第三章期權價格的性質(zhì)(金融衍生品定價理論講義)

第三章期權價格的性質(zhì)

在第一章里，我們定性地討論了期權價格的性質(zhì)。我們不但描述了影響期權價格的各

種因素，而且討論了在各種情況下期權的支付。在這?節(jié)里，我們將應用無套利原理嚴格

證明歐式期權價格的一些重要的性質(zhì)。需要強調(diào)的是，我們并不對標的資產(chǎn)的未來價格的

分布作任何假設。在上一章中，我們利用標的資產(chǎn)和債券合成構(gòu)造遠期合約和期貨合約，

投資銀行可以利用這種方法來為遠期合約和期貨合約做市及對沖風險。同樣地，在本章

中，我們利用合成構(gòu)造期權的方法來為期權做市及對沖風險。我們僅僅研究以同?種資產(chǎn)

為標的物的看漲和看跌期權價格之間最基本的關系。本章主要內(nèi)容：美、歐式期權價格的

上下界；美式期權的提前執(zhí)行；紅利對期權價格的影響；看漲和看跌期權價格之間的平價

關系。

我們不妨假設標的物為某種股票，其在時間/的價格為S’,期權的執(zhí)行價格為K,到

期日為一期，即，7=1,無風險利率為。（或者廠），按離散或者連續(xù)方式計算復利。我

們以的,C,,0,6分別表示歐式看漲、美式看漲、歐式看跌、美式看跌期權在時間，的價

格。

1.期權價格的上、下界

由第一章內(nèi)容，期權價格受標的股票的價格、執(zhí)行價格、標的股票的價格的方差、到

期日、無風險利率和到期日之前標的資產(chǎn)的預期紅利六種因素的影響。

1.1上界

美式或者歐式看漲期權的持有者擁有以一定價格購買一份股票的權利，所以在任何情

形下，期權的價值不會超過標的股票的價格

2slct<s,

否則，買入股票，賣空看漲期權就能獲得套利機會。

例子：標的股票價格為30元，執(zhí)行價格為25元的看漲期權，其價格不超過30元（不管是美

式還是歐式）。如果價格為40元，如何構(gòu)造套利機會？

看漲期權的價格永遠不會超過標的股票的價格。即使執(zhí)行價格為零，期權永遠不到

期，期權的價格也至多為S,。甚至在這種極端情形下，期權的價格也可能比標的股票的價

格低，因為股票有選舉權，而期權沒有。

美式或者歐式看跌期權的持有者擁有以執(zhí)行K價格賣一份股票的權利，所以在任

何情形下，期權的價值不會超過K

p,<KP,<K

對歐式看跌期權而言，我們知道它在到期日的價格不會超過K,所以

否則，賣出期權，投資在無風險利率.，獲得套利

例子：r=5%?S,=30元，K=25元，p,K25?一"

1.2以不支付紅利股票為標的物的歐式期權價格的下界

我們在這里僅僅關注標的股票的價格和執(zhí)行價格的影響，所以，我們可以把看漲期權在時

間，的價格寫成，K),下面，我們討論第一條性質(zhì)。

性質(zhì)1：Co(So，K)AmaxSo-%+/“O(1)

當期權被執(zhí)行的概率嚴格位于。和1之間時，即，在到期日，股票價格5'7大于執(zhí)行價格K的

概率嚴格位于0和1之間，上述不等式嚴格成立。

證明：我們證明嚴格不等式?？紤]如下的策略：賣空一份標的股票，買一份歐式看漲

期權，再以無風險利率。借出%。該策略的初始成本為c()(So，K)-So+K/d+zy),到

期日的支付為：

s”K

ST-K-ST+K=O

C

-ST+K>0ST<K

因為策略的期末支付是非負的，且嚴格為正的概率大于0,所以，由無套利原理，初始成本

也應該嚴格大于零。即有，

c(i(S(),K)—S0+K/(l+ry)>0o

這個不等式等價于

c0(So,K)>S°-+o)。(2)

