《量子力學》課程教學大綱

《量子力學》課程教學大綱課程編號：04310144課程性質：專業(yè)基礎課適合專業(yè)：應用物理學先修課程：普通物理學、數(shù)學物理方法開設學期：第五學期考核方式：考試總學時數(shù)：64-72學分：4（一）課程教學目標《量子力學》是將物質的波動性和粒子性統(tǒng)一起來的動力學理論。量子理論是20世紀物理學取得的兩個（相對論和量子理論）最偉大的進展之一。量子理論的建立，開辟了人類認識微觀世界乃至宏觀世界物質運動規(guī)律的道路，開創(chuàng)了物理學的新時代。本課程著重闡述《量子力學》（非相對論）的基本概念、基本原理和基本方法。課程分為兩大篇：第一篇主要是講述量子力學的基本原理（假設）及表述形式。在分析清楚原理的物理內容的基礎上，逐步深入地讓學生認識表述原理的數(shù)學結構，如波動力學的分析結構，抽象表述的希爾伯特空間上的代數(shù)結構。本篇的主要內容包括：微觀粒子狀態(tài)的描述、力學量的算符、運動方程和守恒律、量子力學的表述形式、多粒子體系的全同性原理。第二篇主要是講述量子力學的基本方法及其應用。在分析清楚各類基本應用問題的物理內容基礎上，掌握量子力學的一些基本問題的計算方法。本篇主要內容包括：外場中的定態(tài)問題、量子躍遷、彈性散射。

（二）課程的目的與任務（1）使學生在掌握微觀運動的現(xiàn)象特征的基礎上，逐步深入地認識描述微觀規(guī)律的理論本質。

（2）掌握量子力學的基本原理，了解理論預言實驗結果的基本途徑。

（3）掌握解決定態(tài)問題，躍遷和散射問題的基本方法，了解量子力學在有關學科中的應用。

（4）結合量子力學創(chuàng)立過程以及在近代有關學科應用的實例，使學生認識理論物理的方法，培養(yǎng)創(chuàng)新意識。（三）理論教學的基本要求（1）本大綱僅限于非相對論量子力學。

（2）第一篇主要是講述量子力學的基本原理（或假設）及表述形式，要在分析清楚原理的物理內容的基礎上，逐步深入地讓學生認識表述原理的數(shù)學結構，如波動力學的分析結構，以及抽象表述的希爾伯特空間上的代數(shù)。

（3）第二篇主要是講述量子力學的基本應用，在分析清楚各類基本應用問題的物理內容基礎上，掌握一些量子力學的近似求解方法，重點是定態(tài)問題的微擾論、量子躍遷與彈性散射。

