2024-2025學(xué)年江西省贛州市大余縣高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題（含解析）

2024-2025學(xué)年江西省贛州市大余縣高二上學(xué)期12月聯(lián)考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，若a1a2a3＝15，且＝，則a2＝（

）A．2 B．C．3 D．2．已知函數(shù)，若數(shù)列滿足，則（

）A．1 B．2 C．4 D．3．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)：1，1，2，3，5，8，13，…該數(shù)列的特點(diǎn)是：前兩個(gè)數(shù)都是1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”，若{an}是“斐波那契數(shù)列”，則的值為（

A． B．1 C． D．24．已知數(shù)列滿足，設(shè)，為數(shù)列的前n項(xiàng)和.若對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)t的最小值為（

）A．1 B．2 C． D．5．?dāng)?shù)列滿足，，則（

）A． B． C． D．6．定義：如果函數(shù)在區(qū)間上存在，滿足，，則稱函數(shù)是在區(qū)間上的一個(gè)雙中值函數(shù)，已知函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．7．已知曲線與恰好存在兩條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C．（0，1） D．8．設(shè)直線與函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)．則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共4小題）9．設(shè)是各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，q是其公比，是其前n項(xiàng)的積，且，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．與均為的最大值10．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對(duì)于任意的，，都有，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．C．若該數(shù)列的前三項(xiàng)依次為，，，則D．?dāng)?shù)列為遞減的等差數(shù)列11．對(duì)于函數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（

）A．在處取得極大值B．有兩個(gè)不同的零點(diǎn)C．D．若在(0,+∞)上恒成立，則12．已知等比數(shù)列首項(xiàng)，公比為，前項(xiàng)和為，前項(xiàng)積為，函數(shù)，若，則（

