圓的綜合知識點總結(jié)(初中數(shù)學)

圓的基本概念和性質(zhì)要點一、圓的定義及性質(zhì)1.圓的定義(1)動態(tài)：如圖，在一個平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑.以點O為圓心的圓，記作“⊙O”，讀作“圓O”．

要點詮釋：

①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大??；確定一個圓應(yīng)先確定圓心，再確定半徑，二者缺一不可；②圓是一條封閉曲線.(2)靜態(tài)：圓心為O，半徑為r的圓是平面內(nèi)到定點O的距離等于定長r的點的集合.

要點詮釋：

①定點為圓心，定長為半徑；

②圓指的是圓周，而不是圓面；

③強調(diào)“在一個平面內(nèi)”是非常必要的，事實上，在空間中，到定點的距離等于定長的點的集合是球面，一個閉合的曲面.2.圓的性質(zhì)

①旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合；圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心；

②圓是軸對稱圖形：任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸.或者說，經(jīng)過圓心的任何一條直線都是圓的對稱軸.要點詮釋：

①圓有無數(shù)條對稱軸；

②因為直徑是弦，弦又是線段，而對稱軸是直線，所以不能說“圓的對稱軸是直徑”，而應(yīng)該說“圓的對稱軸是直徑所在的直線”.

3.兩圓的性質(zhì)

兩個圓組成的圖形是一個軸對稱圖形，對稱軸是兩圓連心線（經(jīng)過兩圓圓心的直線叫做兩圓連心線）.要點二、與圓有關(guān)的概念1.弦：連結(jié)圓上任意兩點的線段叫做弦.

直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑.弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距.

要點詮釋：

直徑是圓中通過圓心的特殊弦，也是圓中最長的弦，即直徑是弦，但弦不一定是直徑.

2.弧

?。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧.以A、B為端點的弧記作，讀作“圓弧AB”或“弧AB”.

半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點把圓分成兩條弧，每一條弧都叫做半圓；

優(yōu)?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)??；

劣弧：小于半圓的弧叫做劣弧.

要點詮釋：

①半圓是弧，而弧不一定是半圓；

②無特殊說明時，弧指的是劣弧.

3.同心圓與等圓

圓心相同，半徑不等的兩個圓叫做同心圓.

圓心不同，半徑相等的兩個圓叫做等圓.同圓或等圓的半徑相等.4.等弧:在同圓或等圓中，能夠完全重合的弧叫做等弧.

要點詮釋：

①等弧成立的前提條件是在同圓或等圓中，不能忽視；

②圓中兩平行弦所夾的弧相等.垂徑定理知識點一、垂徑定理1.垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

2.推論：平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

要點詮釋：

(1)垂徑定理是由兩個條件推出兩個結(jié)論，即

(2)這里的直徑也可以是半徑，也可以是過圓心的直線或線段.知識點二、垂徑定理的拓展根據(jù)圓的對稱性及垂徑定理還有如下結(jié)論：平分弦（該弦不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條??；弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條??；平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.要點詮釋：

在垂徑定理及其推論中：過圓心、垂直于弦、平分弦、平分弦所對的優(yōu)弧、平分弦所對的劣弧，在這五個條件中，知道任意兩個，就能推出其他三個結(jié)論.（注意：“過圓心、平分弦”作為題設(shè)時，平分的弦不能是直徑）弧、弦、圓心角、圓周角要點一、弧、弦、圓心角的關(guān)系

1.圓心角定義:如圖所示，∠AOB的頂點在圓心，像這樣頂點在圓心的角叫做圓心角．

2.定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．

3.推論：

在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦也相等．

在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弧也相等．

要點詮釋：

(1)一個角要是圓心角，必須具備頂點在圓心這一特征；

(2)注意定理中不能忽視“同圓或等圓”這一前提.

要點二、圓周角

1.圓周角定義：

像圖中∠AEB、∠ADB、∠ACB這樣的角，它們的頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角．

2.圓周角定理：

在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半．

3.圓周角定理的推論：

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑．

要點詮釋：

(1)圓周角必須滿足兩個條件：①頂點在圓上；②角的兩邊都和圓相交.

(2)圓周角定理成立的前提條件是在同圓或等圓中.

