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文檔簡介
江西省宜春市上高縣上2025屆高考數(shù)學(xué)三模試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.的圖象如圖所示,,若將的圖象向左平移個(gè)單位長度后所得圖象與的圖象重合,則可取的值的是()A. B. C. D.2.為了貫徹落實(shí)黨中央精準(zhǔn)扶貧決策,某市將其低收入家庭的基本情況經(jīng)過統(tǒng)計(jì)繪制如圖,其中各項(xiàng)統(tǒng)計(jì)不重復(fù).若該市老年低收入家庭共有900戶,則下列說法錯(cuò)誤的是()A.該市總有15000戶低收入家庭B.在該市從業(yè)人員中,低收入家庭共有1800戶C.在該市無業(yè)人員中,低收入家庭有4350戶D.在該市大于18歲在讀學(xué)生中,低收入家庭有800戶3.已知函數(shù)的圖象如圖所示,則下列說法錯(cuò)誤的是()A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)在上單調(diào)遞增C.函數(shù)的對(duì)稱中心是D.函數(shù)的對(duì)稱軸是4.將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長度后,得到的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱,則的最小值為()A. B. C. D.5.已知集合A={x|y=lg(4﹣x2)},B={y|y=3x,x>0}時(shí),A∩B=()A.{x|x>﹣2}B.{x|1<x<2}C.{x|1≤x≤2}D.?6.若,則下列關(guān)系式正確的個(gè)數(shù)是()①②③④A.1 B.2 C.3 D.47.正方形的邊長為,是正方形內(nèi)部(不包括正方形的邊)一點(diǎn),且,則的最小值為()A. B. C. D.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)?,且,?dāng)時(shí),.若,則函數(shù)在上的最大值為()A.4 B.6 C.3 D.89.已知函數(shù)則函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為()A. B.C. D.10.函數(shù)的圖象可能是()A. B. C. D.11.某四棱錐的三視圖如圖所示,記為此棱錐所有棱的長度的集合,則().A.,且 B.,且C.,且 D.,且12.已知向量,,設(shè)函數(shù),則下列關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)的描述正確的是A.關(guān)于直線對(duì)稱 B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.周期為 D.在上是增函數(shù)二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.春天即將來臨,某學(xué)校開展以“擁抱春天,播種綠色”為主題的植物種植實(shí)踐體驗(yàn)活動(dòng).已知某種盆栽植物每株成活的概率為,各株是否成活相互獨(dú)立.該學(xué)校的某班隨機(jī)領(lǐng)養(yǎng)了此種盆栽植物10株,設(shè)為其中成活的株數(shù),若的方差,,則________.14.若復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位),則________15.已知全集,集合則_____.16.《九章算術(shù)》中,將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑,如圖,在鱉臑中,平面,,且,過點(diǎn)分別作于點(diǎn),于點(diǎn),連接,則三棱錐的體積的最大值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在①,②,③這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面問題中.若問題中的正整數(shù)存在,求的值;若不存在,說明理由.設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,是等差數(shù)列,__________,,,,是否存在正整數(shù),使得成立?18.(12分)在中,角的對(duì)邊分別為,且.(1)求角的大?。唬?)若函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸方程為且,求的值.19.(12分)2019年是中華人民共和國成立70周年.為了讓人民了解建國70周年的風(fēng)雨歷程,某地的民調(diào)機(jī)構(gòu)隨機(jī)選取了該地的100名市民進(jìn)行調(diào)查,將他們的年齡分成6段:,,…,,并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.(1)現(xiàn)從年齡在,,內(nèi)的人員中按分層抽樣的方法抽取8人,再從這8人中隨機(jī)選取3人進(jìn)行座談,用表示年齡在)內(nèi)的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)若用樣本的頻率代替概率,用隨機(jī)抽樣的方法從該地抽取20名市民進(jìn)行調(diào)查,其中有名市民的年齡在的概率為.當(dāng)最大時(shí),求的值.20.(12分)如圖所示,直角梯形中,,,,四邊形為矩形,.(1)求證:平面平面;(2)在線段上是否存在點(diǎn),使得直線與平面所成角的正弦值為,若存在,求出線段的長,若不存在,請(qǐng)說明理由.21.(12分)已知,其中.(1)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),求函數(shù)的極值.