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文檔簡介

寧夏銀川市三校2025屆高考數(shù)學四模試卷注意事項1.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.定義在R上的偶函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=f(x),當x∈[﹣3,﹣2]時,f(x)=﹣x﹣2,則()A. B.f(sin3)<f(cos3)C. D.f(2020)>f(2019)2.下列選項中,說法正確的是()A.“”的否定是“”B.若向量滿足,則與的夾角為鈍角C.若,則D.“”是“”的必要條件3.復數(shù)(為虛數(shù)單位),則的共軛復數(shù)在復平面上對應的點位于()A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限4.已知數(shù)列中,,若對于任意的,不等式恒成立,則實數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.5.在長方體中,,則直線與平面所成角的余弦值為()A. B. C. D.6.點為的三條中線的交點,且,,則的值為()A. B. C. D.7.關于圓周率π,數(shù)學發(fā)展史上出現(xiàn)過許多很有創(chuàng)意的求法,如著名的浦豐實驗和查理斯實驗.受其啟發(fā),我們也可以通過設計下面的實驗來估計的值:先請全校名同學每人隨機寫下一個都小于的正實數(shù)對;再統(tǒng)計兩數(shù)能與構成鈍角三角形三邊的數(shù)對的個數(shù);最后再根據(jù)統(tǒng)計數(shù)估計的值,那么可以估計的值約為()A. B. C. D.8.已知直線:與橢圓交于、兩點,與圓:交于、兩點.若存在,使得,則橢圓的離心率的取值范圍為()A. B. C. D.9.已知集合,,則()A. B.C. D.10.在天文學中,天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足,其中星等為mk的星的亮度為Ek(k=1,2).已知太陽的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,則太陽與天狼星的亮度的比值為()A.1010.1 B.10.1 C.lg10.1 D.10–10.111.已知非零向量滿足,若夾角的余弦值為,且,則實數(shù)的值為()A. B. C.或 D.12.已知函數(shù)fx=sinωx+π6+A.16,13 B.1二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.函數(shù)的圖象在處的切線方程為__________.14.在的展開式中,的系數(shù)為________.15.在中,,,,則繞所在直線旋轉一周所形成的幾何體的表面積為______________.16.已知邊長為的菱形中,,現(xiàn)沿對角線折起,使得二面角為,此時點,,,在同一個球面上,則該球的表面積為________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)若在處取得極值,求的值;(2)求在區(qū)間上的最小值;(3)在(1)的條件下,若,求證:當時,恒有成立.18.(12分)如圖,D是在△ABC邊AC上的一點,△BCD面積是△ABD面積的2倍,∠CBD=2∠ABD=2θ.(Ⅰ)若θ=,求的值;(Ⅱ)若BC=4,AB=2,求邊AC的長.19.(12分)選修4-5:不等式選講設函數(shù).(1)當時,求不等式的解集;(2)若在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)如圖,是正方形,點在以為直徑的半圓弧上(不與,重合),為線段的中點,現(xiàn)將正方形沿折起,使得平面平面.(1)證明:平面.(2)三棱錐的體積最大時,求二面角的余弦值.21.(12分)如圖,在斜三棱柱中,平面平面,,,,均為正三角形,E為AB的中點.(Ⅰ)證明:平面;(Ⅱ)求斜三棱柱截去三棱錐后剩余部分的體積.22.(10分)每年3月20日是國際幸福日,某電視臺隨機調(diào)查某一社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從該社區(qū)群中隨機抽取18名,用“10分制”記錄了他們的幸福度指數(shù),結果見如圖所示莖葉圖,其中以小數(shù)點前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點后的一位數(shù)字為葉.若幸福度不低于8.5分,則稱該人的幸福度為“很幸?!保?Ⅰ)求從這18人中隨機選取3人,至少有1人是“很幸福”的概率;(Ⅱ)以這18人的樣本數(shù)據(jù)來估計整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“很幸福”的人數(shù),求的分布列及.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的周期性以及x∈[﹣3,﹣2]的解析式,可作出函數(shù)f(x)在定義域上的圖象,由此結合選項判斷即可.【詳解】由f(x+2)=f(x),得f(x)是周期函數(shù)且周期為2,先作出f(x)在x∈[﹣3,﹣2]時的圖象,然后根據(jù)周期為2依次平移,并結合f(x)是偶函數(shù)作出f(x)在R上的圖象如下,選項A,,所以,選項A錯誤;選項B,因為,所以,所以f(sin3)<f(﹣cos3),即f(sin3)<f(cos3),選項B正確;選項C,,所以,即,選項C錯誤;選項D,,選項D錯誤.故選:B.【點睛】本題考查函數(shù)性質的綜合運用,考查函數(shù)值的大小比較,考查數(shù)形結合思想,屬于中檔題.2、D【解析】

