第23章解直角三角形 學(xué)情評(píng)估卷滬科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)_第1頁(yè)
第23章解直角三角形 學(xué)情評(píng)估卷滬科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)_第2頁(yè)
第23章解直角三角形 學(xué)情評(píng)估卷滬科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)_第3頁(yè)
第23章解直角三角形 學(xué)情評(píng)估卷滬科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)_第4頁(yè)
第23章解直角三角形 學(xué)情評(píng)估卷滬科版數(shù)學(xué)九年級(jí)上冊(cè)_第5頁(yè)
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第23章學(xué)情評(píng)估一、選擇題(本大題共10小題,每小題4分,滿分40分)1.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=12,則下列三角函數(shù)表示正確的是()A.sinA=eq\f(12,5)B.cosA=eq\f(5,13)C.tanA=eq\f(12,13)D.tanB=eq\f(12,5)(第1題)(第4題)(第6題)2.在Rt△ABC中,cosA=eq\f(1,2),那么sinA的值是()A.eq\f(\r(2),2) B.eq\f(\r(3),2) C.eq\f(\r(3),3) D.eq\f(1,2)3.某人沿著有一定坡度的坡面前進(jìn)了10米,此時(shí)他與水平地面的垂直距離為5米,則這個(gè)坡面的坡度為()A.1:2 B.1:eq\r(3) C.30° D.60°4.如圖,一把梯子靠在垂直水平地面的墻上,梯子AB的長(zhǎng)是3米.若梯子與地面的夾角為α,則梯子頂端到地面的距離BC為()A.3sinα米 B.3cosα米C.eq\f(3,sinα)米 D.eq\f(3,cosα)米5.在△ABC中,tanA=1,cosB=eq\f(\r(2),2),則對(duì)△ABC的形狀描述最準(zhǔn)確的是()A.等腰三角形 B.直角三角形C.等腰直角三角形 D.銳角三角形6.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=3,CD⊥AB于點(diǎn)D,設(shè)∠ACD=α,則cosα的值為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,4) C.eq\f(4,3) D.eq\f(3,5)7.如圖,P是銳角α的邊OA上一點(diǎn),且點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,4),則sinα等于()A.eq\f(3,5) B.eq\f(4,5) C.eq\f(3,4) D.eq\f(4,3)(第7題)(第8題)(第9題)8.某公路在BC路段限速60km/h(即最高行駛速度不能超過(guò)60km/h),管理部門(mén)在距離公路100m處設(shè)置了一個(gè)速度監(jiān)測(cè)點(diǎn)A,假設(shè)公路是筆直的,建立如圖所示的直角坐標(biāo)系,∠BAO=60°,∠CAO=45°,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(0,-100),則限速路段BC等于()A.300m B.(100eq\r(3)+100)mC.200eq\r(3)m D.100(eq\r(3)+eq\r(2))m9.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE是斜邊AB上的中線,過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB交AC于點(diǎn)F.若BC=4,△AEF的面積為5,則sin∠CEF的值為()A.eq\f(3,5) B.eq\f(\r(5),5) C.eq\f(4,5) D.eq\f(2\r(5),5)10.如圖,在矩形ABCD中,E是邊BC的中點(diǎn),AE⊥BD,垂足為F,則tan∠BDE的值是()A.eq\f(\r(2),4) B.eq\f(1,4) C.eq\f(1,3) D.eq\f(\r(2),3)(第10題)(第12題)(第13題)二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,滿分20分)11.在△ABC中,∠C=90°,tanA=2cos30°,則∠A=______.12.如圖,我市在建高鐵的某段路基橫斷面為梯形ABCD,DC∥AB,BC=6米,坡角β=45°,AD的坡角α=30°,則AD長(zhǎng)為_(kāi)_______米(結(jié)果保留根號(hào)).13.如圖,在網(wǎng)格中,小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)A,B,O都在格點(diǎn)上,則tan∠AOB=________.14.如圖,把n個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形拼接成一排,求得tan∠BA1C=1,tan∠BA2C=eq\f(1,3),tan∠BA3C=eq\f(1,7).