(2)若函數(shù)在區(qū)間上遞增,求的取值范圍;(3)證明:.22.(10分)手工藝是一種生活態(tài)度和對(duì)傳統(tǒng)的堅(jiān)持,在我國有很多手工藝品制作村落,村民的手工技藝世代相傳,有些村落制造出的手工藝品不僅全國聞名,還大量遠(yuǎn)銷海外.近年來某手工藝品村制作的手工藝品在國外備受歡迎,該村村民成立了手工藝品外銷合作社,為嚴(yán)把質(zhì)量關(guān),合作社對(duì)村民制作的每件手工藝品都請(qǐng)3位行家進(jìn)行質(zhì)量把關(guān),質(zhì)量把關(guān)程序如下:(i)若一件手工藝品3位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為A級(jí);(ii)若僅有1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān),再由另外2位行家進(jìn)行第二次質(zhì)量把關(guān),若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家都認(rèn)為質(zhì)量過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為B級(jí),若第二次質(zhì)量把關(guān)這2位行家中有1位或2位認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為C級(jí);(iii)若有2位或3位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān),則該手工藝品質(zhì)量為D級(jí).已知每一次質(zhì)量把關(guān)中一件手工藝品被1位行家認(rèn)為質(zhì)量不過關(guān)的概率為,且各手工藝品質(zhì)量是否過關(guān)相互獨(dú)立.(1)求一件手工藝品質(zhì)量為B級(jí)的概率;(2)若一件手工藝品質(zhì)量為A,B,C級(jí)均可外銷,且利潤分別為900元,600元,300元,質(zhì)量為D級(jí)不能外銷,利潤記為100元.①求10件手工藝品中不能外銷的手工藝品最有可能是多少件;②記1件手工藝品的利潤為X元,求X的分布列與期望.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式,即可得出函數(shù)的解析式,然后求出變換后的函數(shù)解析式,結(jié)合題意可得出關(guān)于的等式,即可得出結(jié)果.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的最小正周期為,,,則,,取,,則,,,可得,當(dāng)時(shí),.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查利用圖象求函數(shù)解析式,同時(shí)也考查了利用函數(shù)圖象變換求參數(shù),考查計(jì)算能力,屬于中等題.2、D【解析】
根據(jù)給出的統(tǒng)計(jì)圖表,對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷,即可得到正確答案.【詳解】解:由題意知,該市老年低收入家庭共有900戶,所占比例為6%,則該市總有低收入家庭900÷6%=15000(戶),A正確,該市從業(yè)人員中,低收入家庭共有15000×12%=1800(戶),B正確,該市無業(yè)人員中,低收入家庭有15000×29%%=4350(戶),C正確,該市大于18歲在讀學(xué)生中,低收入家庭有15000×4%=600(戶),D錯(cuò)誤.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)統(tǒng)計(jì)圖表的認(rèn)識(shí)和分析,這類題要認(rèn)真分析圖表的內(nèi)容,讀懂圖表反映出的信息是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式,結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由圖象可得,函數(shù)的周期,所以.將點(diǎn)代入中,得,解得,由,可得,所以.令,得,故函數(shù)在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,故A正確;令,得,故函數(shù)在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞增,故B錯(cuò)誤;令,得,故函數(shù)的對(duì)稱中心是,故C正確;令,得,故函數(shù)的對(duì)稱軸是,故D正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查由圖象求余弦型函數(shù)的解析式,同時(shí)也考查了余弦型函數(shù)的單調(diào)性與對(duì)稱性的判斷,考查推理能力與計(jì)算能力,屬于中等題.4、B【解析】
由余弦的二倍角公式化簡函數(shù)為,要想在括號(hào)內(nèi)構(gòu)造變?yōu)檎液瘮?shù),至少需要向左平移個(gè)單位長度,即為答案.【詳解】由題可知,對(duì)其向左平移個(gè)單位長度后,,其圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱故的最小值為故選:B【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)圖象性質(zhì)與平移變換,還考查了余弦的二倍角公式逆運(yùn)用,屬于簡單題.5、B【解析】試題分析:由集合A中的函數(shù)y=lg(4-x2),得到4-x2>0,解得:-2<x<2,∴集合A={x|-2<x<2},由集合B中的函數(shù)考點(diǎn):交集及其運(yùn)算.6、D【解析】
