《常微分方程》課件第8章

第8章定性理論8.1解的穩(wěn)定性8.2一般定性理論的概念8.3平面動力系統(tǒng)8.4結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性、分支與混沌8.5首次積分8.6守恒系統(tǒng) 8.1解的穩(wěn)定性

1.李雅普諾夫穩(wěn)定性

考慮方程組(8.1)即對任給的ε>0,都有δ>0,使得只要|ξ-ξ0|<δ,就有

然而如果將有限區(qū)間τ≤t≤T換成無限區(qū)間t≥τ，情況就大不相同了，這時初值的微小變化有可能引起解的巨大變化.例8.1

初值問題的飽和解為它對所有t≥τ有定義.因為φ(t,τ,0)≡0，所以|φ(t,τ,ξ)-φ(t,τ,0)|=|ξ|et-τ，它在無限區(qū)間t≥τ上是無界的，不論|ξ|多么小，只要它不為零.

研究解在無限區(qū)間上對初值的連續(xù)性，便導致李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性問題.

假設(shè)解x=φ(t,τ,ξ0)在t≥τ上有定義.如果對任意選定的ε>0,都對應存在δ>0,使得當|ξ-ξ0|<δ時，解x=φ(t,τ,ξ)在t≥τ上有定義，且滿足注8.1

如果解x=φ(t,τ,ξ0)在t≤τ上有定義，則也可以引出負向穩(wěn)定性的概念.但是在一般情況下，我們只考慮正向穩(wěn)定性.

例8.2

如果n維齊次線性方程組(A(t)是n×n矩陣函數(shù))(8.2)任給ε>0，存在t0>0，當t≥t0時,有從而知道解x=x(t)是穩(wěn)定的，再由式(8.2)知它也是漸近穩(wěn)定的.

2.按第一近似決定穩(wěn)定性

若作未知函數(shù)的變換：則方程組(8.1)化為方程組(8.1)的解x=φ(t,τ,ξ0)對應于上述方程組的零解y=0.因此我們不妨設(shè)方程組(8.1)有零解x=0，而且在適當?shù)目晌⑿约僭O(shè)下，方程組(8.1)可改寫為(8.3)其中R(t,x)是f(t,x)關(guān)于x的展開式中所有高于一次項的總和.齊次線性方程組(8.4)稱為方程組(8.3)的第一近似方程組.

基于這種背景，我們假設(shè)A(t)在t≥τ上連續(xù)，R(t,x)在t≥τ,|x|<H上連續(xù)，局部地滿足李氏條件，R(t,0)≡0，且對t≥τ一致地有(8.5)

我們先討論如何判定方程組(8.4)零解的穩(wěn)定性.定理8.1

設(shè)Φ(t)是方程組(8.4)的一個基本解矩陣.方程組(8.4)的零解:

(1)是穩(wěn)定的，當且僅當Φ(t)在t≥0上有界；

(2)是漸近穩(wěn)定（實際上是全局漸近穩(wěn)定）的，當且僅當定理8.2

當A(t)是常矩陣A時，方程組(8.4)的零解:

(1)是漸近穩(wěn)定（也是全局漸近穩(wěn)定）的，當且僅當A的全部特征根都有負的實部；

(2)是穩(wěn)定的，當且僅當A的全部特征根的實部是非正的，并且那些實部為零的特征根對應的若爾當小塊都是一階的；

(3)是不穩(wěn)定的，當且僅當A的特征根中至少有一個實部為正，或者至少有一個實部為零，而它所對應的若爾當小塊是高于一階的.

這兩個定理容易從通解結(jié)構(gòu)定理推出.

方程組(8.3)的零解穩(wěn)定性能不能由第一近似方程組(8.4)的零解穩(wěn)定性決定呢？人們曾對此并不懷疑.李雅普諾夫第一個指出，在一般情形下，對上述問題的回答是否定的.同時他也正面肯定了在很廣泛的條件下，方程組(8.3)的零解的穩(wěn)定性可由其第一近似方程組(8.4)來決定.定理8.3

設(shè)A(t)是常矩陣A.

(1)若A的全部特征根都具有負的實部，則方程組(8.3)的零解是漸近穩(wěn)定的；

(2)若A的特征根中至少有一個具有正的實部，則方程組(8.3)的零解是不穩(wěn)定的.

證明

結(jié)論(1)、結(jié)論(2)的證明可參看參考文獻［7］第13章定理1.2.證明分以下三步：

①把方程組(8.3)的解x=φ(t,τ,ξ)簡記為φ(t).應用常數(shù)變易公式，在x=φ(t)的定義區(qū)間上，有(8.6)由于A的全部特征根實部為負，因此存在正數(shù)K和ρ，使得當t≥τ時有(8.7)由條件(8.5)知，存在正數(shù)δ，使得當|x|≤δ及t≥τ時有(8.8)

②應用格朗沃爾不等式，由此推出(8.9)

③應用延展定理，由式(8.9)知，必有t1=∞.再由式(8.9)及漸近穩(wěn)定的定義即得結(jié)論(1)成立.

為了應用定理8.3,人們需要考察矩陣A的特征根的實部.下述的結(jié)果常被使用（見參考文獻［27］）.命題8.1

設(shè)是一實系數(shù)多項式.記D1=a1，和其中ai=0(i>n).那么，P(λ)=0所有根的實部均是負的，當且僅當Dk>0(k=1,…,n)，并且ai>0(i=1,…,n).

