2024-2025學(xué)年海南省?？谑懈叨蠈W(xué)期期中考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年海南省?？谑懈叨蠈W(xué)期期中考試數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測試卷一、單選題（本大題共8小題）1．復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．設(shè)，向量，，且，則（

）A． B． C．10 D．3．直線與直線平行，則的值為（

）A． B． C． D．或4．在四面體中，，點在上，且,為中點，則（

）A． B．C． D．5．已知圓錐的底面周長為，其側(cè)面展開圖的圓心角為，則該圓錐的體積為()A． B． C． D．6．袋中有5個大小相同的小球，其中3個白球，2個黑球.從袋中隨機(jī)摸出1個小球，觀察顏色后放回，同時放入一個與其顏色大小相同的小球，然后再從袋中隨機(jī)摸出1個小球，則兩次摸到的小球顏色不同的概率為（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，當(dāng)時，恒成立，設(shè)則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．8．將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，若在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列選項正確的是（

）A．若直線的一個方向向量為，則與直線垂直B．“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件C．點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為D．已知，點，直線上有一動點，當(dāng)取得最小值時，點的坐標(biāo)為10．已知點是圓上一動點，則下列說法正確的是（

）A．的最小值是0 B．的最大值為1C．的最大值為 D．的最小值為11．已知正六棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為，所有頂點均在球的球面上，則（

）A．直線與直線異面B．若是側(cè)棱上的動點，則的最小值為C．直線與平面所成角的正弦值為D．球的表面積為三、填空題（本大題共3小題）12．若，滿足，且，則.13．已知點和直線，則點到直線的距離最大值為．14．已知圓，圓，若圓平分圓的周長，則.四、解答題（本大題共5小題）15．記的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，已知.(1)求；(2)若，，求的周長.16．已知圓.(1)若直線l經(jīng)過點，且與圓C相切，求直線l的方程；(2)若圓與圓C相切，求實數(shù)m的值.17．如圖，在四棱錐中，平面平面，，，，，，，點是的中點．

(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．18．“中式八球”是受群眾歡迎的臺球運動項目之一.在一場“中式八球”邀請賽中，甲、乙、丙、丁4人角逐最后的冠軍，本次邀請賽采取“雙敗淘汰制”.具體賽制如下：首先，4人通過抽簽兩兩對陣，勝者進(jìn)入“勝區(qū)”，敗者進(jìn)入“敗區(qū)”；接下來，“勝區(qū)”的2人對陣，勝者進(jìn)入最后的決賽，“敗區(qū)”的2人對陣，敗者直接淘汰出局，獲得第四名；緊接著，“敗區(qū)”的勝者和“勝區(qū)”的敗者對陣，勝者晉級最后的決賽，敗者獲得第三名；最后，剩下的2人進(jìn)行最后的冠亞軍決賽，勝者獲得冠軍，敗者獲得第二名.現(xiàn)假定甲對陣乙、丙、丁獲勝的概率均為，且不同對陣的結(jié)果相互獨立.(1)經(jīng)抽簽，第一輪由甲對陣乙，丙對陣丁.若.（I）求甲連勝三場獲得冠軍的概率；（Ⅱ）求甲在“雙敗淘汰制”下獲得冠軍的概率；(2)除“雙敗淘汰制”外，“中式八球”也經(jīng)常采用傳統(tǒng)的“單敗淘汰制”；抽簽決定兩兩對陣，勝者晉級，敗者淘汰，直至決出最后的冠軍.問當(dāng)p滿足什么條件時，“雙敗淘汰制”比“單敗淘汰制”更利于甲在此次邀請賽中奪冠?19．已知圓過，，三點．(1)求圓的方程；(2)求圓與圓：的公共弦長；(3)已知，P為圓上任意一點，在y軸上是否存在定點N（異于點M），使得為定值？若存在，求點N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

