等比數(shù)列（復(fù)習(xí)講義）-2024屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

等比數(shù)列

一、知識點擊

1.等比數(shù)列的有關(guān)概念

(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)(不為零)，那么

這個數(shù)列就叫做等比數(shù)列.這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示，定義的表達

式為寧―?

⑵等比中項：如果。，G,〃成等比數(shù)列，那么G叫做a與僻等比中項.即G是。與〃的等比

中項＜=?,G,/?成等比數(shù)列=G?=ab.

2.等比數(shù)列的有關(guān)公式

⑴通項公式：4尸改3春..

(2)通項公式的推廣：%=，〃后N*).

⑶前〃項和公式：

na\(q=l)

S*=<

”項和公式

3.等比數(shù)列通項的性質(zhì)

(1)若/〃+〃=〃+q=2k(m,〃，p,q,N"),則%5二即為二戰(zhàn)

(2)若｛斯｝,｛d｝(項數(shù)相同)是等比數(shù)列，則｛癡〃必0)，崗，｛硝，M仇｝,微仍是等

比數(shù)列.

(3)在等比數(shù)列｛小｝中,等距離取出若干項也構(gòu)成一個等比數(shù)列，即0n,an+kln

+3人,…為等比數(shù)列，公比為心

(4)｛斯｝為等比數(shù)列，若s……，則",翁…成等比數(shù)列.

4.等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)

若Sn表示數(shù)列｛an｝的前n項和，且Sn=Aqn-A（Aq±O,q^±l）,則數(shù)列0｝是箜比數(shù)列.

二、典例分析

模塊一等比數(shù)列的基礎(chǔ)

例L（1）已知等比數(shù)列｛an）滿足4=3,4+%+6=21,貝!Jq+%+%=（）

A.21B.42C.63D.84

【分析】由已知，4=3,q+6+6=21,利用等比數(shù)列的通項公式可求夕，然后在代入

等比數(shù)列通項公式即可求.

【解答】解：4=3,+a3+a5=2\,

4（1+T+/）=21,

：.q4+q2+\=1,

+q2-6=0,

*'-=2,

%十%十%=十q4十＜76）=3k（2十4十8）=42.

故選：8.

【點評】本題主要考蟄了等比數(shù)列通項公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.

（2）古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》有如下的問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問

日織幾何？”意思是：“一女子善于織布，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布

5尺間這女子每天分別織布多少？〃根據(jù)上述已知條件若要使織布的總尺數(shù)不少于30尺，

則至少需要（）

A.7B.8C.9D.10

【分析】由等比數(shù)列前〃項和公式求出這女子每天分別織布二尺，由此利用等比數(shù)列前，，項

31

和公式能求出要使織布的總尺數(shù)不少于30尺，該女子所需的天數(shù)至少為多少天.

【解答】解：設(shè)該女五第一天織布X尺，

則哼爭二5,

1-2

解得％=3,

31

，前〃天織布的尺數(shù)為：捺(2"-1)，

由?(2"-1)..30,得2”..187,

31

解得〃的最小值為8.

古嫡：4.

【點評】本題考查等比數(shù)列在生產(chǎn)生活中的實際應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意

等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用.

練習(xí)1.(1)已知等比數(shù)列｛?”｝的前〃項和為S“，，且〃,+q=』，則,=(

2~4%

)

A.4""B.4Z,-1C.D.T-\

【分析】設(shè)出等比數(shù)列的公比為q,利用等比數(shù)列的性質(zhì)，根據(jù)已知等式求出q的值，進而

求出4的值，表示出S“與〃一即可求出之比.

【解答】解:設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為“，

a、+/I

q=—------=—

4+42

「.q+%=4（1+/）=4（1+；）='|，

解得：4=2,

故選：。.

【點評】此題考查了等比數(shù)列，熟練掌握等比數(shù)列的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

(2)我國古代數(shù)典籍《九章算術(shù)》“盈不足"中有一道兩鼠穿墻問題：“今有垣厚十尺，兩鼠

對穿，初日各一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，問幾何日相逢？”上述問題中，兩鼠在第幾

天相逢.()

A.3B.4C.5D.6、

【分析】利用等比數(shù)列的求和公式即可得出.