最后，因為期權的持有者只有買標的物的權利而沒有必須買的義務，所以期權的價格是非

負的。又因為假設期權被執(zhí)行的概率嚴格位于0和1之間，所以期權的價格嚴格大于零，

即，?(So，K)>O。這個式子與(2)式結(jié)合起來，得到我們需要的結(jié)果。

#

注：(I)在性質(zhì)1中，我們是針對時間。的價格討論的，該性質(zhì)對到期口以前的任何時

間均成立，只需把(1)式中角標由0換成并對執(zhí)行價格的折現(xiàn)作相應的修改。

(2)通過類似的方法，我們可以得到以不支付紅利股票為標的物的歐式看跌期權價格

的下界為

(3)這個性質(zhì)的直觀意義在于，如果在期末必須以價格K買一份股票，這種義務的

現(xiàn)值為So-7+o。當股票價格S7小于執(zhí)行價格K的概率嚴格位于。和1之間時，不買股

票的權利的價值嚴格大于零。因此，歐式看漲期權的的價格嚴格大于S。-。另一方

面，由于期權被執(zhí)行的概率是嚴格正的，所以，c0(S(),K)>0o

例子：歐式看漲期權

假設標的股票的價格為55元，執(zhí)行價格為50元，期權三個月到期，三個月的簡單利率為

8.9%,在這3個月內(nèi)，股票不支付紅利，求歐式看漲期權價格的下界，如果期權的價格為4

無，如何構(gòu)造套利機會。

2

例子：歐式看跌期權

3個月到期的歐式看跌期權，執(zhí)行價格為50元，股票價格為45元，三個月的簡單利率為

8.9%,在這3個月內(nèi)，股票不支付紅利，求歐式看跌期權價格的下界，如果期權的價格為3

元，如何構(gòu)造套利機會。

性質(zhì)2：歐式看漲期權的價格是其執(zhí)行價格的凸函數(shù)，即,

%⑸,K)+(l-a)q⑸，必)2q(S,,R)

這里，K=aK+(\-a)K,ae(O.l)。當S/e(K,右的概率嚴格正時，上式中的嚴格不等式

成立。

證明：考慮如下的策略：買入a份以K為執(zhí)行價格的歐式看漲期權，買入1-a份以聲

為執(zhí)行價格的歐式看漲期權，賣空一份以欠為執(zhí)行價格的歐式看漲期權。這個策略在

f(zvl)時的成本為的⑸,K)+(1-Q)G⑸積)-々⑸穴)。不失一般性,假設江,K。這個

策略在到期日的支付為：

0如果ST<K,

a(Sy—K)>0如果KvSr?N,

(l-rz)(K-Sr)>0如果K<ST<K,

0如果Sr>R,

在任何情況下，支付均為非負的。因此，由無套不蜉理有：

acl(St,K)+(\-a)ct(Sl,k)-c,(Sl,K)>0

這即為(3)式。當S7e(K,處的概率嚴格正時，(3)式中的嚴格不等式成立。

注：我們可以證明歐式看漲期權的價格是其執(zhí)行價格的減函數(shù)，從而，歐式看漲期權

的價格是其執(zhí)行價格的單調(diào)遞減的凸函數(shù)。

例子:

3

1.3美式期權的下界

性質(zhì)：美式看漲期權價格的下界為

C,>max{O,a-K}

證明：(1)C,>0

(2)不妨假設S,2K。如果G<S,-K,構(gòu)造套利機會：

以G買入美式看漲期權，馬上執(zhí)行，現(xiàn)金流為Sr-K,凈利潤為

S,-K-G>0

例子：設美式看漲期權的價格為2元，設股價為50元，執(zhí)行價格為45元，是否存在套利機

會？

性質(zhì)：如果兩個美式看漲期權具有相同的執(zhí)行價格，相同的標的物，則到期日越長的期

權，價格越高。

圖：美式看漲期權價格的界

性質(zhì)：美式看跌期權價格的下界為

P,>max{O,AT-S,}

證明：

例子：設美式看跌期權到期日為78天，價格為3元，執(zhí)行價格為55元，標的股票價格為55

兀，是否存在套利機會？

圖：美式看跌期權價格的界

5

2.提前執(zhí)行：以不支付紅利股票為標的物的美式期權

本節(jié)的目的是證明：以不支付紅利的股票為標的物的美式期權不會提前執(zhí)行。對期權

定價理論感興趣的讀者可以參考Merton在1973年的開創(chuàng)性工作。

由于歐式期權只能在到期口執(zhí)行，，而美式期權在到期口前的任何時間都能執(zhí)行，所

以，歐式期權的定價比美式期權定價容易。但是，當標的股票不支付紅利時，我們可以證

明美式看漲期權不會提前執(zhí)行，從而美式看漲期權的價格和歐式看漲期權的價格一致。下

面，我們證明這一重要的定理。

定理1：以不支付紅利的股票為標的物的美式看漲期權不會提前執(zhí)行。

證明：設無風險利率為采用連續(xù)計算復利的方式；歐式和美式期權的到期日為

T,執(zhí)行價格均為K；不支付紅利的標的股票在，時的價格為

由前面知道：

9(跖,7,K)>max0,S,-e~rf(T~nK^(9)

方程(9)對一個歐式看漲期權成立。但是，由前面的分析我們知道，和一個歐式看漲期權等

價的美式看漲期權的價格總比歐式看漲期權的價格大。因此，

C,(S,,T,K)>c,(St,T,K)>rnaxfo,S,-e小°K](10)

而且，如果執(zhí)行，美式看漲期權的價值是max[0,5-K],它比max[0,S,-打刈小。在這種

情況下，美式期權的持有者在證券市場上賣掉期權總會優(yōu)于提前執(zhí)行該期權.

從(10)式，我們可以更合理的解釋為什么當無風險利率上升時，看漲期權的價格會上

升？假設股票的價格是50元，執(zhí)行價格是3()元，期權一年到期。如果無風險利率是5%,則

期權價格的下限是21.46元。如果現(xiàn)在無風險利率變?yōu)?0%,則下限增為22.85元。直觀上來

說，現(xiàn)在期權更值錢是因為無風險利率的上長，使得現(xiàn)在購買一年后支付一元的零息債券

的價格降低。

例子：以不支付紅利股票為標的物的美式看漲期權的執(zhí)行價格為40元，股票的價格為

50元,期權一個月到期。(deepinmoney)

(I)如果投資者計劃持有股票的時間大于一個月，則馬上提前執(zhí)行不是最好的策略：支付

40元的執(zhí)行價格，損失1個月利息；持有股票沒有獲得紅利的優(yōu)勢；股價有可能跌到40元以

下，持有期權等于持有一份保險。

(2)如果投資者計劃持有股票的時間小于一個月，認為股價過高，提前執(zhí)行，再賣掉股票

也不是最優(yōu)的策略，因為賣掉期權比提前執(zhí)行的收入更大。

圖：美式看漲期權價格與標的物價格的關系

6

利率越大，到期日越長，或者股票波幅越大，美式看漲期權的價格越大。

不同于美式看漲期權?即使在標的股票不支付紅利的條件下，提前執(zhí)行美式看跌期權

可能是最優(yōu)的。原因在于，當股價充分下降以后，從股價進一步下降得到的利潤可能比馬

上執(zhí)行得到的現(xiàn)金的利息少。

例子：設執(zhí)行價格為25元看跌期權，股價為1元，6個月到期，6個月的簡單利率為9.5%。

美式看漲期權和美式看跌期權在提前執(zhí)行問題上的不同源于看漲期權的收入是無I：

界的，而看跌期權的收入是有上界的。既然看漲期權無上界，等待總有可能獲得利潤，而

看跌期權有上界，所以最好提前執(zhí)行，獲取利息。

例子；假設執(zhí)行價格為10元，股價為0元。馬上執(zhí)行，獲得的收入為10元，如果等

待，執(zhí)行時收入最多也只為10元，而且提前執(zhí)行可以獲得利息。

圖：美式看跌期權的價格與標的物價格的關系

利率越小，波幅越大，或者到期日越大，美式看跌期權價格越大。

圖：歐式看跌期權價格與標的物價格的關系

7

3.美式看漲期權與看跌期權價格之間的關系

看漲期權與看跌期權價格之間的平價關系僅僅對于歐式期權成立。但是，我們也可以

得到以不支付紅利股票為標的物的美式期權價格之間的關系。我們設P,為美式看跌期權的

價格，為歐式看跌期權的價格。其余的符號和這一章里一樣。因為美式期權總能在到期

日以前執(zhí)行，所以，美式看跌期權價格總大于歐式看跌期權價格，即，P,>Pl.我們采用

連續(xù)計算及利的方式。由歐式期權價格的平價關系有

，f{Tt}

pt=c,+Ke~-St,

從而有

Ptct+-S,o

因為標的股票不支付紅利，所以

G=G。

我們得到

rf{T，}

P,>Ct+Ke~~-S,,

或者

rf{T,}

Ct-Pf<,St-Ke~~n(12)

