考研真題 哈工大理論力學教研室《理論力學Ⅱ》（第7版）配套題庫（真題 課后題 章節(jié)題 模擬題）

哈工大理論力學教研室主編的《理論力學》(第7版)是我國高校力學類專業(yè)廣泛采用的權威教材之一，也被眾多高校(包括科研機構)指定為考研考博專業(yè)課參考書目。(第7版)的考生復習專業(yè)課，我們根據教材和名校考研真題的命題規(guī)律精心編寫了哈工大理論力學教研室《理論力學》(第7版)輔導用書(均提供免費下載，免費升級):1.哈工大理論力學教研室《理論力學》(第7版)筆記和課后習題(含考研真題)詳解2.哈工大理論力學教研室《理論力學I》(第7版)配套題庫【名?？佳姓骖}+課后習題+3.哈工大理論力學教研室《理論力學Ⅱ》(第7版)配套題庫【名?？佳姓骖}+課后習題+第一部分為名?？佳姓骖}及詳解。本部分從指定哈(第7版)為考研參考書目的名校歷年考研真題中挑選最具代表性的部分，并對其進行了詳重難點部分(包括教材中未涉及到的知識點)進行詳細闡釋，以使學員不遺漏任何一個重要第二部分為課后習題及詳解。本部分對哈工大理論力學教研室主編的《理論力學》(第7版)教材每一章的課后習題進行了詳細的分析和解答，并對個別知識點進行了擴展。課后習7版)教材內容進行編寫。每一章都精心挑選經典常見考題，并予以詳細解答。熟練掌握本第四部分為模擬試題及詳解。參照哈工大理論力學教研室主編的《理論力學》(第7版)教()提供全國各高校力學類專業(yè)考研考博輔導班【一對一輔導(面授/網授)、網授精講班等】、3D電子書、3D題庫(免費下載，免費升級)、全套資料(歷年真題及答案、筆記講義等)、力學類國內外經典教材名師講堂、考研教輔圖書等。本入學考試指定考研參考書目為哈工大理論力學教研室《理論力學》(第7版)的考生，也可1.直播答疑：掃碼下載本書手機版，找學友互動學習，看名師直播答疑有學友，可精確查找學友的具體位置，可與學友互動，交流學習(視頻、語音等形式);本2.720度立體旋轉：好用好玩的全新學習體驗帶給你超逼真的3D學習體驗，720度立體場景，任意角度旋轉，模擬紙質書真實翻頁效果，3.質量保證：每本e書都經過圖書編輯隊伍多次反復修改，年年升級4.手機掃碼即可閱讀，精彩內容，輕松分享掃碼即可在手機閱讀，隨處隨學?？梢圆挥每蛻舳瞬挥觅~號，簡單方便!5.免費升級：更新并完善內容，終身免費升級6.功能強大：記錄筆記、答案遮擋等十大功能(1)知識點串聯列舉——相同知識點內容列表呈現，便于讀者記憶和復習，舉一反三，觸(2)劃線添加筆記——使用顏色筆工具，劃一條線，寫筆記，提交糾錯?！惊毤彝瞥觥?3)答案遮擋先看題后看答案，學習效果好?！惊毤彝瞥觥?4)全文檢索輸入關鍵詞，本書相關內容一覽無余?！惊毤彝瞥觥?.多端并用：電腦手機平板等多平臺同步使用本書一次購買，多端并用，可以在PC端(在線和下載)、手機(安卓和蘋果)、平板(安卓和蘋果)等多平臺同步使用。同一本書，使用不同終端登錄，可實現云同步，即更換不同為您處理!()是一家為全國各類考試和專業(yè)課學習提供輔導方案【保過班、網授班、3D電子書、3D題庫】的綜合性學習型視頻學習網站，擁有近100種考試(含418個考試科目)、194種經典教材(含英語、經濟、管理、證券、金融等共16大類),合計近萬小時的面授班、網授如您在購買、使用中有任何疑問，請及時聯系我們，我們將竭誠為您服務!第一部分名?？佳姓骖}第15章分析力學基礎第16章非慣性系中的質點動力學第18章機械振動基礎第19章剛體定點運動、自由剛體運動、剛體運動的合成、陀螺儀近似理論第20章變質量動力學第二部分課后習題第15章分析力學基礎第16章非慣性系中的質點動力學第19章剛體定點運動、自由剛體運動、剛體運動的合成、陀螺儀近似理論第20章變質量動力學第三部分章節(jié)題庫第16章非慣性系中的質點動力學第19章剛體定點運動、自由剛體運動、剛體運動的合成、陀螺儀近似理論第20章變質量動力學第四部分模擬試題哈工大理論力學教研室《理論力學Ⅱ》(第7版)配套模擬試題及詳解第一部分名?？佳姓骖}第15章分析力學基礎1.如圖15-1所示，物塊A的質量為m?,B輪的質量為m?,半徑為R,在水平面做無滑動滾動。輪心用剛度為k長度為1的彈簧與物塊A相連，物塊A與水平面間為光滑接觸。試以X?,X?為廣義坐標，(1)寫出系統(tǒng)的動能及勢能及拉格朗日函數；(2)寫出系統(tǒng)的第二類拉格朗日方程；(3)求系統(tǒng)的第二類拉格朗日方程的首次積分。[中山大學2011研]圖15-1解：(1)系統(tǒng)的動能為：拉格朗日函數(2)第二類拉格朗日方程代入上一步的表達式，得(3)求其首次積分。因拉格朗日函數中不顯含時間t,故存在能量積分，系統(tǒng)機械能守恒，即2.質量為m的重物懸掛在剛度系數為k的彈簧上，且在光滑的鉛垂滑道中運動。在重物的中心處鉸接一個質量為M、長為21的勻質桿，桿在鉛垂平面內運動，如圖15-2所示。(1)試確定系統(tǒng)的自由度并選擇廣義坐標；(2)寫出系統(tǒng)的動能及勢能及拉格朗日函數；(3)寫出系統(tǒng)的第二類拉格朗日方程；(4)求系統(tǒng)的第二類拉格朗日方程的首次積分。[中山大學2010研]圖15-2解：(1)以整個系統(tǒng)為研究對象，物塊和桿均做平面運動，該系統(tǒng)具有兩個自由度。選重物A的中心的垂直坐標y和桿的偏角9為廣義坐標，如下圖所示。因為作用在系統(tǒng)上的主動力即重力和彈性力均為有勢力，所以可用拉格朗日方程式主動力有勢形式求解。(2)以A的中心C點為基點分析AB桿質心D的速度，如圖15-3所示。根據速度合成公式有圖15-3其中Vc=j,voc=19。系統(tǒng)動能為選0為零勢能點，設彈簧的原長為1o,則系統(tǒng)的勢能為故系統(tǒng)的拉格朗日函數為(3)求各偏導數將以上各式代入第二類拉格朗日方程(4)求其首次積分3.如圖15-4所示。重為P的板擱在兩個半徑為r、重為W的碳子上，碳子可視為均4.圖15-5示力學系統(tǒng)由質量為m、半徑為r的勻質小圓柱A和一質量為m、長為3L的勻時彈簧為原長。試用拉格郎日方程求系統(tǒng)在圖4示鉛垂面內作微小振動的運動微分方程及微振動的周期。[浙江大學2008研]圖15-5故系統(tǒng)微振動的固有頻率為微振動的周期為5.在圖15-6所示系統(tǒng)中，已知：勻質圓球A的半徑為r、質量為m,楔塊B的質量為M,置于光滑水平面上，斜面的傾角為0,圓球沿楔塊斜面作純滾動。試求：(1)以φ和X為廣義坐標，用拉氏方程建立系統(tǒng)的運動微分方程；(2)圓球A的角加速度ε和楔塊B的加速度a。(已知M=4m)[中科院2008研]圖15-6解：取整個系統(tǒng)為研究對象，系統(tǒng)具有兩個自由度。如題取坐標x和圓柱體的轉角9為廣義坐標?？蛇\用運動學原理求解。系統(tǒng)的動能為：代入拉式方程：第16章非慣性系中的質點動力學1.如圖17-1所示，均質桿質量為M長度2a,可繞通過0點且垂直于圖面的軸轉動。運動定物塊.設恢復系數為k,求碰撞后均質桿的角速度、碰撞時軸承的碰撞沖量及撞擊中心的位置。[北京郵電大學2012研]圖17-1解：取均質桿進行分析，如圖17-2所示。