第16講 勾股定理全章復習與測試-【暑假自學課】2022年新八年級數(shù)學暑假課（蘇科版）

第16講勾股定理全章復習與測試【學習目標】1.掌握勾股定理的內容及證明方法，能夠熟練地運用勾股定理由已知直角三角形中的兩條邊長求出第三條邊長．2.掌握勾股定理，能夠運用勾股定理解決簡單的實際問題，會運用方程思想解決問題．3.熟練應用勾股定理解決直角三角形中的問題，進一步運用方程思想解決問題．4.掌握勾股定理的逆定理及其應用．理解原命題與其逆命題，原定理與其逆定理的概念及它們之間的關系．5.能利用勾股定理的逆定理，由三邊之長判斷一個三角形是否是直角三角形.6.能夠理解勾股定理及逆定理的區(qū)別與聯(lián)系，掌握它們的應用范圍.【基礎知識】一．直角三角形的性質（1）有一個角為90°的三角形，叫做直角三角形．（2）直角三角形是一種特殊的三角形，它除了具有一般三角形的性質外，具有一些特殊的性質：性質1：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方（勾股定理）．性質2：在直角三角形中，兩個銳角互余．性質3：在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點）性質4：直角三角形的兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．性質5：在直角三角形中，如果有一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半；在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角等于30°．二．勾股定理（1）勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方．如果直角三角形的兩條直角邊長分別是a，b，斜邊長為c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理應用的前提條件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的變形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜邊大于該直角三角形中的每一條直角邊．三．勾股定理的證明（1）勾股定理的證明方法有很多種，教材是采用了拼圖的方法證明的．先利用拼圖的方法，然后再利用面積相等證明勾股定理．（2）證明勾股定理時，用幾個全等的直角三角形拼成一個規(guī)則的圖形，然后利用大圖形的面積等于幾個小圖形的面積和化簡整理得到勾股定理．四．勾股定理的逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2＝c2，那么這個三角形就是直角三角形．說明：①勾股定理的逆定理驗證利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理將數(shù)轉化為形，作用是判斷一個三角形是不是直角三角形．必須滿足較小兩邊平方的和等于最大邊的平方才能做出判斷．（2）運用勾股定理的逆定理解決問題的實質就是判斷一個角是不是直角．然后進一步結合其他已知條件來解決問題．注意：要判斷一個角是不是直角，先要構造出三角形，然后知道三條邊的大小，用較小的兩條邊的平方和與最大的邊的平方比較，如果相等，則三角形為直角三角形；否則不是．五．勾股數(shù)勾股數(shù)：滿足a2+b2＝c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．說明：①三個數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2＝c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)．②一組勾股數(shù)擴大相同的整數(shù)倍得到三個數(shù)仍是一組勾股數(shù)．③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；…六．勾股定理的應用（1）在不規(guī)則的幾何圖形中，通常添加輔助線得到直角三角形．（2）在應用勾股定理解決實際問題時勾股定理與方程的結合是解決實際問題常用的方法，關鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領會數(shù)形結合的思想的應用．（3）常見的類型：①勾股定理在幾何中的應用：利用勾股定理求幾何圖形的面積和有關線段的長度．②由勾股定理演變的結論：分別以一個直角三角形的三邊為邊長向外作正多邊形，以斜邊為邊長的多邊形的面積等于以直角邊為邊長的多邊形的面積和．③勾股定理在實際問題中的應用：運用勾股定理的數(shù)學模型解決現(xiàn)實世界的實際問題．④勾股定理在數(shù)軸上表示無理數(shù)的應用：利用勾股定理把一個無理數(shù)表示成直角邊是兩個正整數(shù)的直角三角形的斜邊．【考點剖析】一．直角三角形的性質（共1小題）1．（2022春?濱?？h期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于點D，BE平分∠ABC，AD、BE相交于點F．（1）若∠CAD＝36°，求∠AEF的度數(shù)；（2）試說明：∠AEF＝∠AFE．二．勾股定理（共1小題）2．（2022春?尤溪縣期中）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于點D，∠CBE＝45°，BE分別交AC，AD于點E、F，連接CF．（1）判斷△BCF的形狀，并說明理由；（2）若AF＝BC，求證：BF2+EF2＝AE2．三．勾股定理的證明（共1小題）3．（2022春?廬江縣期中）將兩個全等的直角三角形按如圖所示擺放，使點A、E、D在同一條直線上．利用此圖的面積表示式證明勾股定理．四．勾股定理的逆定理（共1小題）4．（2022春?瑞金市期中）（1）在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，求BC的長．（2）在△ABC中，AB＝，AC＝2，BC＝3，判斷△ABC是否是直角三角形．五．勾股數(shù)（共1小題）5．（2022春?恩施市校級月考）能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)a，b，c稱為勾股數(shù)．世界上第一次給出勾股數(shù)通解公式的是我國古代數(shù)學著作《九章算術》，勾股數(shù)組公式為a＝（m2﹣n2），b＝mn，c＝（m2+n2），其中m＞n＞0，m，n是互質的奇數(shù)．當n＝1時，求有一邊長為5的直角三角形的另外兩條邊長．六．勾股定理的應用（共1小題）6．（2022春?