【解答】解：由題意可知：大老鼠每天打洞的距離是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列，

前〃天打洞之和為==2”-1,

2-1

?_

同理，小老鼠每天打洞的距離一十二2-白，

1--2

2

??27+2-擊=1°，

解得〃e(3,4),取〃=4.

即兩鼠在第4天相逢.

古嬤：B.

【點評】本題考查了等比數(shù)列的求和公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

練習(xí)2.已知公比為q的等比數(shù)列{q},且滿足條件|g|>1,電+%=2/。必=—5，則勺=(

)

272527.2525

AA.-----DB.-----C.-----或----D.—

2532533

【分析】解方程丁-21-15=0,得4=-3,e=5，或。2=5,火=-3，由此能求出%.

【解答】解：公比為4的等比數(shù)列{4},且滿足條件％|>1,%+%=2,&%=-15,

/.02a7=-15,

.??丹，的是方程f-2x-15=0的兩個根，

解方程f-2x-15=0,得出=-3,%=5,或%=5,%=-3,

當4=-3,%=5時，

a.q=-3.5<525

?65，解傳7=--，?二?i2=5x(--)=—z--

aiq=5333

當4=5,%=-3時，

"立5Q,解得"=—|，不成立?

qq=-35

25

???如=-7?

故選：5.

【點評】本題考查數(shù)列的第12項的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的

性質(zhì)的合理運用.

練習(xí)3.等比數(shù)列｛〃“｝的前〃項和為已知邑=生+1。4,4=9,則q=()

A.-B.--C.-D.-1

3399

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛對｝的公比為，/,利用已知和等比數(shù)列的通項公式即可得到

〃二卬/+*=%+叫，解出即可.

。內(nèi)=9

【解答】解：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為"，

S、=%+10%,%=9,

甘…八仙+明，解得廠*—;9

M=9卜=§

I

,4=§?

故選：C.

【點評】熟練掌握等比數(shù)列的通項公式是解題的關(guān)鍵.

模塊二等比數(shù)列通項的性質(zhì)

例1.已知｛"”）為等比數(shù)列，%+4=2,%?%=-8,貝U4+%=（）

A.5B.7C.-7D.-5

【解答】解：?！?4=2,4?％=-8,

/.a5卬8=一8,

解得6=4,%=-2,

或火=-2,%=4.

當/=4，《=-2，=-1，

,11

%+4i=%q+%q=4x(—)-2x(--)=-7,

~2

當/=-2,%=4.q3=-2.

a2+41=%，]3+48g③=-2x(一；)+4x(-2)=-7

古嬤：C.

練習(xí)1.已知｛??｝為等比數(shù)列，4+%=2,儀％=-8,則4+4o=()

A.7B,5C?—5D.—7

【解答】解：,4+%=2,由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，=4%=-8

二.6=4,%=-2或&=-2,%=4

當4=4,%=-2時，,

q=-8,40=1,

?.?4+/=-7

當q=-2,%=4時，d=-2,貝!]%=—8,%=1

???4+%=-7

綜上可得，q+4o=-7

古嫡：D.

例2.在等比數(shù)列｛4)中，公,《5是方程f一6工+8=0的根，貝I」如1的值為()

%

A.2>/2B.4C.-2也或2&D.7或4

【解答】解:/，心是方程，—6x+8=0的根，

二.q=2,a]5=4；或q=4,%=2.

2

可知a｝q=2,%>0.

c%=J645=2^2.

則班=旦=1=2夜

%%

故選：A.

練習(xí)I.已知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛%｝,4%。3=5,07A%=10,則。46。6=（）

A.5y/2B.7C.6D.472

【解答】解：4a24=5=a；=5；

074a9=1°=。；=1°?

〃；=〃2〃8，

a；=50,/.a4a5a6=a；=5>/2,

古嫡：A.

練習(xí)2.在等比數(shù)列｛%｝中，％，為是方程3x2-llx+9=0的兩個根，貝!J%%%=（）

A.3百B.—C.±3百D.以上皆非

2

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合根與系數(shù)之間的關(guān)系進行求解即可.

【解答】解：生,%是方程3%2一1￡+9=。的兩個根，

9cII八

/.%%=—=3,+a9=—>0,

?二%%=（。6）2，

則。6=±6

則叼％%=（6）％6=±3>/5,

古嬤：C.