a,b可看成是與和交點(diǎn)的橫坐標(biāo),畫出圖象,數(shù)形結(jié)合處理.【詳解】令,,作出圖象如圖,由,的圖象可知,,,②正確;,,有,①正確;,,有,③正確;,,有,④正確.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)圖象比較大小,考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想,是一道中檔題.7、C【解析】
分別以直線為軸,直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè),根據(jù),可求,而,化簡求解.【詳解】解:建立以為原點(diǎn),以直線為軸,直線為軸的平面直角坐標(biāo)系.設(shè),,,則,,由,即,得.所以=,所以當(dāng)時(shí),的最小值為.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關(guān)系及指數(shù)冪運(yùn)算,可得;利用定義可證明函數(shù)的單調(diào)性,由賦值法即可求得函數(shù)在上的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,且,則;任取,且,則,故,令,,則,即,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,故,令,,故,故函數(shù)在上的最大值為4.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算及化簡,利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性,賦值法在抽象函數(shù)求值中的應(yīng)用,屬于中檔題.9、C【解析】
,將看成一個(gè)整體,結(jié)合的對(duì)稱性即可得到答案.【詳解】由已知,,令,得.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)的對(duì)稱性的問題,在處理余弦型函數(shù)的性質(zhì)時(shí),一般采用整體法,結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì),是一道容易題.10、A【解析】
先判斷函數(shù)的奇偶性,以及該函數(shù)在區(qū)間上的函數(shù)值符號(hào),結(jié)合排除法可得出正確選項(xiàng).【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,,該函?shù)為偶函數(shù),排除B、D選項(xiàng);當(dāng)時(shí),,排除C選項(xiàng).故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)的解析式辨別函數(shù)的圖象,一般分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性、零點(diǎn)以及函數(shù)值符號(hào),結(jié)合排除法得出結(jié)果,考查分析問題和解決問題的能力,屬于中等題.11、D【解析】
首先把三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體,根據(jù)三視圖的長度,進(jìn)一步求出個(gè)各棱長.【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為幾何體為:該幾何體為四棱錐體,如圖所示:所以:,,.故選:D..【點(diǎn)睛】本題考查三視圖和幾何體之間的轉(zhuǎn)換,主要考查運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力,屬于基礎(chǔ)題.12、D【解析】
當(dāng)時(shí),,∴f(x)不關(guān)于直線對(duì)稱;當(dāng)時(shí),,∴f(x)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱;f(x)得周期,當(dāng)時(shí),,∴f(x)在上是增函數(shù).本題選擇D選項(xiàng).二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由題意可知:,且,從而可得值.【詳解】由題意可知:∴,即,∴故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)分布的實(shí)際應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.14、【解析】
直接根據(jù)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】,.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式四則運(yùn)算法則的應(yīng)用.15、【解析】
根據(jù)補(bǔ)集的定義求解即可.【詳解】解:.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了補(bǔ)集的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】
由已知可得△AEF、△PEF均為直角三角形,且AF=2,由基本不等式可得當(dāng)AE=EF=2時(shí),△AEF的面積最大,然后由棱錐體積公式可求得體積最大值.【詳解】由PA⊥平面ABC,得PA⊥BC,又AB⊥BC,且PA∩AB=A,∴BC⊥平面PAB,則BC⊥AE,又PB⊥AE,則AE⊥平面PBC,于是AE⊥EF,且AE⊥PC,結(jié)合條件AF⊥PC,得PC⊥平面AEF,∴△AEF、△PEF均為直角三角形,由已知得AF=2,而S△AEF=(AE2+EF2)=AF2=2,當(dāng)且僅當(dāng)AE=EF=2時(shí),取“=”,此時(shí)△AEF的面積最大,三棱錐P﹣AEF的體積的最大值為:VP﹣AEF===.故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面垂直的判定,基本不等式的應(yīng)用,同時(shí)考查了空間想象能力、計(jì)算能力和邏輯推理能力,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、見解析【解析】