圖17-2設碰撞前后的角速度分別為@1和@?。①圖17-3由恢復因數，有②對于點0,由沖量矩定理，有聯立①②③解得④由沖量定理，有m(-Q?a-aa)=Io-I聯立④⑤解得2.如圖17-3所示，乒乓球半徑為a,以速度v落到地面，v與鉛垂線成α角，此時球有繞水平橫軸(方向與v垂直)的角速度@%。假定球與地面相撞后，因瞬時作用，接觸點水平速度突然變?yōu)榱悖蠡貜椊铅?設乒乓球與地面的恢復系數為k)。[中科院2012研]解：取乒乓球作為研究對象。usinβ=@r①恢復系數②其中，ü為撞擊后的回彈速度。由沖量矩定理Jo@-Jo@,=-I-r由沖量定理運動學關系聯立①②③④⑤解得本章暫未編輯名?？佳姓骖}，若有最新真題會及時更新。第19章剛體定點運動、自由剛體運動、剛體運動的合成、陀螺儀近似理論本章暫未編輯名?？佳姓骖}，若有最新真題會及時更新。第20章變質量動力學本章暫未編輯名?？佳姓骖}，若有最新真題會及時更新。第二部分課后習題第15章分析力學基礎一、思考題15-1試分析圖15-1所示兩個平面機構的自由度數。圖15-115-2廣義力都具有力的量綱嗎?廣義力與廣義坐標有什么聯系?答：廣義力不一定具有力的量綱，廣義力與其對應的廣義坐標的量綱乘積為功的量綱。15-3放置在固定半圓柱面上的相同半徑的均質半圓柱體和均質半圓柱薄殼，如圖15-2所示。試分析哪一個能穩(wěn)定地保持在圖示位置。圖15-2答：(1)非穩(wěn)定平衡，(2)穩(wěn)定平衡。1-4動力學普遍方程中應包括內力的虛功嗎?答：動力學普遍方程不應計入內力的虛功。1-5如研究系統(tǒng)中有摩擦力，如何應用動力學普遍方程或拉格朗日方程?答：把摩擦力看成主動力。1-6試用拉格朗日方程推導剛體平面運動的運動微分方程。答：平面運動剛體有三個自由度，取其質心坐標Xc,Yc和轉角θ的廣義坐標。剛體的動能為將剛體所受外力向質心簡化，即為三個廣義力代入拉格朗日方程，有即此即為剛體平面運動微分方程。1-7推導第二類拉格朗日方程的過程中，哪一步用到了完整約束的條件?答：完整約束系統(tǒng)中，約束條件不含速度，任一點位置r;均可以用廣義坐標q;表示為則15-1圖15-1所示離心調速器以角速度w繞鉛垂軸轉動。每個球質量均為m,套管0質量為m?,桿重略去不計。OC=EC=AC=OD=ED=BD=a。求穩(wěn)定旋轉時，兩臂O圖15-1解：建立圖15-2所示坐標系。可知A,B,O點的坐標為圖15-2Xg=2asinθyB=0xo=015-2一質量為m的均質板置于圓柱體頂面上，兩者之間無相對滑動。試證明：當h>2R時，系統(tǒng)的平衡是不穩(wěn)定的。圖15-3解：如圖15-4所示。圖15-4以木板偏斜的角度θ為廣義坐標，則系統(tǒng)的勢能為求二階導數可得：15-3彈簧連桿機構如圖15-5所示，AB為均質桿，質量m=10kg,長1=0.6m,其余構件的質量不計。不計摩擦，彈簧K的剛度系數k=200N/m,θ=0時彈簧為原長。試求系統(tǒng)的平衡位置，并分析其穩(wěn)定性。K解：如圖所示。圖15-5θ=0°或θ=53.8°當θ=0時，系統(tǒng)不穩(wěn)定平衡；15-4圖15-6所示為車庫大門結構原理圖。高為h的均質庫門AB重量為P,其上端A可沿庫頂水平槽滑動，下端B與無重桿OB鉸接，并由彈簧CB拉緊，OB=r,彈簧原長為r-a。不計各處摩擦，問彈簧的剛度系數k為多大才可使庫門在關閉位置處(θ=0)不因B端有圖15-6即所以有V=mg[(I+Rsinθ)-(I+RO)15-7在圖15-9所示行星齒輪機構中，以O?為軸的輪不動，其半徑為r,全機構在同一水平面內。設兩動輪皆為均質圓盤，半徑為r,質量為m。如作用在曲柄O?O?上的力偶之矩為M,不計曲柄的質量，求曲柄的角加速度。解：如圖15-10所示，以曲柄的轉角9為廣義坐標，圖15-1015-8圖15-11所示機構，偏心輪是均質圓盤，其半徑為r,質量為m,偏心距。在外力偶M作用下圓盤繞軸O轉動。剛度系數為k的彈簧壓著托板AB,使它保持與偏心輪接觸。當角4為零時，彈簧未變形。設托板及其導桿的總質量也是m,不計摩擦，求圓盤轉圖15-11解：以彈簧變形量X和圓盤轉過的角度9為廣義坐標，則可得：2mr(3+sin2p)·+mr·sin2c+2br2(1-cosp)·sinp+4mg·r·cosp=8M因為托板的加速度為：15-9已知圖15-12所示曲線為旋輪線，其方程為：一小環(huán)M在重力作用下沿該光滑曲線運動，求小環(huán)的運動微分方程。圖15-12解：如圖15-13所示，以θ為廣義坐標，圖15-13選取θ=0時為零勢能位置，可得：15-10均質桿AB長為1,質量為m,借助其A端銷子沿斜面滑下，斜面升角為0。不計銷子質量和摩擦，求桿的運動微分方程。又設當9=0時桿由靜止開始運動，求開始運動時斜面受到的壓力。圖15-14解：選取x和為廣義坐標，如圖15-15所示。圖15-15可知廣義力為：速度分析：如圖15-16所示。圖15-16可知Vc=VA+VcA所以動能為：代入拉格朗日方程以桿為研究對象，如圖15-17所示。圖15-17做出所有主動力、約束力和慣性力，M-0可得:15-11車廂的振動可以簡化為支承于兩個彈簧上的物體在鉛垂面內的振動，如圖15-18所示。設支承于彈簧上的車廂質量為m,相對于質心C的轉動慣量為mp2,兩彈簧的剛度系數分別為k?和k?,質心距前后兩輪軸的距離分別為1和l?。試列出車廂振動的微分方程。圖15-18解：如圖所示，以z、φ為廣義坐標，以最低位置為平衡位置。則系統(tǒng)的動能和勢能分別為：將L=T-V代入拉格朗日方程可得運動微分方程為：15-12如圖15-19所示，質量為m的質點在一半徑為r的圓環(huán)內運動，圓環(huán)對AB軸的轉動慣量為J。欲使此圓環(huán)在矩為M的力偶作用下以等角速度の繞鉛垂軸AB轉動。求力偶矩M和質點m的運動微分方程。圖15-19解：如圖15-20所示，系統(tǒng)有兩個自由度，選取圓環(huán)轉動的角度和質點的位置角θ為廣義坐標。圖15-2015-13圖15-21所示物系由定滑輪A、動滑輪B以及三個用不可伸長的繩掛起的重物M1、M?和M3組成。各重物的質量分別為m?、m?和m3,且m?<m?+m3,滑輪的質量不計，各重物的初速均為零。求質量m?、m?和m3應具有何種關系時，重物M?方能下降，并求懸掛重物M?的繩子的張力。圖15-21解：取系統(tǒng)為研究對象，建立如圖15-22所示坐標系，取xi、x?為廣義坐標。圖15-22L=T-V(m+m?+m:)苦，+(m-mslx?=(m-m-ms)g根據設定的坐標，重物M?下降時，x?>0得M?下降條件為：取重物M?為研究對象，應用達朗貝爾原理得：代入1的值，解得：15-14圖15-23示絞盤C的半徑為R,轉動慣量為J,轉動力偶的矩為M。在滑輪組上懸掛重物A和B,其質量皆為m,定滑輪和動滑輪的半徑均為R。忽略滑輪的質量和摩擦，求絞盤的角加速度。圖15-23解：選取絞盤轉角Φ為廣義坐標。系統(tǒng)的勢能為：系統(tǒng)的動能為：拉格朗日函數L=T-V代入拉格朗日方程15-15質量為m?