2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)高三上學(xué)期學(xué)習(xí)能力診斷數(shù)學(xué)檢測試卷（附答案）

2024-2025學(xué)年上海市徐匯區(qū)高三上學(xué)期學(xué)習(xí)能力診斷數(shù)學(xué)檢測試卷填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1.不等式的解集為.2.已知函數(shù)，其中，則.3.在的二項(xiàng)展開式中，若各項(xiàng)系數(shù)和為32，則正整數(shù)的值為.4.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為.5.設(shè)，.若函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則.6.已知為空間中兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，若，，則是的條件.（填：“充分非必要”、“必要非充分”、“充要”、“既非充分又非必要”中的一個(gè)）7.某景點(diǎn)對(duì)天內(nèi)每天的游客人數(shù)（單位：萬人）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到樣本的莖葉圖（如右圖所示），則該樣本的第百分位數(shù)是.已知復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則________.設(shè)，，若函數(shù)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則的取值范圍為__________.10.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，為橢圓上一點(diǎn)，且，若此橢圓的離心率為，則的大小為________.11.徐匯濱江作為2024年上海國際鮮花展的三個(gè)主會(huì)場之一，吸引了廣大市民前往觀展并拍照留念.圖中的花盆是種植鮮花的常見容器，它可視作兩個(gè)圓臺(tái)的組合體，上面圓臺(tái)的上?下底面直徑分別為和，下面圓臺(tái)的上?下底面直徑分別為和，且兩個(gè)圓臺(tái)側(cè)面展開圖的圓弧所對(duì)的圓心角相等．若上面圓臺(tái)的高為，則該花盆上、下兩部分母線長的總和為__________．

12.已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)的值域也是,所有這樣的函數(shù)形成全集.設(shè)非空集合且中的每一個(gè)函數(shù)都是中的兩個(gè)函數(shù)(可以相同)的復(fù)合函數(shù),則集合的元素個(gè)數(shù)的最小值為__________.選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13.下列拋物線中，焦點(diǎn)坐標(biāo)為的是（）A.B.C. D.14.一個(gè)不透明的盒子中裝有若干個(gè)紅球和個(gè)黑球，這些球除顏色外均相同．每次將球充分?jǐn)噭蚝?，任意摸出個(gè)球記下顏色后再放回盒子.經(jīng)過重復(fù)摸球足夠多次試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到黑球的頻率穩(wěn)定在左右，則據(jù)此估計(jì)盒子中紅球的個(gè)數(shù)約為（）A.個(gè)B.個(gè)C.個(gè) D.個(gè)15.已知函數(shù)與它的導(dǎo)函數(shù)的定義域均為.若函數(shù)是偶函數(shù)且在上是嚴(yán)格增函數(shù)，則下列各表中，可能成為取值的是（）A.12.818821.000030.364440.2468B.10.758021.000031.318841.7979C.12.413221.000031.588544.1116D.10.866421.000031.118841.224016.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，設(shè)（為正整數(shù)）.若存在常數(shù)，使得任意兩兩不相等的正整數(shù)，都有，則稱數(shù)列為“輪換均值數(shù)列”.現(xiàn)有下列兩個(gè)命題：①任意等差數(shù)列都是“輪換均值數(shù)列”.②存在公比不為1的等比數(shù)列是“輪換均值數(shù)列”.則下列說法正確的是（）