所謂臨界情形，即A的特征根中沒有實部為正但有實部為零的情形，方程組(8.3)的零解的穩(wěn)定性不能應用定理8.3來判定.這時方程組(8.3)的零解的穩(wěn)定性視具體情況而定.

例8.3

討論方程組零解的穩(wěn)定性，其中σ是常數(shù)，取值-1、0和1.

解容易算出它的第一近似方程組系數(shù)矩陣的特征根是±i，因此定理8.3不能用.但是容易看出，對上述方程組的任何解x=x(t),y=y(t)有若x=x(t),y=y(t)滿足初值條件x(0)=x0,y(0)=y0，則由上式可解出由此看出：當σ=-1時，零解全局漸近穩(wěn)定；當σ=0時，零解穩(wěn)定；當σ=1時，零解不穩(wěn)定.例8.4

討論方程組所以解x=0,y=C是不穩(wěn)定的.

3.李雅普諾夫第二方法

為了處理穩(wěn)定性問題，李雅普諾夫創(chuàng)立了兩種著名的方法，即第一方法和第二方法.第一方法要利用微分方程的級數(shù)解，在他之后沒有得到多大發(fā)展.第二方法又稱為直接方法，是尋求某個與所考慮微分方程有關(guān)的所謂李雅普諾夫函數(shù)，根據(jù)這種函數(shù)的特征直接去判斷解的穩(wěn)定性.例8.5中的x2+y2正是這樣的函數(shù).例8.5

討論方程組(8.10)零解的穩(wěn)定性，其中σ是常數(shù)，取值-1、0和1.解取函數(shù)(8.11)記方程組(8.10)滿足初值條件x(τ)=x0,y(τ)=y0的解為x=x(t),y=y(t),則解之，得由此可見，當σ=-1時，方程組(8.10)的零解是全局漸近穩(wěn)定的；當σ=0時是穩(wěn)定的；當σ=1時是不穩(wěn)定的.

該例中的函數(shù)式(8.11)正是方程組(8.10)的李雅普諾夫函數(shù).

現(xiàn)在一般介紹李雅普諾夫第二方法.為簡單計，我們只考慮右端不顯含自變量t的方程組(8.12)其中x和f(x)都是n維列向量.這種方程組稱為自治方程組，或稱為駐定系統(tǒng).

假設(shè)f(0)=0（因而方程組(8.12)有零解），f(x)在域上連續(xù)，且局部地滿足李氏條件.

設(shè)V(x)為定義在(8.13)上的連續(xù)可微純量函數(shù).如果則稱V(x)是式(8.13)上的定正（定負）函數(shù)；如果則稱V(x)是式(8.13)上的常正（常負）函數(shù).

引進記號(8.14)其中fi(x)是f(x)的第i個分量，則通常被稱為函數(shù)V(x)沿著方程組(8.12)的方向?qū)?shù).

下面的結(jié)果就是經(jīng)典的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理，它巧妙地將微分方程解的穩(wěn)定性的判定與構(gòu)造具有某種性質(zhì)的純量函數(shù)（習慣上稱為李雅普諾夫函數(shù)）聯(lián)系起來.定理8.4

設(shè)V(x)是式(8.13)上的定正函數(shù).

(1)如果式(8.14)是常負函數(shù)，則方程組(8.12)的零解是穩(wěn)定的；

(2)如果式(8.14)是定負函數(shù)，則方程組(8.12)的零解是漸近穩(wěn)定的；

(3)如果式(8.14)是定正函數(shù)，則方程組(8.12)的零解是不穩(wěn)定的.

從而由此，注意到記號rε的定義就知根據(jù)延展定理，上式包含t1=∞.這就證明了結(jié)論(1).

再證(2).按假設(shè)，式(8.14)是定負的，自然更是常負的，故由結(jié)論(1)知，方程組(8.12)的零解是穩(wěn)定的.還要證明的是，存在δ0>0，使得當|ξ|<δ0時，(8.15)取δ0>0，使得當|ξ|<δ0,t≥τ時，|φ(t,τ,ξ)|<h.根據(jù)結(jié)論(1),這樣的δ0是存在的.

由于φ(t,τ,ξ)在t≥τ上有界，因此必存在遞增地趨于+∞的tk，使得(8.16)

另一方面，對任何t>τ，根據(jù)式(8.14)的定負性，當tk>t時有由此，注意到tk是遞增的，令k→+∞,取極限就得到(8.17)

由于方程組(8.12)是自治的，根據(jù)唯一性定理，對任何k,φ(t+tk,τ,ξ)與φ［t+τ,τ,φ(tk,τ,ξ)］必恒等（因為二者都是方程組(8.12)的解，而在t=0時取同樣的初值）.特別就有從而

最后證明(3).用反證法.假設(shè)零解是穩(wěn)定的，即對任給的ε>0，恒存在δ(ε)>0，使得(8.18)任取ξ≠0,|ξ|<δ(ε).由式(8.14)的定正性，首先有從而存在α>0，使得|φ(t,τ,ξ)|≥α.據(jù)此，按式(8.14)的定正性，存在β>0，使得積分得由式(8.18)知，上式左端是有界的，而右端是無界的.這一矛盾表明結(jié)論(3)成立.