【點評】本題主要考查等比數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)根與系數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

練習(xí)3.等比數(shù)列口｝的各項均為正數(shù)，且03A+05a6=18，則log3a,+log3a2+...+log3a0=（

)

A.12B.10C.8D.2+log,5

【分析】由題意可得%％=9,由等比數(shù)列的性質(zhì)和對數(shù)的運算可得原式=1。8式6綜)5，化簡

可得.

【解答】解：由題意可得+的6=18,

解之可得。5。6=9，

故Iog3ax+log3a2+...+log3%=log?…6o

55,0

=log3(a56f6)=log39=log33=10

古嫡：B.

【點評】本題考查等比數(shù)列的通項公式和性質(zhì)，涉及對數(shù)的運算性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題.

,o

練習(xí)4.已知等比數(shù)列｛an｝的各項均為正數(shù),且logi4+log3%+§3%+???+bg3/T0,則

%的值為()

A.3B.6C.9D.18

【分析】由對數(shù)運算法則得lo&(4X4x...x49)=l(),從而

10

^xa3x...xal9=(a,x=a^°=3,由此能求出.

【解答】解：?.?等比數(shù)列｛q｝的各項均為正數(shù),

且限4+10g36f3+10g3^5+...+10g36Z19=1(),

/.log3(?]X?3x...x?19)=1(),

510

/.axxx...x《9=(qx?ly)=?1()=3"),

6Z|Q—3.

故選：A.

【點評】本題考查等比數(shù)列的前10項和的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等比

數(shù)列的性質(zhì)的合理運用.

模塊三等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)

例1.等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”=a?3"T+〃,則@=()

b

A.-3B.-1C.1D.3

【分析】由等比數(shù)列應(yīng)｝的前〃項和求出前3項，由此能求出利用等比數(shù)列｛〃“｝中R-

能求出幺.

b

【解答】解：?.?等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為S.=a?3i十)，

:.ax=S1=a+b,

%=S1-S、=3a+b-a-b=2a,

a3=Sy-S2=9a+b-3a-b=6a,

??,等比數(shù)列｛4｝中,必=的3,

/.(2a)2=(a+b)x6a,

解得f=-3.

b

故選：A.

【點評】本題考查兩數(shù)比值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意等比數(shù)列的性質(zhì)的

合理運用.

練習(xí)I若等比數(shù)列｛%｝的前〃項和S.=2010"+t(t為常數(shù)),則q的值為()

A.2008B.2009C.2010D.2011

【分析】寫出數(shù)列的前3項,利用。必=，求出/的值，即可求出生的值.

【解答】解：等比數(shù)列｛q｝的前〃項和Sa=2010"+/.

2

.\a,=S,=2010+/,a2=S2-St=2010+Z-2010-Z=2009x2010,

22

a3=S3-S2=2010'+/-2010-r=2009X2010,

???的3=4，

,-.(2010+/)x2009X20102=(2009x2010)2,

=2010+r=2009.

故選：B.

【點評】本題考直數(shù)列的前〃項和，考直數(shù)列的通項，考直學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)2.已知等比數(shù)列｛%｝的前〃項和S“=2/?3"T-g,則

【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的求和公式，,可求.

33

【解答】解：因為"1,$產(chǎn)尸工盧*4,

1-(/1-(/\-q

結(jié)合等比數(shù)列和的特點可知，S“=21?3"T-3中，-=-,

333

故/=2.

故答案為：2.

【點評】本題主要考查了等比數(shù)列的求和公式的簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)試題.

例2.各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛〃“｝的前〃項和為S“，若S”=2,S3,f=14,則，等于(

)

A.80B.30C.26D.16

【分析】利用等比數(shù)列的求和公式，整體思維，即可求得結(jié)論.

【解答】解：設(shè)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列｛4｝的公比等于4，

S”=2,S3rl=14,：.q^\

2,W)=14，解得4"=2,江=-2.

1-</\-q\-q

An

AS4ZI=-^(1-q)=-2(1-16)=30,

古嫡：B.

【點評】本題考查等比數(shù)列的求和公式，考查學(xué)生的計算能力，屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)1.已知等比數(shù)列｛4“｝的前〃項和為S“，且&=4,1=10,則Eg=()

A.16B.19C.20D.25

【分析】由等比數(shù)列伍”｝的前〃項和為s一得S，，S—5，S「S”成等比數(shù)列，即可得到

九-So,進而得到$5?