A.①是真命題，②是假命題 B.①是假命題，②是真命題

C.①、②都是真命題 D.①、②都是假命題三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）已知，若定義在上的函數(shù)的最小正周期為，且對(duì)任意的，都有.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）設(shè)，當(dāng)時(shí)，，求的值.18.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）如圖，在四棱錐中，，，.為棱的中點(diǎn)，異面直線與所成角的大小為．（1）求證：平面；（2）若二面角的大小為，求直線與平面所成角的正弦值．19.（本題滿分14分，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分）某企業(yè)招聘員工，指定“英語聽說”、“信息技術(shù)”、“邏輯推理”作為三門考試課程，有兩種考試方案.方案一：參加三門課程的考試，至少有兩門及格為通過；方案二：在三門課程中，隨機(jī)選取兩門，并參加這兩門課程的考試，兩門都及格為通過.假設(shè)某應(yīng)聘者參加三門指定課程考試及格的概率分別是（），且三門課程考試是否及格相互之間沒有影響.（1）分別求該應(yīng)聘者選方案一考試通過的概率和選方案二考試通過的概率；（2）試比較該應(yīng)聘者在上述兩種方案下考試通過的概率的大小，并說明理由.20.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知過點(diǎn)的雙曲線的漸近線方程為.如圖所示，過雙曲線的右焦點(diǎn)作與坐標(biāo)軸都不垂直的直線交的右支于，兩點(diǎn).（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知點(diǎn)，求證：；（3）若以為直徑的圓被直線截得的劣弧為，則所對(duì)圓心角的大小是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，若點(diǎn)在導(dǎo)函數(shù)圖像上，且滿足，則稱為函數(shù)的一個(gè)“類數(shù)”，函數(shù)的所有“類數(shù)”構(gòu)成的集合稱為“類集”.（1）若，分別判斷和是否為函數(shù)的“類數(shù)”，并說明理由；（2）設(shè)的圖像在上連續(xù)不斷，集合.記函數(shù)的“類集”為集合，若，求證：；（3）已知，若函數(shù)的“類集”為時(shí)的取值構(gòu)成集合，求當(dāng)時(shí)的最大值.高三數(shù)學(xué)答案一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果．1．2.03.54.5.16.充要7.518.9.10.11.12.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng).考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑．13.C14.B15.B16.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）解：（1）由的最小正周期為可知：（2）由（1）可得：.18.（本題滿分14分，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分）解：（1），，為棱的中點(diǎn)，且，四邊形是平行四邊形.，又不在平面上，由線面平行的判定定理知，平面.（2）即，

且異面直線與所成的角為，即，

又，平面，平面．又，由三垂線定理，.

因此是二面角的平面角，．．

不妨設(shè)，則.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于的直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，則，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

則可得：

令，則.

設(shè)直線與平面所成角為，

則.法二：過作，交的延長線于，連接.由（1）知：，，，即，又，平面，平面．平面，，又是在平面上的射影，由三垂線定理知，，又，平面．再過作，交于，平面，平面，，又，平面，即為直線與平面的所成角.，平面．由三垂線定理，.

因此是二面角的平面角，．設(shè)，則，，四邊形為正方形，.，，，直線與平面所成角的正弦值為.19.（本題滿分14分，第1小題滿分8分，第2小題滿分6分）解：記該應(yīng)聘者對(duì)三門指定課程考試及格的事件分別為，則.（1）應(yīng)聘者選方案一考試通過的概率

.應(yīng)聘者選方案二考試通過的概率

.（2）因?yàn)?所以

故，即選方案一，該應(yīng)聘者考試通過的概率較大.

20.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）解：（1）因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，

所以設(shè)雙曲線方程為，又雙曲線過點(diǎn)，

則，所以雙曲線的方程為，即.

（2）由（1）可知，的斜率存在且不為0，設(shè)的方程為，聯(lián)立，消去得，設(shè)，由題意得，則，所以所以，得證．

（3），恒成立，，所以圓心到的距離，半徑，設(shè)所對(duì)圓心角為，則，，所以，即所對(duì)圓心角的大小為定值.21.（本題滿分18分，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分）解：（1），是函數(shù)的“..............................，，不是函數(shù)的“類數(shù)”.（2）因?yàn)楹瘮?shù)的“類集”為集合，且，

所以存在，使得且，

若，則，所以，

因?yàn)楹瘮?shù)的圖像是連續(xù)不斷的，

不妨設(shè)，由零點(diǎn)存在定理知，必存在使得，