全國小學(xué)數(shù)學(xué)教師教學(xué)設(shè)計(jì)比賽一等獎(jiǎng)數(shù)學(xué)七年級上冊（人教2024年新編）《解一元一次方程實(shí)際問題與一元一次方程（第1課時(shí)產(chǎn)品配套問題和工程問題）》教學(xué)設(shè)計(jì)

5.3實(shí)際問題與一元一次方程（第1課時(shí)產(chǎn)品配套問題和工程問題）教學(xué)設(shè)計(jì)一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容本節(jié)課是人教2024版《義務(wù)教育教科書?數(shù)學(xué)》七年級上冊（以下統(tǒng)稱“教材”）第五章“一元一次方程”5.3實(shí)際問題與一元一次方程第1課時(shí)，內(nèi)容包括利用一元一次方程分析與解決配套、工程等問題.2.內(nèi)容解析配套問題、工程問題等是實(shí)際生活中的常見問題，也是可借助方程模型解決的典型問題之一，并具有一定的代表性.這類問題的背景和表達(dá)都更貼近實(shí)際，其中的有些數(shù)量關(guān)系也比較隱蔽．對這些問題的探究可以使學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)一元一次方程與實(shí)際的密切聯(lián)系，體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)運(yùn)用一元一次方程分析和解決實(shí)際問題的能力.基于以上分析，可以確定本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)為：配套問題、工程問題的探究過程．二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）理解配套問題、工程問題的背景，分清有關(guān)數(shù)量關(guān)系，能正確找出作為列方程依據(jù)的主要等量關(guān)系列方程解決問題.（2）掌握用一元一次方程解決實(shí)際問題的基本過程.2.目標(biāo)解析（1）理解問題相關(guān)的概念，能夠找出解決問題所需的關(guān)鍵量，并利用一元一次方程將之求出．（2）經(jīng)歷配套問題、工程問題的探究過程，掌握用一元一次方程解決實(shí)際問題的基本過程．三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生在小學(xué)階段及前面學(xué)習(xí)對列方程解決實(shí)際問題雖然有所了解，但是本節(jié)教材所涉及的實(shí)際問題的背景和表達(dá)都更加貼近實(shí)際，數(shù)量關(guān)系有的比較隱蔽，有的比較抽象，有的則更為復(fù)雜，需要學(xué)生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗(yàn)理清、理解，經(jīng)歷探究用一元一次方程解決實(shí)際問題的基本過程，進(jìn)而逐步提升他們分析問題、解決問題的能力，有效積累探究、交流、反思等數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，體會(huì)轉(zhuǎn)化化歸和方程模型思想，增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和能力．基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)難點(diǎn)為：在探究過程中準(zhǔn)確找到題目中隱含的相等關(guān)系．四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）回顧舊知小學(xué)我們學(xué)過工程問題，請回答下列問題：1.一項(xiàng)工作甲單獨(dú)做需要5天完成，乙單獨(dú)做需要10天完成，那么甲每天的工作效率是，乙每天的工作效率是，兩人合作3天完成的工作量是，此時(shí)剩余的工作量是.；；；．2.一項(xiàng)工作甲單獨(dú)做需要a天完成，乙單獨(dú)做需要b天完成，那么甲每天的工作效率是____，乙每天的工作效率是____，兩人合作3天完成的工作量是_________，此時(shí)剩余的工作量是_________.；；；．工作量、工作時(shí)間、工作效率的關(guān)系：1.