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文檔簡介
陜西省西安市電子科技大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高三最后一卷數(shù)學(xué)試卷注意事項1.考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.波羅尼斯(古希臘數(shù)學(xué)家,的公元前262-190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學(xué)成果,它將圓錐曲線的性質(zhì)網(wǎng)羅殆盡,幾乎使后人沒有插足的余地.他證明過這樣一個命題:平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)k(k>0,且k≠1)的點的軌跡是圓,后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.現(xiàn)有橢圓=1(a>b>0),A,B為橢圓的長軸端點,C,D為橢圓的短軸端點,動點M滿足=2,△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,則橢圓的離心率為()A. B. C. D.2.如圖,在中,點,分別為,的中點,若,,且滿足,則等于()A.2 B. C. D.3.已知等比數(shù)列滿足,,則()A. B. C. D.4.為雙曲線的左焦點,過點的直線與圓交于、兩點,(在、之間)與雙曲線在第一象限的交點為,為坐標(biāo)原點,若,且,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.5.在中,,,,若,則實數(shù)()A. B. C. D.6.《易·系辭上》有“河出圖,洛出書”之說,河圖、洛書是中華文化,陰陽術(shù)數(shù)之源,其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中.如圖,白圈為陽數(shù),黑點為陰數(shù).若從這10個數(shù)中任取3個數(shù),則這3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為()A. B. C. D.7.已知復(fù)數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則().A. B. C. D.8.在中,為中點,且,若,則()A. B. C. D.9.設(shè),則(
)A.10 B.11 C.12 D.1310.過拋物線的焦點作直線與拋物線在第一象限交于點A,與準(zhǔn)線在第三象限交于點B,過點作準(zhǔn)線的垂線,垂足為.若,則()A. B. C. D.11.已知,,若,則向量在向量方向的投影為()A. B. C. D.12.執(zhí)行如圖所示的程序框圖若輸入,則輸出的的值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,為測量出高,選擇和另一座山的山頂為測量觀測點,從點測得點的仰角,點的仰角以及;從點測得.已知山高,則山高__________.14.已知數(shù)列的前項和為,,則滿足的正整數(shù)的值為______.15.,則f(f(2))的值為____________.16.已知數(shù)列的前項和為,且成等差數(shù)列,,數(shù)列的前項和為,則滿足的最小正整數(shù)的值為______________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)選修4-2:矩陣與變換(本小題滿分10分)已知矩陣A=(k≠0)的一個特征向量為α=,A的逆矩陣A-1對應(yīng)的變換將點(3,1)變?yōu)辄c(1,1).求實數(shù)a,k的值.18.(12分)金秋九月,丹桂飄香,某高校迎來了一大批優(yōu)秀的學(xué)生.新生接待其實也是和社會溝通的一個平臺.校團委、學(xué)生會從在校學(xué)生中隨機抽取了160名學(xué)生,對是否愿意投入到新生接待工作進行了問卷調(diào)查,統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:愿意不愿意男生6020女士4040(1)根據(jù)上表說明,能否有99%把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān);(2)現(xiàn)從參與問卷調(diào)查且愿意參加新生接待工作的學(xué)生中,采用按性別分層抽樣的方法,選取10人.若從這10人中隨機選取3人到火車站迎接新生,設(shè)選取的3人中女生人數(shù)為,寫出的分布列,并求.附:,其中.0.050.010.0013.8416.63510.82819.(12分)已知函數(shù).(1)若不等式有解,求實數(shù)的取值范圍;(2)函數(shù)的最小值為,若正實數(shù),,滿足,證明:.20.(12分)某商店舉行促銷反饋活動,顧客購物每滿200元,有一次抽獎機會(即滿200元可以抽獎一次,滿400元可以抽獎兩次,依次類推).抽獎的規(guī)則如下:在一個不透明口袋中裝有編號分別為1,2,3,4,5的5個完全相同的小球,顧客每次從口袋中摸出一個小球,共摸三次,每次摸出的小球均不放回口袋,若摸得的小球編號一次比一次大(如1,2,5),則獲得一等獎,獎金40元;若摸得的小球編號一次比一次小(如5,3,1),則獲得二等獎,獎金20元;其余情況獲得三等獎,獎金10元.