答案1．【正確答案】D【詳解】，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，位于第四象限．故選：D2．【正確答案】D【詳解】由向量，，因為，可得，解得，所以，所以.故選：D.3．【正確答案】C【分析】求出已知二直線不相交時的a值，再驗證作答.【詳解】依題意，直線與直線平行或重合時，，解得或，當(dāng)時，直線與直線重合，當(dāng)時，直線與直線平行，所以的值為.故選：C4．【正確答案】B【詳解】點在線段上，且，為中點，，，．故選B．5．【正確答案】A【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，高為，由題意，，，，∴，體積為，故選：A．6．【正確答案】B【詳解】若第一次從袋中摸出個白球，則放入個白球，第二次摸出黑球的概率為，若第一次從袋中摸出個黑球，則放入個黑球，第二次摸出白球的概率為，故兩次摸到的小球顏色不同的概率為.故選B.【思路導(dǎo)引】分第一次從袋中摸出個白球，一次從袋中摸出個黑球兩種情況可求解.7．【正確答案】A【詳解】因為當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又的圖像關(guān)于直線對稱，所以，因為，所以，即.故選：A8．【正確答案】C【詳解】由，將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象，則，由，，得，又在上單調(diào)遞增，則，，解得，即，又，則當(dāng)時，，即的取值范圍是．故選：C．9．【正確答案】ACD【詳解】對于A，直線的方向向量為，由，直線與直線垂直，A選項正確；對于B，時，直線和直線也互相垂直，B選項錯誤；對于C，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)為，則有，解得，C選項正確；對于D，已知點和點都在直線上方，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，所以，解得，可得直線的方程為，即，故，解得，故當(dāng)取得最小值時，P點的坐標(biāo)為，故D正確.故選：ACD.10．【正確答案】AD【分析】由可看成與原點間的連線的斜率，設(shè)，結(jié)合直線與圓有交點，求得的值，可判定A正確，B不正確；由表示點到原點的距離，結(jié)合圓的性質(zhì)，可判定C錯誤；設(shè)，結(jié)合直線與圓有公共點，列出不等式，求得的范圍，可判定D正確.【詳解】由圓，可化為，可得圓心坐標(biāo)為，半徑，當(dāng)時，可看成與原點間的連線的斜率，設(shè)，即，所以直線與圓M有交點，由，解得，所以的最小值為，無最大值，所以A正確，B不正確；由表示點到原點的距離，又由，所以的最大值為，即的最大值為，所以C錯誤；設(shè)，可得，當(dāng)直線與圓有公共點時，則，解得，所以的最小值為，所以D正確.故選：AD.11．【正確答案】BD【分析】由直線的位置關(guān)系判斷A，由展開圖求最短距離判斷B，建立空間直角坐標(biāo)系，由空間向量坐標(biāo)運算判斷C，根據(jù)對稱性可知，正六棱柱的外接球的球心在上下底面的中心的連線的中點處,由球的表面積公式判斷D．【詳解】對于A，如圖①，連接，，則，，所以，所以直線與直線共面，故A錯誤；對于B，將平面沿著翻折到與平面共面的位置，得到矩形，如圖②所示．因為底面邊長為2，，所以，則的最小值為，故B正確；對于C，以為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸、軸、軸，建立如圖①所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，所以，，．設(shè)平面的法向量為，則，即，令，得，所以平面的一個法向量為．設(shè)直線與平面所成角為，則，故C錯誤；對于D，如圖③，設(shè)球的半徑為，根據(jù)對稱性可知，正六棱柱的外接球的球心在上下底面的中心的連線的中點處.,則，所以球的表面積，故D正確．

故選：BD關(guān)鍵點睛：本題考查空間異面直線的判斷，展開求最值問題，線面角的求法以及幾何體的外接問題.對于選項B的關(guān)鍵是將包含線段的兩個平面展開在同一平面然后由共線時線段和最小，得出答案；對于外接球問題的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的特征先確定出球心的位置，從而得出球體的半徑，屬于難題.12．【正確答案】【詳解】依題意，，所以.故13．【正確答案】【詳解】由，即，令，解得，則直線恒過定點，當(dāng)時，點到直線的距離最大，此時最大距離為.故答案為.14．【正確答案】【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，將兩圓方程作差可得，因為圓平分圓的周長，則這兩圓相交，且相交弦所在直線的方程為，由題意可知，直線過圓心，所以，，解得.故答案為.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）在中，由正弦定理得.因為，所以，.化簡得.在中，由余弦定理得.又因為，所以.（2）由，可得，又B∈0,π，所以，得到，即，所以，，又，由正弦定理得，得到，解得，，故的周長為.16．【正確答案】(1)或(2)或【詳解】（1）若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為，與圓C相切，符合題意.若直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，即，則，解得，所以直線l的方程為.綜上，直線l的方程為或.（2）圓的方程可化為.若圓與圓C外切，則，解得.若圓與圓C內(nèi)切，則，解得.綜上，或.17．【正確答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）因，點是的中點，則,因平面平面，且平面平面,平面，故平面，又平面,故.（2）

如圖，取中點,連接，由（1）知平面，，可得,因，故,則可分別以為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.又，，，，則,于是，,設(shè)平面的一個法向量為，則，故可取，設(shè)直線與平面所成角為，則，即直線與平面所成角的正弦值為.18．【正確答案】(1)（I）；（Ⅱ）(2)【分析】（1）結(jié)合對立事件概率和獨立事件概率公式求解即可；（2）結(jié)合對立事件概率和獨立事件概率公式再作差比較計算.【詳解】（1）記甲在第i場比賽獲勝的事件為，，2，3，4，則，.由不同對陣結(jié)果相互獨立，（I）甲連勝三場獲得冠軍的概率為.（Ⅱ）甲在“雙敗淘汰制”下獲得冠軍的情況有：勝勝勝、勝敗勝勝、敗勝勝勝，故概率為.（2）“雙敗淘汰制”下甲奪冠的概率為：.“單敗淘汰制”下甲奪冠的概率為.令得，解得.所以當(dāng)時，“雙敗淘汰制”比“單敗淘汰制”更利于甲在此次邀請賽中奪冠.19．【正確答案】(1)(2)(3)存在定點【詳解】