【解答】解：?「等比數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”,

:Sw—S$,九一九成等比數(shù)列,

?.?S5=4,S10-S5=10-4=6,

.??、5-岳。=6又5=9,

所以幾=￡。+幾-，=19,

故選：B.

【點評】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式，考查分析解決問題的能力，屬

于基礎(chǔ)題.

練習(xí)2.等比數(shù)列口｝的前5項和工=1(),前10項和兀=5(),則它的前15項和九二

【解析】法一：由等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)知S5,Sic.-S5,

Sis-Sio成等比數(shù)列，故(Sio-S5)2=Ss(Si5-S10),

即(50-10)2=10⑸5-50),解得$5=210.

法二：設(shè)數(shù)列｛aj的首項為a1,公比為q,

1?q

顯然q*,則R

ail-q'°…

I1?q

由①?②得1+q'=5,所以寸=4,代入①得

ai10

k-，

aiI-q15in

所以S15二-------=-43)=210.

I-qJ

【答案】210

練習(xí)3.已知｛q｝是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，S〃是它的前〃項和，若S4=6,§8=18.則

516=()

A.48B.54C.72D.90

【答案】D

根據(jù)等比數(shù)列前〃項和性質(zhì)，即可求出結(jié)果.

【詳解】

因為｛q｝是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，s〃是它的前〃項和，

所以工襄-S4,S12-L-%也成等比數(shù)列，且公比為凡言=2,

「

所以&2-SS=2（SS4）=24,所以幾=42,

因此*6F=2（右—國）=48,所以1=90.

故選D

【點睛】本題主要考查等比數(shù)列前〃項和性質(zhì)，熟記性質(zhì)即可，屬于基礎(chǔ)題型.

例3.等比數(shù)列｛an]中,公比夕=3,S80=32,則a2+4+&+……+4o=_______,

s偶

利用;-二q，及S2n=S奇+S偶求解.

S奇

【自主解答】設(shè)S]=a?+如+@6+…+aso,

S2=ai+33+35+...+a?9.則￡=q=3即Si=3S2.

4

??

又Si+S2=S8O=32一§S尸32,解得Si=24.

BP32+04+36+--.+380=24.

【答案】24

練習(xí)1.等比數(shù)列｛凡｝共2〃項，其和為-240，且奇數(shù)項的和比偶數(shù)項的和大80，則公比片

S奇+S偶=-240,

【解析】（1）根據(jù)題意得

S奇?S偶二80,

S奇二?80,s偶-160

/.q=——=--------=2.

S偶=-160,S奇?80

練習(xí)2.等比數(shù)列｛凡｝共2〃項，它的全部各項的和是奇數(shù)項的和的3倍，則公比方

【解析】設(shè)同｝的公比為q,則奇數(shù)項也構(gòu)成等比數(shù)列，其公比為q2,首項為a,,

ail-q2n八ai[l-q2n]

S2n=~,S奇二-'"?

J-qI-a

2n2n

由題意得—a11-—q=——3ail-qJ

I-q1-q

/.1+q=3,q=2.

【答案】2

模塊四等比數(shù)列證明

等比數(shù)列的判定方法

若寧二90為非零常數(shù)，"￡N")或'二式q為非零常數(shù)目應(yīng)2,〃￡N?)，

Un

定義法a?-1

則｛斯｝是等比數(shù)列

中項公式法若數(shù)列｛?。?且屈+i=a“q+2("￡N'),則｛m｝是等比數(shù)列

若數(shù)列⑹的通項公式可寫成為=c/」(c闖均為非零常數(shù)，，舊N?)Man]

通項公式法

是等比數(shù)列

前〃項和公式若數(shù)列｛&｝的前〃項和s“二%/-楸為非零常數(shù)，#0,1),則｛斯｝是等比數(shù)

法列

例1.已知數(shù)列｛”"｝滿足q=：，且tnwN".

823

(1)求證：｛q-g是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列｛%｝的通項公式.

【分析】(1)對4M進行變形處理得到：==,根據(jù)等比

數(shù)列的性質(zhì)證得結(jié)論；

(2)根據(jù)｛(「2｝是以9為首項，工為公比的等比數(shù)列來推知數(shù)列｛凡｝的通項公式.