(1)某人抽獎一次,求其獲獎金額X的概率分布和數(shù)學(xué)期望;(2)趙四購物恰好滿600元,假設(shè)他不放棄每次抽獎機會,求他獲得的獎金恰好為60元的概率.21.(12分)設(shè)函數(shù).(1)當(dāng)時,求不等式的解集;(2)若恒成立,求的取值范圍.22.(10分)平面直角坐標(biāo)系中,曲線:.直線經(jīng)過點,且傾斜角為,以為極點,軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系.(1)寫出曲線的極坐標(biāo)方程與直線的參數(shù)方程;(2)若直線與曲線相交于,兩點,且,求實數(shù)的值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】
求得定點M的軌跡方程可得,解得a,b即可.【詳解】設(shè)A(-a,0),B(a,0),M(x,y).∵動點M滿足=2,則=2,化簡得.∵△MAB面積的最大值為8,△MCD面積的最小值為1,∴,解得,∴橢圓的離心率為.故選D.【點睛】本題考查了橢圓離心率,動點軌跡,屬于中檔題.2、D【解析】
選取為基底,其他向量都用基底表示后進行運算.【詳解】由題意是的重心,,∴,,∴,故選:D.【點睛】本題考查向量的數(shù)量積,解題關(guān)鍵是選取兩個不共線向量作為基底,其他向量都用基底表示參與運算,這樣做目標(biāo)明確,易于操作.3、B【解析】由a1+a3+a5=21得a3+a5+a7=,選B.4、D【解析】
過點作,可得出點為的中點,由可求得的值,可計算出的值,進而可得出,結(jié)合可知點為的中點,可得出,利用勾股定理求得(為雙曲線的右焦點),再利用雙曲線的定義可求得該雙曲線的離心率的值.【詳解】如下圖所示,過點作,設(shè)該雙曲線的右焦點為,連接.,.,,,為的中點,,,,,由雙曲線的定義得,即,因此,該雙曲線的離心率為.故選:D.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解,解題時要充分分析圖形的形狀,考查推理能力與計算能力,屬于中等題.5、D【解析】
將、用、表示,再代入中計算即可.【詳解】由,知為的重心,所以,又,所以,,所以,.故選:D【點睛】本題考查平面向量基本定理的應(yīng)用,涉及到向量的線性運算,是一道中檔題.6、C【解析】
先根據(jù)組合數(shù)計算出所有的情況數(shù),再根據(jù)“3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列”列舉得到滿足條件的情況,由此可求解出對應(yīng)的概率.【詳解】所有的情況數(shù)有:種,3個數(shù)中至少有2個陽數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有:,共種,所以目標(biāo)事件的概率.故選:C.【點睛】本題考查概率與等差數(shù)列的綜合,涉及到背景文化知識,難度一般.求解該類問題可通過古典概型的概率求解方法進行分析;當(dāng)情況數(shù)較多時,可考慮用排列數(shù)、組合數(shù)去計算.7、A【解析】
先化簡求出,即可求得答案.【詳解】因為,所以所以故選:A【點睛】此題考查復(fù)數(shù)的基本運算,注意計算的準(zhǔn)確度,屬于簡單題目.8、B【解析】
選取向量,為基底,由向量線性運算,求出,即可求得結(jié)果.【詳解】,,,,,.故選:B.【點睛】本題考查了平面向量的線性運算,平面向量基本定理,屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】
根據(jù)題中給出的分段函數(shù),只要將問題轉(zhuǎn)化為求x≥10內(nèi)的函數(shù)值,代入即可求出其值.【詳解】∵f(x),∴f(5)=f[f(1)]=f(9)=f[f(15)]=f(13)=1.故選:B.【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)中求函數(shù)的值,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】
需結(jié)合拋物線第一定義和圖形,得為等腰三角形,設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點為,過點作,再由三角函數(shù)定義和幾何關(guān)系分別表示轉(zhuǎn)化出,,結(jié)合比值與正切二倍角公式化簡即可【詳解】如圖,設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點為,過點作.由拋物線定義知,所以,,,,所以.故選:C【點睛】本題考查拋物線的幾何性質(zhì),三角函數(shù)的性質(zhì),數(shù)形結(jié)合思想,轉(zhuǎn)化與化歸思想,屬于中檔題11、B【解析】
由,,,再由向量在向量方向的投影為化簡運算即可【詳解】∵∴,∴,∴向量在向量方向的投影為.故選:B.【點睛】本題考查向量投影的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題12、C【解析】