）A．為單調(diào)遞增的等差數(shù)列 B．C．為單調(diào)遞增的等比數(shù)列 D．使得成立的的最大值為6三、填空題（本大題共4小題）13．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，，則.14．朱載堉（1536-1611）是中國(guó)明代一位杰出的音樂(lè)家、數(shù)學(xué)家和天文歷算家，他的著作《律學(xué)新說(shuō)》中制作了最早的“十二平均律”．十二平均律是目前世界上通用的把一組音（八度）分成十二個(gè)半音音程的律制，各相鄰兩律之間的頻率之比完全相等，亦稱“十二等程律”，即一個(gè)八度13個(gè)音，相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等，且最后一個(gè)音是最初那個(gè)音的頻率的2倍．設(shè)第三個(gè)音的頻率為，第七個(gè)音的頻率為，則．15．已知是，的等差中項(xiàng)，是，的等比中項(xiàng)，則.16．已知函數(shù)在R數(shù)上單調(diào)遞增，且，則的最小值為，的最小值為.四、解答題（本大題共6小題）17．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，從條件①，②，③中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，并給出解答．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，________．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前n和．18．已知為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，.（1）求和的通項(xiàng)公式；（2）對(duì)任意的正整數(shù)，設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．已知函數(shù)()．（1）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，．20．已知數(shù)列滿足（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求證.21．設(shè)函數(shù)（1）若函數(shù)在上遞增，在上遞減，求實(shí)數(shù)的值.（2）討論在上的單調(diào)性；（3）若方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.22．已知函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性.（2）是否存在，對(duì)任意，總存在，使得成立？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案1．【正確答案】C【詳解】∵∵＝，即，則∵a1a2a3＝15，∴＝，∴a2＝3.故選：C.2．【正確答案】C【詳解】由題意，函數(shù)，且數(shù)列滿足，所以，，，，，，所以數(shù)列的周期為4，所以.故選：C.3．【正確答案】B由已知數(shù)列的特點(diǎn)依次求出，，，的值，發(fā)現(xiàn)這些數(shù)依次為，進(jìn)而可求出答案【詳解】由題設(shè)可知，斐波那契數(shù)列{an其特點(diǎn)為：前兩個(gè)數(shù)為1，從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，由此可知：，，，，，則.故選：B.4．【正確答案】C先求出的通項(xiàng)，再利用裂項(xiàng)相消法可求，結(jié)合不等式的性質(zhì)可求實(shí)數(shù)t的最小值.【詳解】時(shí)，，因?yàn)?，所以時(shí)，，兩式相減得到，故時(shí)不適合此式，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以；所以t的最小值；故選：C.5．【正確答案】C【詳解】由題知：設(shè)，則，所以.又因?yàn)?，所以，，，，，即，解?因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，?故選：C6．【正確答案】A【詳解】，∵函數(shù)是區(qū)間上的雙中值函數(shù)，∴區(qū)間上存在，滿足∴方程在區(qū)間有兩個(gè)不相等的解，令，則，解得∴實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選:A．7．【正確答案】B【詳解】的導(dǎo)數(shù)為的導(dǎo)數(shù)為設(shè)與曲線相切的切點(diǎn)為與曲線相切的切點(diǎn)為(s，t)，則有公共切線斜率為又，即有，即為，即有則有即為令則，當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增，即有處取得極大值，也為最大值，且為由恰好存在兩條公切線，即s有兩解，可得a的取值范圍是，故選:B8．【正確答案】A【詳解】由題意得，，則．設(shè)函數(shù)，，則，易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，，所以的值域?yàn)?，故的取值范圍是．故選：A.9．【正確答案】BD【分析】結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)依次分析選項(xiàng)即可.【詳解】由題意知，：由得，由得，所以，又，所以，故錯(cuò)誤；：由得，故正確；：因?yàn)槭歉黜?xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，，有所以，所以，故錯(cuò)誤；：，則與均為的最大值，故正確.故選：10．【正確答案】AC令，則，根據(jù)，可判定A正確；由，可判定B錯(cuò)誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可判定C正確；，根據(jù)，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】令，則，因?yàn)?，所以為等差?shù)列且公差，故A正確；由，所以，故B錯(cuò)誤；根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可得，所以，，故，故C正確；由，因?yàn)?，所以是遞增的等差數(shù)列，故D錯(cuò)誤.故選：AC.1、作差比較法：根據(jù)的符號(hào)，判斷數(shù)列是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列或是常數(shù)列；2、作商比較法：根據(jù)或與1的大小關(guān)系，進(jìn)行判定；3、數(shù)形結(jié)合法：結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)的圖象直觀判斷.11．【正確答案】ACD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：函數(shù)定義域?yàn)?0,+∞)，，令可得，令可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在時(shí)取得極大值，故選項(xiàng)A正確對(duì)于選項(xiàng)B：令，可得，因此只有一個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)B不正確；對(duì)于選項(xiàng)C：顯然，在單調(diào)遞減，可得，因?yàn)?，即，故選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：由題意知：在(0,+∞)上恒成立，令則，因?yàn)橐字?dāng)時(shí).，當(dāng)時(shí)，，所以在時(shí)取得極大值也是最大值，所以，所以在上恒成立，則，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.12．【正確答案】BCD【分析】令，利用可得，，B正確；由可得A錯(cuò)誤；由可得C正確；由，，可推出，可得D正確.【詳解】令，則，，，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，所以，即，，，B正確；，是公差為的遞減等差數(shù)列，A錯(cuò)誤；，是首項(xiàng)為，公比為的遞增等比數(shù)列，C正確；，，，時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，，時(shí)，，又，，所以使得成立的的最大值為6，D正確.故選：BCD關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用等比數(shù)列的性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式、數(shù)列的單調(diào)性求解是解題關(guān)鍵.13．【正確答案】1189【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，由，可得所以，所以，?18914．【正確答案】【詳解】將每個(gè)音的頻率看作等比數(shù)列，利用等比數(shù)列知識(shí)可求得結(jié)果.【詳解】由題知：一個(gè)八度13個(gè)音，且相鄰兩個(gè)音之間的頻率之比相等，可以將每個(gè)音的頻率看作等比數(shù)列，一共13項(xiàng)，且，最后一個(gè)音是最初那個(gè)音的頻率的2倍，，，，．故關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：構(gòu)造等比數(shù)列求解是解題關(guān)鍵.15．【正確答案】由題意得，，消去，可得，化簡(jiǎn)得，得，則有【詳解】由題設(shè)可知：由是，的等差中項(xiàng)，則①，是，的等比中項(xiàng)，則②，則有①②可知：③，，，則將③式變形得：，即，則.故答案為.16．【正確答案】；【分析】根據(jù)條件分析出，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性分析出的最小值.將待求式子變形為關(guān)于的式子，利用基本不等式以及函數(shù)單調(diào)性求解出的最小值.【詳解】解：因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，則，所以，所以，又因?yàn)?，所以，則，又因?yàn)?，，令函?shù)，在恒成立，在上單調(diào)遞減，所以，所以的最小值為，取等號(hào)時(shí)，所以，又因?yàn)?，取等?hào)時(shí)，且函數(shù)，，在上遞增，所以，所以的最小值為，取等號(hào)時(shí)；故；.易錯(cuò)點(diǎn)睛：利用基本不等式求解最值時(shí)，一定要注意取等號(hào)的條件是否能滿足，若不滿足則無(wú)法直接使用基本不等式，轉(zhuǎn)而利用對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性分析更方便.17．【正確答案】任選三條件之一，都有（1）；（2）．【詳解】選條件①時(shí)，（1）時(shí)，整理得，所以.（2）由（1）得：，設(shè)，其前項(xiàng)和為，所以①，②，①②得：，故，所以.選條件②時(shí)，（1）由于，所以①，當(dāng)時(shí)，②，①②得：，，整理得，所以.（2）由（1）得：，設(shè)，其前項(xiàng)和為，所以①，②，①②得：，故，所以.選條件③時(shí)，由于，