4.圓內(nèi)接四邊形：（1）定義:圓內(nèi)接四邊形：頂點都在圓上的四邊形，叫圓內(nèi)接四邊形．（2）性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形對角互補，外角等于內(nèi)對角（即它的一個外角等于它相鄰內(nèi)角的對角）．5.弦、弧、圓心角、弦心距的關(guān)系：在同圓或等圓中，弦，弧，圓心角，弦心距等幾何量之間是相互關(guān)聯(lián)的，即它們中間只要有一組量相等，(例如圓心角相等)，那么其它各組量也分別相等(即相對應(yīng)的弦、弦心距以及弦所對的弧也分別相等)。如果它們中間有一組量不相等，那么其它各組量也分別不等。點、直線、圓與圓的位置關(guān)系要點一、點和圓的位置關(guān)系

1．點和圓的三種位置關(guān)系：由于平面上圓的存在，就把平面上的點分成了三個集合，即圓內(nèi)的點，圓上的點和圓外的點，這三類點各具有相同的性質(zhì)和判定方法；設(shè)⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離為d，則有（1）點P在圓內(nèi)；（2）點P在圓上；（3）點P在圓外。2．三角形的外接圓經(jīng)過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點，叫做三角形的外心.三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等.要點詮釋：（1）點和圓的位置關(guān)系和點到圓心的距離的數(shù)量關(guān)系是相對應(yīng)的，即知道位置關(guān)系就可以確定數(shù)量關(guān)系；知道數(shù)量關(guān)系也可以確定位置關(guān)系；（2）不在同一直線上的三個點確定一個圓.

要點二、直線和圓的位置關(guān)系1．直線和圓的三種位置關(guān)系：(1)相交：直線與圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交．這時直線叫做圓的割線．

(3)相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離．

2．直線與圓的位置關(guān)系的判定和性質(zhì)．

直線與圓的位置關(guān)系能否像點與圓的位置關(guān)系一樣通過一些條件來進行分析判斷呢？

由于圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小，因此研究直線和圓的位置關(guān)系，就可以轉(zhuǎn)化為直線和點(圓心)的位置關(guān)系

如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d，那么（1）直線l和⊙O相交；（2）直線l和⊙O相切；（3）直線l和⊙O相離。要點三、圓和圓的位置關(guān)系

1．圓與圓的五種位置關(guān)系的定義

兩圓外切：兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點外，每個圓上的點都在另一個圓的外部時，叫做這兩個圓外切.這個唯一的公共點叫做切點.

兩圓相交：兩個圓有兩個公共點時，叫做這兩圓相交.

兩圓內(nèi)切：兩個圓有唯一公共點，并且除了這個公共點外，一個圓上的點都在另一個圓的內(nèi)部時，叫做這兩個圓內(nèi)切.這個唯一的公共點叫做切點.

兩圓內(nèi)含：

2．兩圓的位置與兩圓的半徑、圓心距間的數(shù)量關(guān)系：

設(shè)⊙O1的半徑為r1，⊙O2半徑為r2，兩圓心O1O2的距離為d，則：

兩圓外離d＞r1+r2

兩圓外切d=r1+r2

兩圓相交r1-r2＜d＜r1+r2(r1≥r2)

兩圓內(nèi)切d=r1-r2(r1＞r2)

兩圓內(nèi)含d＜r1-r2(r1＞r2)

要點詮釋：

(1)圓與圓的位置關(guān)系，既考慮它們公共點的個數(shù)，又注意到位置的不同，若以兩圓的公共點個數(shù)分類，又可以分為：相離(含外離、內(nèi)含)、相切(含內(nèi)切、外切)、相交；

(2)內(nèi)切、外切統(tǒng)稱為相切，唯一的公共點叫作切點；

(3)具有內(nèi)切或內(nèi)含關(guān)系的兩個圓的半徑不可能相等，否則兩圓重合.

切線長定理要點一、切線的判定定理和性質(zhì)定理1．切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.

要點詮釋：切線的判定方法：（1）定義：直線和圓有唯一公共點時，這條直線就是圓的切線；（2）定理：和圓心的距離等于半徑的直線是圓的切線；（3）判定定理：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.（切線的判定定理中強調(diào)兩點：一是直線與圓有一個交點，二是直線與過交點的半徑垂直，缺一不可）.

2．切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點的半徑.

要點詮釋：切線的性質(zhì)：（1）切線和圓只有一個公共點；（2）切線和圓心的距離等于圓的半徑；（3）切線垂直于過切點的半徑；（4）經(jīng)過圓心垂直于切線的直線必過切點；（5）經(jīng)過切點垂直于切線的直線必過圓心.要點二、切線長定理

1．切線長：

要點詮釋：

切線長是指圓外一點和切點之間的線段的長，不是“切線的長”的簡稱.切線是直線，而非線段.

2．切線長定理：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.

要點詮釋：切線長定理包含兩個結(jié)論：線段相等和角相等.3．圓外切四邊形的性質(zhì)：圓外切四邊形的兩組對邊之和相等.

要點三、三角形的內(nèi)切圓

1．三角形的內(nèi)切圓：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.

2．三角形的內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點，叫做三角形的內(nèi)心.