當一個微分方程組的零解為穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定或不穩(wěn)定時，是否一定存在相應的李雅普諾夫函數(shù)？這便是著名的李雅普諾夫反問題.已有研究表明：對這個問題的回答是肯定的（見參考文獻［34］）.但是理論上存在和實際上能否具體構(gòu)造出來是兩回事.如何構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)，沒有一般的方法可遵循，至今仍是一個吸引人的研究課題.例8.6

討論方程組(8.19)零解的穩(wěn)定性，其中f(x,y)和g(x)連續(xù)，且在原點(0,0)附近f(x,y)≥0,xg(x)>0(x≠0).

解取函數(shù)則它在原點附近是定正的，且是常負的，故由定理8.4知方程組(8.19)的零解是穩(wěn)定的.例8.7

討論方程組(8.20)零解的穩(wěn)定性.

解取函數(shù)

例8.8討論方程組(8.21)零解的穩(wěn)定性.

解嘗試選取函數(shù)其中a,b,c>0待定.注意到例8.9

假設(shè)常系數(shù)線性方程組和系數(shù)矩陣的特征值都具有負的實部，試找一個二次型V(x,y)使其按方程組對t的全導數(shù)并從V的性質(zhì)討論方程組的零解的穩(wěn)定性.

解設(shè) ，則由此得代數(shù)方程組解得所以由于原方程組的特征方程的根都具有負的實部，即有于是Δ=(a+d)(ad-bc)<0，因而A>0,AC-B2>0.

因此二次型 是正定的，則是負定的，所以方程組的零解是漸近穩(wěn)定的. 8.2一般定性理論的概念

假設(shè)一個運動質(zhì)點M在時刻t的空間坐標為x=(x1,…,xn)，并且已知它在x點的運動速度為v(x)=(v1(x),…,vn(x))，它只與空間坐標x有關(guān).則我們推得質(zhì)點M的運動方程為(8.22)它是一個自治微分方程.如果函數(shù)v(x)滿足微分方程解的存在和唯一性定理的條件，則對于任何初值條件(8.23)方程(8.22)存在唯一的滿足初值條件(8.23)的解(8.24)它描述了質(zhì)點M在t0時刻經(jīng)過x0點的運動.我們稱x取值的空間Rn為相空間，而稱(t,x)取值的空間R1×Rn為增廣相空間.按照微分方程的幾何解釋，方程(8.22)在增廣相空間中定義了一個線素場，而解式(8.24)在增廣相空間中的圖像是一條通過點(t0,x0)與線素場吻合的光滑曲線（亦即積分曲線）.

現(xiàn)在我們從運動的觀點給出另一種幾何解釋：方程(8.22)在相空間中的每一點x，給出了一個速度向量(8.25)因而它在相空間中定義了一個速度場(或稱向量場)；而解的表達式(8.24)在相空間中給出了一條與速度場(8.25)吻合的光滑曲線（稱它為軌線），其中時間t為參數(shù)，且參數(shù)t0對應于軌線上的點x0.隨著時間t的演變，質(zhì)點的坐標x(t)在相空間中沿著軌線變動，通常用箭頭在軌線上標明相應于時間t增大時質(zhì)點的運動方向.

須注意，積分曲線是增廣相空間中的曲線，而軌線則是相空間中的曲線.容易看出，積分曲線沿t軸向相空間的投影就是相應的軌線.而且軌線有明顯的力學意義：它是質(zhì)點M運動的軌跡.

由于在一般情形下得不出解式(8.24)的明顯表達式，因此我們面臨的任務是：從向量場式(8.25)的特性出發(fā)，去獲取軌線的幾何特征，或者更進一步，去弄清軌線族的拓撲結(jié)構(gòu)圖（稱為相圖）.因此，微分方程的定性理論又稱做幾何理論.

如果x0是速度場(8.25)的零點，即v(x0)=0，則方程(8.22)有一個定常解x=x0.換句話說，點x0就是一條（退化的）軌線.這時我們稱點x0為方程(8.22)的一個平衡點,它表示了運動的一種平衡態(tài).今后我們會看到，在平衡點附近的軌線可能出現(xiàn)各種奇怪的分布，而且當t→∞（或-∞）時，其他軌線有可能趨向（或遠離）平衡點.通常，把方程(8.22)的平衡點叫做奇點.

如果解式(8.24)是一個非定常的周期運動，即存在T>0，使得則它在相空間中的軌線是一條閉曲線，亦即閉軌.隨著t→∞，質(zhì)點M在閉軌上作周而復始的運動.

在定性理論中，對奇點和閉軌的分析是一個基本的問題.例8.10

設(shè)質(zhì)點M(x,y)在oxy平面上運動，已知它在(x,y)點的速度v(x,y)具有如下的水平與垂直分量：則質(zhì)點的運動方程為(8.26)應用極坐標，令x=rcosθ，y=rsinθ,可以把方程(8.26)轉(zhuǎn)化為然后由此積分得

(1)當(x0,y0)=(0,0)時，軌線就是奇點(0,0).此時，(0,0)是系統(tǒng)式(8.26)的唯一平衡點.

(2)當(x0,y0)點在單位圓周Γ之上時，相應的軌線就是閉軌Γ，它以逆時針方向為正向.

(3)當(x0,y0)點在Γ之內(nèi)并且不同于點(0,0)時，相應的軌線是Γ內(nèi)的非閉曲線.當t→+∞時，它逆時針盤旋趨向于平衡點(0,0)；當t→-∞時，它順時針盤旋趨于閉軌Γ.