對于A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,即可判斷出;對于B若向量滿足,則與的夾角為鈍角或平角;對于C當m=0時,滿足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立;對于D根據(jù)元素與集合的關系即可做出判斷.【詳解】選項A根據(jù)命題的否定可得:“?x0∈R,x02-x0≤0”的否定是“?x∈R,x2-x>0”,因此A不正確;選項B若向量滿足,則與的夾角為鈍角或平角,因此不正確.選項C當m=0時,滿足am2≤bm2,但是a≤b不一定成立,因此不正確;選項D若“”,則且,所以一定可以推出“”,因此“”是“”的必要條件,故正確.故選:D.【點睛】本題考查命題的真假判斷與應用,涉及知識點有含有量詞的命題的否定、不等式性質、向量夾角與性質、集合性質等,屬于簡單題.3、C【解析】

由復數(shù)除法求出,寫出共軛復數(shù),寫出共軛復數(shù)對應點坐標即得【詳解】解析:,,對應點為,在第三象限.故選:C.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算,共軛復數(shù)的概念,復數(shù)的幾何意義.掌握復數(shù)除法法則是解題關鍵.4、B【解析】

先根據(jù)題意,對原式進行化簡可得,然后利用累加法求得,然后不等式恒成立轉化為恒成立,再利用函數(shù)性質解不等式即可得出答案.【詳解】由題,即由累加法可得:即對于任意的,不等式恒成立即令可得且即可得或故選B【點睛】本題主要考查了數(shù)列的通項的求法以及函數(shù)的性質的運用,屬于綜合性較強的題目,解題的關鍵是能夠由遞推數(shù)列求出通項公式和后面的轉化函數(shù),屬于難題.5、C【解析】

在長方體中,得與平面交于,過做于,可證平面,可得為所求解的角,解,即可求出結論.【詳解】在長方體中,平面即為平面,過做于,平面,平面,平面,為與平面所成角,在,,直線與平面所成角的余弦值為.故選:C.【點睛】本題考查直線與平面所成的角,定義法求空間角要體現(xiàn)“做”“證”“算”,三步驟缺一不可,屬于基礎題.6、B【解析】

可畫出圖形,根據(jù)條件可得,從而可解出,然后根據(jù),進行數(shù)量積的運算即可求出.【詳解】如圖:點為的三條中線的交點,由可得:,又因,,.故選:B【點睛】本題考查三角形重心的定義及性質,向量加法的平行四邊形法則,向量加法、減法和數(shù)乘的幾何意義,向量的數(shù)乘運算及向量的數(shù)量積的運算,考查運算求解能力,屬于中檔題.7、D【解析】

由試驗結果知對0~1之間的均勻隨機數(shù),滿足,面積為1,再計算構成鈍角三角形三邊的數(shù)對,滿足條件的面積,由幾何概型概率計算公式,得出所取的點在圓內(nèi)的概率是圓的面積比正方形的面積,即可估計的值.【詳解】解:根據(jù)題意知,名同學取對都小于的正實數(shù)對,即,對應區(qū)域為邊長為的正方形,其面積為,若兩個正實數(shù)能與構成鈍角三角形三邊,則有,其面積;則有,解得故選:.【點睛】本題考查線性規(guī)劃可行域問題及隨機模擬法求圓周率的幾何概型應用問題.線性規(guī)劃可行域是一個封閉的圖形,可以直接解出可行域的面積;求解與面積有關的幾何概型時,關鍵是弄清某事件對應的面積,必要時可根據(jù)題意構造兩個變量,把變量看成點的坐標,找到試驗全部結果構成的平面圖形,以便求解.8、A【解析】

由題意可知直線過定點即為圓心,由此得到坐標的關系,再根據(jù)點差法得到直線的斜率與坐標的關系,由此化簡并求解出離心率的取值范圍.【詳解】設,且線過定點即為的圓心,因為,所以,又因為,所以,所以,所以,所以,所以,所以,所以.故選:A.【點睛】本題考查橢圓與圓的綜合應用,著重考查了橢圓離心率求解以及點差法的運用,難度一般.通過運用點差法達到“設而不求”的目的,大大簡化運算.9、A【解析】

根據(jù)對數(shù)性質可知,再根據(jù)集合的交集運算即可求解.【詳解】∵,集合,∴由交集運算可得.故選:A.【點睛】本題考查由對數(shù)的性質比較大小,集合交集的簡單運算,屬于基礎題.10、A【解析】

由題意得到關于的等式,結合對數(shù)的運算法則可得亮度的比值.【詳解】兩顆星的星等與亮度滿足,令,.故選A.【點睛】本題以天文學問題為背景,考查考生的數(shù)學應用意識?信息處理能力?閱讀理解能力以及指數(shù)對數(shù)運算.11、D【解析】

根據(jù)向量垂直則數(shù)量積為零,結合以及夾角的余弦值,即可求得參數(shù)值.【詳解】依題意,得,即.將代入可得,,解得(舍去).故選:D.【點睛】本題考查向量數(shù)量積的應用,涉及由向量垂直求參數(shù)值,屬基礎題.12、A【解析】