的均質桿OA長為1,可繞水平軸O在鉛垂面內轉動，其下端有一與基座相連的螺線彈簧，剛度系數為k,當0=0時，彈簧無變形。OA桿的A端裝有可自由轉動的均質圓盤，盤的質量為m?,半徑為r,在盤面上作用有矩為M的常力偶。設廣義坐標為4和0,如圖15-24所示。求該系統(tǒng)的運動微分方程。圖15-24解：選取9、θ為系統(tǒng)的廣義坐標。對應的廣義力為：代入拉格朗日方程得運動微分方程為：15-16設有一與彈簧相連的滑塊A,其質量為m?,它可沿光滑水平面無摩擦地來回滑動，彈簧的剛性系數為k。在滑塊A上又連一單擺，如圖15-25所示。擺長為1,B的質量為m?。試列出該系統(tǒng)的運動微分方程。圖15-25解：系統(tǒng)有兩個自由度，選取滑塊位移X和擺線與鉛直方向夾角9為廣義坐標，以平衡位置為廣義坐標起始位置，取滑塊A質心所在當系統(tǒng)做微幅振動時，cosφ≈1,sinφ≈φ,并略去高階小量,得系統(tǒng)的運動微分方程：15-17圖15-26所示繞在圓柱體A上的細繩，跨過質量為m的均質滑輪0,與一質量為mB的重物B相連。圓柱體的質量為mA,半徑為r,對于軸心的回轉半徑為p。如繩與滑輪之間無滑動，開始時系統(tǒng)靜止，問回轉半徑p滿足什么條件時，物體B向上運動。圖15-26將拉格朗日函數L=T-V代入拉格朗日方程B向上運動時，應滿足條件<015-18圖15-27所示機構在水平面內繞鉛垂軸O轉動，各齒輪半徑為r?=r3=3r?=0.3m,各輪質量為m?=m?=9m?=90kg,皆可視為均質圓盤。系桿OA上的驅動力偶矩為Mo=180N·m,輪1上的驅動力偶矩為M?=150Nm,輪3上的阻力偶矩為M?=120N·m。不計系桿與輪B的質量和各處摩擦，求輪1和系桿的角加速度。圖15-27解：系統(tǒng)有兩個自由度，選取桿OA轉角90和輪1轉角9為廣義坐標。對應的廣義力為：其中，根據運動關系可得：w=wo十wi,,w?=wo一W?,,w?=we+wsr代入數據得：將上式代入拉格朗日方程得系統(tǒng)運動微分方程：聯立上述兩方程，解得輪1和系桿的角加速度分別為：15-19圖15-28所示車架的輪子都是半徑為R的均質圓盤，質量分別為m1和m?。輪2的中心作用有與水平線成θ角的力F,使輪沿水平面連滾帶滑。設地面與輪子間的滑動摩擦因數f圖15-28解：受力分析如圖15-29所示。圖15-29F?=fm?g,F?=f(m?g-Fsinθ)Q,=Fcosθ-F?-F?=F(cos0+fsinf)(m,+m?)=F(cosθ+fsinθ)R$=2fg輪又滾又滑的條件為：解得F應滿足的條件為：15-20圖15-30所示直角三角塊A可以沿光滑水平面滑動。三角塊的光滑斜面上放置一個均質圓柱B,其上繞有不可伸長的繩索，繩索通過滑輪C懸掛一質量為m的物塊D,可沿三角塊的鉛直光滑槽運動。已知圓柱B的質量為2m,三角塊A的質量為3m,θ=30°。設開始時系統(tǒng)處于靜止狀態(tài)，滑輪C的大小和質量略去不計。試確定系統(tǒng)中各物體的運動方程。圖15-30解：系統(tǒng)具有三個自由度，選取X、y、9為廣義坐標取B為動點，三角塊A為動系。由速度合成定理得由余弦定理得：因此得系統(tǒng)動能為：圖15-31解：建立與掛點固定的坐標系，如圖所示。單擺相對于掛點O作擺動，以擺角Φ為廣義坐標系，參照物為掛點0,加速度為g'=g+a,則系統(tǒng)在新參考系下的廣義力和系統(tǒng)的動能為：代入拉格朗日方程根據單擺的周期公式可得：第16章非慣性系中的質點動力學16-1根據相對運動動力學基本方程，小球在變速運動的車廂中自由降落時受有牽連慣性力，飛機在高空飛行時受有科氏慣性力。試分析這兩個慣性力的反作用力作用在哪?牛頓第三定律對它們成立嗎?答：非慣性力是取變速運動物體為參照系而產生的，其反作用力為此參照系本身。故前者為車廂，后者為飛機。圖16-116-2對固結在變速運動的列車上的參考系來說，地面上靜平衡的物體并不平衡，而隨列車一起運動的物體卻是平衡的。試從這一點出發(fā)說明慣性力的相對性、虛加性及真實性。答：相對性：地面上靜止的物體對地球是無慣性力的，而相對火車是有慣性力的。虛加性：地面上靜止的物體并未真正受慣性力的作用。真實性：慣性力真正存在，是地面與列車之間的作用力。16-3在質點相對運動中，下述哪些說法是正確的?16-4某人水平拋出一個球，如果考慮科氏慣性力，則在下述情況下，由拋球的人來看，球的路徑會偏向不考慮科氏慣性力時路徑的右側還是左側?(1)在北半球水平拋出；(2)在南半球水平拋出；(3)在南極和北極水平拋出。答：(1)左側；(2)右側；(3)不偏出。16-5在慣性系中，質點系的動能。其中m為質點系總質量，vc為質心速度，T'為質點系相對于質心坐標系(即以質心為基點的平移坐標系)的動能。稱上式為柯尼希定理。試利用柯尼希定理導出質點系相對于質心坐標系的動能定理。答：證明：由動能定理dT=8WF得其中所以16-1圖16-1所示單擺AB長1,已知點A在固定點O的附近沿水平作微幅諧振動：0O?=asinpt,其中a與p為常數。設初瞬時擺靜止，求擺的相對運動規(guī)律。解：擺的相對運動可用單擺與豎直方向夾角表示，在點A上建立動坐標系。運動和受力分析如圖16-2所示。圖16-2動系做平動，所以F=0 沿與擺桿垂直的方向投影得：其中a:=φ,當擺角很小時，近似有sinφ=φ,ceke=1所以上式可化簡為：將其積分，并帶入初始條件16-2三棱柱A沿三棱柱B的光滑斜面滑動，如圖16-3所示。三棱柱A和三棱柱B的質量分別為m?與m?,三棱柱B的斜面與水平面成θ角，如開始時物系靜止，求運動時三棱柱B的加速度。摩擦略去不計。圖16-3解：在三棱柱B上建立動坐標系，由題可知，動系做平動，所以F=0以A為研究對象，其受力和運動分析如圖16-4(a)所示。列非慣性系中的動力學方程：圖16-4以B為研究對象，其受力和運動分析如圖16-4(a)所示。在水平方向有：16-3圖16-5所示一重物M放在粗糙的水平平臺上，平臺繞鉛垂軸以勻角速度o轉動，重物圖16-5解：在水平平臺上建立動坐標系，動系做勻角速定軸轉動，設重物M的質量為m,當重物重物受力分析如圖16-6所示。圖16-616-4質點M的質量為m,被限制在旋轉容器內沿光滑的經線AOB運動，如圖16-7所示。旋轉容器繞其幾何軸Oz以角速度o勻速轉動。求質點M相對靜止時的位置。Fxcos0-mg=0線形狀；(2)注入液體的最大高度h。即16-6圖16-10所示水平圓盤繞O軸轉動，轉動角速度w為常量。在圓盤上沿某直徑有光滑滑槽，一質量為m的質點M在槽內運動。如質點在開始時離軸心的距離為a,且無初速度，求質點的相對運動方程和槽的動約束力。圖16-10解：在水平圓盤上建立動坐標系，動系做勻角速定軸轉動，其中在豎直方向上，重力與圓盤的支持力為一對平衡力，此處僅對水平面內的力進行分析，質點受力分析如圖16-11所示。圖16-11上將上述方程分別沿水平面內S軸和77軸分解，得：設質點到轉軸的距離為ξ,則F=,且S=a,,帶入①式得：焉-=廊由②式可知：Fv=F=2·v,-@16-7質點M的質量為m,在光滑的水平圓盤面上沿弦AB滑動，圓盤以等角速度w繞鉛直軸C轉動，如圖16-12所示。