①②①②時(shí)，，整理得（常數(shù)），所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.所以.（2）由（1）得：，設(shè)，其前項(xiàng)和為，所以①，②，①②得：，故，所以.18．【正確答案】（1），；（2）.【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.，，，分別利用“”法和“”法求解.（2）由（1）知當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，然后分別利用裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法求和，然后相加即可.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為q.因?yàn)椋?，所以，解得d=1.所以的通項(xiàng)公式為.由，又q≠0，得，解得q=2，所以的通項(xiàng)公式為.（2）當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，對(duì)任意的正整數(shù)n，有，①由①得②由①②得，，，所以.所以.所以數(shù)列的前2n項(xiàng)和為.本題主要考查等差數(shù)列、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，分組求和、裂項(xiàng)相消法和錯(cuò)位相減法求和，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于較難題.19．【正確答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析．（1）由題意轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，再參變分離后得，利用圖象求的取值范圍；（2）首先構(gòu)造函數(shù)()，求函數(shù)的二次導(dǎo)數(shù)，分析函數(shù)的單調(diào)性，并求函數(shù)的最值，并證明不等式.【詳解】（1）的定義域?yàn)?，，若函?shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則有兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，等同于，即水平直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)(不是的切線)，令，的定義域?yàn)?，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，則為的極大值，也為最大值，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，且為正數(shù)，則的圖像如圖所示，則此時(shí)；（2）證明：令()，則只需證明當(dāng)時(shí)恒成立即可，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，，，則，則在時(shí)單調(diào)遞增，又，∴時(shí)，，則在時(shí)單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，．方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).其中一種重要的技巧就是找到函數(shù)在什么地方可以等于零，這往往就是解決問(wèn)題的突破口.20．【正確答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析.（1）由題可知數(shù)列為等比數(shù)列，公比，進(jìn)一步求出的通項(xiàng)公式，所以，利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）利用對(duì)數(shù)列進(jìn)行放縮，化簡(jiǎn)求出答案.【詳解】（1），所以數(shù)列為等比數(shù)列，公比，所以，所以（2）證明：21．【正確答案】（1）.（2）答案見(jiàn)解析.（3），證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由于函數(shù)在上遞增，在上遞減，由單調(diào)性知是函數(shù)的極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)，所以，∵，故，此時(shí)滿足是極大值點(diǎn)，所以；（2）∵，∴，①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增.②當(dāng)，即或時(shí)，，∴在上單調(diào)遞減.③當(dāng)且時(shí)，由得.令得；令得.∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上，當(dāng)時(shí)，在上遞增；當(dāng)或時(shí)，在上遞減；當(dāng)且時(shí)，在上遞增，在上遞減.（3）令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；故在處取得最小值為，又當(dāng)，所以函數(shù)大致圖象為：由圖象知.不妨設(shè)，則有，要證，只需證即可，令，則在上單調(diào)遞增，故即，，.22．【正確答案】（1）答案見(jiàn)解析；（2）存在，.（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再對(duì)a進(jìn)行分類討論，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）對(duì)a進(jìn)行分類討論，分為，，三種情況，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，從而進(jìn)行分析求解即可.【詳解】（1）由，得，當(dāng)