高考數(shù)學(理)一輪復習教案:第十三篇 推理證明、算法、復數(shù)第2講 直接證明與間接證明_第1頁
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文檔簡介

第2講直接證明與間接證明【20XX年高考會這樣考】1.在歷年的高考中,證明方法是??純?nèi)容,考查的主要方式是對它們原理的理解和用法.難度多為中檔題,也有高檔題.2.從考查形式上看,主要以不等式、立體幾何、解析幾何、函數(shù)與方程、數(shù)列等知識為載體,考查綜合法、分析法、反證法等方法.【復習指導】在備考中,對本部分的內(nèi)容,要抓住關(guān)鍵,即分析法、綜合法、反證法,要搞清三種方法的特點,把握三種方法在解決問題中的一般步驟,熟悉三種方法適用于解決的問題的類型,同時也要加強訓練,達到熟能生巧,有效運用它們的目的.基礎(chǔ)梳理1.直接證明(1)綜合法①定義:利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導出所要證明的結(jié)論成立,這種證明方法叫做綜合法.②框圖表示:eq\x(P?Q1)→eq\x(Q1?Q2)→eq\x(Q2?Q3)→…→eq\x(Qn?Q)(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等,Q表示要證的結(jié)論).(2)分析法①定義:從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止.這種證明方法叫做分析法.②框圖表示:eq\x(Q?P1)→eq\x(P1?P2)→eq\x(P2?P3)→…→eq\x(得到一個明顯成立的條件).2.間接證明一般地,由證明p?q轉(zhuǎn)向證明:綈q?r?…?t.t與假設(shè)矛盾,或與某個真命題矛盾.從而判定綈q為假,推出q為真的方法,叫做反證法.一個關(guān)系綜合法與分析法的關(guān)系分析法與綜合法相輔相成,對較復雜的問題,常常先從結(jié)論進行分析,尋求結(jié)論與條件、基礎(chǔ)知識之間的關(guān)系,找到解決問題的思路,再運用綜合法證明,或者在證明時將兩種方法交叉使用.兩個防范(1)利用反證法證明數(shù)學問題時,要假設(shè)結(jié)論錯誤,并用假設(shè)命題進行推理,沒有用假設(shè)命題推理而推出矛盾結(jié)果,其推理過程是錯誤的.(2)用分析法證明數(shù)學問題時,要注意書寫格式的規(guī)范性,常常用“要證(欲證)…”“即要證…”“就要證…”等分析到一個明顯成立的結(jié)論P,再說明所要證明的數(shù)學問題成立.雙基自測1.(人教A版教材習題改編)p=eq\r(ab)+eq\r(cd),q=eq\r(ma+nc)·eq\r(\f(b,m)+\f(d,n))(m、n、a、b、c、d均為正數(shù)),則p、q的大小為().A.p≥qB.p≤qC.p>qD.不確定解析q=eq\r(ab+\f(mad,n)+\f(nbc,m)+cd)≥eq\r(ab+2\r(abcd)+cd)=eq\r(ab)+eq\r(cd)=p,當且僅當eq\f(mad,n)=eq\f(abc,m)時取等號.答案B2.設(shè)a=lg2+lg5,b=ex(x<0),則a與b大小關(guān)系為().A.a(chǎn)>b B.a(chǎn)<bC.a(chǎn)=b D.a(chǎn)≤b解析a=lg2+lg5=1,b=ex,當x<0時,0<b<1.∴a>b.答案A3.否定“自然數(shù)a,b,c中恰有一個偶數(shù)”時,正確的反設(shè)為().A.a(chǎn),b,c都是奇數(shù)B.a(chǎn),b,c都是偶數(shù)C.a(chǎn),b,c中至少有兩個偶數(shù)D.a(chǎn),b,c中至少有兩個偶數(shù)或都是奇數(shù)解析∵a,b,c恰有一個偶數(shù),即a,b,c中只有一個偶數(shù),其反面是有兩個或兩個以上偶數(shù)或沒有一個偶數(shù)即全都是奇數(shù),故只有D正確.答案D4.(2012·廣州調(diào)研)設(shè)a、b∈R,若a-|b|>0,則下列不等式中正確的是().A.b-a>0B.a(chǎn)3+b3<0C.a(chǎn)2-b2<0D.b+解析∵a-|b|>0,∴|b|<a,∴a>0,∴-a<b<a,∴b+a>0.答案D5.在用反證法證明數(shù)學命題時,如果原命題的否定事項不止一個時,必須將結(jié)論的否定情況逐一駁倒,才能肯定原命題的正確.