為了進一步說明G與巴之間的關系，我們考慮：

證券組合1:一份歐式看漲期權和數(shù)量為K的現(xiàn)金

證券組合2：一份美式看跌期權和一份標的股票

兩種證券組合中的期權具有相同的執(zhí)行價格和到期日。假設證券組合1中的現(xiàn)金可以以

無風險利率投資。(1)如果看跌期權不提前執(zhí)行，則證券組合2在到期日7的支付為

max(Sy,K)0

這時，證券組合1的支付為

max(Sr，K)+Ke"g)-K。

因此，證券組合1比證券組合2的價值大。(2)下面，我們假設證券組合2中的看跌越權提

前執(zhí)行，例如，在時間『執(zhí)行。這說明證券組合2在時間r的價值為K。但是，即使證券組

合1中的看漲期權無價值，證券組合1在時間r的的價值為Ke。。')。由這兩種情況分析，我

們得到，在任何情況下，證券組合I都比證券組合2的價值高。因此，我們有

cf+K>Pf+SfQ

因為q=G，所以

Ct+K>Pt+Sr9

或者

G—P,>S,-KO

由(12)與上式，我們得到

rf(T,>

S,-Ke~~>C,-Pt>S,-K.(13)

例子：以不支付紅利股票為標的物的美式看漲期權的執(zhí)廳價格為20元，5個月到期，期權的

價格為1.5元。假設現(xiàn)在股票的價格為19元，無風險利率為每年8%。

由歐式期權價格之間的平價關系，對應的歐式看跌期權的價格為

1.5+20"°"%2-19=1.68

由(13)

8

-l=19-20<C-P<19-20e如用=-0.18

從而

1.68<P<2.5

4.紅利的影響

我們在前面討論期權的價格性質(zhì)時，標的股票均不支付紅利。下面，我們討論紅利的

影響。當標的股票有紅利支付時，我們不能保證美式看漲期權不提前執(zhí)行。有時，美式看

漲期權在紅利支付前的瞬間執(zhí)行是最優(yōu)的，因為，紅利的支付將使得股票的價格下降，從

而導致期權的價值下降。

下面這?定理更注重實際。我們分析當標的股票支付紅利時，美式看漲期權的

價值會有什么變化？因為大多數(shù)上市公司都是支付紅利的，所以期權合約的持有者應該注

意，當標的股票因支付紅利而價格下降時，并不能保證期權的價格不下降。

在1976年12月份的某一天，通用汽車公司的股票大約為每股75美元。以此為標的物的

看漲期權的執(zhí)行價格為60美元。在第二天，通用汽車公司按計劃每股分配紅利3美元。這意

味著該公司的股票價格將降至約每股72美元。從(7.19)式我們知道，在分紅之前，看漲期權

的價格不會低于S-K,或者15美元。到了第二天，每人都知道公司的股票價格將下降，

所以看漲期權的價格將下降(約降至12.63美元)。知道先一天期權約值15美元，第二天期

權的價格將下降，作為投資者，唯?理性的行為就是在分紅之前執(zhí)行期權。

定理：當標的股票支付紅利時，美式看漲期權是可能提前執(zhí)行的。

證明：假設無風險利率為采用連續(xù)計算復利的方式；美式期權的到期口為了，執(zhí)