工作量=___________×____________；工作時(shí)間；工作效率．2.工作時(shí)間=___________÷____________；工作量；工作效率．3.工作效率=___________÷____________.工作量；工作時(shí)間．（二）新課導(dǎo)入從前面幾節(jié)課的學(xué)習(xí)中已經(jīng)可以看出，方程是分析和解決問題的一種很有用的數(shù)學(xué)工具.從本節(jié)課開始，我們將重點(diǎn)學(xué)習(xí)如何用一元一次方程解決實(shí)際問題.生活中，有很多需要進(jìn)行配套的問題，如課桌和凳子、螺栓和螺母、電扇葉片和電機(jī)等，大家能舉出生活中配套問題的例子嗎？（三）典例分析例1：某車間有22名工人，每人每天可以生產(chǎn)1200個(gè)螺栓或2000個(gè)螺母.1個(gè)螺栓需要配2個(gè)螺母，為使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套，應(yīng)安排生產(chǎn)螺栓和螺母的工人各多少名？解：設(shè)應(yīng)安排x名工人生產(chǎn)螺栓，(22－x)名工人生產(chǎn)螺母.依題意，得2000(22－x)＝2×1200x.解方程，得x＝10.所以22－x＝12.答：應(yīng)安排10名工人生產(chǎn)螺栓，12名工人生產(chǎn)螺母.師生活動(dòng)：學(xué)生思考，教師適時(shí)引導(dǎo)：本題需要我們解決的問題是什么？題目中哪些信息能解決人員安排的問題？螺母和螺栓的數(shù)量關(guān)系如何？學(xué)生確有困難，教師可提示學(xué)生列出表格．師生歸納：生產(chǎn)調(diào)配問題通常從調(diào)配后各量之間的倍、分關(guān)系尋找相等關(guān)系，建立方程.解決配套問題的思路：1.利用配套問題中物品之間具有的數(shù)量關(guān)系作為列方程的依據(jù)；2.利用配套問題中的套數(shù)不變作為列方程的依據(jù).【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)際問題——數(shù)學(xué)問題——實(shí)際問題”的過程，有助于提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力．針對訓(xùn)練：1.如圖，足球是由32塊黑白相間的牛皮縫制而成的，黑皮可看作正五邊形，白皮可看作正六邊形，求白皮，黑皮各多少塊？解：設(shè)足球上黑皮有x塊，則白皮為(32－x)塊，五邊形的邊數(shù)共有5x條，六邊形邊數(shù)有6(32－x)條．依題意，得2×5x=6(32－x),解得x=12，則32－x=20.答：白皮20塊，黑皮12塊.2.一套儀器由一個(gè)A部件和三個(gè)B部件構(gòu)成.用1立方米鋼材可做40個(gè)A部件或240個(gè)B部件.現(xiàn)要用6立方米鋼材制作這種儀器，應(yīng)用多少鋼材做A部件，多少鋼材做B部件，才能恰好配成這種儀器？共配成多少套？解：設(shè)應(yīng)用x立方米鋼材做A部件，則應(yīng)用(6－x)立方米做B部件.根據(jù)題意，列方程：3×40x=(6－x)×240.解得x=4.則6－x=2.共配成儀器：4×40=160（套）.例2：整理一批圖書，由1人整理需要40h完成.現(xiàn)計(jì)劃由一部分人先整理4h，然后增加2人與他們一起整理8h，完成這項(xiàng)工作.假設(shè)這些人的工作效率相同，具體應(yīng)先安排多少人進(jìn)行整理？解：設(shè)先安排x人整理4h，根據(jù)題意得等量關(guān)系：前部分工作總量+后部分工作總量=總工作量1可列方程，解方程，得4x+8(x+2)＝40，4x+8x＋16＝40，12x＝24，x＝2.答：應(yīng)先安排2人進(jìn)行整理.師生活動(dòng)：師生共同思考，教師適時(shí)點(diǎn)撥，幫助學(xué)生分析：在工程問題中：工作量=人均效率×人數(shù)×?xí)r間；工作總量=各部分工作量之和.【設(shè)計(jì)意圖】使學(xué)生經(jīng)歷“實(shí)際問題——數(shù)學(xué)問題——實(shí)際問題”的過程，有助于提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力．針對訓(xùn)練：1.