3242

【解答】(1)證明:由已知得：1=令'

因為《=，,

O

所以4-|尚

所以⑸管是以卷為首項，；為公比的等比數(shù)列；

(2)解：由(1)知，｛?,-|)是以方為首項,1為公比的等比數(shù)列,

所以4“，

所以4=.:'

【點評】本題考杳數(shù)列遞推式，考直構(gòu)造法證明等比數(shù)列，考杳數(shù)列的通項，解題的關(guān)鍵是

構(gòu)造法證明等比數(shù)列.

練習(xí)I.已知數(shù)列0｝滿足卬=1，2%=3q,+I.證明：0+1｝是等比數(shù)列；

【分析】直接利用定義法進行證明.

a1a

【解答】證明：(【)由2%=3〃“+1,得a“+i+7，即—+l=-(a/t+l),

2z2

故^±1=3.

4+12

又4+1=2,所以僅“+1｝是首項為2,公比為1的等比數(shù)列.

【點評】本題考宣的知識要點:數(shù)列的通項公式的求法及應(yīng)用，等比數(shù)列的前〃項和的應(yīng)用，

放縮法的應(yīng)用.

3

練習(xí)2.已知數(shù)列｛〃"｝滿足q,2%+Q,,+〃“+]=34，〃eN.

(1)求證：數(shù)列」-1｝為等比數(shù)列;

凡

【解答】解：因為所以-L—U?

%3q3

所以-1=^(---1)?

—3an

因4=一，則---1=—.

5%3

所以數(shù)列｛^—1｝是首項為],公比為：的等比數(shù)列.

凡33

練習(xí)3.已知數(shù)列｛4｝的首項q=3，且滿足4—x3"“，(〃cM).

(1)設(shè)勿=號，判斷數(shù)列也｝是否為等差數(shù)列或等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；

(2)求數(shù)列他“｝的前〃項和5；.

【分析】(I)根數(shù)列的遞推關(guān)系，利用構(gòu)造法，構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的定義班可證

明也｝是等差數(shù)列.

(2)求出數(shù)列｛/｝的通項公式，利用求和公式，結(jié)合錯位相減法進行求解即可.

【解答】解：(1)?.?1=3%+2x3"、(〃eN“).

=34-2x3向

?'3"'9

即爵喙+2，…(5分)

一?.｛"｝構(gòu)成以々=g=l為首項，2為公差的等差數(shù)列.(6分)

(2)由(1)可知bn=1+2(〃-1)=2〃-1,所以an=(2〃-1)?3"…(8分)

S”=1?3+3*32+5?3'+...+(2〃-1)?3"①

23n+1

3sti=1.3+3.3+...+(2〃—3).3"+(2〃-l).3②

②一①得一25”=3+2?32+2?33+~+2?3"-(2〃-1)?3"“…(1。分)

=3+-(2n—1)?3向

二(2—2〃)?3”,一6...(13分)

.,.J=(〃-1)?3用+3...(15分)

【點評】本題土要考查數(shù)列通項公式和數(shù)列求和的計算，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，利用構(gòu)造法

構(gòu)造等比數(shù)列，結(jié)合錯位相減法進行求和是解決本題的關(guān)鍵.考查學(xué)生的運算和轉(zhuǎn)化能

力.

例2.(2018?黃山模擬)設(shè)數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”，已知q=l,Se=4q+2.

⑴設(shè)"二。2—2%,證明：數(shù)列｛"｝是等比數(shù)列；

(2)求數(shù)列(4)的通項公式.

(1)證明由m=1及S〃+k4%+2,

有a\+42=52=40+2.

/.ci2-5,=a2-2a\=3.

S”+i=4o”+2,①

又‘

Sn=4a”-]+2/?22,②

①-②，得3+1=4為-4an-i(n>2),

?'?^n+i-2an=2(an-2an-I)(M>2).

?.*/>?=??+1-2a?,:.b?=2h?.\(n>2),

故｛兒｝是首項力尸3,公比為2的等比數(shù)歹I」.

⑵解由⑴知以=%+1-26=30-1,

?如+1色1_3

,,洛丁王二W，

故慨是首項為g,公差坦的等差數(shù)列.