中山市期中）如圖，學校要測量旗桿的高度，同學們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面并多出一段（如圖1），同學們首先測量了多出的這段繩子長度為1米，再將繩子拉直（如圖2），測出繩子末端C到旗桿底部B的距離為5米，求旗桿的高度．七．等腰直角三角形（共1小題）7．（2021秋?齊河縣期末）兩個大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連接DC．（1）請找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結論中不得含有未標識的字母）；（2）證明：DC⊥BE．【過關檢測】一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）在下列以線段a、b、c的長為邊，能構成直角三角形的是（）A．a＝3，b＝4，c＝6 B．a＝5，b＝6，c＝7 C．a＝6，b＝8，c＝9 D．a＝7，b＝24，c＝252．（3分）下列4組線段中，不能組成直角三角形的是（）A．a＝3，b＝4，c＝5 B．a＝2，b＝3，c＝4 C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a＝8，b＝15，c＝173．（3分）下列各組數(shù)是勾股數(shù)的是（）A．32，42，52 B．1.5，2，2.5 C．6，8，10 D．，，4．（3分）有一個邊長為40cm的正方形洞口，要用一個圓蓋去蓋住這個洞口，那么圓蓋的直徑至少應為（）A．40cm B．20cm C．40cm D．40cm5．（3分）在Rt△ABC中，兩直角邊長分別為3和4，則斜邊的長度是（）A．2 B． C．5 D．或56．（3分）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．0.3，0.4，0.5 B． C．6，8，10 D．1.5，2，2.57．（3分）我國是最早了解勾股定理的國家之一．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是（）A． B． C． D．8．（3分）如圖，△OA1A2是等腰直角三角形，OA1＝1，以斜邊OA2為直角邊作等腰直角三角形OA2A3，再以OA3為直角邊作等腰直角三角形OA3A4，…，按此規(guī)律作下去，則OA2021的長為（）A． B． C． D．二．填空題（共8小題，滿分24分，每小題3分）9．（3分）如圖，在正方形網格中，點A，B，C，D均為格點，則∠CBD+∠ABC＝．10．（3分）如圖所示的正方形是由四個全等的直角三角形拼成的，直角三角形的兩條直角邊長分別為2，3，則大正方形的面積為．11．（3分）《九章算術》中有一道“引葭赴岸”問題：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊．問水深，葭長各幾何？”題意是：有一個池塘，其底面是邊長為10尺的正方形，一棵蘆葦AB生長在它的中央，高出水面部分BC為1尺．如果把該蘆葦沿與水池邊垂直的方向拉向岸邊，那么蘆葦?shù)捻敳緽恰好碰到岸邊的B'（如圖）．則蘆葦長尺．12．（3分）《九章算術》是我國古代的數(shù)學名著，其中“勾股”章有一題，大意是說：已知矩形門的高比寬多6尺，門的對角線長10尺，那么門的高和寬各是多少？如果設門的寬為x尺，根據(jù)題意，那么可列方程．13．（3分）如圖是一參賽隊員設計的機器人比賽時行走的路徑，機器人從A處先往東走8m，又往北走3m，遇到障礙后又往西走4m，再轉向北走9m往東拐，僅走1m就到達了B．問A、B兩點之間的距離為m．14．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，點E為AB的中點，DE⊥AB于點E，AB＝6，，BC＝1，，則四邊形ABCD的面積為．15．（3分）我們學習了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．觀察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，發(fā)現(xiàn)這些勾股數(shù)的勾都是奇數(shù)，且從3起就沒有間斷過．（1）請你根據(jù)上述的規(guī)律寫出下一組勾股數(shù)：；（2）若第一個數(shù)用字母n（n為奇數(shù)，且n≥3）表示，那么后兩個數(shù)用含n的代數(shù)式分別表示為和．16．（3分）如圖，以直角三角形的三邊為邊，分別向直角三角形外部作等邊三角形，三個等邊三角形的面積分別為S1，S2，S3．則它們滿足的數(shù)量關系為．三．解答題（共8小題，滿分52分）17．（5分）如圖所示，甲漁船以8海里/時的速度離開港口O向東北方向航行，乙漁船以6海里/時的速度離開港口O向西北方向航行，他們同時出發(fā)，一個半小時后，甲、乙兩漁船相距多少海里？18．（6分）如圖，要在河邊修建一個水泵站，分別向張村A和李莊B送水，已知張村A、李莊B到河邊的距離分別為akm和bkm，且張、李二村莊相距ckm．水泵應建在什么地方，可使所用的水管最短？請在圖中設計出水泵站的位置．19．（6分）八年級（2）班的小明和小亮同學學了“勾股定理”之后，為了測得圖中風箏的高度CE，他們進行了如下操作：①測得BD的長為15米（注：BD⊥CE）；②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線BC的長為25米；③牽線放風箏的小明身高1.6米．（1）求風箏的高度CE．（2）過點D作DH⊥BC，垂足為H，求BH、DH．20．（6分）如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于點D，E是AC上一點，且DE＝DA，若AB＝15，BC＝20，求EC的長．21．（7分）如圖，某氣象站測得臺風中心在A城正西方向300km的B處，以每小時km的速度向北偏東60°的BF方向移動，距臺風中心200km的范圍是受臺風干擾的區(qū)域，問A城是否受到此次臺風的干擾？為什么？若要受到臺風干擾，求出A城受臺風干擾的時間．22．（7分）拖拉機在行駛的過程中的噪音會影響周圍環(huán)境，某拖拉機位于A學校正南方向125m的B處，正以150m/min的速度沿公路BC方向行駛，如圖所示，已知A學校到BC的距離AD＝35m，（1）求拖拉機從B處行駛到D處經過多長時間？（2）如果在距拖拉機91m的圓形區(qū)域內都將受噪音影響，那么A學校受到拖拉機噪音影響的時間有多長？（精確到0.1）23．（7分）一個直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發(fā)現(xiàn)了勾股定理的一種新的證明方法．如圖，火柴盒的一個側面ABCD（是一個長方形）倒下到AB′C′D′的位置，連接CC′，設AB＝a，BC＝b