要點詮釋：

(1)任何一個三角形都有且只有一個內(nèi)切圓，但任意一個圓都有無數(shù)個外切三角形；

(2)解決三角形內(nèi)心的有關(guān)問題時，面積法是常用的，即三角形的面積等于周長與內(nèi)切圓半徑乘積的一半，即(S為三角形的面積，P為三角形的周長，r為內(nèi)切圓的半徑).

(3)三角形的外心與內(nèi)心的區(qū)別：名稱確定方法圖形性質(zhì)外心(三角形外接圓的圓心)三角形三邊中垂線的交點(1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形內(nèi)部內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心)三角形三條角平分線的交點(1)到三角形三邊距離相等(2)OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；(3)內(nèi)心在三角形內(nèi)部.

正多邊形和圓知識點一、正多邊形的概念：各邊相等，各角也相等的多邊形是正多邊形．

要點詮釋：判斷一個多邊形是否是正多邊形，必須滿足兩個條件：(1)各邊相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各邊都相等，矩形的各角都相等，但它們都不是正多邊形(正方形是正多邊形).知識點二、正多邊形的重要元素

1.正多邊形的外接圓和圓的內(nèi)接正多邊形

正多邊形和圓的關(guān)系十分密切，只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以作出這個圓的內(nèi)接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓．

2.正多邊形的有關(guān)概念

(1)一個正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心．

(2)正多邊形外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑．

(3)正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角．

(4)正多邊形的中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距．

3.正多邊形的有關(guān)計算(1)正ｎ邊形每一個內(nèi)角的度數(shù)是；(2)正ｎ邊形每個中心角的度數(shù)是；(3)正ｎ邊形每個外角的度數(shù)是.要點詮釋：要熟悉正多邊形的基本概念和基本圖形，將待解決的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形.知識點三、正多邊形的性質(zhì)

1.正多邊形都只有一個外接圓，圓有無數(shù)個內(nèi)接正多邊形.

2.正ｎ邊形的半徑和邊心距把正ｎ邊形分成2ｎ個全等的直角三角形.

3.正多邊形都是軸對稱圖形，對稱軸的條數(shù)與它的邊數(shù)相同，每條對稱軸都通過正n邊形的中心；當邊數(shù)是偶數(shù)時，它也是中心對稱圖形，它的中心就是對稱中心.

4.邊數(shù)相同的正多邊形相似。它們周長的比，邊心距的比，半徑的比都等于相似比，面積的比等于相似比的平方．5.任何正多邊形都有一個外接圓和一個內(nèi)切圓，這兩個圓是同心圓

要點詮釋：（1）各邊相等的圓的內(nèi)接多邊形是圓的內(nèi)接正多邊形；（2）各角相等的圓的外切多邊形是圓的外切正多邊形.知識點四、正多邊形的畫法

1.用量角器等分圓

由于在同圓中相等的圓心角所對的弧也相等，因此作相等的圓心角(即等分頂點在圓心的周角)可以等分圓；根據(jù)同圓中相等弧所對的弦相等，依次連接各分點就可畫出相應(yīng)的正n邊形.

2.用尺規(guī)等分圓

對于一些特殊的正ｎ邊形，可以用圓規(guī)和直尺作圖.

①正四、八邊形。

在⊙O中，用尺規(guī)作兩條互相垂直的直徑就可把圓分成4等份，從而作出正四邊形。再逐次平分各邊所對的弧(即作∠AOB的平分線交于E)就可作出正八邊形、正十六邊形等，邊數(shù)逐次倍增的正多邊形。

②正六、三、十二邊形的作法。

通過簡單計算可知，正六邊形的邊長與其半徑相等，所以，在⊙O中，任畫一條直徑AB，分別以A、B為圓心，以⊙O的半徑為半徑畫弧與⊙O相交于C、D和E、F，則A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分點。

顯然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分點。

同樣，在圖(3)中平分每條邊所對的弧，就可把⊙O12等分……。

要點詮釋：畫正n邊形的方法：（1）將一個圓n等份，（2）順次連結(jié)各等分點.弧長和扇形面積、圓錐的側(cè)面展開圖要點一、弧長公式

半徑為R的圓中：360°的圓心角所對的弧長(圓的周長)公式：C=2πR

n°的圓心角所對的圓的弧長公式：(弧是圓的一部分)

要點詮釋：

(1)對于弧長公式，關(guān)鍵是要理解1°的圓心角所對的弧長是圓周長的，即；

(2)公式中的n表示1°圓心角的倍數(shù)，故n和180都不帶單位，R為弧所在圓的半徑；

(3)弧長公式所涉及的三個量：弧長、圓心角度數(shù)、弧所在圓的半徑，知道其中的兩個量就可以求出第三個