J,I3〃-1

??*=]+(〃?口彳二不一，

故如=(3〃?1)27-2.

練習(xí)1.數(shù)列｛，.)中，前〃項和S“=2”-l,求證：｛/｝是等比數(shù)列.

【分析】利用〃?.2時，4=S—z,驗證〃=I時成立,利用等比數(shù)列的定義,即可得到結(jié)

論.

i

【解答】證明：當〃=1時，ai=Si=2-\=l.

nw,n

當〃..2時，q,=Sn-Sn_1=(2-l)-(2--l)=2-2"'=2,

又當〃=1時，2”T=2i=l=4,

「?%=2，

<n+,)-1

.?a.,=23=2(-常數(shù))，

n

.??｛〃”｝是等比數(shù)列.

【點評】本題考查等比數(shù)列的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)2.已知等差數(shù)列｛4｝中仆=7,其前〃項和，=〃〃2+2〃，〃￡..

（I）求〃的值及%；

（II）在等比數(shù)列｛〃｝中，4=4，a=4%-3，若等比數(shù)列｛凡｝的前〃項和為7；.求證：

數(shù)列｛7：+，｝為等比數(shù)列.

6

【分析】（/）由題意可得：6=S3-S2=5p+2=7,可得〃，求出公差，即可求出巴；

（II）確定數(shù)列｛2｝是以可=g為首項，3為公比的等比數(shù)列，求出等比數(shù)列｛4｝的前〃項

和為，，即可證明結(jié)論.

【解答】解：（/）由題意可得：6=5；-邑=5〃+2=7,/.〃=1,

a]=5）=3------------------------------------------------（3分）

/.2d—a3——4,公差d=2-----------------------------------（5分）

由此可得：?！?2〃+1------------------------------------------------（6分）

（II）由題意可得：4=＞夕2=%=3也==夕5=4%—3=81

聯(lián)立方程組解得：q=3,4=1--------------------------------------------（8分）

，數(shù)列｛〃｝是以4=:為首項,3為公比的等比數(shù)列.

+9家十I--------------------------3。分）

是以;為首項，3為公比的等比數(shù)歹I」.-------------------------（12分）

【點評】本題考查數(shù)列的通項，考查等比數(shù)列的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于

中檔題.

模塊五等比數(shù)列和等差數(shù)列綜合

例1.已知等差數(shù)列｛%｝的首項和公差均不為0，且滿足,，/，生成等比數(shù)列，則

巴士"5的值為()

%+4+%o

A.上B."C.HD.1

1413123

【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，/,運用等比數(shù)列的中項性質(zhì)和等差數(shù)列的通項公式，化簡計

算可得所求值.

【解答】解：等差數(shù)列｛&｝的首項和公差d均不為0,且滿足的,外,生成等比數(shù)列，

可得，

即(q+4d(=(4+d)(q+6d),

化為。0+1。/=。I即q=-10d,

貝U6+勺+61_3?1+18c/_12

，+%+4o3q+17d13'

古嬤：B.

【點評】本題考查等差數(shù)列的通項公式和等比數(shù)列的中項性質(zhì)，考查方程思想和化簡運算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)1.已知｛4｝是首項為1的等比數(shù)列數(shù)列也｝滿足&=2A=5且4(W)="

則數(shù)列｛娼的前〃項和為—.

【分析】設(shè)等比數(shù)列｛q｝的公比為夕,數(shù)列也｝滿足4=2,%=5,且％(0+「")=%，

4=1.可得。他f)=生，解得生，可得”可得心-仇=3，利用等差數(shù)列的定義通

項公式與求和公式即可得出.

【解答】解:設(shè)等比數(shù)列｛叫的公比為鄉(xiāng)，數(shù)列也｝滿足a=2也=5，且4(/精-")=&“，

4=1.

.?.4S2-4)=%,即1x(5-2)=%,解得％=3，，夕=3.

「?%-2=3,

，數(shù)列｛bH｝是等差數(shù)列，首項為2,公差為3.

???數(shù)列｛2｝的前“項和=2〃+^^!^乂3=^^.

故答案為：.

2

【點評】本題考查了等比數(shù)列、等差數(shù)列的通項公式與求和公式及其性質(zhì)，考查了推理能力

與計算能力，屬于中檔題.