如質點被兩個彈簧系住，彈簧的剛度系數均為求質點的自由振動周期。設點O為質點相對平衡的位置。圖16-12解：在光滑水平圓盤上建立動坐標系，動系做勻角速定軸轉動，水平面內質點M的受力分析如圖16-13所示。圖16-13得非慣性系動力學方程：得非慣性系動力學方程：圖中兩彈簧連接后相當于剛性系數為k,因此，,F=ke上式可化簡為：上述微分方程的通解為：所以質點的自由振動周期為：16-8圖16-14所示光滑直管AB,長1,在水平面內以勻角速度w繞鉛直軸Oz轉動，另有一小球在管內作相對運動。初瞬時，小球在B端，相對速度為Uro,指向固定端A。問vro應為多少，小球恰能達到A端。圖16-14解：應用非慣性系中的動能定理。由題可知，在運動過程中，只有牽連慣性力做功。設距離轉軸遠處牽連慣性力為：F,=m·w2r則整個運動過程中牽連慣性力做功為：根據非慣性系中的動能定理其中v,=0;解得V,o=lo。16-9圖16-15所示直管AB長1,以勻角速w在水平面內繞固定點O轉動，其中OA=R,OB=R?,R?和R?為常數。一質量為m的小球M在管內不受摩擦而運動，開始時球在點A,其相對速度為Ur?。求球的相對運動規(guī)律，管對球的水平約束力FN,球離開管子時所需的時間和在此瞬時球的相對速度Ur2。圖16-15解：取小球M為研究對象，以管AB作為參考系，做小球的受力圖如圖16-16所示。圖16-16相對速度為：①由受力圖可知：由動能定理可得：將上式代入①式可得：16-10為減弱發(fā)動機的扭振，在圖16-17所示曲軸上點C加裝一單擺CA。設擺質量為m,CA=1,OC=a,曲軸以勻角速度@繞O軸轉動時，此單擺可作微幅擺動，忽略重力，求此單擺的振動頻率。圖16-17解：選圓盤為動坐標系，則動坐標系以勻角速度w繞軸O轉動，非慣性系動力學方程為：忽略重力，單擺的受力分析如圖16-18所示。圖16-18②所以，所以式②可化為：當擺角很小時，有sing≈得到單擺運動方程為：得單擺的固有頻率為：16-11一河流自北向南流動，在北緯30°處，河面寬500m,流速為5m/s,問東西兩岸的水面高度相差多少?提示：水面應垂直于重力和科氏慣性力矢量和的方向。地球自轉角速度w=7.29×10??rad/s。解：取河流表面一小段為研究對象，其受力和加速度分析如圖16-19(a)所示。圖16-19則科氏加速度為：求水面的傾角，如圖16-18(b)所示，則有：東西兩岸的水面高度差為：16-12圖16-20所示，球M質量為m,在一光滑斜管中從點B開始自由下滑。已知斜管AB長為21,對鉛垂軸的轉動慣量為J,它與鉛垂軸的夾角為0,斜管的初角速度為wo,摩擦不計。求：(1)小球對點O位置x與斜管轉速o之間的關系；(2)小球沿管道的運動微分方程。圖16-20解：(1)不計摩擦，則系統(tǒng)對鉛垂軸的動量矩守恒，得：解得：,將非慣性系中質點動力學方程,將非慣性系中質點動力學方程AB方向分解，得：ma,=mgcosθ-Fsinθ其中，Fe=mxo2sinθ,a,=?解得小球沿管道的運動微分方程為：一、思考題因數k=1,問在mi≤m?、m?=m?和mi≥m?三種情況下，兩球碰撞后將如何運動?答：設碰撞后M?速度為v'1,M2速度為v'2由恢復系數和動量守恒解得17-2碰撞過程中可以應用沖量矩定理，為什么一般情況下不便于應用動量矩定理的積分形式?答：對定點O,動量矩定理的積分式為在此期間，位置有變化，力矩F變化，難以求積，上式不可運用；碰撞過程中，物體位置不變，r為常量。上式變?yōu)闆_量矩定理。17-3為什么彈性碰撞時不應用動能定理，當恢復因數k=1時是否可以應用?答：彈性碰撞時，碰撞變形不能全部恢復，其動能損耗未知，難以運用動能定理。當k=1時，動能無損耗，可以運用動能定理。17-4在不同碰撞情況下，恢復因數是如何定義的?在分析碰撞問題中，恢復因數起什么作用?答：恢復系數是碰撞后和碰撞前物體接觸點法向相對速度的比值絕對值。分析碰撞問題中，可用以補充動力學方程以解決機械能損耗難于計算的困難。17-5擊打棒球時，有時震手，有時不感到震手，這是為什么?答：當棒球擊于球棒撞擊中心且與球棒垂直時，不震手；反之，手握棒處有碰撞沖量，碰撞力很大，震手。17-6定軸轉動剛體上受碰撞力作用，為什么軸承處也會產生碰撞力?如果轉軸恰好通過剛體的質心，能否找到撞擊中心?又即又即17-7圖17-1均質細桿，質量為m,長為1,靜止放于光滑水平面上。如桿端受有水平并垂直于細桿的碰撞沖量I,求碰撞后桿中心的速度和桿的角速度。欲使此桿某一端點碰撞結束瞬時的速度為零，碰撞沖量I應作用于桿的什么位置?圖17-1答：由動量定理，有mve=I由對質心C的動量矩定理，有17-1如圖17-1所示，用打樁機打入質量為50kg的樁柱，打樁機的重錘質量為450kg,由高度h=2m處落下，其初速度為零。如恢復因數e=0,經過一次錘擊后，樁柱深入1cm,圖17-1解：設重錘與樁柱接觸前的最大速度為Y0,根據動能定理得：碰撞過程中忽略常規(guī)力，則重錘與樁柱組成的系統(tǒng)動量守恒，設重錘和樁柱的共同速度為V,則可得：碰撞結束后，將重錘和樁柱看作一個系統(tǒng)，在樁柱下降過程中，重力和阻力做功，由動能定聯立以上各式，并帶入數值，解得平均阻力為：F?=800kN17-2如圖17-2所示，帶有幾個齒的凸輪繞水平的軸O轉動，并使樁錘運動。設在凸輪與樁錘碰撞前樁錘是靜止的，凸輪的角速度為の。若凸輪對軸O的轉動慣量為Jo,錘的質量為m,并且碰撞是非彈性的，碰撞點到軸O的距離為r。求碰撞后凸輪的角速度、錘的速度和碰撞時凸輪與錘間的碰撞沖量。圖17-2解：取凸輪為研究對象，設碰撞后凸輪角速度為@1,根據沖量矩定理得：Jowi-Jow=-I·r設碰撞后樁錘的速度為V,根據動量定理得：I=mv根據圖中關系可知：聯立以上各式解得：17-3球1速度v?=6m/s,方向與靜止球2相切，如圖17-3所示。兩球半徑相同、質量相等，不計摩擦。碰撞的恢復因數e=0.6。求碰撞后兩球的速度。圖17-3解：在兩球碰撞時，將球1的速度分解為沿兩球心連線方向和垂直兩球心連線方向則球1以速度與球2發(fā)生正碰，碰撞后速度變?yōu)?,速度不改變。不計摩擦力，則發(fā)生正碰的方向上動量守恒，設球2碰撞后速度為V2,方向與Y相同，設兩球質量均為m,恢復因數為k=0.6,可得：兩球的半徑相同，則可知：聯立以上各式可得：因為V1不變，所以碰撞結束后，球1的速度大小為：球2速度大小為：,沿撞擊點法線方向。17-4馬爾特間隙機構的均質撥桿OA長為1,質量為m。馬氏輪盤對轉軸O?的轉動慣量為Jo,半徑為r。在圖17-4所示瞬時，OA水平，桿端銷子A撞入輪盤光滑槽的外端，槽與水平線成θ角。撞前，OA的角速度是wo,輪盤靜止。求撞擊后輪盤的角速度和點A的撞擊沖量。又，當為多大時，不出現沖擊力?Jow=IA·r根據上式可知，當θ=90°時，I=0,此時不出現沖擊力。17-5一均質桿的質量為m,長為1,其上端固定在圓柱鉸鏈O上，如圖17-5所示。桿由水平位置落下，其初角速度為零。桿在鉛直位置處撞到一質量為m?