浙江省北斗星盟2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

絕密★考試結(jié)束前高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共4頁(yè)，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字。3．所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效。4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙。選擇題部分一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知直線的一個(gè)方向向量為，則它的傾斜角為（）A．B．C．D．2．已知圓，則以下選項(xiàng)中與圓內(nèi)切的圓的方程為（）A．B．C．D．3．已知雙曲線的方程是，它的兩個(gè)焦點(diǎn)分別是與，M是雙曲線上的一點(diǎn)，且，則的值為（）A．1B．13C．1或13D．4或104．已知是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，則（）A．2B．3C．4D．55．已知，則點(diǎn)D到平面ABC的距離為（）A．3B．C．D．6．在四棱臺(tái)中，平面ABCD，，且，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則直線CP與平面ABCD所成角正弦值的最大值為（）A．B．C．D．7．設(shè)橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)M，N在C上，且點(diǎn)M，N關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)M在橢圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形面積的最大值是，則橢圓C的焦距為（）A．B．6C．D．8．記圓錐的側(cè)面是曲面，且曲面平面，其中l(wèi)是圓錐的一條母線，則稱平面是“平面”，“平面”上不與l平行且不與l重合的直線稱為“圓錐的斜切直線”．已知直線a是圓錐的“斜切直線”，且直線a經(jīng)過(guò)圓錐某條母線的中點(diǎn)，若圓錐的體積是，底面面積是，且圓錐底面中心C到直線a的距離是，則直線l與圓錐底面夾角的正弦值為（）A．B．C．D．二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分。9．已知圓，直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)，則以下四個(gè)選項(xiàng)中正確的是（）A．圓C的圓心坐標(biāo)是B．C．D．的面積是10．如圖，把正方形紙片ABCD沿著AE（E是線段BC的中點(diǎn)）翻折成平面，O是原正方形的中心，則在翻折過(guò)程中，以下說(shuō)法正確的是（）A．B．與BD所成角的最大值是C．若F是CD的中點(diǎn)，則與平面ABCD所成角的正弦值的最大值是D．過(guò)B做AE的垂線與AE交于點(diǎn)H，11．已知曲線，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則以下說(shuō)法正確的是（）A．記曲線圍成的面積是S，則B．若，直線l與曲線交于不同的兩點(diǎn)B，C，的最小值是C．當(dāng)時(shí)，有2條不同的直線l，直線l與曲線有3個(gè)不同的交點(diǎn)D．若，設(shè)點(diǎn)B是曲線上的任意一點(diǎn)，則非選擇題部分三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知等比數(shù)列滿足，則___________．13．在棱長(zhǎng)為6的正方體中，E，F(xiàn)分別是線段OA，OC上的動(dòng)點(diǎn)，直線和平面所成的角為，則點(diǎn)B到直線EF的最大距離為_(kāi)_________．14．已知橢圓，左、右焦點(diǎn)分別為在直線上有一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作兩條直線，其中與橢圓相切于點(diǎn)D，經(jīng)過(guò)點(diǎn)與橢圓交于點(diǎn)B，C當(dāng)時(shí)，__________．四、解答題：本大題共5小題，共77分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。15．（13分）已知數(shù)列是公比不為1的等比數(shù)列，前n項(xiàng)和為，且滿足．（1）求數(shù)列的公比；（2）若是遞增數(shù)列且，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．16．（15分）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，左右焦點(diǎn)分別是與，過(guò)的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，周長(zhǎng)的為16．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若橢圓上有且只有3個(gè)點(diǎn)到直線的距離為1，求m．17．（15分）如圖，三角形PAB和菱形ABCD所在平面垂直，且．線段BC的中點(diǎn)為E．（1）當(dāng)時(shí)，證明：直線平面ABCD；（2）當(dāng)時(shí)，求平面PAB和平面PDE夾角的正弦值．18．（17分）已知平面上的動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與直線的距離相等．（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）已知圓C方程是，過(guò)點(diǎn)P的兩條直線分別與圓C相切于點(diǎn)A，B．（i）記四邊形PACB的面積是S，若．求點(diǎn)P縱坐標(biāo)的取值范圍；（ii）設(shè)直線PA，PB的斜率是，若，求的取值范圍．19．（17分）取整函數(shù)被廣泛的應(yīng)用于數(shù)論，函數(shù)繪圖和計(jì)算機(jī)領(lǐng)域，其定義如下：設(shè)，不超過(guò)x的最大整數(shù)稱為x的整數(shù)部分，記作，函數(shù)稱為取整函數(shù)另外也稱是x的整數(shù)部分已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，其中，求k的值；（3）求證：為8的倍數(shù)其中．（參考公式：）高二年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科參考答案一、選擇題題號(hào)12345678答案CBBDBADD1．【C】因?yàn)橹本€的方向向量為，所以直線的斜率，即傾斜角正切值，所以傾斜角為．