例2.已知｛《,)是等差數(shù)列，｛"｝是等比數(shù)列，且仇=3也=9,q=瓦%=人.

(1)求｛勺)的通項公式；

(2)設(shè)cn=an+bn,求數(shù)列｛c“｝的前n項和.

【解】⑴設(shè)等比數(shù)列｛EJ的公比為q,貝i」q之號=3,

n

所以bi=^=1/b4=b?q=27,所以bn=3-'(n=1,2,3

設(shè)等差數(shù)列1?。莸墓顬閐.

因為ai=bi=1,au=b4=27,所以1+13d=27,即d=2.

所以an=2n-l(n=1,2,3,

n_1

(2)由⑴知an=2n-1,bn=3,

因此Cn=an+bn=2n-1+3n'

從而數(shù)列｛cj的前n項和

Sn=1+3+…+(2n?l)+1+3+…+3?1/

nl+2n-I1-3n3n-1

=------z------+-------=n2+-z-.

21-32

練習(xí)1.已知數(shù)列｛4｝的前〃項和為=l,q川=25?+1(//G7V+),等差數(shù)列也｝中，

bn>0(〃￡N)且4+4+4=15,又q+4,%+〃2，6+a成等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛《,),｛2｝的通項公式；

⑵求教列口也』的前幾項和7；.

【解】(1)??飛產(chǎn)1,an+i=2Sn+l(neN+),

.\an=2Sn-1+i(n^N+,n>1),

??cln+I_3n=2(Sn-Sn-l)/即3n+I~i4n=2an,

:.an+i=3an(n￡N+,n>1).

而a2=2ai+1=3,二g二3ai.

?.?數(shù)列｛即)是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列，

n,

AaI1=3-(neN+).

-ai=1,a2=3,a3=9,

在等差數(shù)列(EJ中,Vbi+b2+b3=15,/.b2=5.

又二ai+bi,ai+bz,as+b?成等比數(shù)列，

設(shè)等差數(shù)列｛>｝的公差為d,

2

則有⑶+bi)(a3+ba)=(a2+b2).

/.(I+5-d)(9+5+d)=64,解得d=-10或d=2,

Vbn>0(neN+)，，舍去11=-10,取d=2,

Abi=3,/.bn=2n+l(nGN+).

(2)由⑴知Tn=3X|+5x3-7X32+...+(2n-l)-3n*2+(2n+l)3n-1,①

23n1n

J3Tn=3x3+5X3+7x3+...+(2n-l)3-+(2n+l)3,②

???①-②得

23n23n

-2Tn=3xl+2x3+2x3+2x3+…+2x3-*-(2n+1)3"=3+2(3+3+3+...+3'-(2n

3-3n

+1)3n=3+2x-(2n+l)3n=3n-(2n+l)3n=-2n-3",

n

ATn=n-3.

三、當堂鞏固

1.設(shè)數(shù)列｛4｝為等比數(shù)列，則下面四個數(shù)列：

（1）（硝；

（2）｛〃為｝（〃為非零常數(shù)）；

（3）｛《,％｝；

(4)｛〃,+%｝?

其中是等比數(shù)列的有幾個()

A.1B.2C.3D.4

【分析】利用等比數(shù)列的定義即可得出.

【解答】解：設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為夕工0,則下面匹個數(shù)列：

(1)由于鼻=/，因此｛4｝為等比數(shù)列；

%

(2)由于S=q,因此｛p仆｝為等比數(shù)列；

(3)由于工2=d,因此｛4%+J為等比數(shù)列；

—

(4)取《,=(-1)",則可+《卬=0,因此數(shù)列｛6,+《3)不是等比數(shù)列.

其中是等比數(shù)列有3個.

古嫡：C.

【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式及其定義，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔

題.

2.已知等比數(shù)列｛凡)中，《十仇=10,，貝I」該數(shù)歹I」的公比“為()

4

A.2B.1C.-D.-

42

【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，利用出+&=?+%)/，即可求出9的值.

【解答】解：等比數(shù)列｛4｝中，?-4+々3=1。，.??&+/=(%+%)”=?，

,511

/.q=-x—=-

4108

???該數(shù)歹I」的公比.

古嬤：D.

【點評】本題考查了等比數(shù)列的通項公式的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題目.