（4）要注重習題課和討論課的教學，建議除第一篇的第一章外，其它各章都有相應的習題課，第一篇有兩次關于量子力學原理的討論課。（四）實踐教學要求無。（五）教學學時分配數(shù)章次各章名稱總學時學時分配講課實驗上機課外小計1緒論4442波函數(shù)與薛定諤方程1212123量子力學中的力學量1212124態(tài)和力學量的表象1212125微擾理論1212127自旋與全同粒子1212128總結與復習0-80-80-8總計64-7264-7264-72（六）大綱內容（分章編寫。每章要有教學目的、教學基本要求、教學內容、教學提示、教學重點和難點、學法指導、作業(yè)、小結等內容。）第一章緒論教學目的：了解量子力學的研究對象、適用范圍、經典物理的困難、量子力學的發(fā)展過程、玻爾的量子理論、光和粒子的波粒二象性。教學基本要求：1．了解光的波粒二象性的主要實驗事實；2．掌握德布羅意關于微觀粒子的波粒二象性的假設。教學內容：講點物理學的困難、光的波粒二象性、微粒的波粒二象性、原子結構的波爾理論本章重點：量子力學的研究對象：量子力學是反映微觀粒子（分子、原子、原子核、基本粒子等）低速運動規(guī)律的理論。量子力學的特點：量子力學是一門不同于經典物理的獨立學科；量子力學體現(xiàn)了一種全新的思維方式。本章難點：學習量子力學所用到的數(shù)學知識：分離變量法解微分方程、線性代數(shù)（矩陣、行列式、向量）作業(yè)：課后作業(yè)1-5題。小結：經典物理的困難黑體輻射，光電效應，原子光譜線系舊量子論<1>普朗克能量子論<2>愛因斯坦對光電效應的解釋,光的波粒二象性愛因斯坦公式光子能量動量關系<3>玻爾的原子論定態(tài)的假設,頻率條件,量子化條件3.微觀粒子的波粒二象性,德布羅意關系戴維孫,革末等人的電子衍射實驗驗證了德布羅意關系第二章波函數(shù)與薛定諤方程教學目的：正確了解波粒二象性的本質及波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，了解薛定諤方程的建立過程，了解態(tài)迭加原理，掌握幾種典型一維定態(tài)問題的求解方法（一維無限深勢阱、一維線性諧振子）。教學基本要求：(1)理解量子力學與經典力學在關于描寫微觀粒子運動狀態(tài)及其運動規(guī)律時的不同觀念。(2)掌握波函數(shù)的標準化條件：有限性、連續(xù)性、單值性．(3)理解態(tài)疊加原理以及任何波函數(shù)Ψ(x，t)按不同動量的平面波展開的方法及其物理意義．(4)了解薛定諤方程的建立過程以及它在量子力學中的地位；薛定諤方程和定態(tài)薛定諤方程的關系；波函數(shù)和定態(tài)波函數(shù)的關系．(5)對于求解一維薛定諤方程，應掌握邊界條件的確定和處理方法．(6)關于一維定態(tài)問題要求如下：a．掌握一維無限阱的求解方法及其物理討論；b．掌握一維諧振子的能譜及其定態(tài)波函數(shù)的一般特點：c．了解勢壘貫穿的討論方法及其對隧道效應的解釋．教學內容:波函數(shù)的統(tǒng)計解釋、薛定諤方程的求解、態(tài)疊加原理、一維定態(tài)問題。教學重點：波函數(shù)的統(tǒng)計解釋、薛定諤方程的建立、一維勢定態(tài)問題的求解。教學難點：薛定諤方程的建立、一維勢定態(tài)問題的求解。本章作業(yè)：課后作業(yè)1-7題小結波函數(shù)的統(tǒng)計解釋.(量子力學―基本假設)為幾率波。幾率密度滿足連續(xù)性，有限性，單值性。態(tài)疊加原理：態(tài)疊加原理是微觀例子具有波動性的體現(xiàn)。經典粒子的態(tài)是具有正交性。薛定諤方程(量子力學――基本假設)（1）.薛定諤方程是基本假定，是建立的不是推導的（2）.薛定諤方程是線性方程定態(tài)薛定諤方程定態(tài)：能量有確定的值定態(tài)波函數(shù)定態(tài)薛定諤方程定態(tài)波函數(shù)實際是能量本征函數(shù)定態(tài)薛定諤方程存在定態(tài)解一維定態(tài)問題（1）.一維無限深勢井本征值本征函數(shù)（2）.一維線性諧振子本征值本征函數(shù)連續(xù)性方程幾率密度幾率流密度第三章量子力學中的力學量教學目的：力學量算符的性質，力學量算符的本征值與本征函數(shù)，力學量算符本征函數(shù)的性質，常見算符的本征函數(shù)，算符的對易關系，氫原子的能級與波函數(shù)，算符隨時間的變化。教學基本要求：掌握算符的本征值和本征方程的基本概念；厄米算符的本征值必為實數(shù)；坐標算符和動量算符以及量子力學中一切可觀察的力學量所對應的算符均為厄米算符．