàng)式的和7.3動(dòng)態(tài)線性電路的復(fù)頻域模型一、基爾霍夫定律的復(fù)頻域形式

KCL和KVL的時(shí)域形式分別為設(shè)RLC系統(tǒng)（電路）中支路電流i（t）和支路電壓u（t）的單邊拉普拉斯變換分別為I（s）和U（s），得到

1.電阻元件

二、動(dòng)態(tài)電路元件的S域模型

設(shè)線性時(shí)不變電阻R上電壓u（t）和電流i（t）的參考方向關(guān)聯(lián)，則R上電流和電壓關(guān)系的時(shí)域形式為單邊拉普拉斯變換

U（s）=RI（s）（a）（b）圖7-3R的時(shí)域和S域模型（a）時(shí)序模型（b）頻域模型

2.電感元件

關(guān)聯(lián)方向：（a）（b）圖7-4電感L的時(shí)域和零狀態(tài)S域模型（a）時(shí)序模型（b）頻域模型電感L的時(shí)域模型如圖7-4（a）所示。設(shè)i（t）的初始值i（0_）=0（零狀態(tài)），u（t）和i（t）的單邊拉普拉斯變換分別為U（s）和I（s），對(duì)上式取單邊拉普拉斯變換，根據(jù)時(shí)域微分、積分性質(zhì)，得

U（s）=sLI（s）若電感L的電流i（t）的初始值i（0_）不等于零，如圖7-5所示電感元件的非零狀態(tài)S域模型，對(duì)電感元件VAR的時(shí)域式取單邊拉普拉斯變換，可得圖7-5電感元件的非零狀態(tài)S域模型3.電容元件

關(guān)聯(lián)方向若u（t）的初始值u（0_）=0（a）（b）圖7-6電容元件的時(shí)域和零狀態(tài)S域模型（a）時(shí)序模型（b）頻域模型

u（t）的初始值u（0-）不等于零

（a）（b）圖7-7電容元件的非零狀態(tài)S域模型1.線性電路的復(fù)頻域等效模型7.4線性電路的復(fù)頻域法求解畫s域模型過(guò)程中要特別注意三點(diǎn):1）對(duì)于具體的電路，只有給出的初始狀態(tài)是電感電流和電容電壓時(shí)，才可方便地畫出s域等效電路模型，否則就不易直接畫出，這時(shí)不如先列寫微分方程再取拉氏變換較為方便。2）不同形式的等效s域模型其電源的方向是不同的，千萬(wàn)不要弄錯(cuò)。3）在作s域模型時(shí)應(yīng)畫出其所有內(nèi)部電源的象電源，并特別注意其參考方向例7-5

電路如圖7-8（a）所示，激勵(lì)為e（t），響應(yīng)為i（t），求s域等效模型及響應(yīng)的s域方程。解:s域等效模型如圖7-8（b）所示，列KVL方程:（a）（b）圖7-8例7-5圖（a）電路系統(tǒng)（b）s域網(wǎng)絡(luò)模型解出其中，Z（s）為s域等效阻抗。2線性電路的復(fù)頻域法求解線性電路的復(fù)頻域法求解步驟：1）由換路前電路計(jì)算uc（0-），iL（0-）。2）畫s域等效模型電路圖。3）應(yīng)用電路分析方法求象函數(shù)。4）反變換求原函數(shù)。解

作s域模型如圖7-9（b）所示。初始條件以內(nèi)部象電流源形式