2．【B】圓心坐標(biāo)，半徑對(duì)于A選項(xiàng)，此時(shí)圓心坐標(biāo)為，半徑為2，圓心距為，舍去對(duì)于B選項(xiàng)，此時(shí)圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心距為，符合題意對(duì)于C選項(xiàng)，此時(shí)圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心距為，舍去對(duì)于D選項(xiàng)，此時(shí)圓心坐標(biāo)為，半徑為，圓心距為，舍去3．【B】由題意得：或13，又不符題意，舍去．4．【D】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則，解方程組得．5．【B】由題意得：，設(shè)平面ABC的法向量為，則有：令，解得又點(diǎn)D到平面ABC的距離為6．【A】如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)重合時(shí)，直線CP與平面ABCD所成角正弦值最大為．7．【D】由題意得：，由余弦定理得：，解得①又當(dāng)M，N分別為橢圓得上、下頂點(diǎn)時(shí)，四邊形面積最大，②，又③①②③聯(lián)立解得：焦距為．8．【D】如圖建立坐標(biāo)系，設(shè)A為母線的中點(diǎn)且在直線a上，平面的法向量．不妨取直線a上一點(diǎn)使得，此時(shí)，可得，可以令，則所以此時(shí)底面中心到直線a的距離，解得而底面的法向量，記直線a與底面所成角為，所以．二、選擇題91011ABABDAD9．【AB】解析：對(duì)于A選項(xiàng)，，因此圓心的坐標(biāo)是；對(duì)于B選項(xiàng)，圓心到直線的距離是，則；對(duì)于C選項(xiàng)，，因此C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，，因此D選項(xiàng)錯(cuò)誤．10．【ABD】解析：對(duì)于A選項(xiàng)，，則平面．對(duì)于B選項(xiàng)，，直線BD與直線的夾角，就是直線AH與AH的夾角，設(shè)，當(dāng)在平面ABCD時(shí)，，因此直線BD與直線的夾角最大值是．對(duì)于C選項(xiàng)，如圖所示，的軌跡是圓G，當(dāng)與圓G相切時(shí)，則與平面ABCD所成角的正弦值的最大，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是2，因此C選項(xiàng)錯(cuò)誤．對(duì)于D選項(xiàng)，與都是等腰三角形，，因此．11．【AD】解析：對(duì)于A選項(xiàng)，該曲線的圖象如圖所示，與x軸的交點(diǎn)是，因此該封閉圖形的面積由一個(gè)正方形和四個(gè)半圓組成，計(jì)算可得正方形的面積是，半圓的半徑是，四個(gè)半圓的面積是，因此；對(duì)于B選項(xiàng)，若過(guò)的直線l與曲線相交，則當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，交點(diǎn)落在以為圓心，半徑是n的圓上，而其他直線與曲線的交點(diǎn)都在圓外，但是曲線也經(jīng)過(guò)，因此不是最小值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，如圖所示，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)A在曲線外，若直線l與曲線有3個(gè)不同的交點(diǎn)，因此這樣的直線l有4條，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，無(wú)論點(diǎn)在曲線內(nèi)還是曲線外，到曲線上點(diǎn)的最大值可以轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到如圖所示的四個(gè)圓上的點(diǎn)的最大值，由對(duì)稱性可知，點(diǎn)到四個(gè)圓上的點(diǎn)的最大值在左上圓或者左下圓取到，則最大值是．三、填空題12．213．14．012．2解析：已知等比數(shù)列滿足，則13．解析：如圖1所示，過(guò)點(diǎn)O做平面的垂線，垂足是G，延長(zhǎng)與底面相交，交點(diǎn)是L，由于，則點(diǎn)L的軌跡是圓，如圖2所示，設(shè)直線OL的傾斜角是，則，因此圓O的切線方程是，則點(diǎn)B到直線的距離是．當(dāng)時(shí)，“=”成立．所以點(diǎn)B到直線EF的最大值是．圖1圖214．0設(shè)點(diǎn)，直線的斜率為直線的斜率為由于直線與橢圓相切，所以直線DP的方程為：，因?yàn)辄c(diǎn)P在切線上，將點(diǎn)P代入，化簡(jiǎn)可得①而，所以②將①式和②式聯(lián)立可得，，化簡(jiǎn)得③又因?yàn)?，即，而所以，將③式代入化?jiǎn)，可得，解得或（舍去）所以軸，即點(diǎn)P此時(shí)為直線和x軸的交點(diǎn)，故四、解答題15．（1）解：由（2分）化簡(jiǎn)得，解得或（6分）（2）由題可知，（8分）兩式相減得：，化簡(jiǎn)得（13分）16．解：周長(zhǎng)（2分）橢圓，將代入解得：（4分）所以橢圓方程為（6分）（2）由題意得，到1的距離為1的點(diǎn)的軌跡是與l平行的兩條直線，可設(shè)為，則得或（8分）因?yàn)椋詸E圓與相交且與相切由方程組消去y，得．①方程①的根的判別式．由，得（12分）所以同理：所以（15分）17．（1）當(dāng)時(shí)，又，所以故為等腰直角三角形，（2分）取CD中點(diǎn)F，連AF因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，，所以所以因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，且交線為AB所以平面PAB，故（6分）所以平面ABCD（7分）（2）如圖建系因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD，可設(shè)所以，解得，（10分）所以（10分）又平面PAB的法向量，設(shè)平面PDE的法向量則所以，化簡(jiǎn)得，令，所以故（12分）記平面PAB和平面PDE夾角為，所以所以．（15分）18．解析：（1）設(shè)點(diǎn)，由于動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)的距離與直線的距離相等則點(diǎn)P的軌跡是拋物線，拋物線的方程是．（4分）（2）若，可以轉(zhuǎn)化為，設(shè)點(diǎn)，則，則，（7分）聯(lián)立圓方程與橢圓方程，解得，則拋物線與圓只相較于，而過(guò)只能做圓C的一條切線，因此，所以（8分）（3），可得，可得（10分）設(shè)PA的方程是，化簡(jiǎn)可得由相切可得，整理可得（13分），（16分）所以（17分