(4)當(x0,y0)點在Γ之外時,相應的軌線就是Γ外部的非閉曲線，而且當t→-∞時，它順時針盤旋趨于Γ.圖8.1圖8.2

下面是動力系統(tǒng)的幾個基本性質(zhì).

（1）積分曲線的平移不變性：即系統(tǒng)式(8.22)的積分曲線在增廣相空間中沿t軸任意平移后還是系統(tǒng)式(8.22)的積分曲線.事實上，設(shè)x=φ(t)是系統(tǒng)式(8.22)的一個解，則由方程的自治性可以直接驗證：對任意的常數(shù)C，x=φ(t+C)也是系統(tǒng)式(8.22)的解.

(2）過相空間每一點軌線的唯一性：即過相空間中的任一點，系統(tǒng)式(8.22)存在唯一的軌線通過此點.圖8.3性質(zhì)（1）和性質(zhì)（2）說明，每條軌線都是增廣相空間中沿t軸可平移重合的一族積分曲線在相空間中的投影，而且只是這族積分曲線的投影.

此外，由性質(zhì)（1）還可知道，系統(tǒng)式(8.22)的解式(8.24)的一個平移φ(t-t0,0,x0)也是系統(tǒng)式(8.22)的解，并且容易看出它與解式(8.24)一樣滿足相同的初值條件式(8.23),從而由解的唯一性得知它們應該恒等，即因此，在系統(tǒng)式(8.22)的解族中我們只需考慮相應于初始時刻t0=0的解，并簡記為

(3）群的性質(zhì)：系統(tǒng)式(8.22)的解φ(t,x0)滿足關(guān)系式:(8.27)注8.2

假設(shè)對于任意的x0∈Rn，系統(tǒng)式(8.22)的解φ(t,x0)都在-∞<t<+∞上存在(不難證明：如果系統(tǒng)式(8.22)不具有此性質(zhì)，那么系統(tǒng)

注意，性質(zhì)②是前面性質(zhì)(3)的一個等價寫法.從性質(zhì)②中不僅可以看出集合Σ中元素對復合運算的封閉性，而且顯示了對復合運算的結(jié)合律和交換律；這使得Σ在變換的復合運算下做成一個加法群(現(xiàn)在得以明了，我們?yōu)槭裁窗研再|(zhì)(3)叫做群的性質(zhì)).性質(zhì)①說明，φ0是群中的單位元，而從性質(zhì)①和②不難得出，φ-t是φt的逆元.這種具有性質(zhì)①與③的單參數(shù)連續(xù)變換群稱為一個抽象動力系統(tǒng)(拓撲動力系統(tǒng))；如果再要求φt是可微的，則稱它為微分動力系統(tǒng).這是近二三十年來發(fā)展很快的一個研究方向.注8.3

對于非自治系統(tǒng):(8.28)上面的性質(zhì)(1)～(3)不再成立.但我們可以把它視為高一維空間上的自治系統(tǒng).事實上，令則系統(tǒng)式(8.28)等價于n+1維相空間中的自治系統(tǒng):當然，維數(shù)的升高一般會使討論的難度增大.8.3平面動力系統(tǒng)考慮平面動力系統(tǒng)(8.29)其中X(x,y)和Y(x,y)在平面R2上連續(xù)可微.

我們將對系統(tǒng)的奇點和閉軌附近軌線的形態(tài)及其全局結(jié)構(gòu)進行一個簡要的考察.由于平面本身的特殊性，使得平面動力系統(tǒng)的軌線分布比較單純，因而相應的理論也比較完善.8.3.1奇點

先研究系統(tǒng)式(8.29)的奇點的性質(zhì).不失一般性，我們只考慮奇點是坐標原點的情形.這是因為經(jīng)簡單變換，系統(tǒng)式(8.29)的任一奇點都能化成原點，而后者是另一自治系統(tǒng)的奇點.假設(shè)系統(tǒng)式(8.29)在點(0,0)附近能寫成如下形式：(8.30)其中A是二階實數(shù)矩陣，R(x,y)在點(0,0)附近連續(xù)可微，R(0,0)=0，且這里

如果detA≠0，則稱(0,0)是系統(tǒng)式(8.30)的初等奇點；否則稱它為高階奇點.容易想到在奇點(0,0)附近，系統(tǒng)式(8.30)的軌線分布應該和它的第一近似方程組(8.31)的相似.當(0,0)是初等奇點時，情況基本上是這樣（見定理8.5）.下面我們在假設(shè)detA≠0的前提下，詳細地來分析方程組(8.31)的軌線分布情況.

根據(jù)矩陣化標準型的定理，經(jīng)一非奇異線性變換，可將方程組(8.31)化成另一方程組，其系數(shù)矩陣為實標準型.記p=-trA,q=detA.對于初等奇點，即當q≠0時，存在下列幾種情形：不妨設(shè)矩陣A已具有上述標準型之一，下面分別加以討論.