行價格均為K；標的股票在，時的價格為S,，在到期日支付紅利。；。在時間7■到期，面

值為1的無息債券在/時的價格為用考慮甲、乙兩種證券組合，甲證券組合：

以價格Co(S°,7；K)買一份歡式看漲期權，以價格(K+Q)8°購買K+。份債券。乙證券組

合：以價格.％買一份股票。下表說明了兩種證券組合的終端支付的關系：

證券組合

證券組合在到期日T的支付

證券組合在時間，的價值

ST<KST>K

甲Cf(S”T,K)+(K+D)Bj0+K+OST-K

+K+O

乙S,Sy+DST+D

甲、乙在7'的V.|>Vz,y尸藝

支付的關系___________________________________________________________

在到期日，當股票的價格小于執(zhí)行價格時，期權不會被執(zhí)行，從而期權沒有價值,證券組

合甲的支付為K+。。但是，由于S『vK,所以證券組合甲的支付大于證券組合乙的支

付。另一方面，當股票的價格大于執(zhí)行價格時，證券組合甲、乙在到期日的支付相等。不

管在哪種情況下，證券組合甲的支付大于或者等于證券組合乙的支付。由無套利原理，我

們有：

ct(SnT,K)+(K+D)Bt>St

從這個式子可以得到；

,T,K)>max[0,S,-(K+](II)

從上式可以看出，當紅利的規(guī)模和無風險利率取恰當?shù)闹禃r，有可能得到：

(K+D)Bt>St

這時，(II)式中期權的價值為零。但是，如果有可能提前執(zhí)行時，美式看漲期權的價值是

max[0,S,-K]。所以美式期權的持有者有可能提前執(zhí)行該期權。

例子：

9

下面討論紅利對期權價格界的影響。我們假設在期權的到期日以前，標的股票支

付的紅利的現(xiàn)值為為簡單計，我們假設紅利一次性支付。

歐式看漲期權與看跌期權價格的下界

我們定義證券組合A、B如下：

證券組合A：一份歐式看漲期權和數(shù)最為。+心力(的現(xiàn)金

證券組合B：一份標的股票

在證券組合A中，如果現(xiàn)金流以無風險利率投資，則在到期日7,這個現(xiàn)金流變?yōu)?/p>

Derf(T-l)+Ko如果S“K,則看漲期權在7執(zhí)行，證券組合A的支付為

rf{Tt}

ST-K+De~+Ko如果vK,則看漲期權在T不執(zhí)行，證券組合A的支付為

+K。所以，證券組合A在到期日7的支付為

max卜「+Derf(T~{\K+卜

在證券組合B中，如果紅利現(xiàn)金流以無風險利率投資，則在到期口T,這個現(xiàn)金流變?yōu)?/p>

D/g).所以，證券組合B在到期日7的支付為+無論在哪種情況下，證券

組合A的到期日支付都不會小于證券組合B的到期日支付，有時，還嚴格大于B的終端支

付。因此，有無套利原理，證券組合A現(xiàn)在的價值應該大于證券組合B現(xiàn)在的價值，即，

c,+D+Ke~rf{T~，＞＞S,,(14)

或者

rf{Tl}

c1＞S,-D-Ke~~o(15)

這是我們得到的，當標的股票具有紅利支付時，歐式看漲期權的下界。

接著，我們定義證券組合C和D如下：

證券組合C：一份歐式看跌期權和一份標的股票

證券組合D：數(shù)量等于。+公一小「7的現(xiàn)金流

在證券組合C中，如果標的股票的紅利現(xiàn)金流以無風險利率投資，則在到期日7,這個現(xiàn)

金流變?yōu)槿绻鹲rWK,證券組合C中的看跌期權在7?執(zhí)行，證券組合C的支付

為K+D/g)o如果＞K,則看跌期權在下不執(zhí)行，證券組合C的支付為

S7+/V?T)。所以，證券組合c在到期日T的支付為

max3廣+De，＞C，t),K+o

10

在證券組合D中，如果現(xiàn)金流以無風險利率投資，則在到期日7,這個現(xiàn)金流變?yōu)?/p>

Der^T-l)+Ko無論在哪種情況下，證券組合C的終端支付都不會小于證券組合D的到期日

支付，有時，還嚴格大于D的到期口支付。因此，有無套利原理，證券組合C現(xiàn)在的價值應

該大于證券組合D現(xiàn)在的價值，即，

p.+S,>D+Kefg),(15)

或者

—S,。(16)

這是我們得到