例如:在△ABC中,若AB=AC,P是△ABC內(nèi)一點,∠APB>∠APC,求證:∠BAP<∠CAP,用反證法證明時應分:假設(shè)________和________兩類.答案∠BAP=∠CAP∠BAP>∠CAP考向一綜合法的應用【例1】?設(shè)a,b,c>0,證明:eq\f(a2,b)+eq\f(b2,c)+eq\f(c2,a)≥a+b+c.[審題視點]用綜合法證明,可考慮運用基本不等式.證明∵a,b,c>0,根據(jù)均值不等式,有eq\f(a2,b)+b≥2a,eq\f(b2,c)+c≥2b,eq\f(c2,a)+a≥2c.三式相加:eq\f(a2,b)+eq\f(b2,c)+eq\f(c2,a)+a+b+c≥2(a+b+c).當且僅當a=b=c時取等號.即eq\f(a2,b)+eq\f(b2,c)+eq\f(c2,a)≥a+b+c.綜合法是一種由因?qū)Ч淖C明方法,即由已知條件出發(fā),推導出所要證明的等式或不等式成立.因此,綜合法又叫做順推證法或由因?qū)Чǎ溥壿嬕罁?jù)是三段論式的演繹推理方法,這就要保證前提正確,推理合乎規(guī)律,才能保證結(jié)論的正確性.【訓練1】設(shè)a,b為互不相等的正數(shù),且a+b=1,證明:eq\f(1,a)+eq\f(1,b)>4.證明eq\f(1,a)+eq\f(1,b)=eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)+\f(1,b)))·(a+b)=2+eq\f(b,a)+eq\f(a,b)≥2+2=4.又a與b不相等.故eq\f(1,a)+eq\f(1,b)>4.考向二分析法的應用【例2】?已知m>0,a,b∈R,求證:eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a+mb,1+m)))2≤eq\f(a2+mb2,1+m).[審題視點]先去分母,合并同類項,化成積式.證明∵m>0,∴1+m>0.所以要證原不等式成立,只需證明(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2),即證m(a2-2ab+b2)≥0,即證(a-b)2≥0,而(a-b)2≥0顯然成立,故原不等式得證.逆向思考是用分析法證題的主要思想,通過反推,逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件,正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵.【訓練2】已知a,b,m都是正數(shù),且a<b.求證:eq\f(a+m,b+m)>eq\f(a,b).證明要證明eq\f(a+m,b+m)>eq\f(a,b),由于a,b,m都是正數(shù),只需證a(b+m)<b(a+m),只需證am<bm,由于m>0,所以,只需證a<b.已知a<b,所以原不等式成立.(說明:本題還可用作差比較法、綜合法、反證法)考向三反證法的應用【例3】?已知函數(shù)f(x)=ax+eq\f(x-2,x+1)(a>1).(1)證明:函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).(2)用反證法證明f(x)=0沒有負根.[審題視點]第(1)問用單調(diào)增函數(shù)的定義證明;第(2)問假設(shè)存在x0<0后,應推導出x0的范圍與x0<0矛盾即可.證明(1)法一任取x1,x2∈(-1,+∞),不妨設(shè)x1<x2,則x2-x1>0,ax2-x1>1,且ax1>0.所以ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)>0.又因為x1+1>0,x2+1>0,所以eq\f(x2-2,x2+1)-eq\f(x1-2,x1+1)=eq\f(x2-2x1+1-x1-2x2+1,x2+1x1+1)=eq\f(3x2-x1,x2+1x1+1)>0,于是f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+eq\f(x2-2,x2+1)-eq\f(x1-2,x1+1)>0,故函數(shù)f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).法二f′(x)=axlna+eq\f(3,x+12)>0,∴f(x)在(-1,+∞)上為增函數(shù).