(1) .容易得到方程組(8.31)的通解為故方程組(8.31)的全部軌線可表示為和其中c1、c2、c都是任意常數(shù).這時又有三種情形：

①λ=μ.方程組(8.31)的軌線是由原點及自原點出發(fā)但不含原點的全體射線組成的，這時稱奇點(0,0)為星型結(jié)點或臨界結(jié)點.依λ的符號有如圖8.4所示的兩種相圖.圖8.4②λ≠μ且λμ>0.當時，方程組(8.31)的軌線除了y軸上的兩條軌線外，其他軌線均在原點與x軸相切；當 時，除了x軸上的兩條軌線外，其他軌線均在原點與y軸相切.當λ、μ<0時，方程組(8.31)的零解(0,0)是穩(wěn)定的；當λ、μ>0時，零解(0,0)是不穩(wěn)定的.我們稱此種奇點(0,0)為兩向結(jié)點或正常結(jié)點.相圖如圖8.5所示.圖8.5③λμ<0.這時方程組(8.31)的軌線除了在x軸上的兩條和y軸上的兩條軌線外，均以x軸和y軸為其漸近線，這種奇點(0,0)稱為鞍點.相圖如圖8.6所示.這時方程組(8.31)的零解(0,0)是不穩(wěn)定的.圖8.6

(2) .這時方程組(8.31)的通解為故方程組(8.31)的全部軌線可表示為和

x=0由此知和因此，方程組(8.31)的每一軌線都在原點與y軸相切.這時稱(0,0)為單向結(jié)點或退化結(jié)點.依λ的符號有如圖8.7所示的兩種相圖.圖8.7

(3),即A有一對共軛復特征根.令x=rcosθ,y=rsinθ.則方程組(8.31)化為(8.32)其通解為從而方程組(8.31)的全部軌線的極坐標形式為(8.33)其中c≥0為任意常數(shù).易見，當c>0時，曲線族式(8.33)都不通過點(0,0).由式(8.32)的第二式知，β的符號決定了軌線的盤旋方向.確切地說，β>0時，沿逆時針方向；β<0時，沿順時針方向.相圖依α的不同符號分為三種：α<0時，曲線族式(8.33)是螺線族，當t→+∞時盤旋地趨近于點(0,0)，因而是穩(wěn)定的，這時奇點(0,0)稱為穩(wěn)定焦點；α>0時，曲線族式(8.33)仍為螺線族，只是當t→-∞時盤旋地趨于點(0,0)，這時我們稱(0,0)為不穩(wěn)定焦點；α=0時，曲線族式(8.33)成為以(0,0)為心的同心圓族，因而奇點(0,0)是穩(wěn)定的，但不是漸近穩(wěn)定的.它稱為中心點.相圖如圖8.8所示.圖8.8綜合上面的討論，我們有如下判定初等奇點類型的結(jié)果.

定理8.5

設(shè)p=-trA,q=detA.則有:

(1)當q>0,p2=4q時，(0,0)為單向結(jié)點或星型結(jié)點；

(2)當q>0，p2>4q時，（0，0）為兩向結(jié)點；

(3)當q<0時，(0,0)為鞍點；

(4)當q>0，0<p2<4q時，(0,0)為焦點；

(5)當q>0,p=0時，(0,0)為中心點.

此外，在情形(1)、(2)、(4)中，奇點(0,0)的穩(wěn)定性由p的符號來決定：當p>0時，(0,0)是穩(wěn)定的；而當p<0時，(0,0)是不穩(wěn)定的.

定理8.6

(1)如果(0,0)是方程組(8.31)的焦點，則它也是方程組(8.30)的焦點，并且它們的穩(wěn)定性相同；

(2)如果(0,0)是方程組(8.31)的鞍點或兩向結(jié)點，則它也是方程組(8.30)的鞍點或兩向結(jié)點，并且有相同的穩(wěn)定性；

(3)如果(0,0)是方程組(8.31)的單向結(jié)點，又對任意ε>0，都有(8.34)則(0,0)也是方程組(8.30)的單向結(jié)點，并且穩(wěn)定性相同；

(4)如果(0,0)是方程組(8.31)的星型結(jié)點，又R(x,y)滿足條件式(8.34),則(0,0)也是方程組(8.30)的星型結(jié)點，并且穩(wěn)定性相同.

還可以證明：如果(0,0)是方程組(8.31)的雙曲奇點，即矩陣A的特征值的實部都異于零，則只要R(x,y)及其導數(shù)足夠小，方程組(8.30)就局部拓撲等價于方程組(8.31)，即在(0,0)的一個小鄰域內(nèi)，存在一個同胚變換（即本身及其逆都連續(xù)的變換）將方程組(8.30)的軌線變到方程組(8.31)的軌線，并且還保持軌線的方向.這時我們稱方程組(8.31)在(0,0)附近是局部結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的.這樣的結(jié)果對高維動力系統(tǒng)同樣成立.8.3.2極限環(huán)

下面研究系統(tǒng)式(8.29)的極限環(huán)，即孤立閉軌的性質(zhì).我們將通過研究極限環(huán)來考察平面動力系統(tǒng)式(8.29)的軌線分布.所謂孤立的閉軌,是指存在閉軌的一個鄰域，使得在此鄰域內(nèi)系統(tǒng)別無其他軌線.極限環(huán)的穩(wěn)定性，習慣上是指通常意義下的閉軌的漸近穩(wěn)定性,設(shè)Γ是系統(tǒng)式(8.29)的一個極限環(huán).如果存在Γ的一個鄰域，使得從這個鄰域內(nèi)點出發(fā)的軌線在t→+∞(t→-∞)時都盤旋趨于Γ，則稱Γ是穩(wěn)定（不穩(wěn)定）的.如果存在Γ的一側(cè)(內(nèi)側(cè)或外側(cè))鄰域，使得從這個鄰域內(nèi)點出發(fā)的軌線在t→+∞(t→-∞)時都盤旋趨于Γ，則稱Γ是單側(cè)穩(wěn)定(不穩(wěn)定)的.有時也稱一側(cè)穩(wěn)定而另一側(cè)不穩(wěn)定的極限環(huán)為半穩(wěn)定極限環(huán).例8.11

考慮方程組作極坐標變換x=rcosθ，y=rsinθ,這時方程組變?yōu)橛纱巳菀淄瞥鰔2+y2=1是極限環(huán)，并且是穩(wěn)定的.