的重物，使后者沿著粗糙圖17-5圖17-6設桿與重物碰撞前瞬間角速度為@o,應用動能定理得：設碰撞后重物速度為V,桿的角速度為の,碰撞過程中忽略摩擦力等常規(guī)力，則桿和重物組F=fN=fm:g17-6平臺車以速度v沿水平路軌運動，其上放置均質正方形物塊A,邊長為a,質量為m,如圖17-7所示。在平臺上靠近物塊有一凸出的棱B,它能阻止物塊向前滑動，但不能阻止它繞棱轉動。求當平臺車突然停止時，物塊繞棱B轉動的角速度。圖17-7解：當車突然停止時，物塊受到碰撞沖量，以物塊A為研究對象，忽略碰撞過程中非碰撞力的作用，如圖17-8所示"BI圖17-817-7如圖17-9所示，在測定碰撞恢復因數的儀器中，有一均質桿可繞水平軸O轉動，桿長為1,質量為m1。桿上帶有用試驗材料所制的樣塊，質量為m。桿受重力作用由水平位置落下，其初角速度為零，在鉛垂位置時與障礙物相碰。如碰撞后桿回到與鉛垂線成角處，求恢復因數e。又問：在碰撞時欲使軸承不受附加壓力，樣塊到轉動軸的距離x應為多大?圖17-9解：設樣塊距離轉動軸x,在碰撞前瞬間桿的角速度為@o,樣塊的速度為Vo,根據動能定設碰撞后桿的角速度是@,樣塊的速度是v,碰撞后桿回到與鉛直線成角處，由動能定當撞擊點是撞擊中心時，0處不會有附加壓力，此時X應滿足以下條件：17-8圖17-10所示質量為m、長為1的均質桿AB,水平地自由下落一段距離h后，與支座D碰撞)。假定碰撞是塑性的，求碰撞后的角速度の和碰撞沖量I。圖17-10解：設桿AB與支座碰撞前瞬間的速度為Y0,根據動能定理得：圖17-11碰撞過程中桿AB在支座D處受到的沖量如圖17-11所示，設碰撞后桿AB質心速度為V,根據動量矩守恒定理得：其中，帶入0的值，解得：將上式分別沿X方向和V方向投影：X方向上，I,=0V方向上，Iy=m(v?-v)解得碰撞過程中的碰撞沖量為：17-9圖17-12所示一均質圓柱體，質量為m,半徑為r,沿水平面作無滑動的滾動。原來質心以等速c運動，突然圓柱與一高為h(h<r)的凸臺碰撞。設碰撞是塑性的，求圓柱體碰撞后質心的速度、柱體的角速度和碰撞沖量。圖17-12解：碰撞結束后，圓柱體將繞A點轉動，圓柱體質心的速度方向與A、C連線垂直。圖17-13設碰撞后圓柱體的角速度是O,則有關系：v=r@在碰撞過程中，圓柱體對點A的動量矩守恒，可得：由圖17-13(a)中幾何關系可知：根據沖量定理計算碰撞沖量，如圖17-13(b)所示，分別沿t軸和7軸投影，分別得到：得碰撞沖量為：I=mvcsinθ17-10均質細桿AB置于光滑的水平面上，圍繞其重心C以角速度@o轉動，如圖17-14所示。如突然將點B固定(作為轉軸),問桿將以多大的角速度圍繞點B轉動?圖17-14解：如圖17-15所示，碰撞過程中，桿AB相對于B點的動量矩守恒。圖17-15根據動量矩守恒可得：Jsw=Jcw。其中，解得桿繞B轉動的角速度是17-11圖17-16所示一球放在光滑水平面上，其半徑為r。在球上作用一水平碰撞力，該力沖量為I,求當接觸點A無滑動時，該力作用線距水平面的高度h應為多少?圖17-16解：接觸點A沒有滑動，相當于A點處為鉸鏈，且鉸鏈處沒有附加動反力，因此要滿足題解直)的角速度wo,如圖17-17所示。如球與臺面相撞后，因瞬時摩擦作用，接觸點水平速度解：以乒乓球為研究對象，設乒乓球回彈速度為V,運動分析如圖17-18所示圖17-18根據上圖，由沖量矩定理得：在水平方向應用沖量定理得：球與臺面接觸點水平速度為零，可得：由運動學關系可得：根據回復因數的定義可得：聯立以上各式，解得：17-13兩均質桿OA和O?B,上端鉸支固定，下端與桿AB鉸鏈連接，靜止時OA與O?B均鉛垂，而AB水平，如圖17-19所示。各鉸鏈均光滑，三桿質量皆為m,且OA=O?B=AB=1。如在鉸鏈A處作用一水平向右的碰撞力，該力的沖量為I,求碰撞后桿OA的最大偏角。圖17-19解：分別取OA、O?B、AB為研究對象，其運動分析如圖17-20所示圖17-20設碰撞結束時，鉛垂桿的角速度是@,水平桿的速度是V,對OA、O?B應用動量矩定理，根據上圖可得，桿O?B:Jow(I-IA)Jow=IBl取水平桿AB為研究對象，應用沖量定理得：設桿OA的最大偏角是9,應用動能定理得：聯立以上各式解得滿足關系：17-14質量為m?的物塊A置于光滑水平面上，它與質量為m?、長為1的均質桿AB相鉸接。系統(tǒng)初始靜止，AB鉛垂，m?=2m?。今有一沖量為I的水平碰撞力作用于桿的B端，求碰撞結束時，物塊A的速度。圖17-21解：取桿AB為研究對象，分析如圖17-22所示圖17-22設碰撞結束時，桿的角速度是@,桿質心的速度是，根據沖量矩定理得：其中，根據沖量定理得：取整體為研究對象，由動量定理得：由物塊和桿的運動關系可得：聯立以上各式解得：負號表示物塊速度方向與假設方向相反，即方向向左。圖17-24解：分別取桿AB和桿BC為研究對象，分析如圖17-25所示圖17-25設碰撞后桿AB的角速度是@AB,桿BC的角速度是@BC,方向均為逆時針。取桿AB為研取桿BC為研究對象，根據沖量矩定理得：JcwBC=I'm·l其中，I'm=I聯立以上方程解得：負號表示角速度方向與假設方向相反，即桿BC順時針轉動。第18章機械振動基礎18-1圖18-1所示裝置，重物M可在螺桿上上下滑動，重物的上方和下方都裝有彈簧。問是否可以通過螺帽調節(jié)彈簧的壓縮量來調節(jié)系統(tǒng)的固有頻率?圖18-1答：彈簧被壓緊并不改變其彈性系數，因而不能改變系統(tǒng)的固有頻率。18-2圖18-2所示的水平擺和鉛垂擺都處于重力場中，桿重不計，擺長度1、彈簧剛度系數A以及擺錘質量m都是相同的。試問兩個擺微幅擺動的固有頻率是否相同?如果二者都脫離了重力場，其固有頻率是否相同?又，圖中的彈簧方向都與擺桿垂直，如彈簧與擺桿成45°角連接，其固有頻率有什么不同?圖18-2答：擺桿水平與鉛垂放置，其固有頻率不相同，因為擺桿鉛垂并沿橫向擺動時，重力對轉軸有力矩，為恢復力之一；而擺桿水平并沿鉛垂線微小擺動時，重力對轉軸的力矩不變，不構成恢復力。若無重力場，有質量而無重力作用，擺桿任意放置都不改變其固有頻率。當彈簧與擺桿成45°時，彈簧變形量減小為2倍，力臂減小倍，因而對水平擺桿，其“恢復力”將減小頭倍，固有頻率降對于鉛垂擺桿，固有頻率也將有所降低。18-3假如地球引力增加一倍，下列幾種振動系統(tǒng)的固有頻率有變化?(1)單擺；(2)復擺；(3)彈簧質量系統(tǒng)；(4)扭擺。答：(1)固有頻率增大V2倍；(2)固有頻率增大√2倍；(3)不變化；(4)不變化。18-4在光滑水平面上，兩個質量皆為m的質點由一剛度系數為k的無重彈簧相連。若將二質點拉開一段距離再同時釋放，二者將發(fā)生振動，求此振動的周期。如上述二質點的質量分別為m?和m?,問二者仍發(fā)生振動嗎?振動周期為多大?答：對質量相同的兩質點構成的系統(tǒng)，其彈簧中點將保持不動，對每個質點相當于彈簧彈性數增大一倍，振動固有頻率,周期為對質量為m1和m2的系統(tǒng)仍將發(fā)生自由振動，質心C不動。固有頻率為由可得即兩個質點振動頻率相同，周期皆為18-5均質細桿長1,質量為m。問以哪一點為懸掛點作為復擺，其擺動頻率最大；以哪一點為懸掛點其擺動頻率最小。