加工某種工件，甲單獨(dú)作要20天完成，乙只要10就能完成任務(wù)，現(xiàn)在要求二人在12天內(nèi)完成任務(wù)．問乙需工作幾天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務(wù)？解：設(shè)乙需工作x天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務(wù)，則甲做了（12－x）天.依題意，得.解得x=8.答：乙需工作8天后甲再繼續(xù)加工才可正好按期完成任務(wù).2.有一批零件加工任務(wù)，甲單獨(dú)做需要40h完成，乙單獨(dú)做需要30h完成.甲做了幾小時(shí)后，因另有緊急任務(wù)離開，剩下的任務(wù)由乙單獨(dú)完成，乙比甲多做了2h.求甲做了幾小時(shí)？解：設(shè)甲做了xh.依題意，得.解方程，得x＝16.答：甲做了16小時(shí).【設(shè)計(jì)意圖】在教師引領(lǐng)完成例題之后，依次給出練習(xí)，使學(xué)生獲得的解題經(jīng)驗(yàn)得以鞏固，并通過應(yīng)用練習(xí)轉(zhuǎn)化為能力．（四）總結(jié)歸納師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生共同歸納：用一元一次方程解決實(shí)際問題的基本過程如下：這一過程一般包括審、找、設(shè)、列、解、檢、答等步驟，正確分析問題中的相等關(guān)系是列方程的基礎(chǔ).【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生對列方程解決實(shí)際問題有一個(gè)整體的感知，形成知識體系．（五）當(dāng)堂鞏固1.一條地下管線由甲工程隊(duì)單獨(dú)鋪設(shè)需要12天，由乙工程隊(duì)單獨(dú)鋪設(shè)需要24天.如果由這兩個(gè)工程隊(duì)從兩端同時(shí)施工，要多少天可以鋪好這條管線？解：設(shè)要x天可以鋪好這條管線，由題意得：.解方程，得x=8.答：要8天可以鋪好這條管線.2.收割一塊水稻田，若每小時(shí)收割4畝，預(yù)計(jì)若干小時(shí)完成，收割后，改用新式農(nóng)機(jī)，工作效率提高到原來的倍，因此比預(yù)計(jì)時(shí)間提早1小時(shí)完成.求這塊水稻田的面積．解：設(shè)這塊水稻田的面積為x畝.依題意，得.解方程，得x＝36.答：這塊水稻田的面積為36畝.【設(shè)計(jì)意圖】考查學(xué)生對建立方程模型解決這些問題的一般方法的掌握．（六）能力提升1.某人一天能加工甲種零件50個(gè)或加工乙種零件20個(gè)，1個(gè)甲種零件與2個(gè)乙種零件配成一套，30天制作最多的成套產(chǎn)品，若設(shè)x天制作甲種零件，則可列方程為.2×50x=20(30－x)2.一項(xiàng)工作，甲獨(dú)做需18天，乙獨(dú)做需24天，如果兩人合做8天后，余下的工作再由甲獨(dú)做x天完成，那么所列方程為.3.某家具廠生產(chǎn)一種方桌，1立方米的木材可做50個(gè)桌面或300條桌腿，現(xiàn)有10立方米的木材，怎樣分配生產(chǎn)桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面、桌腿剛好配套，共可生產(chǎn)多少張方桌？（一張方桌有1個(gè)桌面，4條桌腿）解：設(shè)用x立方米的木材做桌面，則用(10－x)立方米的木材做桌腿.根據(jù)題意，得4×50x=300(10－x)，解得x=6，所以10－x=4，可做方桌為50×6=300（張）.答：用6立方米的木材做桌面，4立方米的木材做桌腿，可做300張方桌.4.一件工作，甲單獨(dú)做20小時(shí)完成，乙單獨(dú)做12小時(shí)完成，現(xiàn)在先由甲單獨(dú)做4小時(shí)，剩下的部分由甲、乙合作.剩下的部分需要幾小時(shí)完成？解：設(shè)剩下的部分需要x小時(shí)完成，根據(jù)題意得：.解得x=6.答：剩下的部分需要6小時(shí)完成.5.一個(gè)道路工程，甲隊(duì)單獨(dú)施工9天完成，乙隊(duì)單獨(dú)做24天完成．現(xiàn)在甲乙兩隊(duì)共同施工3天，因甲另有任務(wù)，剩下的工程由乙隊(duì)完成，問乙隊(duì)還需幾天才能完成？解：設(shè)乙隊(duì)還需x天才能完成，由題意得：.解得x=13.