3.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，

次日腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見次日行里數(shù)，請公仔細算相還「其意思是“有

一個人走378里，第一天健步行走，從第二天起腳痛每天走的路程是前一天的一半，走

了6天后到達目的地.”請問第三天走了()

A.60里B.48里C.36里D.24里

【分析】由題意得：每天行走的路程成等比數(shù)列｛4｝、且公比為g,由條件和等比數(shù)列的

前項和公式求出q,由等比數(shù)列的通項公式求出答案即可.

【解答】解：由題意得，每天行走的路程成等比數(shù)列｛《｝,且公比為:，

6天后共走了378里，，$6=----『=378,

1--

2

解得4=192,

二.第三天走了q=4x(9=192x；=48,

故選：B.

【點評】本題考查等比數(shù)列的前項和公式、通項公式的實際應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.設(shè)等比數(shù)歹」｛I凡｝的公比g=2,前〃項和為S”,則邑=()

a4

3131

A.2B.4C.—D.—

84

【分析】由等比數(shù)列的通項公式和求和公式，代入要求的式子化簡可得.

4(1-2$)

【解答】解：由等比數(shù)列的求和公式和通項公式可得：邑=一1二尾-=?，

aA4x2-8

故選：C.

【點評】本題考查等比數(shù)列的通項公式和求和公式，屬基礎(chǔ)題.

5.設(shè)等比數(shù)列｛〃“｝的公比為q,其前〃項和為S“，前〃項積為7；,并滿足條件4>1,

。刈>1，&吟<0,下列結(jié)論正確的是()

A-邑019<,^2020B?〃201Mo2i_1<°

c.72。是數(shù)列｛。｝中的最大值D.數(shù)列｛7J無最大值

【分析】根據(jù)題意，由等比數(shù)列的通項公式可得3/力（。4°力=（4）2（/7）>1,分析可得

“>0,可得數(shù)列｛〃“｝各項均為正值，又由況匚<0可得/刈U或卜皿>：,由等比數(shù)

“2020-1［。2020>11%020<'

列的性質(zhì)分析可得q的范圍，據(jù)此分析4個選項，綜合即可得答案.

a

【解答】解：根據(jù)題意，等比數(shù)列｛4｝的公比為“，若a20192G2OA1，則

Q聞劉8）@浮9）=（q）2（/7）>1,

又由4>1,必有學(xué)>0,則數(shù)列僅“｝各項均為正值，

又由回匚<0,即3刈-1）（/_1）<0,則有卜叫或仆>：,

1

02020一11°2020）l°M0<1

又由a。，必有0<”|,則有r劉9二,

,a2U2U>1

—=

對于A,有5202015201902020>°，即$刈9<^20201貝A正確；

對于B/有的）20<1，則”2019。2021=（生020）2<1，則8正確；

對于C，/刈9;，則小,,是數(shù)列億｝中的最大值，。錯誤，同理。錯誤；

1出020>?

故選：AB.

【點評】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及應(yīng)用，涉及等比數(shù)列的前〃項和，注意分析q的范圍.

6.已知等比數(shù)列｛4｝的公比,/=-1,等差數(shù)列｛a｝的首項4=12,若為>a且%>九，則

以下結(jié)論正確的有（）

A.〃9?〃10<0B.%>4。C.A。>0D.%>%）

【分析】設(shè)等差數(shù)列的公差為，/，運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式分析A正確,8與C

不正確，結(jié)合條件判斷等差數(shù)列為遞減數(shù)列，即可得到D正確.

【解答】解：數(shù)列｛4｝是公比q為-:的等比數(shù)列，優(yōu)」是首項為12,公差設(shè)為d的等差數(shù)

列，

7?

9

則為=《（一?10=?,（--）,

JJ

2

=〃：(--)17<0,故A正確；

3

q正負不確定，故3錯誤；

%正負不確定，，由%>九，不能求得優(yōu)。的符號，故C錯誤；

22

由《>,且a］。>A。，則〃(一§)8>12+8〃，6/)(――)9>12+9t/t

可得等差數(shù)列出”｝一定是遞減數(shù)列，即，/vO,

即有%>6)>40,故。正確.

故選：AD.

【點評】本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，以及單調(diào)性的判斷，考查運算能力和推

理能力，是中檔題.

7.巳知等比數(shù)歹11｛。“)中％=】，若一+—+—