定理8.7

設(shè)x=φ(t)是系統(tǒng)式(8.29)的一條軌線，它的ω極限集Ω+非空，有界且不含奇點,則Ω+恰是系統(tǒng)式(8.29)的一條閉軌.

這個定理是平面定性理論的基礎(chǔ)，它的證明完全依賴于平面上的若爾當曲線分離定理.這個定理的證明可在相關(guān)微分方程定性理論的專著中找到.

由定理8.7可推出如下簡明而有用的定理.定理8.8（龐加萊-本迪克松環(huán)域定理）設(shè)D是由兩條簡單閉曲線Γ1和Γ2所圍成的環(huán)域，并且在D=Γ1∪D∪Γ2上，系統(tǒng)式(8.29)無奇點.如果從Γ1和Γ2上出發(fā)的軌線都離不開（或都不進入）D，而Γ1和Γ2均不是系統(tǒng)式(8.29)的閉軌，則D內(nèi)至少存在一條閉軌(見圖8.9).圖8.9這個定理的物理意義是很明顯的.設(shè)系統(tǒng)式(8.29)描述了平面流體運動,如果流體都從邊界流入D，D中又沒有源或匯，那么在D內(nèi)就有環(huán)流存在.這里源指不穩(wěn)定的結(jié)點和焦點，而匯則指穩(wěn)定的結(jié)點和焦點.通常Γ2稱為外境界線，Γ1稱為內(nèi)境界線.定理8.8雖然肯定了D內(nèi)有閉軌，但沒有說明閉軌是否是極限環(huán).可以證明:如果系統(tǒng)式(8.29)是解析向量場，即X(x,y)和Y(x,y)在D上解析，則D內(nèi)的閉軌都是極限環(huán).應該指出，在一般情形下，作這種環(huán)域本身就是很復雜的問題，沒有方法可遵循.然而對某些特殊類型的方程，如李納(Liénard)方程定理8.9（本迪克松準則）設(shè)X(x,y)、Y(x,y)在單連通區(qū)域D上是連續(xù)的.若在D的任何子區(qū)域中散度

判別系統(tǒng)(8.29)的極限環(huán)的個數(shù)及其相對位置是一個非常困難的問題，即使對多項式系統(tǒng)，即和是二元多項式（甚至是二次多項式）的情形，極限環(huán)個數(shù)的上界問題也未獲得完全解決，后者是1901年希爾伯特(Hilbert,1862-1943)提出的著名的23個數(shù)學難題中第16問題的后半部分.許多數(shù)學家對這一問題的研究作出了不懈的努力，其間充滿反復和曲折.一個重要的結(jié)果是：定理8.10（有限性定理）

任何多項式系統(tǒng)式(8.29)的極限環(huán)的個數(shù)在R2中都是有限的.

關(guān)于這方面的研究狀況可參看參考文獻［14］、［16］、［33］.

例8.12

證明方程組有唯一的閉軌C:x2+y2=1，并證明它是穩(wěn)定的極限環(huán).

證明作變換x=rcosθ，y=rsinθ,原方程組化為例8.13

設(shè)方程組

證明用反證法.假設(shè)原方程組有一條閉軌線C,C連同其內(nèi)部區(qū)域G全部被包含在D內(nèi)，因為D是單連通的，于是由Green公式有在區(qū)域D內(nèi)最多有一條閉軌線.證明

用反證法.假設(shè)方程組在D內(nèi)有兩條閉軌線C1和C2.C1和C2所圍區(qū)域記作G，則由Green公式有 8.4結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性、分支與混沌

8.4.1結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性與分支現(xiàn)象

我們曾在8.3節(jié)中介紹過動力系統(tǒng)在其奇點附近的局部結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性.結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的概念是由安德洛諾夫(Andronov,1901-1952)和龐特里亞金(Pontryagin,1908-1988)于1937年對平面系統(tǒng)引進的.幾十年來，關(guān)于結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的研究有了很大的發(fā)展.可以說近三十年來，動力系統(tǒng)的研究中所發(fā)生的重大變化，主要來源于結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的研究.結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的概念除了理論上的意義之外，對于實際應用也有著重要意義.這是因為從實際問題中提出微分方程模型，往往經(jīng)歷了近似與簡化過程.為使對數(shù)學模型進行研究所得出的結(jié)論能真實地反映實際，就要求在小擾動下仍能保持某種程度的不變結(jié)構(gòu)，即要求這一數(shù)學模型具有一定的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性.

設(shè)G為Rn中一有界閉域，X(x)∈C1(G)，即X(x)為連續(xù)可微的n維向量場.考慮自治系統(tǒng)(8.35)如果存在ε>0，使得對G上任何n維的C1向量場Y(x)，有則系統(tǒng)(8.36)在G上拓撲等價于系統(tǒng)式(8.35),即存在一個同胚變換P:G→G，將系統(tǒng)式(8.36)的每條軌線變到系統(tǒng)式(8.35)的相應軌線，并且保持軌線的方向不變，就稱系統(tǒng)式(8.35)在G上是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的.

