遼寧省北票市桃園中學(xué)2025屆高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

遼寧省北票市桃園中學(xué)2025屆高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，則的取值范圍是（）A．[0，1] B． C．[1，2] D．[0，2]2．在邊長為1的等邊三角形中，點(diǎn)E是中點(diǎn)，點(diǎn)F是中點(diǎn)，則（）A． B． C． D．3．已知變量的幾組取值如下表：12347若與線性相關(guān)，且，則實(shí)數(shù)（）A． B． C． D．4．已知函數(shù)，則下列結(jié)論錯誤的是()A．函數(shù)的最小正周期為πB．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C．函數(shù)在上單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個單位長度得到5．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A． B．64 C． D．326．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，則實(shí)數(shù)的取值為（）A．-2 B．-1 C．1 D．28．已知等差數(shù)列{an}，則“a2＞a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件9．若x，y滿足約束條件則z=的取值范圍為（）A．[] B．[，3] C．[，2] D．[，2]10．中國的國旗和國徽上都有五角星，正五角星與黃金分割有著密切的聯(lián)系，在如圖所示的正五角星中，以、、、、為頂點(diǎn)的多邊形為正五邊形，且，則（）A． B． C． D．11．已知，是函數(shù)圖像上不同的兩點(diǎn)，若曲線在點(diǎn)，處的切線重合，則實(shí)數(shù)的最小值是（）A． B． C． D．112．已知函數(shù)，若，則a的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．某市高三理科學(xué)生有名，在一次調(diào)研測試中，數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，已知，若按成績分層抽樣的方式取份試卷進(jìn)行分析，則應(yīng)從分以上的試卷中抽取的份數(shù)為__________.14．已知實(shí)數(shù)滿約束條件，則的最大值為___________.15．已知三棱錐的四個頂點(diǎn)都在球的球面上，，則球的表面積為__________.16．如圖，在平面四邊形中，點(diǎn)，是橢圓短軸的兩個端點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，，記和的面積分別為，，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)P，Q分別為，的中點(diǎn).求證：（1）PQ平面；（2）平面.18．（12分）如圖1，四邊形是邊長為2的菱形，，為的中點(diǎn)，以為折痕將折起到的位置，使得平面平面，如圖2.（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.19．（12分）如圖，四棱錐中，底面，，點(diǎn)在線段上，且.（1）求證：平面；（2）若，，，，求二面角的正弦值.20．（12分）如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝AA1，M，N分別是AC，B1C1的中點(diǎn)．求證：（1）MN∥平面ABB1A1；（2）AN⊥A1B．21．（12分）在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為以為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)在曲線上，點(diǎn)在曲線上，且為正三角形．（1）求點(diǎn)，的極坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)為曲線上的動點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，求的最大值．22．（10分）已知變換將平面上的點(diǎn)，分別變換為點(diǎn)，．設(shè)變換對應(yīng)的矩陣為．（1）求矩陣；（2）求矩陣的特征值．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

設(shè)，可得，構(gòu)造（）22，結(jié)合，可得，根據(jù)向量減法的模長不等式可得解.【詳解】設(shè)，則，，∴（）2?2||22＝4，所以可得：，配方可得，所以，又則[0，2]．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的運(yùn)算綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.2、C【解析】

根據(jù)平面向量基本定理，用來表示，然后利用數(shù)量積公式，簡單計算，可得結(jié)果.【詳解】由題可知：點(diǎn)E是中點(diǎn)，點(diǎn)F是中點(diǎn)，所以又所以則故選：C【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理以及數(shù)量積公式，掌握公式，細(xì)心觀察，屬基礎(chǔ)題.3、B【解析】

求出，把坐標(biāo)代入方程可求得．【詳解】據(jù)題意，得，所以，所以．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查線性回歸直線方程，由性質(zhì)線性回歸直線一定過中心點(diǎn)可計算參數(shù)值．4、D【解析】

由可判斷選項(xiàng)A；當(dāng)時，可判斷選項(xiàng)B；利用整體換元法可判斷選項(xiàng)C；可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由題知，最小正周期，所以A正確；當(dāng)時，，所以B正確；當(dāng)時，，所以C正確；由的圖象向左平移個單位，得，所以D錯誤.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)的性質(zhì)，涉及到周期性、對稱性、單調(diào)性以及圖象變換后的解析式等知識，是一道中檔題.5、A【解析】