掌握有關動量算符和角動量算符的本征值和本征函數(shù)，它們的歸一性和正交性的表達形式，以及與這些算符有關的算符運算的對易關系式．(3)電子在正點電荷庫侖場中的運動提供了三維中心力場下薛定諤方程求解的范例，學生應由此了解一般三維中心力場下求解薛定諤方程的基本步驟和方法，特別是分離變量法．(4)掌握力學量平均值的計算方法．將體系的狀態(tài)波函數(shù)Ψ(x)按算符的本征函數(shù)展開是這些方法中常用的方法之一，學生應掌握這一方法計算力學量的可能值、概率和平均值．理解在什么狀態(tài)下力學量具有確定值以及在什么條件下，兩個力學量同時具有確定值．(5)掌握不確定關系并應用這一關系來估算一些體系的基態(tài)能量．(6)掌握如何根據(jù)體系的哈密頓算符來判斷該體系中可能存在的守恒量如：能量、動量、角動量、宇稱等．教學內容：1、算符的性質；2、電子在庫侖場中的運動；3、氫原子；4、算符的對易關系、守恒量。教學重點：由于微觀粒子的波粒二象性，微觀粒子的力學量與經典力學中的力學量不同，經典力學中的力學量有確定的值，而微觀粒子的力學量不一定有確定的值，表示微觀粒子的力學量也不同于經典力學，量子力學中的力學量需用算符表示。教學難點：力學量算符的性質。本章作業(yè)：課后1-6題。[內容總結]一.力學量用算符表示,力學量與力學量算符的關系全部本征值是且僅是相應力學量F的所有可能取值。表示力學量的算符須具有的基本性質(1).線性算符,即滿足條件:疊加原理要求薛定諤方程必須是線性的,要求是線性的,而又是由諸力學量算符構成.(2).厄密算符，，。物理要求力學量所有可能值(觀測值)均為實數(shù),即力學量的本征值為實數(shù),只有厄密算符的本征值全是實數(shù)。3．力學量算符本征函數(shù)具有的基本性質(1).正交歸一性，這是由算符的厄密性決定的.分離譜連續(xù)譜(2).算符的本征函數(shù)集具有完備性（a）分離值,.取值為的幾率（b）連續(xù)譜：完備性的另一描述：分離譜連續(xù)譜[證]：,若上式=,則要求力學量算符的平均值一般表示，分離譜連續(xù)譜上述波函數(shù)是歸一化的。二.幾種基本的力學量算符及本征函數(shù)1.坐標算符本征值譜為連續(xù)譜,所有實數(shù)本征值為的本征函數(shù)正交歸一性:完備性:2.動量算符本征值為連續(xù)譜,區(qū)間內所有實數(shù)值,本征值為的歸一化本征函數(shù)正交歸一化條件:完備性:軌道角動量算符常用球坐標表示與有共同的本征函數(shù)角量子數(shù)磁量子數(shù)的本征函數(shù)正交歸一性:完備性:一維無限深勢阱的能量本征函數(shù)（寬度a）一維線性諧振子的能量本征函數(shù)厄米多項式逆推關系:三.算符的對易關系測不準關系常見對易關系測不準關系.四.氫原子(電子在庫侖場中運動)哈密頓量:能量本征值:能量本征函數(shù):,能級度簡并.第四章態(tài)和力學量的表象教學目的：理解量子力學中態(tài)和力學量的具體表示形式以及在不同表象之間的變換，狄拉克符號不作要求教學基本要求：(1)理解力學量所對應的算符在具體的表象下可以用矩陣來表示；厄米算符與厄米矩陣相對應；力學量算符在自身表象下為一對角矩陣；(2)掌握量子力學公式的矩陣形式及求解本征值、本征矢的矩陣方法．(3)理解狄拉克符號及占有數(shù)表象教學內容：態(tài)的表象、力學量的表象、算符的矩陣表示、幺正變換；線性諧振子的占有數(shù)表象。教學重點：算符的矩陣表示及其在矩陣表示下本征值、本征矢的求法教學難點：態(tài)和力學量的表象變換。本章作業(yè)，課后1—5題?！緝热菘偨Y】狄拉克算符一種不在具體表象中描述態(tài)矢量，力學量算符，及量子力學基本規(guī)律的一種方法互為共軛矢量左矢右矢態(tài)和力學量及量子關系的描述態(tài)的表示本征函數(shù)正交歸一化條件：連續(xù)本征函數(shù)的完備性：力學量的表示（在自身表象）關系式的表示（1）.本征值方程或（2）.薛定諤方程（3）.算符對態(tài)的作用表象:分離值表象:矩陣:么正變換表象變換是通過一幺正矩陣相聯(lián)系的。變換矩陣態(tài)的變換：力學量的表象變換力學量的平均值，本征值在表象變換下不變。量子力學的基本規(guī)律與表象無關。占有數(shù)表象三個算符：產生算符，湮滅算符，粒子數(shù)算符微擾理論教學目標：懂得經常遇到許多問題，體系哈密頓算符比較復雜，不能精確解，只能近似解，微擾論就是其中一個近似方法，其基本思想是逐級近似。