答：乙隊(duì)還需13天才能完成．【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步考查學(xué)生對建立方程模型解決此類問題的一般方法的掌握．（七）感受中考（2024?陜西）星期天，媽媽做飯，小峰和爸爸進(jìn)行一次家庭衛(wèi)生大掃除.根據(jù)這次大掃除的任務(wù)量，若小峰單獨(dú)完成，需4h；若爸爸單獨(dú)完成，需2h.當(dāng)天，小峰先單獨(dú)打掃了一段時(shí)間后，去參加籃球訓(xùn)練，接著由爸爸單獨(dú)完成了剩余的打掃任務(wù)，小峰和爸爸這次一共打掃了3h，求這次小峰打掃了多長時(shí)間.【解答】解：設(shè)這次小峰打掃了xh，則爸爸打掃了(3－x)h，根據(jù)題意得：.解得：x=2.答：這次小峰打掃了2h.【設(shè)計(jì)意圖】通過對最近幾年的中考真題的訓(xùn)練，使學(xué)生提前感受中考考什么，進(jìn)一步了解考點(diǎn)．（八）課堂小結(jié)1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容是什么？2.分析實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系，常用的方法是什么？需要注意哪些問題？3.通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，嘗試用自己的語言描述，如何建立方程模型來解決實(shí)際問題？【設(shè)計(jì)意圖】通過問題引領(lǐng)學(xué)生梳理探究過程，歸納用一元一次方程解決實(shí)際問題的方法．（九）布置作業(yè)P140：習(xí)題5.3：第2、3、4、5題.五、教學(xué)反思本節(jié)內(nèi)容是學(xué)生進(jìn)入中學(xué)后代數(shù)知識學(xué)習(xí)的又一次重要跨越．在前面，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)、整式的加減和一元一次方程的解法，對數(shù)的認(rèn)識已經(jīng)由非負(fù)數(shù)有理數(shù)擴(kuò)展到有理數(shù)，知道了用字母可以表示具有一般意義的數(shù)量關(guān)系，掌握了解一元一次方程的一般步驟和基本方法，學(xué)生對代數(shù)知識的學(xué)習(xí)正逐步深入，他們的代數(shù)變形能力正逐步提高．本節(jié)是第三章一元一次方程的最后一節(jié)，是對前面所學(xué)內(nèi)容的綜合運(yùn)用，也是七上教材“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的壓軸內(nèi)容．列方程解決實(shí)際問題是本節(jié)教學(xué)的重點(diǎn)，也是難點(diǎn)，更是貫穿本章前后的一條主線．在前面討論一元一次方程解法時(shí)，也是先給出實(shí)際問題，然后通過設(shè)未知數(shù)列方程再逐步研究和完善解一元一次方程一般步驟的．本節(jié)是直接運(yùn)用解一元一次方程的一般步驟與方法解決實(shí)際問題．這樣設(shè)計(jì)教材，既揭示了學(xué)習(xí)解一元一次方程的必要性，體現(xiàn)了一元一次方程在實(shí)際生活中廣泛的應(yīng)用價(jià)值，也有利于學(xué)生帶著問題（如何解一元一次方程）來學(xué)習(xí)和探究，使得他們的學(xué)習(xí)方向更明確，階段目標(biāo)更具體，也利于分散難點(diǎn)，便于學(xué)生有層次、有梯度地學(xué)習(xí)．列方程就是通過讀題審題理清和尋找題目中相等的數(shù)量關(guān)系，通過設(shè)未知數(shù)將這些相等的數(shù)量關(guān)系表示出來．解一元一次方程就是，通過去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等步驟，將方程向ax=b（a≠0）的方向轉(zhuǎn)化，其中體現(xiàn)了化歸和程序化思想．解方程得到的未知數(shù)的值，是否符合具體問題的實(shí)際意義，是我們學(xué)習(xí)列方程解應(yīng)用題需要關(guān)注的．這既是實(shí)際問題與數(shù)學(xué)問題相互轉(zhuǎn)化過程中需要注意的問題，也有利于培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣和品質(zhì)，讓他們能夠從中進(jìn)一步體會(huì)方程的應(yīng)用價(jià)值．