吉林省白城市通榆一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

吉林省白城市通榆一中2025屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知橢圓上一點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為，是的中點(diǎn)，則（）A.1 B.2C.3 D.42．意大利數(shù)學(xué)家斐波那契，以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”，，，，，，，，…，在實(shí)際生活中很多花朵的瓣數(shù)恰是斐波那契數(shù)列中的數(shù)，斐波那契數(shù)列在物理化學(xué)等領(lǐng)域也有著廣泛的應(yīng)用.已知斐波那契數(shù)列滿足：，，，若，則等于（）A. B.C. D.3．直線的傾斜角大小為（）A. B.C. D.4．雙曲線的焦點(diǎn)到漸近線的距離為（）A. B.C. D.5．已知向量，且與互相垂直，則k=（）A. B.C. D.6．若存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x，y，使得成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.7．已知數(shù)列滿足：且，則此數(shù)列的前20項(xiàng)的和為（）A.621 B.622C.1133 D.11348．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則（）A B.4C.3 D.29．七巧板是中國古代勞動(dòng)人民發(fā)明的一種傳統(tǒng)智力玩具，被譽(yù)為“東方魔板”，它是由五塊等腰直角三角形，一塊正方形和一塊平行四邊形共七塊板組成的．如圖是一個(gè)用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中隨機(jī)地取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好取自白色部分的概率為（）A. B.C. D.10．命題“存在，使得”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B.C. D.11．已知，若，則的取值范圍為（）A. B.C. D.12．，，，，設(shè)，則下列判斷中正確的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某汽車運(yùn)輸公司購買了一批豪華大客車投入運(yùn)營．據(jù)市場(chǎng)分析，每輛客車營運(yùn)的總利潤y（單位：10萬元）與營運(yùn)年數(shù)x（）為二次函數(shù)的關(guān)系（如圖），則每輛客車營運(yùn)年數(shù)為________時(shí)，營運(yùn)的年平均利潤最大14．萬眾矚目的北京冬奧會(huì)將于2022年2月4日正式開幕，繼2008年北京奧運(yùn)會(huì)之后，國家體育場(chǎng)（又名鳥巢）將再次承辦奧運(yùn)會(huì)開幕式.在手工課上，王老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起制作了一個(gè)近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個(gè)大小不同、扁平程度相同的橢圓.已知大橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為40cm，短軸長(zhǎng)為20cm，小橢圓的短軸長(zhǎng)為10cm，則小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為________cm.15．如圖，把橢圓的長(zhǎng)軸八等分，過每個(gè)分點(diǎn)作軸的垂線交橢圓的上半部分于，，，七個(gè)點(diǎn)，是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，則的值為__________16．已知等差數(shù)列公差不為0，且，，等比數(shù)列，則_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）王同學(xué)入讀某大學(xué)金融專業(yè)，過完年剛好得到紅包6000元，她計(jì)劃以此作為啟動(dòng)資金進(jìn)行理投資，每月月底獲得的投資收益是該月月初投入資金的20%，并從中拿出1000元作為自己的生活費(fèi)，余款作為資金全部投入下個(gè)月，如此繼續(xù).設(shè)第n個(gè)月月底的投資市值為an.（1）求證：數(shù)列{-5000}為等比數(shù)列；（2）如果王同學(xué)想在第二年過年的時(shí)候給奶奶買一臺(tái)全身按摩椅（商場(chǎng)標(biāo)價(jià)為12899元），將一年后投資市值全部取出來是否足夠？18．（12分）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且（1）求角的大小（2）若，且，求的面積19．（12分）已知數(shù)列中，，.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.20．（12分）如圖，中，且，將沿中位線EF折起，使得，連結(jié)AB，AC，M為AC的中點(diǎn).（1）證明：平面ABC；（2）求二面角的余弦值.21．（12分）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和22．（10分）已知橢圓C：的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，P是橢圓上異于頂點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓C的上頂點(diǎn)，Q為PA的中點(diǎn)，且直線PA與直線OQ的斜率之積恒為-2.（1）求橢圓C的方程；（2）若斜率為k且過上焦點(diǎn)F的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M，N到y(tǒng)軸距離之和最大時(shí)，求直線l的方程.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】由橢圓的定義得，進(jìn)而根據(jù)中位線定理得.【詳解】解：由橢圓方程得，即，因?yàn)橛蓹E圓的定義得，，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，是的中點(diǎn)，所以.故選：A2、A【解析】利用可化簡(jiǎn)得，由此可得.【詳解】由得：，，即.故選：A.3、B【解析】將直線方程變?yōu)樾苯厥?，根?jù)斜率與傾斜角關(guān)系可直接求解.【詳解】由直線可得，所以，設(shè)傾斜角為，則因?yàn)樗怨蔬x：B4、D【解析】根據(jù)題意，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及漸近線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，雙曲線的方程為，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，其漸近線方程為，即，則其焦點(diǎn)到漸近線的距離；故選D.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是求出雙曲線的漸近線與焦點(diǎn)坐標(biāo).5、C【解析】利用垂直的坐標(biāo)表示列方程求解即可.【詳解】由與互相垂直得，解得故選：C.6、D【解析】將給定等式變形并構(gòu)造函數(shù)，由函數(shù)的圖象與垂直于y軸的直線有兩個(gè)公共點(diǎn)推理作答.