由程序語言依次計算,直到時輸出即可【詳解】程序的運行過程為當(dāng)n=2時,時,,此時輸出.故選:C【點睛】本題考查由程序框圖計算輸出結(jié)果,屬于基礎(chǔ)題二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、1【解析】試題分析:在中,,,在中,由正弦定理可得即解得,在中,.故答案為1.考點:正弦定理的應(yīng)用.14、6【解析】
已知,利用,求出通項,然后即可求解【詳解】∵,∴當(dāng)時,,∴;當(dāng)時,,∴,故數(shù)列是首項為-2,公比為2的等比數(shù)列,∴.又,∴,∴,∴.【點睛】本題考查通項求解問題,屬于基礎(chǔ)題15、1【解析】
先求f(1),再根據(jù)f(1)值所在區(qū)間求f(f(1)).【詳解】由題意,f(1)=log3(11–1)=1,故f(f(1))=f(1)=1×e1–1=1,故答案為:1.【點睛】本題考查分段函數(shù)求值,考查對應(yīng)性以及基本求解能力.16、1【解析】
本題先根據(jù)公式初步找到數(shù)列的通項公式,然后根據(jù)等差中項的性質(zhì)可解得的值,即可確定數(shù)列的通項公式,代入數(shù)列的表達式計算出數(shù)列的通項公式,然后運用裂項相消法計算出前項和,再代入不等式進行計算可得最小正整數(shù)的值.【詳解】由題意,當(dāng)時,.當(dāng)時,.則,.,,成等差數(shù)列,,即,解得..,...,.即,,即,,,,即.滿足的最小正整數(shù)的值為1.故答案為:1.【點睛】本題主要考查數(shù)列求通項公式、裂項相消法求前項和,考查了轉(zhuǎn)化思想、方程思想,考查了不等式的計算、邏輯思維能力和數(shù)學(xué)運算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、解:設(shè)特征向量為α=對應(yīng)的特征值為λ,則=λ,即因為k≠0,所以a=2.5分因為,所以A=,即=,所以2+k=3,解得k=2.綜上,a=2,k=2.20分【解析】試題分析:由特征向量求矩陣A,由逆矩陣求k考點:特征向量,逆矩陣點評:本題主要考查了二階矩陣,以及特征值與特征向量的計算,考查逆矩陣.18、(1)有99%把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān);(2)詳見解析.【解析】
(1)計算得到,由此可得結(jié)論;(2)根據(jù)分層抽樣原則可得男生和女生人數(shù),由超幾何分布概率公式可求得的所有可能取值所對應(yīng)的概率,由此得到分布列;根據(jù)數(shù)學(xué)期望計算公式計算可得期望.【詳解】(1)∵的觀測值,有的把握認(rèn)為愿意參加新生接待工作與性別有關(guān).(2)根據(jù)分層抽樣方法得:男生有人,女生有人,選取的人中,男生有人,女生有人.則的可能取值有,,,,,的分布列為:.【點睛】本題考查獨立性檢驗、分層抽樣、超幾何分布的分布列和數(shù)學(xué)期望的求解;關(guān)鍵是能夠明確隨機變量服從于超幾何分布,進而利用超幾何分布概率公式求得隨機變量每個取值所對應(yīng)的概率.19、(1)(2)見解析【解析】
(1)分離得到,求的最小值即可求得的取值范圍;(2)先求出,得到,利用乘變化即可證明不等式.【詳解】解:(1)設(shè),∴在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.故.∵有解,∴.即的取值范圍為.(2),當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.∴,即.∵.當(dāng)且僅當(dāng),,時等號成立.∴,即成立.【點睛】此題考查不等式的證明,注意定值乘變化的靈活應(yīng)用,屬于較易題目.20、(1)分布見解析,期望為;(2).【解析】
(1)先明確X的可能取值,分別求解其概率,然后寫出分布列,利用期望公式可求期望;(2)獲得的獎金恰好為60元,可能是三次二等獎,也可能是一次一等獎,兩次三等獎,然后分別求解概率即可.【詳解】(1)由題意知,隨機變量X的可能取值為10,20,40且,,所以,即隨機變量X的概率分布為X102040P所以隨機變量X的數(shù)學(xué)期望.(2)由題意知,趙四有三次抽獎機會,設(shè)恰好獲得60元為事件A,因為60=20×3=40+10+10,所以.【點睛】本題主要考查隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望,明確隨機變量的所有取值是求解的第一步,再求解對應(yīng)的概率,側(cè)重考查數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).21、(1);(2).【解析】
分析:(1)先根據(jù)絕對值幾何意義將不等式化為三個不等式組,分別求解,最后求并集,(2)先化簡不等式為,再根據(jù)絕對值三角不等式得最小值,最后解不等式得的取值范圍.詳解:(1)當(dāng)時,可得的解集為.(2)等價于.而,且當(dāng)時等號成立.故等價于.由可得或,所以的取值范圍是.點睛:含絕對值不等式的解法有兩個基本方法,一是運用零點分區(qū)間討論,二是利用絕對值的幾何意義求解.法一是運用分類討論思想,法二是運用數(shù)形結(jié)合思想,將絕對值不等式與函
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