第五章一元一次方程5.3實(shí)際問題與一元一次方程（1）【教學(xué)目標(biāo)】1.經(jīng)歷配套問題的解決過程，抽象建立一元一次方程模型解決實(shí)際問題的步驟和基本思想，發(fā)展抽象能力；2.能建立一元一次方程模型解決實(shí)際問題，發(fā)展模型觀念；3.體會(huì)一元一次方程的應(yīng)用價(jià)值.【教學(xué)重點(diǎn)】抽象建立一元一次方程模型解決實(shí)際問題的步驟和基本思想.【教學(xué)難點(diǎn)】抽象建立一元一次方程模型解決實(shí)際問題基本思想.【教學(xué)過程】 一、情境導(dǎo)入前面我們學(xué)習(xí)了解一元一次方程的解法，從前面的學(xué)習(xí)中我們看到方程是解決問題的一種很好工具，本節(jié)課開始我們將探究如何用一元一次方程解決實(shí)際問題，本節(jié)課的課題是5.3實(shí)際問題與一元一次方程（1）（板書課題）合作探究活動(dòng)一：解決問題初步總結(jié)例1.某車間有22名工人，每人每天可以生產(chǎn)1200個(gè)螺栓或2000個(gè)螺母。1個(gè)螺栓需要配2個(gè)螺母，為使每天生產(chǎn)的螺栓和螺母剛好配套，應(yīng)安排生產(chǎn)螺栓和螺母的工人各多少名?教師活動(dòng)：追問1.問題中的已知量、未知量有哪些，量與量之間有什么關(guān)系？追問2.確定的未知量是什么？你想設(shè)什么量為？追問3.你選用的等量關(guān)系是什么？列出的方程是什么？追問4.如何解方程？追問5.如何檢驗(yàn)未知數(shù)的值是否符合問題？追問6.檢驗(yàn)后還要做什么？學(xué)生活動(dòng)：分析題意，尋找等量關(guān)系，列方程，解方程，檢驗(yàn)，作答.教師活動(dòng)：指導(dǎo)學(xué)生，并示范寫出解答過程：解:設(shè)應(yīng)安排名工人生產(chǎn)螺栓，名工人生產(chǎn)螺母.根據(jù)螺母數(shù)量應(yīng)是螺栓數(shù)量的2倍，列得方程.（追問：設(shè)應(yīng)安排x名工人生產(chǎn)螺母，應(yīng)該怎樣列方程）解方程，得.進(jìn)而.答:應(yīng)安排10名工人生產(chǎn)螺栓，12名工人生總結(jié)歸納：問題中“每天生產(chǎn)的螺母數(shù)量是螺栓數(shù)量的2倍時(shí)，它們剛好配套”是列方程的依據(jù).這類問題中配套的物品之間具有一定的數(shù)量關(guān)系，這可以作為列方程的依據(jù).活動(dòng)二：歸納用一元一次方程解實(shí)際問題的步驟教師活動(dòng)：問題：從上面的用一元一次方程解實(shí)際的過程，你能歸納出用一元一次方程解實(shí)際問題的一般步驟嗎？師生共同歸納：用一元一次方程解決實(shí)際問題的一般步驟包括:這一過程一般包括設(shè)、列、解、檢、答等步驟，即設(shè)未知數(shù)、列方程、解方程、檢驗(yàn)所得結(jié)果、確定答案.正確分析問題中的相等關(guān)系是列方程的基礎(chǔ).用框圖表示為：活動(dòng)三：用一元一次方程解實(shí)際問題例2.整理一批圖書，由1人整理需要完成.現(xiàn)計(jì)劃由一部分人先整理，然后增加2人與他們一起整理，完成這項(xiàng)工作.假設(shè)這些人的工作效率相同，應(yīng)先安排多少人進(jìn)行整理?師生共同分析:設(shè)先安排人整理，如果把總工作量設(shè)為1，則人均效率(一個(gè)人完成的工作量)為，人先整理完成的工作量為，增加2人后再整理完成的工作量為，這兩個(gè)工作量之和應(yīng)等于總工作量.學(xué)生解答，教師指導(dǎo)，并示范寫出解答：解:設(shè)先安排人整理.根據(jù)先后兩個(gè)時(shí)段的工作量之和等于總工作量，列得方程得.解方程，得.答:應(yīng)先安排2人進(jìn)行整理.觀察歸納：這類問題中常常把總工作量看作1，并利用“工作量=人均效率×人數(shù)×?xí)r間”的關(guān)系考慮問題.辦公室買進(jìn)一包A4紙，計(jì)劃每天用25張，可以用20天．由于節(jié)約用紙，實(shí)際每天少用了5張，這包紙實(shí)際可以用多少天？師生共同分析:設(shè)這包紙實(shí)際可以用x天，根據(jù)“總