電路基礎(chǔ)與實(shí)踐（第4版）課件：非正弦周期電流電路穩(wěn)態(tài)

非正弦周期電流電路穩(wěn)態(tài)分析

非正弦周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式非正弦周期量的基本知識(shí)非正弦周期電流電路的穩(wěn)態(tài)分析非正弦周期電流電路穩(wěn)態(tài)分析

8.1非正弦周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式8.2非正弦周期量的基本知識(shí)8.3非正弦周期電流電路的穩(wěn)態(tài)分析非正弦周期電流電路穩(wěn)態(tài)分析

引例：濾波電路濾波電路主要作用是濾除電路中不需要的信號(hào)，保留有用信號(hào)。濾波電路有低通濾波、高通濾波、帶通濾波和帶阻濾波等。低通濾波電路就是將高頻信號(hào)濾除，只保留低頻信號(hào)的電路；高通濾波電路就是將低頻信號(hào)濾除，只保留高頻信號(hào)的電路；帶通濾波電路就是將某一頻段內(nèi)的信號(hào)通過，而將其他頻段的信號(hào)濾除的電路；帶阻濾波電路則是將某一頻段內(nèi)的信號(hào)濾除，而將其他頻段的信號(hào)通過的電路。非正弦周期電流電路穩(wěn)態(tài)分析

圖8-1所示的RC低通濾波電路是比較簡(jiǎn)單的濾波電路，在該仿真電路中，u1幅值為1V、頻率為100Hz；疊加一個(gè)u2幅值為0.1V、頻率為1kHz把這兩個(gè)信號(hào)源串聯(lián)，模擬一個(gè)非正弦周期函數(shù)。那么有該信號(hào)的波形在示波器上顯示，相當(dāng)于低頻信號(hào)疊加高頻干擾的效果，經(jīng)過RC低通濾波之后，輸出電壓uo為頻率100Hz的正弦信號(hào)，高頻成分被濾除。圖8-1RC低通濾波電路仿真非正弦周期電流電路穩(wěn)態(tài)分析

答案是肯定的，理論依據(jù)就是傅里葉級(jí)數(shù)展開法，應(yīng)用該方法可將任意非正弦周期量分解為一系列不同頻率的正弦量之和，然后根據(jù)線性電路的疊加定理，求解各次諧波信號(hào)單獨(dú)作用然后代數(shù)疊加即可。這就是本章要研究的內(nèi)容。圖8-1RC低通濾波電路仿真在實(shí)際工程應(yīng)用中，很多情況下，信號(hào)是非正弦周期函數(shù)。這種信號(hào)的電路分析計(jì)算很不方便。在圖8-1中，的非正弦周期信號(hào)用兩個(gè)正弦信號(hào)疊加來模擬。是否所有的非正弦周期函數(shù)都能用一系列不同頻率的正弦信號(hào)疊加來表示？2024/12/276:24培養(yǎng)目標(biāo)知識(shí)目標(biāo)能力目標(biāo)素養(yǎng)目標(biāo)1)掌握非正弦周期電壓、電流的概念。2)熟練掌握非正弦周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式3)熟練掌握非正弦量有效值、平均值平、均功率的求解方法。熟練掌握非正弦周期電路的分析方法。1)能夠正確描述非正弦周期函數(shù)的特點(diǎn)。2)會(huì)對(duì)函數(shù)進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開3)會(huì)計(jì)算非正弦周期量有效值、平均值平、均功率。4)能夠?qū)Ψ钦抑芷陔娐愤M(jìn)行分析計(jì)算。5)會(huì)對(duì)非正弦周期電路進(jìn)行仿真分析。1）具有創(chuàng)造性思維、創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力。2）具有良好合作交流能力及團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神。3）具有安全意識(shí)，自覺遵守規(guī)章制度。4）具有良好的工程意識(shí)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)墓ぷ髯黠L(fēng)，自覺遵守工程規(guī)范。5）具有社會(huì)責(zé)任心與節(jié)能和環(huán)境保護(hù)意識(shí)。8.1非正弦周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式一、非正弦周期電流電路的基本概念