將fx整理為3sinωx+π3,根據(jù)x的范圍可求得ωx+π3∈π【詳解】f當x∈0,π時,又f0=3sin由fx在0,π上的值域為32解得:ω∈本題正確選項:A【點睛】本題考查利用正弦型函數(shù)的值域求解參數(shù)范圍的問題,關鍵是能夠結合正弦型函數(shù)的圖象求得角的范圍的上下限,從而得到關于參數(shù)的不等式.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

利用導數(shù)的幾何意義,對求導后在計算在處導函數(shù)的值,再利用點斜式列出方程化簡即可.【詳解】,則切線的斜率為.又,所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為,即.故答案為:【點睛】本題主要考查了根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解函數(shù)在某點處的切線方程問題,需要注意求導法則與計算,屬于基礎題.14、【解析】

根據(jù)二項展開式定理,求出含的系數(shù)和含的系數(shù),相乘即可.【詳解】的展開式中,所求項為:,的系數(shù)為.

故答案為:.【點睛】本題考查二項展開式定理的應用,屬于基礎題.15、【解析】

由題知該旋轉體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起,根據(jù)圓錐側面積計算公式可得.【詳解】解:由題知該旋轉體為兩個倒立的圓錐底對底組合在一起,在中,,,,如下圖所示,底面圓的半徑為,則所形成的幾何體的表面積為.故答案為:.【點睛】本題考查旋轉體的表面積計算問題,屬于基礎題.16、【解析】

分別取,的中點,,連接,由圖形的對稱性可知球心必在的延長線上,設球心為,半徑為,,由勾股定理可得、,再根據(jù)球的面積公式計算可得;【詳解】如圖,分別取,的中點,,連接,則易得,,,,由圖形的對稱性可知球心必在的延長線上,設球心為,半徑為,,可得,解得,.故該球的表面積為.故答案為:【點睛】本題考查多面體的外接球的計算,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)2;(2);(3)證明見解析【解析】

(1)先求出函數(shù)的定義域和導數(shù),由已知函數(shù)在處取得極值,得到,即可求解的值;(2)由(1)得,定義域為,分,和三種情況討論,分別求得函數(shù)的最小值,即可得到結論;(3)由,得到,把,只需證,構造新函數(shù),利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值,即可求解.【詳解】(1)由,定義域為,則,因為函數(shù)在處取得極值,所以,即,解得,經(jīng)檢驗,滿足題意,所以.(2)由(1)得,定義域為,當時,有,在區(qū)間上單調(diào)遞增,最小值為,當時,由得,且,當時,,單調(diào)遞減;當時,,單調(diào)遞增;所以在區(qū)間上單調(diào)遞增,最小值為,當時,則,當時,,單調(diào)遞減;當時,,單調(diào)遞增;所以在處取得最小值,綜上可得:當時,在區(qū)間上的最小值為1,當時,在區(qū)間上的最小值為.(3)由得,當時,,則,欲證,只需證,即證,即,設,則,當時,,在區(qū)間上單調(diào)遞增,當時,,即,故,即當時,恒有成立.【點睛】本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的綜合應用,以及不等式的證明,著重考查了轉化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力,對于此類問題,通常要構造新函數(shù),利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,求出最值,進而得出相應的含參不等式,從而求出參數(shù)的取值范圍;也可分離變量,構造新函數(shù),直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題.18、(Ⅰ);(Ⅱ)【解析】

(Ⅰ)利用三角形面積公式以及并結合正弦定理,可得結果.(Ⅱ)根據(jù),可得,然后使用余弦定理,可得結果.【詳解】(Ⅰ),所以所以;(Ⅱ),所以,所以,,所以,所以邊.【點睛】本題考查三角形面積公式,正弦定理以及余弦定理的應用,關鍵在于識記公式,屬中檔題.19、(1);(2)【解析】

(1)當時,將原不等式化簡后兩邊平方,由此解出不等式的解集.(2)對分成三種情況,利用零點分段法去絕對值,將表示為分段函數(shù)的形式,根據(jù)單調(diào)性求得的取值范圍.【詳解】(1)時,可得,即,化簡得:,所以不等式的解集為.(2)①當時,由函數(shù)單調(diào)性可得,解得;②當時,,所以符合題意;③當時,由函數(shù)單調(diào)性可得,,解得綜上,實數(shù)的取值范圍為【點睛】本小題主要考查含有絕對值不等式的解法,考查不等式恒成立問題的求解,屬于中檔題.20、(1)見解析(2)【解析】

(1)利用面面垂直的性質定理證得平面,由此證得,根據(jù)圓的幾何性質證得,由此證得平面.(2)判斷出三棱錐的體積最大時點的位置.建立空間直角坐標系,通過平面和平面的法向量,計算出二面角的余弦值.【詳解】(1)證明:因為平面平面是正方形,所以平面.因為平面,所以.因為點在以為直徑的半圓弧上,所以.又,所以平面.(2)解:顯然,當點位于的中點時,的面積最大,三棱錐的體積也最大.不妨設,記中點為,以為原點,分別以的方向為軸、軸、軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系,則,設平面的法向量為,則令,得.設平面的法向量為,則令,得,所以.由圖可知,二面角為銳角,故二面角的余弦值為.【點睛

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