【詳解】因，令，則存在兩個(gè)不相等的正實(shí)數(shù)x，y，使得，即存在垂直于y軸的直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，，，而，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則垂直于y軸的直線與函數(shù)的圖象最多只有1個(gè)公共點(diǎn)，不符合要求，當(dāng)時(shí)，由得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，令，，令，則，即在上單調(diào)遞增，，即，在上單調(diào)遞增，則有當(dāng)時(shí)，，，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，取，則，而，因此，存在垂直于y軸的直線()，與函數(shù)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及雙變量的等式或不等式問題，把雙變量的等式或不等式轉(zhuǎn)化為一元變量問題求解，途徑都是構(gòu)造一元函數(shù).7、C【解析】這個(gè)數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是公差為2的等差數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)是公比為2的等比數(shù)列，只要分開來計(jì)算即可.【詳解】由于，所以當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，是等差數(shù)列，即：共10項(xiàng)，和為；，共10項(xiàng)，其和為；∴該數(shù)列前20項(xiàng)的和；故選：C.8、C【解析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)得，由其為純虛數(shù)求參數(shù)a，進(jìn)而求的模即可.【詳解】由為純虛數(shù)，∴，解得：，則，故選：C9、A【解析】設(shè)七巧板正方形邊長(zhǎng)為4，求出陰影部分的面積，再利用幾何概型概率公式計(jì)算作答.【詳解】設(shè)七巧板正方形邊長(zhǎng)為4，則大陰影等腰三角形底邊長(zhǎng)為4，底邊上的高為2，可得小正方形對(duì)角線長(zhǎng)為2，小正方形邊長(zhǎng)為，小陰影等腰直角三角形腰長(zhǎng)為，小白色等腰直角三角形底邊長(zhǎng)為2，則左上角陰影等腰直角三角形腰長(zhǎng)為2，因此，圖中陰影部分面積，而七巧板正方形面積，于是得七巧板中白色部分面積為，所以在此正方形中隨機(jī)地取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好取自白色部分的概率為.故選：A10、B【解析】“存在，使得”為真命題，可得，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．再利用充要條件的判定方法即可得出.【詳解】解：因?yàn)椤按嬖?，使得”為真命題，所以，因此上述命題得個(gè)充分不必要條件是.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性、充要條件的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.11、C【解析】根據(jù)題意，由為原點(diǎn)到直線上點(diǎn)的距離的平方，再根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短，即可求得范圍.【詳解】由，，視為原點(diǎn)到直線上點(diǎn)的距離的平方，根據(jù)點(diǎn)到直線垂線段最短，可得，所有的取值范圍為，故選：C.12、D【解析】通過湊配構(gòu)造的方式，構(gòu)造出新式子，且可以化簡(jiǎn)為整數(shù)，然后利用放縮思想得到S的范圍.【詳解】解：，，，，，；，.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、5【解析】首先根據(jù)題意得到二次函數(shù)的解析式為，再利用基本不等式求解的最大值即可.【詳解】根據(jù)題意得到：拋物線的頂點(diǎn)為，過點(diǎn)，開口向下，設(shè)二次函數(shù)的解析式為，所以，解得，即，則營運(yùn)的年平均利潤，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)故答案為：5.14、20【解析】求出大橢圓的離心率等于小橢圓的離心率，然后求解小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)【詳解】在大橢圓中，，，則，.因?yàn)閮蓹E圓扁平程度相同，所以離心率相等，所以在小橢圓中，，結(jié)合，得，所以小橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為20.故填：20.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，對(duì)橢圓相似則離心率相等這一基礎(chǔ)知識(shí)的考查15、28【解析】設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為由橢圓的幾何性質(zhì)可知：，同理可得，且，故,故答案為.16、【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，等比數(shù)列，可得，則的值可求【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為，，，等比數(shù)列，，則，得，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）足夠【解析】（1）由題意可得出遞推關(guān)系，變形后利用等比數(shù)列的定義求證即可；（2）由（1）利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出，再求出，再計(jì)算即可得出結(jié)論.【小問1詳解】依題意，第1個(gè)月底股票市值則又∴數(shù)列是首項(xiàng)為1200，公比為1.2的等比數(shù)列.【小問2詳解】由（1）知∴∵，所以王同學(xué)將一年理財(cái)投資所得全部取出來是足夠的.18、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)，通過余弦定理求解.（2）根據(jù)，通過正弦定理，把角轉(zhuǎn)化為邊得，再根據(jù)，得．再代入的面積公式求解.【詳解】（1）∵，∴由余弦定理得，又，∴.（2）∵，∴由正弦定理得，∵，∴，又，∴∴面積【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理和正弦定理的應(yīng)用，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.19、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）由，取倒數(shù)得到，再利用等差數(shù)列的定義求解；（2）由（1）得到，利用錯(cuò)位相減法求解.【小問1詳解】證明：由，以及，顯然，所以，即，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以，所以；【小問2詳解】由（1）可得，，所以數(shù)列的前項(xiàng)和①所以②則由②-①可得：，所以數(shù)列的前項(xiàng)和.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）由勾股定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出，，再由線面垂直的判定證明即可；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，由向量法得出面面角.【小問1詳解】設(shè)，則，，平面平面，連接，，，，，即又，平面ABC【小問2詳解】，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，令，則同理可得，又二面角為鈍角，故二面角的余弦值為.21、（1）（2）【解析】（1）由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式，等比數(shù)列的基本量運(yùn)算列方程組解得和公比后可得通項(xiàng)公式；（2）用錯(cuò)位相減法求得和【小問1詳解】設(shè)數(shù)列的公比為q，由，，得，解之得所以；【小問2詳解】，又，得，，兩式作差