微擾論方法也就是抓主要矛盾。教學基本要求：(1)了解定態(tài)微擾論的適用范圍和條件：(2)對于非簡并的定態(tài)微擾論要求掌握波函數(shù)一級修正和能級一級、二級修正的計算．(3)對于簡并的微擾論，應能掌握零級波函數(shù)的確定和一級能量修正的計算．(4)掌握變分法的基本應用；(5)關于與時間有關的微擾論要求如下：a．了解由初態(tài)躍遷到末態(tài)的概率表達式，特別是常微擾和周期性微擾下的表達式；b．理解由微擾矩陣元Hfi≠0可以確定選擇定則；c．理解能量與時間之間的不確定關系：ΔEΔt∽d．理解光的發(fā)射與吸收的愛因斯坦系數(shù)以及原子內電子由態(tài)躍遷到態(tài)的輻射強度均與矩陣元的模平方∣∣2成正比，由此可以確定偶極躍遷中角量子數(shù)和磁量子數(shù)的選擇定則．(5)了解氫原子一級斯塔克效應及其解釋．教學內容：1、非簡并定態(tài)圍繞理論；2、兼并情況下的微擾理論；3、與時間有關的圍繞理論；4、變分法；5、躍遷概率、光的發(fā)射與吸收、選擇定則。教學重點：近似方法教學難點：微擾論的應用?！緝热菘偨Y】微擾論微擾論的基本思想:將復雜的體系的哈密頓量分成與兩部分。是可求出精確解的，而可看成的微擾。只需將精確解加上由微擾引起的各級修正量，逐級迭代，逐級逼近，就可得到接近問題真實的近似解。確定時，先確定，再用確定。定態(tài)微擾非簡并條件簡并兼并情況的不同之處是，若按微擾論的基本特點，仍讓的精確解作為定態(tài)解的零級近似的話，那么需先要解決的問題是如何從個簡并態(tài)中挑選出正確的零級近似波函數(shù)，正確的零級近似波函數(shù)應是使對角化的基矢。對角化后對角上的元素為對能量的一級修正。為此令久期方程求出能量一級修正，將每個解代入方程可求出每個解對應的零級近似波函數(shù)注意：簡并非簡并的區(qū)別是對我們所考慮的能及來說的，與其他能級是否兼并無關。新的零級近似的波函數(shù)是彼此正交的。在以新的正確地零級近似波函數(shù)為基矢的之空間即、與在該空間都是對角化的含時微擾物理圖象(不含時)的作用是使體系由原來的一定態(tài)，躍遷到了一系列的可能態(tài)，體系由躍遷到態(tài)的幾率為躍遷幾率常微擾只有在的很小范圍才有明顯的躍遷，態(tài)密度(b)周期性微擾表明了躍遷過程必須遵守能量守恒。光的發(fā)射與吸收，愛因斯坦幾率系數(shù)用量子力學處理原子體系，用經典電磁理論處理光波，把光的吸收與發(fā)射問題（光子的產生與湮滅）轉換成在電磁場作用下原子在不同能級間的躍遷問題。三個系數(shù)：自發(fā)發(fā)射系數(shù)，：受激發(fā)射系數(shù)，：吸收系數(shù)選擇定則，二．變分法：不受微擾論條件的限制處理基態(tài)問題比較方便基本思路：引入試探波函數(shù)求求極值，得本章作業(yè)：課后1-5題。第七章自旋與全同粒子教學目標：了解非相對論量子力學在解釋許多實驗現(xiàn)象上獲得了成功，如原子的能級結構，譜線頻率，譜線強度等，但進一步的實驗事實發(fā)現(xiàn)，還有許多現(xiàn)象留待進一步解釋，如光譜線在磁場中的分裂，光譜線的精細結構。這說明微觀粒子還有一些特性有待我們去認識，即電子存在自旋角動量，在非相對論量子力學中，自旋是作為一個新的附加量子數(shù)引入的，是根據(jù)電子具有自旋的實驗事實,在薛定諤方程中硬加上的。在相對論量子力學中，電子自旋像電荷一樣，自然地包含在相對論的波動方程：狄拉克方程中。本章基本要求：(1)了解斯特恩—格拉赫實驗．電子自旋回轉磁比率與軌道回轉磁比率．(2)掌握自旋算符的對易關系和自旋算符的矩陣形式(泡利矩陣)．與自旋相聯(lián)系的測量值、概率、平均值等的計算以及本征值方程和本征函數(shù)的求解方法．(3)了解簡單塞曼效應的物理機制．(4)了解L-S藕合的概念及堿金屬原子光譜雙線結構和物理解釋．(5)根據(jù)量子力學的全同性原理、多體全同粒子波函數(shù)有對稱和反對稱之分．掌握玻色子體系多體波函數(shù)取交換對稱形式，費米子體系取交換反對稱形式，以及費米子服從泡利不相容原理．(6)理解在自旋與軌道相互作用可以忽略時，體系波函數(shù)可寫為空間部分和自旋部分乘積形式．對于兩電子體系則有自旋單重態(tài)和三重態(tài)之分．前者自旋波函數(shù)反對稱，空間波函數(shù)對稱；后者自旋波函數(shù)對稱，空間波函數(shù)反對稱．(7)作為一個具體的實例:了解氦原子能譜有正氦和仲氦之分的物理機制．教學內容：電子的自旋；