根據(jù)三視圖，還原空間幾何體，即可得該幾何體的體積.【詳解】由該幾何體的三視圖，還原空間幾何體如下圖所示：可知該幾何體是底面在左側(cè)的四棱錐，其底面是邊長為4的正方形，高為4，故.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖的簡單應(yīng)用，由三視圖還原空間幾何體，棱錐體積的求法，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)題意求得參數(shù)，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】依題意，得，故，故，，，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查推理論證能力，屬基礎(chǔ)題.7、B【解析】

求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線方程通過f′（0），求解即可；【詳解】f（x）的定義域?yàn)椋ī?，+∞），因?yàn)閒′（x）a，曲線y＝f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y＝2x，可得1﹣a＝2，解得a＝﹣1，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，考查計算能力．8、C【解析】試題分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．解：在等差數(shù)列{an}中，若a2＞a1，則d＞0，即數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，若數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，則a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”充分必要條件，故選C．考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．9、D【解析】

由題意作出可行域，轉(zhuǎn)化目標(biāo)函數(shù)為連接點(diǎn)和可行域內(nèi)的點(diǎn)的直線斜率的倒數(shù)，數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】由題意作出可行域，如圖，目標(biāo)函數(shù)可表示連接點(diǎn)和可行域內(nèi)的點(diǎn)的直線斜率的倒數(shù)，由圖可知，直線的斜率最小，直線的斜率最大，由可得，由可得，所以，，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了非線性規(guī)劃的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】

利用平面向量的概念、平面向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，便可解決問題．【詳解】解：.故選：A【點(diǎn)睛】本題以正五角星為載體，考查平面向量的概念及運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．11、B【解析】

先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出在兩點(diǎn)處的切線方程，再利用兩直線斜率相等且縱截距相等，列出關(guān)系樹，從而得出，令函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出最小值，即可選出正確答案.【詳解】解：當(dāng)時，，則;當(dāng)時，則.設(shè)為函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，當(dāng)或時，，不符合題意，故.則在處的切線方程為；在處的切線方程為.由兩切線重合可知，整理得.不妨設(shè)則，由可得則當(dāng)時，的最大值為.則在上單調(diào)遞減，則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了推理論證能力，考查了函數(shù)與方程、分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸等思想方法.本題的難點(diǎn)是求出和的函數(shù)關(guān)系式.本題的易錯點(diǎn)是計算.12、C【解析】

求出函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式．【詳解】由得，在時，是增函數(shù)，是增函數(shù)，是增函數(shù)，∴是增函數(shù)，∴由得，解得．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查解函數(shù)不等式，解題關(guān)鍵是確定函數(shù)的單調(diào)性，解題時可先確定函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)求解．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由題意結(jié)合正態(tài)分布曲線可得分以上的概率，乘以可得.【詳解】解：，所以應(yīng)從分以上的試卷中抽取份.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布曲線，屬于基礎(chǔ)題.14、8【解析】

畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移計算得到答案.【詳解】根據(jù)約束條件，畫出可行域，圖中陰影部分為可行域.又目標(biāo)函數(shù)表示直線在軸上的截距，由圖可知當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)時截距最大，故的最大值為8.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問題，畫出圖像是解題的關(guān)鍵.15、【解析】

如圖所示，將三棱錐補(bǔ)成長方體，球?yàn)殚L方體的外接球，長、寬、高分別為，計算得到，得到答案.【詳解】如圖所示，將三棱錐補(bǔ)成長方體，球?yàn)殚L方體的外接球，長、寬、高分別為，則，所以，所以球的半徑，則球的表面積為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了三棱錐的外接球問題，意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力，將三棱錐補(bǔ)成長方體是解題的關(guān)鍵.16、【解析】