答：復擺固有頻率為則所以時，叫有最大值，18-6什么是臨界阻尼?欠阻尼和過阻尼狀態(tài)的自由振動有什么不同? c<2√mk為欠阻尼，系統(tǒng)沿平衡位置附近振動；c<2√mk為過阻尼狀態(tài)，系統(tǒng)直接趨于平衡位置，無振動性質。18-7證明在過阻尼振動狀態(tài)下，物體以任意的起始位置和起始速度運動，越過平衡位置不能超過一次。則自由振動解為平衡位置處x=0,x=-e*(c?e+c?e“)即解得對應于任意初始條件，即任意cl,c2。上式有唯一解。18-8怎樣用自由振動實驗方法求單自由度系統(tǒng)的阻尼比ζ和阻力系數c。答：可由實驗測出自由振動時隔N個周期的兩個振幅Ai,Ai+N,由對數縮減規(guī)律可求出阻尼比C,再由系統(tǒng)的質量m和彈簧剛度k得阻尼系數，o18-9有阻尼受迫振動中，什么是穩(wěn)態(tài)過程?與剛開始的一段運動有什么不同?答：有阻尼受迫振動時，剛開始一段為自由振動與受迫振動的疊加，振幅不固定，也不是諧振動。經過一段時問后，自由振動部分因阻尼而衰減，衰減之后成為穩(wěn)態(tài)過程，振幅及頻率為確定不變的值。18-10汽輪發(fā)電機主軸的轉速已大于其臨界轉速，起動與停車過程中都必然經過其共振區(qū)，為什么軸并沒有劇烈振動而破環(huán)?答：共振時，振幅是逐漸增大，需要一段時間才能達到使軸破壞的臨界值。因而可以控制汽輪機，使之快速通過共振區(qū)，而不致因振幅太大而破壞。18-11確定兩個自由度系統(tǒng)的自由振動需要幾個運動初始條件?答：需要四個初始條件。18-12什么是主振動?兩個主振動的合成是否為簡諧振動?是否是周期運動?答：兩個自由度系統(tǒng)有兩個固有頻率，一定的初始條件下，系統(tǒng)可分別以其中一個頻率振動，視為兩個主振動。都是諧振動。一般條件下，系統(tǒng)的振動是兩個主振動的疊加，一段不振動，也不一定為周期振動。18-13兩個自由度振動系統(tǒng)在什么條件下可按其第一主振型或第二主振型振動?答：按兩個主振型的狀態(tài)分別給定系統(tǒng)的初始位置，再自由釋放，系統(tǒng)可分別以兩個主振型振動。分別施加兩個固有頻率的激振力也可以引起兩種主振型的振動。18-1圖18-1所示兩個彈簧的剛度系數分別為ki=5kN/m,k?=3kN/m。物塊質量m=4kg。求物體自由振動的周期。"圖18-1解：兩個彈簧串聯，等效剛度系數為：聯立以上各式得：上式可化簡為：則@0為振動固有頻率，自由振動周期為：代入數值解得：T=0.29s(b)斜面傾角與運動方程無關，彈簧串聯，(c)彈簧并聯，等效剛度系數為：18-2一盤懸掛在彈簧上，如圖18-2所示。當盤上放質量為m?的物體時，作微幅振動，測得的周期為T?;如盤上換一質量為m?的物體時，測得振動周期為T2。求彈簧的剛度系數k。圖18-218-3如圖18-3所示，質量m=200kg的重物在吊索上以等速度v=5m/s下降。當下降時，18-4圖18-4所示質量為m的重物，初速為零，自高度h=1m處落下，打在水平梁的中部如以重物在梁上的靜止平衡位置O為原點，作出鉛直向下的軸y,梁的重量不計。寫出重物圖18-5圖18-418-5質量為m的小車在斜面上自高度h處滑下，而與緩沖器相碰，如圖18-5所示。緩沖彈簧的剛度系數為k,斜面傾角為0。求小車碰著緩沖器后自由振動的周期與振幅。解：建立如圖18-6所示坐標系，選取小車在彈簧上受力平衡時的位置為坐標原點，小車與彈簧接觸后做簡諧振動，其運動微分方程為：圖18-6斜面傾角與運動方程無關，所以固有頻率為：自由振動周期為：所以振幅為：18-6如圖18-7所示，一小球的質量為m,緊系在完全彈性的線AB的中部，線長21。設線完全拉緊時張力的大小為F,當球作水平運動時，張力不變。重力忽略不計。試證明小球在水平線上的微幅振動為諧振動，并求其周期。圖18-7圖18-8取小球為研究對象，受力分析如圖18-8所示，其平衡位置為坐標原點，則小球的運動微分方程是：又微幅振動條件下：則運動微分方程可化為：即為簡諧振動的微分方程。所以小球運動周期為：18-7質量為m的桿水平地放在兩個半徑相同的輪上，兩輪的中心在同一水平線上，距離為2a。兩輪以等值而反向的角速度各繞其中心軸轉動，如圖18-9所示。桿AB借助與輪接觸點的摩擦力的牽帶而運動，此摩擦力與桿對滑輪的壓力成正比，摩擦因數為f。如將桿的質心C推離其對稱位置點O,然后釋放。(1)證明質心C的運動為諧振動，并求周期T;(2)若a=250mm,T=2s時，求摩擦因數J。圖18-9圖18-10(1)取桿為研究對象，建立如圖所示坐標系，取0點為坐標原點，受力分析如圖18-10所示FM+Fv?=mg摩擦力為：F?=fFn,F?=fFN?桿的運動微分方程是：代入數值，整理得：上式為諧振動微分方程，其振動周期為：18-8圖18-11所示均質桿AB,質量為m?,長為31,B端剛性連接一質量為m?的物體，其大小不計。桿AB在0處為鉸支，兩彈簧剛度系數均為k,約束如圖。求系統(tǒng)的固有頻率。圖18-11解：桿轉過的偏角中極小，兩彈簧的伸長量近似為：δ≈lsinφ≈1φ由動量矩定理得桿的運動微分方程為：其中，代入桿的運動微分方程得：所以系統(tǒng)的固有頻率為：18-9圖18-12所示均質桿AB長為1,質量m,其兩端銷子可分別在水平槽、鉛垂槽中滑動，θ=0為靜平衡位置。不計銷子質量和摩擦，如水平槽內兩彈簧剛度系數皆為k,求系統(tǒng)微幅振動的固有頻率。又問，彈簧剛度系數為多大時，振動才可能發(fā)生。圖18-12圖18-13選取角θ為廣義坐標，設θ=0時，系統(tǒng)的勢能V=0在桿運動過程中與豎直方向夾角為θ時，系統(tǒng)的勢能為：微幅振動時，.m?≈0勢能可表示為：設桿AB的速度瞬心為P。系統(tǒng)的動能為：其中，由已知條件可知，運動過程中機械能守恒，T+V=常量所以得到：化簡后得：此時振動的固有頻率是：18-10圖18-14所示均質細桿AB長為1,質量為m,在點D掛有傾斜彈簧，彈簧的剛度系數為k。桿的尺寸如圖。求桿處于水平和鉛直位置兩種情況下微幅振動的固有頻率。圖18-14解：取系統(tǒng)平衡位置處為坐標原點，當桿偏離平衡位置微小轉角⑨時，彈簧恢復力為：圖18-15(1)第一種情況下，根據動量矩定理可得：其中，所以運動微分方程為：桿水平時微幅振動的固有頻率是：(2)第二種情況下，根據動量矩定理可得：代入Jz的值得到運動微分方程：桿鉛直時微幅振動的固有頻率是18-11如圖18-16所示，已知均質桿AB長21,質量為2m,在中點O與桿CD相鉸接，桿CD的角速度為w,質量不計，CD=2h,盤簧剛度系數為k,當9o=0時，盤簧無變形。求：(1)當w=0時，桿AB微振動的固有頻率；(2)當w=常數時，w與90的關系；(3)當①=常數時，C,D處的約束力；(4)當o=常數時，桿AB微振動的頻率。圖18-16圖18-17(1)當@=0時，受力分析如圖，慣性力合力Fg=0,,扭轉恢復力矩為：AB桿的扭轉微分方程為：其中，固有頻率為：(2)慣性力的合力,其作用位置到0點的距離,取AB桿為研究對象，桿偏角為9,由達朗貝爾原理得：(3)取系統(tǒng)為研究對象，受力如圖所示，應用動靜法。