根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)及、,可求得等差數(shù)列的通項(xiàng)公式,由即可求得的值;根據(jù)等式,變形可得,分別討論?、佗冖壑械囊粋€(gè),結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)公式代入化簡,檢驗(yàn)是否存在正整數(shù)的值即可.【詳解】∵在等差數(shù)列中,,∴,∴公差,∴,∴,若存在正整數(shù),使得成立,即成立,設(shè)正數(shù)等比數(shù)列的公比為的公比為,若選①,∵,∴,∴,∴,∴當(dāng)時(shí),滿足成立.若選②,∵,∴,∴,∴,∴方程無正整數(shù)解,∴不存在正整數(shù)使得成立.若選③,∵,∴,∴,∴,∴解得或(舍去),∴,∴當(dāng)時(shí),滿足成立.【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法,等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用,遞推公式的簡單應(yīng)用,補(bǔ)充條件后求參數(shù)的值,屬于中檔題.18、(1)(2)【解析】
(1)由已知利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦定理可求,即可求的值.(2)利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,可得,根據(jù)題意,得到,解得,得到函數(shù)的解析式,進(jìn)而求得的值,利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用可求的值.【詳解】(1)由題意,根據(jù)正弦定理,可得,又由,所以,可得,即,又因?yàn)?,則,可得,∵,∴.(2)由(1)可得,所以函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸方程為,∴,得,即,∴,又,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用,正弦定理在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想,屬于中檔題.19、(1)分布列見解析,(1)【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方圖及抽取總?cè)藬?shù),結(jié)合各組頻率值即可求得各組抽取的人數(shù);的可能取值為0,1,1,由離散型隨機(jī)變量概率求法即可求得各概率值,即可得分布列;由數(shù)學(xué)期望公式即可求得其數(shù)學(xué)期望.(1)先求得年齡在內(nèi)的頻率,視為概率.結(jié)合二項(xiàng)分布的性質(zhì),表示出,令,化簡后可證明其單調(diào)性及取得最大值時(shí)的值.【詳解】(1)按分層抽樣的方法拉取的8人中,年齡在的人數(shù)為人,年齡在內(nèi)的人數(shù)為人.年齡在內(nèi)的人數(shù)為人.所以的可能取值為0,1,1.所以,,,所以的分市列為011.(1)設(shè)在抽取的10名市民中,年齡在內(nèi)的人數(shù)為,服從二項(xiàng)分布.由頻率分布直方圖可知,年齡在內(nèi)的頻率為,所以,所以.設(shè),若,則,;若,則,.所以當(dāng)時(shí),最大,即當(dāng)最大時(shí),.【點(diǎn)睛】本題考差了離散型隨機(jī)變量分布列及數(shù)學(xué)期望的求法,二項(xiàng)分布的綜合應(yīng)用,屬于中檔題.20、(1)見解析;(2)存在,長【解析】
(1)先證面,又因?yàn)槊?所以平面平面.(2)根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系.列出各點(diǎn)的坐標(biāo)表示,設(shè),則可得出向量,求出平面的法向量為,利用直線與平面所成角的正弦公式列方程求出或,從而求出線段的長.【詳解】解:(1)證明:因?yàn)樗倪呅螢榫匦?∴.∵∴∴∴面∴面又∵面∴平面平面(2)取為原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.如圖所示:則,,,,,設(shè),;∴,,設(shè)平面的法向量為,∴,不防設(shè).∴,化簡得,解得或;當(dāng)時(shí),,∴;當(dāng)時(shí),,∴;綜上存在這樣的點(diǎn),線段的長.【點(diǎn)睛】本題考查平面與平面垂直的判定定理的應(yīng)用,考查利用線面所成角求參數(shù)問題,是幾何綜合題,考查空間想象力以及計(jì)算能力.21、(1)極大值,無極小值;(2).(3)見解析【解析】
(1)先求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)極值的關(guān)系即可求出;(2)先求導(dǎo),再函數(shù)在區(qū)間上遞增,分離參數(shù),構(gòu)造函數(shù),求出函數(shù)的最值,問題得以解決;(3)取得到,取,可得,累加和根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性和放縮法即可證明.【詳解】解:(1)當(dāng)時(shí),設(shè)函數(shù),則令,解得當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),
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