由定義可知，在C1小擾動下結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的系統(tǒng)的奇點的穩(wěn)定性保持不變.

當n=2時，系統(tǒng)式(8.35)為結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的充要條件是：

(1)系統(tǒng)在G上只有有限個奇點和閉軌，且奇點都是雙曲的，而閉軌都是單重的；

(2)在鞍點之間無軌線連接.

系統(tǒng)式(8.35)的奇點是雙曲的，是指系統(tǒng)式(8.35)在奇點處線性部分的矩陣的特征根的實部不為零.圖8.10結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，稱之為分支系統(tǒng).分支系統(tǒng)由于不具有結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性，因此對它加上適當?shù)臄_動，軌線分布就會發(fā)生定性變化，表現(xiàn)出一些復雜的現(xiàn)象.

下面介紹平面動力系統(tǒng)幾種常見的分支模式.考慮帶有一個參數(shù)的系統(tǒng)(8.37)其中參數(shù)α∈［0,1］,X(x,y,α)和Y(x,y,α)關(guān)于(x,y,α)在G×［0,1］上是兩次連續(xù)可微的，G是R2中一有界閉域.設(shè)系統(tǒng)式(8.37)在α=0時是結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定的，此時，稱α=0是一個分支值.

（1）霍普夫(Hopf,1902-1983)分支.設(shè)(0,0)是系統(tǒng)式(8.37)在α=0時的奇點，并且矩陣的特征根是一對共軛純虛數(shù)，這時(0,0)是系統(tǒng)式(8.37)在此點處的線性部分的中心點.當α從零增大時，有可能從原點分出周期解分支，稱為霍普夫分支，而(0,0,0)則稱為霍普夫分支點.定理8.11（霍普夫分支定理）假設(shè)X(0,0,α)≡0,Y(0,0,α)≡0，并且含參數(shù)α的矩陣有特征根λ(α)±iμ(α)，滿足(8.39)則(0,0,0)是系統(tǒng)式(8.38)的霍普夫分支點.

證明不妨設(shè)因為經(jīng)過適當?shù)淖鴺俗儞Q，可以化成這種情形.這樣，引進極坐標(θ,ρ)就可在原點附近將系統(tǒng)式(8.38)寫成如下的形式：(8.40)(8.41)由此知，ρ(θ,ρ0,α)為系統(tǒng)式(8.41)的周期解，當且僅當對上式兩邊除以ρ0，得其中不難看出r*(0,0)=0,rα*

(0,0)=0，并且由條件式(8.39)，得于是由隱函數(shù)定理知，對小正數(shù)ρ0，存在連續(xù)函數(shù)α(ρ0),使得(8.42)當ρ0→0時，上式右端的積分趨于0，故（2）同宿軌分支和異宿軌分支.當t→±∞時趨于同一個奇點的軌線稱為同宿軌(見圖8.11).當t→+∞和t→-∞時分別趨于兩個奇點的軌線稱為異宿軌(見圖8.12).可以構(gòu)造單參數(shù)的系統(tǒng)族式(8.38)，使得當α=0時存在一條同宿軌，而當α≠0時，這條軌線“破裂”為兩條軌線，其中每一條都有一端趨于所論奇點(見圖8.11).這種由于同宿軌“破裂”而產(chǎn)生的分支，稱為同宿軌分支.同樣可以構(gòu)造這樣的系統(tǒng)族式(8.38)，使得當α=0時存在一條異宿軌，而當α≠0時，這條軌線“破裂”為兩條軌線，分別趨于所論的兩個奇點(見圖8.12).這種由異宿軌“破裂”而產(chǎn)生的分支，稱為異宿軌分支.圖8.11圖8.128.4.2動力系統(tǒng)的混沌

我們知道，一個動力系統(tǒng)的平衡解、周期解和概周期解，都對應著比較規(guī)則的運動.早在20世紀60年代，人們就發(fā)現(xiàn)：某些動力系統(tǒng)有非常復雜的、不規(guī)則的軌線.為了描述動力系統(tǒng)的這種不規(guī)則的行為，1975年，李天巖和約克(Yorke)在研究從區(qū)間到區(qū)間的某些映射的性質(zhì)時，提出了混沌這一概念.從此，混沌就逐漸成為許多學科分支研究的主要課題之一.下面我們就二維動力系統(tǒng)簡單地介紹混沌現(xiàn)象及判別混沌的基本數(shù)學方法.

設(shè)φ(t)是R2到R2的Cr(r≥1)同胚映射，p0是它的一個不動點，即φ(p0)=p0.如果雅可比矩陣不具有模為1的特征根，則稱不動點p0為雙曲的.一個點p0∈R2的穩(wěn)定流行和不穩(wěn)定流行分別定義為集合和定理8.12

設(shè)φ:R2→R2是微分同胚，且具有雙曲不動點p0和關(guān)于p0的橫截同宿點q0,則存在φ的不變集Λ，這個不變集包含:

(1)可數(shù)多個周期軌道，包括任意大周期的軌道；

(2)不可數(shù)多個非周期軌道，包括可數(shù)多個同宿軌和異宿軌；

(3)一條稠密軌道.

下面對定理敘述中的一些概念作簡單的說明.