F+FD=0F-2mg=0代入F的值，解得：(4)若桿AB在90處偏離一個小角度θ,此時慣性力為桿的牽連慣性力。AB桿相對運動微分方程為：,,所以振動頻率為：18-12質量為m的物體懸掛如圖18-18所示。如桿AB的質量不計，兩彈簧的剛度系數分別為ki和k?,又AC=a,AB=b,求物體自由振動的頻率。圖18-18解：選取靜平衡點置為原點，此為零勢能位置，列出動能勢能對于AB桿，由有衡方程①②④18-13如圖18-19所示，大膠帶輪半徑為R,質量為m,回轉半徑為p,由剛度系數為k的彈性繩與半徑為r的小輪連在一起。設小輪受外力作用作受=Gsh,s,且無論小輪如何運動都不會使彈性繩松弛或打滑。求大輪穩(wěn)態(tài)振動的振幅。圖18-19圖18-20如圖18-20所示，由動量矩定理，輪O?的轉動微分方程為：其中J?=mp2F?=k(rt-Ro)F?=k(Rp-0)代入上式有：此受迫振動的穩(wěn)態(tài)幅值為：固有頻率為18-14圖18-21所示位于鉛垂面內的行星機構中，小輪A是質量為m、半徑為r的均質圓盤，。小輪沿大輪只滾不滑且由螺線彈簧與系桿OA相連。不計OA的質量和各處摩擦，當小輪位于圖示的最高位置時，彈簧無變形。求：(1)為保持小輪在圖示位置的穩(wěn)定平衡，螺線彈簧剛度系數k的最小值ko為多大?(2)若令k=10ko,該系統(tǒng)在圖示位置作微幅振動的固有頻率為多大?圖18-21圖18-22(1)選取角4為廣義坐標，系統(tǒng)的勢能為其中9,=20,為小輪相對于OA桿的轉角，代入上式，并對求導：得到9=0為平衡位置。得到運動微分方程：固有頻率為：18-15如圖18-23所示半徑為r的半圓柱體，在水平面上只滾動不滑動，已知該柱體對通過質心C且平行于半圓柱母線的軸的回轉半徑為p,又OC=a。求半圓柱體作微小擺動的頻率。圖18-23圖18-24選取擺動角θ為廣義坐標，半圓柱體在水平面上做純滾動，為理想約束，如圖18-24(b)所示。則動能：由速度合成定理得：如圖18-24所示上式等價于：其中J。=mp2,將上式代入拉氏方程得：18-16圖18-25所示均質滾子質量m=10kg,半徑r=0.25m,能在斜面上保持純滾動，彈簧剛度系數k=20N/m,阻尼器阻力系數c=10N·s/m。求：(1)無阻尼的固有頻率；(2)阻尼比；(3)有阻尼的固有頻率；(4)此阻尼系統(tǒng)自由振動的周期。圖18-25解：選取質心O的位移x為廣義坐標，系統(tǒng)的運動微分方程為運動方程艾=ar消去F和α得：(1)無阻尼的固有頻率(2)阻尼比(3)有阻尼的固有頻率(4)此阻尼系統(tǒng)自由振動的周期18-17用下法測定液體的阻力系數：在彈簧上懸一薄板A,如圖18-26所示。測定它在空氣中的自由振動周期T?,然后將薄板放在欲測阻力系數的液體中，令其振動，測定周期T?。液體與薄板間的阻力等于2scv,其中2s是薄板的表面積，v為其速度，而c為阻力系數。如薄板質量為m,根據實驗測得的數據T?與T?,求阻力系數c。薄板與空氣間的阻力略去不計。圖18-26圖18-27如圖18-27所示，選取物塊A靜平衡位置為坐標原點，物塊A的運動微分方程為：在液體中振動時，有故又由聯立式①②可得：①②18-18汽車的質量為m=2450kg,壓在4個車輪的彈簧上，可使每個彈簧的壓縮量為占δst=150mm。為了減小振動，每個彈簧都裝一個減振器，結果使汽車上、下振動迅速減小，經2次振動后，振幅減到0.1倍，即。求：(1)振幅減縮因數η和對數減縮A;(2)和衰減振動周期Td;(3)如果要求汽車不振動，即要求減振器有臨界阻尼，求臨界阻力系數Ccr。解：車身的鉛垂振動是有阻尼自由振動，設車身靜平衡位置為坐標原點，則車身的運動微分方程為：(1)對數減縮振幅縮減因數(2)衰減振動周期衰減系數(3)臨界阻尼系數18-19車廂載有貨物，其車架彈簧的靜壓縮量為δt=50mm,每根鐵軌的長度1=12m。每當車輪行駛到軌道接頭處都受到沖擊，因而當車廂速度達到某一數值時，將發(fā)生激烈顛簸，這一速度稱為臨界速度。求此臨界速度。解：沖擊力頻率車廂振動的固有頻率共振時要滿足條件條件f=fn,所以得臨界速度：18-20車輪上裝置一質量為m的物塊B,在某瞬時(t=0)車輪由水平路面進入曲線路面，并繼續(xù)以等速v行駛。該曲線路面的規(guī)律起伏，坐標原點和坐標系Oix1y1的位置如圖18-28所示。設彈簧的剛度系數為k。求：(1)物塊B的受迫運動方程；(2)輪A的臨界速度。圖18-28圖18-29(1)設車身坐標為y,車身處于靜平衡時位置為原點，根據牛頓定律列出運動方程：將x?=vt代入上式得：物塊受迫振動方程為：18-21電動機質量m?=250kg,由4個剛度系數k=30kN/m的彈簧支持，如圖18-30所示。當@=@時，發(fā)生共振，則有固有頻率18-22物體M懸掛在彈簧AB上，如圖18-32所示。彈簧的上端A作鉛垂直線諧振動，其圖18-32解：取系統(tǒng)平衡時，A,B位置為坐標原點，如圖18-33所示，彈簧XA=asinwlmgXB+kra=kasinat圖18-3318-23圖18-34所示彈簧的剛度系數k=20N/m,其上懸一質量m=0.1kg的磁棒。磁棒下端穿過一線圈，線圈內通過i=20sin8πt的電流，式中i以A(安培)計。電流自時間t=0F=160πi,式中F以10?6N計。求磁棒的受迫振動。圖18-34解：選取磁棒靜平衡位置為x的原點，通電情況下，電磁力所以18-24圖18-35所示兩個振動系統(tǒng)，其質量為m,彈簧剛度系數為k,阻力系數為c。設干圖18-35解：(a)選取系統(tǒng)靜平衡時物塊m所在位置為坐標x的原點，由圖(a)得到物體運動微mü'=F,-F=c(x?-x')-kx'18-25機器上一零件在粘滯油液中振動，施加一個幅值H=55N、周期T=0.2s的干擾力，可使零件發(fā)生共振，設此時共振振幅為15mm,該零件的質量為m=4.08kg,求阻力系數c。③n=13.19,c=2mm=107.7N下邊安裝8個彈簧(每邊4個并聯而成)。A,B兩點到質心C的距離相等。已知地面振動規(guī)律為yi=sin10πt(式中yi以mm計),儀器質量為8mgCBA圖18-3818-28電機的轉速n=1800r/min,全機質量m=100kg,今將此電機安裝在圖18-39所示的隔振裝置上。欲使傳到地基的干擾力達到不安圖18-39因5=0,忽略阻尼，18-29已知圖18-40所示機構，其杠桿可繞點O轉動，重量忽略不計。質點A質量為m,ml2+(kd2-mgl)φ=kdbsi18-30圓盤質量為m,固結在鉛直軸的中點，圓盤繞此軸以角速度の轉動，如圖18-41所示。軸的剛度系數為k,圓盤的中心對軸的偏心距為e。求軸的撓度8。圖18-41圖18-42②盤的偏心距rAc=e,故撓度18-31機械系統(tǒng)與無阻尼動力減振器連接，其簡化模型如圖18-43所示。已知主體質量為m?,主彈簧剛度系數為ki;減振器的質量為m?,彈簧剛度系數為k?,求系統(tǒng)的固有頻率和振型。