依題意易得A、B、C、D四點(diǎn)共圓且圓心在x軸上，然后設(shè)出圓心，由圓的方程與橢圓方程聯(lián)立得到B的橫坐標(biāo)，進(jìn)一步得到D橫坐標(biāo)，再由計算比值即可.【詳解】因?yàn)?，所以A、B、C、D四點(diǎn)共圓，直徑為，又A、C關(guān)于x軸對稱，所以圓心E在x軸上，設(shè)圓心E為，則圓的方程為，聯(lián)立橢圓方程消y得，解得，故B的橫坐標(biāo)為，又B、D中點(diǎn)是E，所以D的橫坐標(biāo)為，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓中的四點(diǎn)共圓及三角形面積之比的問題，考查學(xué)生基本計算能力及轉(zhuǎn)化與化歸思想，本題關(guān)鍵是求出B、D橫坐標(biāo)，是一道有區(qū)分度的壓軸填空題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）取的中點(diǎn)D，連結(jié)，.根據(jù)線面平行的判定定理即得；（2）先證，，和都是平面內(nèi)的直線且交于點(diǎn)，由（1）得，再結(jié)合線面垂直的判定定理即得.【詳解】（1）取的中點(diǎn)D，連結(jié)，.在中，P，D分別為，中點(diǎn)，，且.在直三棱柱中，，.Q為棱的中點(diǎn)，，且.，.四邊形為平行四邊形，從而.又平面，平面，平面.（2）在直三棱柱中，平面.又平面，.，D為中點(diǎn)，.由（1）知，，.又，平面，平面，平面.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理，以及線面垂直的判定定理，難度不大.18、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）由題意可證得，，所以平面，則平面平面可證；（2）解法一：利用等體積法由可求出點(diǎn)到平面的距離；解法二：由條件知點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，過點(diǎn)作的垂線，垂足，證明平面，計算出即可.【詳解】解法一：（1）依題意知，因?yàn)?，所?又平面平面，平面平面，平面，所以平面.又平面，所以.由已知，是等邊三角形，且為的中點(diǎn)，所以.因?yàn)?，所?又，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）在中，，，所以.由（1）知，平面，且，所以三棱錐的體積.在中，，，得，由（1）知，平面，所以，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離，則三棱錐的體積，得.解法二：（1）同解法一；（2）因?yàn)?，平面，平面，所以平?所以點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離.過點(diǎn)作的垂線，垂足，即.由（1）知，平面平面，平面平面，平面，所以平面，即為點(diǎn)到平面的距離.由（1）知，，在中，，，得.又，所以.所以點(diǎn)到平面的距離為.【點(diǎn)睛】本題主要考查空間面面垂直的的判定及點(diǎn)到面的距離，考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力.求點(diǎn)到平面的距離一般可采用兩種方法求解：①等體積法；②作(找)出點(diǎn)到平面的垂線段，進(jìn)行計算即可.19、（1）證明見解析（2）【解析】

（1）要證明平面，只需證明，，即可求得答案；（2）先根據(jù)已知證明四邊形為矩形，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立坐標(biāo)系，求得平面的法向量為，平面的法向量，設(shè)二面角的平面角為，，即可求得答案.【詳解】（1）平面，平面，.，，.又，平面.（2）由（1）可知.在中，，..又，，四邊形為矩形.以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸，建立坐標(biāo)系，如圖：則：，，，，：，設(shè)平面的法向量為，即，令，則，由題平面，即平面的法向量為由二面角的平面角為銳角，設(shè)二面角的平面角為即二面角的正弦值為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求證線面垂直和向量法求二面角，解題關(guān)鍵是掌握線面垂直判斷定理和向量法求二面角的方法，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.20、（1）詳見解析；（2）詳見解析.【解析】

（1）利用平行四邊形的方法，證明平面.（2）通過證明平面，由此證得.【詳解】（1）設(shè)是中點(diǎn)，連接，由于是中點(diǎn)，所以且，而且，所以與平行且相等，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于平面，平面，所以平面.（2）連接，由于直三棱柱中，而，，所以平面，所以，由于,所以.由于四邊形是矩形且，所以四邊形是正方形，所以,由于,所以平面，所以.【點(diǎn)睛】本小題主要考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.21、（1），；（2）.【解析】

（1）利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化公式，即得解；（2）設(shè)點(diǎn)的直角坐標(biāo)為，則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為．將此代入曲線的方程，可得點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，所以的最大值為，即得解.【詳解】（1）因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，為正三角形，所以點(diǎn)在曲線上．又因?yàn)辄c(diǎn)在曲線上，所以點(diǎn)的極坐標(biāo)是，從而，點(diǎn)的極坐標(biāo)是．（2）由（1）可知，點(diǎn)