2、自旋算符及自旋函數(shù)；

3、塞曼效應；

4、兩角動量的耦合；

5、光譜的精細結構、全同粒子；

6、全同粒子體系的波函數(shù)，泡利原理；

7、兩電子的自旋函數(shù)；8、氦原子（微擾法教學重點：電子自旋的特點、自旋算符的意義及其應用。教學難點：兩電子自旋體系的計算。本章作業(yè)：課后作業(yè)1-7題。本章總結：自旋1．自旋的引入電子的自旋是在實驗事實的基礎上以假設方式提出的。實驗事實：①原子的精細結構②塞曼效應③斯特恩－蓋拉赫實驗假設：①（任意方向）②2．自旋特性內稟屬性②量子特性，不能表示為③滿足角動量的一般對易關系，3．自旋算符與泡利算符自旋算符的對易關系，泡利算符對易關系4．電子自旋態(tài)矢量與泡利矩陣共同本征函數(shù),在表象中(泡利表象）可表示為矩陣：在泡利表象，任一自旋態(tài)為既有自旋運動又有電子空間運動，自旋與軌道無相互作用5．兩個電子體系的自旋函數(shù),,,二．兩個角動量的耦合兩獨立角動量:總角動量:總角動量的基本關系:即它們可構成共同本征矢以為基矢的表象叫耦合表象也相互對易,構成完備基以為基矢的表象叫無耦合表象二種表象的關系--克來布希－高登系數(shù)堿金屬原子光譜的精細結構，塞曼效應堿金屬原子光譜的精細結構：由于自旋與軌道角動量的存在，而產生耦合，在無外場的情況下，原來一個能級分裂成一組不同j值的能級。不考慮自旋與動量耦合度度（考慮自旋）簡單塞曼效應：在強磁場中（不考慮自旋與軌道角動量耦合），由于自旋的存在而產生的能級分裂現(xiàn)象。若在弱磁場中，需考慮自旋與角動量的耦合，分裂比較復雜,稱為復雜塞曼效應。全同粒子什么是全同粒子？（質量，電荷，自旋等）相同的微觀粒子兩大類:費米子，玻色子全同性原理：兩個粒子的相互代換不引起物理狀態(tài)的改變全,同粒子在重疊區(qū)的不可分性。由全同性原理推出的一些基本結果:①全同粒子體系的哈密頓量對任意兩個粒子的互換不變。②全同粒子體系的物理狀態(tài)對于兩個粒子互換不變，即:全同粒子體系的狀態(tài)