2024-2025學年河南省南陽市高二上學期11月期中數(shù)學質(zhì)量評估試題（含解析）

2024-2025學年河南省南陽市高二上學期11月期中數(shù)學質(zhì)量評估試題一、單選題（本大題共8小題）1．若向量是直線的一個方向向量，則直線的傾斜角為（

）A． B． C． D．2．下列橢圓的形狀更接近于圓的是（

）A． B．C． D．3．已知點與關于直線對稱，則的值分別為（

）A．1，3 B．， C．-2，0 D．，4．已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線C：的焦點，點在C上，且，則C的方程為（）A． B．C． D．5．雙曲線：的左右焦點分別為，，一條漸近線方程為，若點在雙曲線上，且，則（

）A．7 B．9 C．1或9 D．3或76．橢圓上的兩點A，B關于直線對稱，則弦的中點坐標為（）A． B． C．?1,1 D．7．已知P為拋物線上的一點，過P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則的最小值是（）A． B． C． D．8．已知雙曲線的左右焦點分別為，且，直線過且與該雙曲線的一條漸近線平行，與雙曲線的交點為，若的內(nèi)切圓半徑恰為，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．以下四個命題為真命題的是（）A．若、、三點共線，則m的值為2B．直線的傾斜角的范圍是C．已知點，，過點的直線與線段相交，則直線的斜率k的取值范圍是D．直線與直線平行，則10．已知，直線：過定點A，：過定點B，與交于點M，則下列結論正確的是（）A． B．點M的軌跡方程是C．的最大值是25 D．的最大值為11．曲線C是平面內(nèi)與兩個定點，的距離的積等于3的點P的軌跡，則下列結論正確的是（）A．曲線C關于坐標軸對稱 B．點P到原點距離的最大值為2C．周長的最小值為 D．點P到y(tǒng)軸距離的最大值為三、填空題（本大題共3小題）12．方程表示焦點在x軸上的橢圓，則實數(shù)k的取值范圍是.13．已知，，，若平面內(nèi)滿足到直線：的距離為1的點P恰有3個，則.14．已知P，Q分別在直線：與直線：上，且，點，，則的最小值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知拋物線，焦點為.(1)求的坐標及拋物線的準線方程；(2)已知點是拋物線上的一個動點，定點，則當點在拋物線C上移動時，求的最小值.16．已知點P是直線：與直線：的交點.(1)求過點P且在兩坐標軸上截距相等的直線方程；(2)設Q為圓E：上的一個動點，求中點M的軌跡方程.17．已知橢圓C：的左焦點為F，若C的焦距為且經(jīng)過點，過點F的直線交橢圓于P，Q兩點.(1)求橢圓方程；(2)若直線與x軸不垂直，在x軸上是否存在點使得恒成立?若存在，求出的值；若不存在，說明理由.18．已知雙曲線C：的焦點到漸近線的距離為1，A，B分別是C的左、右頂點，P是C上異于A，B的一點，直線，的斜率之積為.(1)求雙曲線C的方程；(2)已知過點的直線：，交C的左、右兩支于D，E兩點（異于A，B）.①求m的取值范圍；②若，其中O為坐標原點，求直線的方程.19．通過研究，已知對任意平面向量，把繞其起點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到向量，叫作把點B繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)角得到點P.(1)已知平面內(nèi)點，點，把點B繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到點P，求點P的坐標：(2)已知二次方程的圖象是由平面直角坐標系下某標準橢圓繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)所得的斜橢圓C，（i）求斜橢圓C的離心率；（ⅱ）過點作與兩坐標軸都不平行的直線交斜橢圓C于點M，N，過原點O作直線與直線垂直，直線交斜橢圓C于點G，H，判斷是否為定值，若是，請求出定值，若不是，請說明理由.

答案1．【正確答案】A【詳解】設直線的傾斜角為，若向量是直線的一個方向向量，則直線的斜率為，因為，所以.故選：A.2．【正確答案】D【詳解】對于A，，，則，所以；對于B，，，則，所以；對于C，，，則，所以；對于D，，，則，所以.因為，所以橢圓的形狀更接近于圓.故選：D.3．【正確答案】B點關于直線對稱，則利用垂直關系，以及線段的中點在直線上，列式求解.【詳解】，若點與關于直線對稱，則直線與直線垂直，直線的斜率是，所以，得.線段的中點在直線上，則，得故選:B4．【正確答案】B【詳解】由拋物線的定義，可知，又，，則，即，由點在C上，得，結合，解得.所以C的方程為.故選：B.5．【正確答案】B【詳解】由，可得，則.又因在雙曲線，則由雙曲線定義，有，可得.故選：B6．【正確答案】A【詳解】設，則其中點坐標為，則，兩式相減可得，即，因為A，B關于直線對稱，則，又，所以，即，所以，且點在直線上，則，解得，所以.故選：A7．【正確答案】B【詳解】由圓的方程，則圓心，半徑，結合題意作圖如下：由與圓相切，則，且，設Px,y，則，可得，的最小值為，的最大值為.故選：B.8．【正確答案】D【詳解】設雙曲線的半焦距為，則，由對稱性，不妨令與平行的漸近線為，則直線方程為：，即，設的內(nèi)切圓與三邊相切的切點分別為，，，如圖所示，