(1)計(jì)算tan∠BA4C=________;(2)按此規(guī)律,寫(xiě)出tan∠BAnC=________.(用含n的代數(shù)式表示)(第14題)三、(本大題共2小題,每小題8分,滿分16分)15.計(jì)算:(π-2023)0-3tan30°+|1-eq\r(3)|+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(-2).16.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,a,b,c分別為∠A,∠B,∠C的對(duì)邊,a=2eq\r(3),b=6,解這個(gè)直角三角形.(第16題)四、(本大題共2小題,每小題8分,滿分16分)17.熱氣球的探測(cè)器顯示,從熱氣球A看一棟樓頂部B的仰角α為45°,看這棟樓底部C的俯角β為60°,熱氣球與樓的水平距離為100m,求這棟樓的高度(結(jié)果保留根號(hào)).(第17題)18.在△ABC中,AB=6,∠B為銳角且cosB=eq\f(1,2),tanC=3eq\r(3).(第18題)(1)求∠B的度數(shù);(2)求BC的長(zhǎng);(3)求△ABC的面積.五、(本大題共2小題,每小題10分,滿分20分)19.越來(lái)越多太陽(yáng)能路燈的使用,既點(diǎn)亮了城市的風(fēng)景,也是我市積極落實(shí)節(jié)能環(huán)保的舉措.某校學(xué)生開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng),測(cè)量太陽(yáng)能路燈電池板離地面的高度.如圖,已知測(cè)傾器的高度為1.6米,在測(cè)點(diǎn)A處安置測(cè)傾器,測(cè)得點(diǎn)M的仰角∠MBC=33°,在與點(diǎn)A相距3.5米的測(cè)點(diǎn)D處安置測(cè)傾器,測(cè)得點(diǎn)M的仰角∠MEC=45°(點(diǎn)A,D與N在一條直線上),求電池板離地面的高度MN的長(zhǎng)(結(jié)果精確到1米;參考數(shù)據(jù)sin33°≈0.54,cos33°≈0.84,tan33°≈0.65).(第19題)20.如圖,一個(gè)人騎自行車(chē)由A地到C地途經(jīng)B地,當(dāng)他由A地出發(fā)時(shí),發(fā)現(xiàn)他的北偏東45°方向有一電視塔P.他由A地向正北方向騎行了3eq\r(2)km到達(dá)B地,發(fā)現(xiàn)電視塔P在他北偏東75°方向,然后他由B地向北偏東15°方向騎行了6km到達(dá)C地.(第20題)(1)求A地與電視塔P的距離;(2)求C地與電視塔P的距離.六、(本題滿分12分)21.如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是邊BC上的中線,過(guò)點(diǎn)A作AE∥BC,過(guò)點(diǎn)D作DE∥AB,DE與AC,AE分別交于點(diǎn)O,E,連接EC.(1)求證:四邊形ADCE是菱形;(2)若AB=AO,求tan∠OAD的值.(第21題)七、(本題滿分12分)22.某校數(shù)學(xué)社團(tuán)開(kāi)展“探索生活中的數(shù)學(xué)”研學(xué)活動(dòng),準(zhǔn)備測(cè)量一棟大樓BC的高度.如圖所示,其中觀景平臺(tái)斜坡DE的長(zhǎng)是20米,坡角為37°,斜坡DE的底部D與大樓底端C的距離CD為74米,與地面CD垂直的路燈AE的高度是3米,從樓頂B測(cè)得路燈AE頂端A處的俯角是42.6°.試求大樓BC的高度.(結(jié)果精確到1米;參考數(shù)據(jù):sin37°≈0.60,cos37°≈0.80,tan37°≈0.75,sin42.6°≈0.68,cos42.6°≈0.74,tan42.6°≈0.92)(第22題)八、(本題滿分14分)23.(1)觀察與猜想:已知當(dāng)0°<α<60°時(shí),下列關(guān)系式有且只有一個(gè)正確,正確的是________(填序號(hào));①2sin(30°+α)=sinα+eq\r(3);②2sin(30°+α)=2sinα+eq\r(3);③2sin(30°+α)=eq\r(3)sinα+cosα.(2)探究與證明:如圖①,在△ABC中,∠A=α,∠B=30°,AC=1,請(qǐng)利用圖①證明(1)中你猜想的結(jié)論;(3)應(yīng)用新知識(shí)解決問(wèn)題:兩塊分別含有45°角和30°角的直角三角板如圖②方式擺放在同一平面內(nèi),BD=8eq\r(2),則S△ABC=________.(第23題)