(2)假設(shè)存在x0<0(x0≠-1)滿足f(x0)=0,則ax0=-eq\f(x0-2,x0+1),又0<ax0<1,所以0<-eq\f(x0-2,x0+1)<1,即eq\f(1,2)<x0<2,與x0<0(x0≠-1)假設(shè)矛盾.故f(x0)=0沒有負根.當一個命題的結(jié)論是以“至多”,“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時,宜用反證法來證,反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾,矛盾可以是:①與已知條件矛盾;②與假設(shè)矛盾;③與定義、公理、定理矛盾;④與事實矛盾等方面,反證法常常是解決某些“疑難”問題的有力工具,是數(shù)學證明中的一件有力武器.【訓練3】已知a,b為非零向量,且a,b不平行,求證:向量a+b與a-b不平行.證明假設(shè)向量a+b與a-b平行,即存在實數(shù)λ使a+b=λ(a-b)成立,則(1-λ)a+(1+λ)b=0,∵a,b不平行,∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1-λ=0,,1+λ=0,))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(λ=1,,λ=-1,))所以方程組無解,故假設(shè)不成立,故原命題成立.規(guī)范解答24——怎樣用反證法證明問題【問題研究】反證法是主要的間接證明方法,其基本特點是反設(shè)結(jié)論,導出矛盾,當問題從正面證明無法入手時,就可以考慮使用反證法進行證明.在高考中,對反證法的考查往往是在試題中某個重要的步驟進行.【解決方案】首先反設(shè),且反設(shè)必須恰當,然后再推理、得出矛盾,最后肯定.【示例】?(本題滿分12分)(2011·安徽)設(shè)直線l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中實數(shù)k1,k2滿足k1k2+2=0.(1)證明l1與l2相交;(2)證明l1與l2的交點在橢圓2x2+y2=1上.第(1)問采用反證法,第(2)問解l1與l2的交點坐標,代入橢圓方程驗證.[解答示范]證明(1)假設(shè)l1與l2不相交,則l1與l2平行或重合,有k1=k2,(2分)代入k1k2+2=0,得keq\o\al(2,1)+2=0.(4分)這與k1為實數(shù)的事實相矛盾,從而k1≠k2,即l1與l2相交.(6分)(2)由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y=k1x+1,,y=k2x-1,))解得交點P的坐標(x,y)為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x=\f(2,k2-k1),,y=\f(k2+k1,k2-k1).))(9分)從而2x2+y2=2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,k2-k1)))2+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k2+k1,k2-k1)))2=eq\f(8+k\o\al(2,2)+k\o\al(2,1)+2k1k2,k\o\al(2,2)+k\o\al(2,1)-2k1k2)=eq\f(k\o\al(2,1)+k\o\al(2,2)+4,k\o\al(2,1)+k\o\al(2,2)+4)=1,此即表明交點P(x,y)在橢圓2x2+y2=1上.(12分)用反證法證明不等式要把握三點:(1)必須先否定結(jié)論,即肯定結(jié)論的反面;(2)必須從否定結(jié)論進行推理,即應把結(jié)論的反面作為條件,且必須依據(jù)這一條件進行推證;(3)推導出的矛盾可能多種多樣,有的與已知矛盾,有的與假設(shè)矛盾,有的與已知事實矛盾等,但是推導出的矛盾必須是明顯的.【試一試】已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且滿足an+Sn=2.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)求證數(shù)列{an}中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列.[嘗試解答](1)當n=1時,a1+S1=2a1=2,則a1又an+Sn=2,所以an+1

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