所謂可數(shù)，是指像整數(shù)一樣多；所謂不可數(shù)，是指像實數(shù)一樣多.假如φ有兩個不同的雙曲不動點p1、p2，則稱Ws(p1)∩Wu(p2)中的點為異宿點，由異宿點所產(chǎn)生的軌道稱為異宿軌.一個點p∈R2稱為φ的k(>1)周期點，如果

φk(p)=p,φi(p)≠p

(1≤i≤k-1)

不動點也稱為1周期點.k周期點產(chǎn)生的軌道稱為周期軌，k稱為周期.

從不變集Λ的結(jié)構(gòu)我們看出，Λ中的軌道呈現(xiàn)非常復雜的行為.特別地，在周期點附近初值的微小偏差，可引起相應軌道的不可預見的偏差，或者說，軌道對初始條件具有敏感依賴性.正是由于這個原因，數(shù)學家們才稱φ產(chǎn)生了混沌.

伯克霍夫曾闡述了這種復雜性的一部分，他證明了同宿點的任一鄰域內(nèi)存在可數(shù)多個周期軌道.1963年，斯梅爾(Smale)證明了上述定理.因此這個定理也稱為斯梅爾－伯克霍夫定理.

為了應用這個定理，首先要判斷一個微分同胚是否存在雙曲不動點以及關(guān)于這個不動點的橫截同宿點.應該指出，如何判斷一個微分同胚是否存在橫截同宿點，并不是容易的事.1963年，梅利尼科夫(Melnikov)建立了一種非常重要的方法，它使我們能對某些特殊的周期性受擾系統(tǒng)證明它們的龐加萊映射存在著橫截同宿點，從而應用斯梅爾－伯克霍夫定理，便可證明混沌的存在性.

考慮二維周期系統(tǒng)(8.43)記a∧b=a1b2-a2b1.對系統(tǒng)式(8.43)定義梅利尼科夫函數(shù)如下：(8.44)例8.15

考慮系統(tǒng)(8.45)(8.46)（0，0）是它的鞍點，即其線性近似的鞍點，并且存在與它相連的同宿軌其中, 是系統(tǒng)式(8.46)的解，可直接驗算.

沿著Γ的梅利尼科夫函數(shù)為可以算出(計算很復雜，其中還要用到復變函數(shù)論中的留數(shù)理論)由于在 上，因此在上的零點都是簡單的.注意到可知,當即(8.47) 8.5首次積分

考慮自治方程組(8.48)其中c是某一常數(shù)，大小隨解而異，則稱(8.49)為方程組(8.48)在D內(nèi)的一個首次積分.例8.16

對常微分方程組的任一解x=x(t),y=y(t)，都有因此是這一方程組的一個首次積分.注8.4

對于非自治系統(tǒng)(8.50)只需引進新未知函數(shù)xn+1=t，即可化成自治系統(tǒng)：則稱是系統(tǒng)式(8.50)在G內(nèi)的一個首次積分.

如果已知式(8.49)是方程組(8.48)的首次積分，從定義出發(fā)就知，只要ω(u)是連續(xù)可微的，ω(Φ(x1,…,xn))有意義且不恒等于一個常數(shù)，則也是方程組(8.48)的一個首次積分.

假設(shè)方程組(8.48)有k個首次積分：如果在(x1,…,xn)空間的域D內(nèi)它們的雅可比矩陣的秩數(shù)處處為k，則稱它們在域D內(nèi)相互獨立.命題8.2

在方程組(8.48)中，如果fi(x1,…,xn)(i=1,…,n)在域D內(nèi)連續(xù)可微且處處不同時為零，則在D中任一點附近，方程組(8.48)恰有n-1個相互獨立的首次積分.

證明任取點P0=(x01,…,x0n)∈D，不妨設(shè)在此點f1≠0.于是有此點的鄰域，在其上f1≠0.在U0上把方程組(8.48)改寫為(8.51)其中g(shù)i=fi/f1.對任意的(x01,c2,…,cn)∈U0，方程組(8.51)滿足初值條件(8.52)的解記為(8.53)根據(jù)解對初值的可微性定理，該解對(x1,c2,…,cn)是連續(xù)可微的，且雅可比行列式因此可從式(8.53)中解出c2,…,cn,即(8.54)其中函數(shù)ψi(x1,…,xn)(i=2,…,n)在點P0的某鄰域U上是連續(xù)可微的，且雅可比行列式由此可知，在點P0的鄰域U上式(8.54)是方程組(8.51)的n-1個獨立的首次積分.進而根據(jù)方程組(8.48)與方程組(8.51)的解之間的對應關(guān)系知，在U上式(8.54)也是方程組(8.48)的首次積分.

如果方程組(8.48)在點P0的某鄰域上有n個首次積分：而x1=x1(t),…,xn=xn(t)(t∈I)是方程組(8.48)位于此鄰域的任一解，則由知由于f1,…,fn不全為零，因此上述方程組的系數(shù)行列式，即雅可比行列式這表明在點P0的鄰域U1內(nèi)，方程組(8.48)的任何n個首次積分都不是相互獨立的.命題證畢.

例8.17

用首次積分法求解方程組解由原方程組可得即這個微分方程關(guān)于變量t和x2+y2是可以分離的，因此易求得它的積分為它是原方程組的一個首次積分.

再次利用方程組，得到即由此得方程組的另一個首次積分

這兩個首次積分是相互獨立的.采用極坐標，令x=rcosθ,y=rsinθ，由兩個首次積分推得由此解得因此微分方程組的通解為 8.6守恒系統(tǒng)

有些物理系統(tǒng)遵從某些形式的能量守恒定律，它們的能量隨著