變化的周期T和頻率f

（a）（b）（c）圖8-1幾種常見的周期非正弦波（a）尖形波（b）矩形波（c）三角波諧波分析法圖8-2諧波分析法分析示意圖圖8-3矩形波的合成

二、非正弦周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式

1．三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開式給定的周期函數(shù)f（t）的周期為T，角頻率則f（t）的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為利用三角函數(shù)公式式中a0，ak，bk稱為傅里葉系數(shù)，可由下列積分求得:

各系數(shù)之間存在如下關(guān)系

A0是f（t）一周期時(shí)間內(nèi)的平均值，稱直流分量。k=1的正弦波稱為基波；k=2的正弦波稱為二次諧波；k=n的正弦波，稱為n次諧波。當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)稱為奇次諧波；k為偶數(shù)時(shí)，稱為偶次諧波。非正弦周期波的傅里葉級(jí)數(shù)展開，關(guān)鍵是計(jì)算傅里葉系數(shù)的問題。表1.1部分電器圖形符號(hào)2．指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)展開式式中的Fk是復(fù)常數(shù)。

利用歐拉公式，我們可以將三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)表示為復(fù)指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)例8-1已知矩形周期電壓的波形如圖8-4所示。求u（t）的傅里葉級(jí)數(shù)。

圖8-4矩形波解圖示矩形周期電壓在一個(gè)周期內(nèi)的表示式為

由式8-3可知:由此可得當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)

三、非正弦周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式的簡(jiǎn)化

綜上所述，根據(jù)周期函數(shù)的對(duì)稱性可以預(yù)先判斷它所包含的諧波分量的類型，定性地判定哪些諧波分量不存在（這在工程上常常是有用的），從而使傅里葉系數(shù)的計(jì)算得到簡(jiǎn)化。3）周期函數(shù)為偶函數(shù)時(shí)，即滿足f（t）=f（-t）波形對(duì)稱于縱軸。如全波整流波形、矩形波都是偶函數(shù)。它們的傅里葉級(jí)數(shù)展開式中bk=0，即無正弦諧波分量，只含余弦諧波分量，因?yàn)橛嘞液瘮?shù)本身就是偶函數(shù)。

周期函數(shù)表示為在電路中遇到的非正弦周期函數(shù)，大多都具有某種對(duì)稱性。在對(duì)稱波形的傅里葉級(jí)數(shù)中，有些諧波分量不存在。因此利用波形對(duì)稱性與諧波分量的關(guān)系，可以簡(jiǎn)化傅里葉系數(shù)的計(jì)算。1）周期函數(shù)的波形在橫軸上、下部分包圍的面積相等，此時(shí)函數(shù)的平均值等于零，傅里葉級(jí)數(shù)展開式中a0=0，無直流分量。2）周期函數(shù)為奇函數(shù)時(shí)，即滿足f（t）=-f（-t），波形對(duì)稱于原點(diǎn)。則a0=0，ak=0此時(shí)

例8-2試把圖8-5所示振幅為50V、周期為0.02s的三角波電壓分解為傅里葉級(jí)數(shù)（取至五次諧波）。

圖8-5三角波解電壓基波的角頻率為函數(shù)為奇函數(shù)，則a0=0，ak=0，此時(shí)可得四、非正弦周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)查表求法

表8-1幾個(gè)典型的周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式8.2非正弦周期量的基本知識(shí)一、有效值、平均值平、均功率

1．有效值周期函數(shù)f（t）的有效值定義式為

以周期電流為例，有效值定義式為若將電流i分解成傅里葉級(jí)數(shù)將該表達(dá)式代入電流i效值定義式得將上式積分號(hào)內(nèi)直流分量與各次諧波之和的平方展開，結(jié)果有以下四種類型:電流i的有效值可按下式計(jì)算

同理，非正弦周期電壓的有效值為所以，非正弦周期電流和電壓的有效值等于各次諧波有效值平方和的平方根。各次諧波有效值與最大值之間的關(guān)系為例8-3

已知非正弦周期電流的傅里葉級(jí)數(shù)展開式為i=100－63.7sinωt－31.8sin2ωt－21.1sin3ωtA，求其有效值。解先求各次諧波有效值所以由式8-5得電流i的有效值為112.9A