答案一、1.B2.B3.B4.A5.C6.A7.B8.B9.A【點(diǎn)撥】如圖,連接BF.(第9題)∵CE是斜邊AB上的中線,EF⊥AB,∴EF是AB的垂直平分線,∴S△AEF=S△BEF=5,BF=AF,∴S△AFB=10=eq\f(1,2)AF·BC,∠FBA=∠A.∵BC=4,∴AF=5=BF,∴在Rt△BCF中,CF=eq\r(BF2-BC2)=eq\r(52-42)=3.∵CE是Rt△ABC的斜邊AB上的中線,∴CE=AE=BE=eq\f(1,2)AB.∴∠A=∠ABF=∠ACE.又∵∠BCA=90°=∠BEF,∴∠CBF=90°-∠BFC=90°-2∠A,∠CEF=90°-∠BEC=90°-2∠A,∴∠CEF=∠CBF,∴sin∠CEF=sin∠CBF=eq\f(CF,BF)=eq\f(3,5).10.A二、11.60°12.6eq\r(2)13.eq\f(1,3)14.(1)eq\f(1,13)(2)eq\f(1,n2-n+1)三、15.解:(π-2023)0-3tan30°+|1-eq\r(3)|+eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(-2)=1-3×eq\f(\r(3),3)+eq\r(3)-1+4=1-eq\r(3)+eq\r(3)-1+4=4.16.解:∵a=2eq\r(3),b=6,∠C=90°,∴c=eq\r(a2+b2)=eq\r(12+36)=eq\r(48)=4eq\r(3).∵tanA=eq\f(a,b)=eq\f(2\r(3),6)=eq\f(\r(3),3),∴∠A=30°,∴∠B=90°-∠A=90°-30°=60°.四、17.解:在Rt△ADB中,∠BAD=45°,∴BD=AD=100m.在Rt△ADC中,CD=AD×tan∠DAC=100eq\r(3)m,∴BC=BD+CD=(100+100eq\r(3))m.答:這棟樓的高度為(100+100eq\r(3))m.18.解:(1)∵∠B為銳角且cosB=eq\f(1,2),∴∠B=60°.(2)如圖,過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H.∵cosB=eq\f(1,2),∴eq\f(BH,AB)=eq\f(1,2).∵AB=6,∴BH=3.在Rt△ABH中,AH=eq\r(AB2-BH2)=eq\r(62-32)=3eq\r(3).∵tanC=3eq\r(3),∴eq\f(AH,CH)=3eq\r(3),即eq\f(3\r(3),CH)=3eq\r(3),∴CH=1,∴BC=BH+CH=3+1=4.(3)S△ABC=eq\f(1,2)BC·AH=eq\f(1,2)×4×3eq\r(3)=6eq\r(3).(第18題)五、19.解:如圖,延長(zhǎng)BC交MN于點(diǎn)H,AD=BE=3.5米.設(shè)MH=x米.(第19題)∵∠MEC=45°,∴EH=x米.在Rt△MHB中,tan∠MBH=eq\f(MH,HE+EB)=eq\f(x,x+3.5)≈0.65,解得x=6.5.∴MN=1.6+6.5=8.1≈8(米).答:電池板離地面的高度MN的長(zhǎng)約為8米.20.解:(1)如圖,過(guò)點(diǎn)B作BD⊥AP于點(diǎn)D.(第20題)依題意,得∠BAD=45°,則∠ABD=45°.在Rt△ABD中,AD=BD=eq\f(\r(2),2)AB=eq\f(\r(2),2)×3eq\r(2)=3(km).∵∠PBN=75°,∴∠APB=∠PBN-∠PAB=30°,∴PD=eq\f(BD,tan30°)=3eq\r(3)km,PB=2BD=6km,∴AP=AD+PD=(3+3eq\r(3))km,∴A地與電視塔P的距離為(3+3eq\r(3))km.(2)如圖,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥BP于點(diǎn)E.∵∠PBN=75°,∠CBN=15°,∴∠CBE=60°.∵BC=PB=6km,∴△BCP是等邊三角形,∴PC=BC=PB=6km,∴C地與電視塔P的距離為6km.六、21.(1)證明:∵DE∥AB,AE∥BC,∴四邊形ABDE是平行四邊形,∴AE∥BD且AE=BD.又∵AD是邊BC上的中線,∴BD=CD,∴AE=CD,∴四邊形ADCE是平行四邊形.又∵∠BAC=90°,AD是斜邊BC上的中線,∴AD=BD=CD.又∵四邊形ADCE是平行四邊形,∴四邊形ADCE是菱形.(2)解:∵四邊形ADCE是菱形,∴AO=CO,∠AOD=90°.又∵BD=CD,∴OD是△ABC的中位線,∴OD=eq\f(1,2)AB.∵AB=AO,∴OD=eq\f(1,2)AO,∴在Rt△OAD中,tan∠OAD=eq\f(OD,OA)=eq\f(1,2).七、22.解:延長(zhǎng)AE交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BC于點(diǎn)N,則四邊形AMCN是矩形,∴NC=AM,AN=MC.在Rt△EMD中,∠EDM=37°,∵sin∠EDM=eq\f(EM,ED),cos∠EDM=eq\f(DM,ED),∴EM=ED×sin37°≈20×0.6=12(米),DM=ED×cos37°≈20×0.8=16(米),∴AN=MC=CD+DM≈74+16=90(米).在Rt△ANB中,∠BAN=42.6°,∵tan∠BAN=eq\f(BN,AN),∴BN=AN×tan42.6°≈90×0.92=82.8(米),∴BC=BN+AE+EM≈82.8+3+12≈98(米).答:大樓BC的高度約為98米.八、23.(1)③(2)證明:如圖①,過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BM,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB于點(diǎn)E.(第23題)∵∠AMB=90°,∠B=30°,∴AM=eq\f(1,2)AB,即AB=2AM.∵∠ACM為△ABC的外角,∴∠ACM=∠B+∠BAC=30°+α.在Rt△AC

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