則，即，而軸，圓半徑為，則，點到直線的距離：，整理得，且，解得，又因為，可得，所以雙曲線的離心率，故選：D.9．【正確答案】BCD【詳解】對于A，取，，由題意可得，解得，故A錯誤；對于B，由直線方程，則斜率，由，則，設直線的傾斜角為，則，由，解得，故B正確；對于C，設，由題意可作圖如下：直線的斜率，直線的斜率，由圖可知直線繞點按逆時針旋轉(zhuǎn)到直線，則，解得，故C正確；對于D，由題意可得，則，，解得a=2或，當a=2時，，不合題意；當a=?1時，，符合題意，故D正確.故選：BCD.10．【正確答案】AB【詳解】對A,,所以，故A正確；對于B，直線：可化為，所以定點為，直線：可化為，定點為，因為，所以，設Mx,y，則，所以，化簡可得，故B正確；對于C，根據(jù)選項B可得，所以，當且僅當時，等號成立，此時的最大值是，故C錯誤；對于D，設，則，所以，即的最大值為，故D錯誤；故選：AB.11．【正確答案】ABC【詳解】設，由題意可得，整理可得曲線，設，則，對于A，任意取曲線的點，即，點關于軸的對稱點為，，顯然成立，所以曲線關于軸對稱，同理可得曲線關于軸對稱，故A正確；對于B，由是與的中點，則，，當共線時，取得最大值，，且，取得最大值，所以取得最大值，故B正確；對于C，的周長為，當且僅當，等號成立，故C正確；對于D，在中，由余弦定理可得，當且僅當時，等號成立，取得最大值，所以的面積取得最大值，點到軸的距離取得最大值，故D錯誤.故選：ABC.12．【正確答案】【分析】根據(jù)焦點在x軸上的橢圓方程的特征得到不等式，求出實數(shù)k的取值范圍.【詳解】，解得，故實數(shù)k的取值范圍是.故答案為.13．【正確答案】【詳解】設，由，得，整理得，，即點P的軌跡是圓，圓心在原點，半徑為2.由題意，該圓上恰有3個點到直線的距離為1，則圓心到直線的距離為1，即，解得.故答案為.14．【正確答案】/【詳解】因為，，所以直線與間的距離為，又，故，過作直線垂直于，如圖，則可設直線的方程為，代入，得，則，所以直線的方程，將沿著直線往上平移個單位到點，設，則，解得或（舍去），則，連接交直線于點P，過P作于Q，連接BQ，有，即四邊形為平行四邊形，則，即有，顯然是直線上的點與點距離和的最小值，因此的最小值，即的最小值，因為，，所以，所以的最小值為.故答案為.15．【正確答案】(1)，準線方程為.(2)3【詳解】（1）將拋物線：化為標準方程得，，其焦點坐標為0,1，準線方程為.（2）由拋物線的定義知，點P到焦點的距離即為點P到準線的距離，為點P到定點的距離與點P到準線的距離之和，要使得最小，則點P，A在一條垂直于準線的直線上，故最小值即為點到準線的距離為3，所以，的最小值為3.16．【正確答案】(1)或.(2).【詳解】（1）聯(lián)立方程組，解得，所以點P的坐標為.若直線的截距為0，即直線經(jīng)過原點，則直線方程為，即；若直線的截距不為0，設直線方程為，將點代入，得，此時直線方程為，所以，過點P且在兩坐標軸上截距相等的直線方程為或.（2）設點，點，由點M是線段的中點可得，解得，由于點在圓：上，所以，化簡得，所以點M的軌跡方程為.17．【正確答案】(1)(2)存在，【詳解】（1）由題意，，即，則①；又點在橢圓C上，故②，聯(lián)立①②解方程組得，，，所以橢圓C的方程為.（2）假設存在點，使得恒成立，易知點，設點Px1,y設直線的方程為：，聯(lián)立方程組得，，則由根與系數(shù)的關系得，，，（*）若滿足，則，即，整理得，，又，，代入上式得，，整理得，，將（*）式代入得，，又，解得，故存在點使得恒成立.18．【正確答案】(1).(2)①或；②或.【詳解】（1）設雙曲線的一個焦點為，漸近線方程為，即，根據(jù)題意，，雙曲線的方程為.設點Px0,y0由，得，，根據(jù)題意，，解得，所以雙曲線C的方程為.（2）（i）設點，，聯(lián)立方程組得，，易知恒成立，由根與系數(shù)的關系，，.因為直線與雙曲線左右兩支相交，所以m需滿足，解得或.（ii）由圖易知，，則，所以，解得或，由（i）知，得，直線的方程為，即或.19．【正確答案】(1)；(2)（i）；（ⅱ）是，2.【分析】（1）借助所給定義計算即可得；（2）（i）計算出該斜橢圓的長軸長與焦距，結合離心率定義計算即可得；（ⅱ）法一：設出直線，，聯(lián)立斜橢圓方程可得與交點橫坐標有關韋達定理，結合弦長公式即可表示出，計算即可得；法二：將所有點、直線與曲線都繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)后，再設出直線，旋轉(zhuǎn)后方程，聯(lián)立標準方程可得與交點縱坐標有關韋達定理，結合弦長公式即可表示出，計算即可得.【詳解】（1）由已知可得，則，設，則，所以，，即點P的坐標為；（2）（i）由與交點為和，則，由與交點為和，則，所以，；（ⅱ）法一：設直線：，，，與斜橢圓聯(lián)立：，有，∵