2．平均值

實(shí)踐中還會(huì)用到平均值的概念。以電流為例，其定義為即非正弦周期電流的平均值等于此電流絕對(duì)值的平均值。式8-8也稱為整流平均值，它相當(dāng)于正弦電流經(jīng)全波整流后的平均值。例如，當(dāng)時(shí)，其平均值為

同理，電壓平均值的表示式為

注意：非正弦交流電路中的直流分量和平均值是二個(gè)不同的概念，應(yīng)加以區(qū)分。3．平均功率設(shè)有一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)，在非正弦周期電壓u的作用下產(chǎn)生非正弦周期電流i，若選擇電壓和電流的方向一致，此二端網(wǎng)絡(luò)吸收的瞬時(shí)功率和平均功率為

若一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)，端口的非正弦周期電壓和電流展開成傅里葉級(jí)數(shù)分別為

則二端網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率為

將上式積分號(hào)內(nèi)兩個(gè)積數(shù)的乘積展開，分別計(jì)算各乘積項(xiàng)在一個(gè)周期內(nèi)的平均值。因此，二端網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率可按下式計(jì)算其中，是k次諧波的平均功率，

分析表明：1）非正弦交流電路的平均功率，等于直流分量功率和各次諧波平均功率之和。非正弦交流電路中，不同頻率的各次諧波平均功率滿足疊加性，而在直流電路和單一頻率多電源正弦交流電路的有功功率不滿足疊加性。2）非正弦交流電路中，同次諧波電壓和電流形成平均功率，而不同次諧波電壓和電流不形成平均功率。這是由于三角函數(shù)的正交性所決定的。例8-4流過R=10電阻的電流為

求其平均功率。解:根據(jù)式8-10得2有效值、平均值平、均功率的計(jì)算

非正弦周期電路的有效值和平均值平均功率的計(jì)算時(shí)應(yīng)注意：等效正弦量的有效值應(yīng)等于已知非正弦周期量的有效值；等效正弦量的頻率應(yīng)等于非正弦周期量的頻率；等效正弦量代替非正弦周期電壓和電流后，其功率必須等于電路的實(shí)際功率。例8-5已知某無源二端網(wǎng)絡(luò)電流為

端電壓為

求二端網(wǎng)絡(luò)吸收的平均功率。

解：首先確定各等效正弦量的頻率和振幅（或有效值），再確定等效正弦量的初相位，然后根據(jù)式8-11可得例8-6設(shè)圖8-6（a）所示電路中（1）求電流源的端電壓及有效值；（2）求電流源發(fā)出的平均功率圖8-6例8-6圖解：首先考慮直流成分的作用。將電感短路，電容開路，作直流電路模型如圖8-6（b）所示。電流源端電壓中直流分量為U0=（10+2×2）=14V再令頻率為的正弦電源作用，電路的相量模型如圖8-6（c）所示用節(jié)點(diǎn)法求電流源端電壓相量化簡(jiǎn)得解得電流源的端電壓及其有效值分別為電流源發(fā)出的平均功率為8.3非正弦周期電流電路的穩(wěn)態(tài)分析在8.1節(jié)中，已介紹了諧波分析法的概念，它是非正弦周期電流電路計(jì)算的基本方法，在這里把傅里葉級(jí)數(shù)，直流電路，交流電路的分析和計(jì)算方法以及疊加原理應(yīng)用于非正弦的周期電路中，就可以對(duì)其電路進(jìn)行分析和計(jì)算。具體步驟如下:1）把給定的非正弦輸入信號(hào)分解成直流分量和各次諧波分量，并根據(jù)精度的具體要求取前幾項(xiàng)。2）分別計(jì)算各諧波分量單獨(dú)作用于電路時(shí)的電壓和電流。但要注意電容和電感對(duì)各次諧波表現(xiàn)出來的感抗和容抗的不同，對(duì)于k次諧波有

3）應(yīng)用線性電路的疊加原理，將各次諧波作用下的電壓或電流的瞬時(shí)值進(jìn)行疊加。應(yīng)注意的是，由于各次諧波的頻率不同，不能用相量形式進(jìn)行疊加。圖8-7例8-7圖例8-7

如圖8-7（a）所示的矩形脈沖作用于圖8-7（b）所示的RLC串聯(lián)電路，其中矩形脈沖的幅度為100V，周