圖18-43圖18-44選取物塊靜平衡位置為坐標原點，取xi,x?二維體系，根據牛頓定律寫成矩陣形式：取,代入上式得：欲使X,X?有非零解，則需滿足：得固有頻率代入(*)式得：18-32求圖18-45所示振動系統(tǒng)的固有頻率和振型。已知m?=m?=m,k?=k?=k?=k。w豆m圖18-45解：取xi,x?為廣義坐標，系統(tǒng)的動能勢能為：代入拉格朗日方程：得到系統(tǒng)運動方程：令18-33圖18-46所示一均質圓軸，左端固定，在另一端和中部分別裝有均質圓盤A和B。每一圓盤對軸的轉動慣量均為J,兩段軸的扭轉剛度系數均為k,不計軸的質量。求此系統(tǒng)自圖18-46解：選取物塊靜平衡位置為扭擺零勢能位置，選取0,0非零解條件為：解得自由振動兩固有頻率18-34已知圖18-47所示兩個自由度系統(tǒng)，其中A和B的質量分別為mA和mp,彈簧的剛度系數為k,擺長為1。求系統(tǒng)的運動微分方程和固有頻率。圖18-47圖18-48系統(tǒng)具有兩個自由度，取彈簧的變形x和擺桿與鉛垂線夾角⑨為廣義坐標。廣義力為：由速度疊加原理：上式中vA=x,Va=lo,則代入(1)再代入拉格朗日方程微幅振動下近似sinp=q,cosφ=1,上式化簡為：即18-35圖18-49所示剛桿AB長1,質量不計，其一端B鉸支，另一端固連一質量為m的物體A,其下連接一剛度系數為k的彈簧，并掛有質量也為m的物體D。桿AB中點用剛度系數也為k的彈簧拉住，使桿在水平位置平衡。求系統(tǒng)振動的固有頻率。圖18-49解：取桿在水平時為系統(tǒng)零勢能位置，設桿AB轉角為9,物體D的垂直位移為x,取和拉氏函數為：L=T-V①②①②式便是系統(tǒng)的振動微分方程，寫成矩陣形式：系數剛度矩陣系數質量矩陣頻率方程為：將行列式展開，得：解上式得系統(tǒng)振動的固有頻率為：18-36圖18-50所示桿OA長1=1.5m,重量不計，可繞水平軸O擺動。在A端裝一質量m?=2kg、半徑r=0.5m的均質圓盤，在圓盤邊上點B,固結一質量m?=1kg的質點。求此系統(tǒng)作微幅振動的固有頻率。提示：可取θ與9為廣義坐標。圖18-50圖18-51選取靜平衡位置為坐標起始位置和零勢能位置，取61.02為廣義坐標，如圖所示，系統(tǒng)動能、勢能表達式為：①V=mgl(1-cosθ?)+m?g[L(1-cosθ?)+(1將以上各式代入①②,再將①②代入拉氏方程①即第19章剛體定點運動、自由剛體運動、剛體運動的合成、陀螺儀近似理論19-1剛體繞定點O運動時，根據下述條件如何確定其瞬時軸?(1)已知其上兩點A、B的速度相同；(2)已知其上兩點A、B的速度方向，且兩個速度方向不平行。答：(1)過定點O且與A,B連線平行的直線即為瞬時軸。(2)過點A、B分別作vA和vB的垂線，交于一點C,OC所在的直線為瞬時軸。19-2繞定點運動剛體上任一點M的速度為v,轉動加速度為a,繞瞬時軸的向軸加速度為a?,且皆不為零。試判斷下述說法是否正確：(2)a?必與角速度矢w垂直；(7)a?必與角速度矢w垂直；(8)a?必指向定點O;(9)a?必垂直于該點矢徑r。19-3剛體自由運動時，其上任意兩點的速度在這兩點連線上的投影是否一定相等?答：一定相等。19-4剛體自由運動時，若某瞬時其上不共線的某三點加速度矢相同，試判斷下述說法是否(1)該瞬時剛體上所有點的速度必相等；(2)該瞬時剛體上所有點的加速度必相等。答：此時剛體的角速度，角加速度均為零，故兩種說法皆正確。19-5剛體繞定點運動時，一般情況下其角速度矢w與角加速度矢α是否在同一直線上?答：因,α,O一般不在同一直線上。19-6剛體繞兩個平行軸轉動的合成是否為平面運動?兩平行軸轉動合成的分析方法與基點法有什么異同?答：是平面運動；基點法求出的是剛體的絕對角速度和絕對角加速度、其相對動系的角速度，角加速度就是絕對值，而合成分析方法則有絕對、相對、牽連角速度、角加速度之分。求剛體上任意點的速度與加速度，基點法是剛體平面法，后一種方法是點的合成分析法。19-1曲柄OA繞固定齒輪中心的軸O轉動，在曲柄上安裝一雙齒輪和一小齒輪，如圖19-1所示。已知：曲柄轉速no=30r/min;固定齒輪齒數zo=60,雙齒輪齒數z?=40和z?=50,小齒輪齒數z3=25。求小齒輪的轉速和轉向。圖19-1解：如圖所示，選取曲柄OA為動系，設各輪的相對轉速速為n,n3,根據運動學關系有：①由固定輪的絕對轉速為0,得聯立方程①②③可得3輪的轉速為：n3=-60r/min(負號說明3輪為順時針轉動)。而長為3R的曲柄OA繞軸O作順時針轉向，轉動的角速度WOA=wo,角加速度αoA=αo,如圖19-2所示。點M位于半徑為R的從動齒輪上，在垂直于曲柄的直徑的末端。求點M的圖19-2圖19-3如圖19-3所示，取OA為動系，設輪A的絕對角速度和角加速度為@4和α4,輪O和輪A相對于曲柄OA的角速度為@or和@A?,根據轉輪轉動關系則有：再以A為基點，由加速度的關聯關系x,y方向上的分量為：已知條件：aA=3waR,aλ=3aaR,a系統(tǒng)的速度關聯關系vn=VA+vA+VMA,UA=3RwAOUMA聯立上述各式可得19-3在齒輪減速器中，主動軸角速度為o,齒輪Ⅱ與定齒輪V相內嚙合。齒輪Ⅱ和Ⅲ又分別與動齒輪I和IV相外嚙合。如齒輪I,Ⅱ和Ⅲ的半徑分別為r,r?和r3,求齒輪I和IV的角速度。圖19-4圖19-5,根據齒輪嚙合關系有：齒輪運動關系為：代入解得：19-4自動多頭鉆床采用的送進機構為行星減速輪系，如圖19-6所示。齒輪I固定在機架外殼上，齒輪IV是中心輪，作定軸轉動，行星輪Ⅱ與Ⅲ固結一體可繞系桿H上的軸O?轉動，系桿H又繞固定軸轉動。設z?=20,z?=22,z3=21,z4=21,求傳動比之值。圖19-6圖19-7取系桿H為動系，其角速度為@H,設輪IV的絕對角速度和相對角速度分別為@4和@47,輪I的相對角速度為@,根據齒輪嚙合關系有：定點關系為：0=WH聯立解得：19-5圖19-8所示一雙重差動機構，其構造如下：曲柄Ⅲ繞固定軸AB轉動，在曲柄上活動地套一行星齒輪IV,此行星齒輪由兩個半徑各為r?=50mm和r?=20mm的錐齒輪牢固地連接而成。這兩個錐齒輪又分別與半徑各為R?=100mm和R?=50mm的另外兩個錐齒輪I和Ⅱ相嚙合。齒輪I和Ⅱ均可繞軸AB轉動，但不與曲柄相連，其角速度分別為w?=4.5rad/s,,絕對角速度為，,根據齒輪的嚙合關系有②19-6圓錐滾子軸承由緊套在軸2上的內環(huán)1、裝在機身上的外環(huán)3和一些圓錐滾子4組圖19-11①注意@2矢量的方向是變化的，設滾子繞z軸轉動的角速度為@1,則有：滾子軸線上點C點的速度為：v,=w?×OC=w?×OC②聯立①②可得：19-7錐齒輪的軸通過平面支座齒輪的中心O,如圖19-10所示。錐齒輪在支座齒輪上滾動，每分鐘繞鉛垂軸轉5周。如R=2r,求錐齒輪繞其本身軸OC轉動的角速度@和繞瞬軸轉動的角速度②。圖19-1019-8陀螺以等角速度o?繞軸OB轉動，而軸OB等速地畫出一圓錐，如圖19-12所示。如陀螺的中心軸OB繞軸OS每分鐘的轉數為n,∠BOS=0(常量),求陀螺的角速度の和角圖19-12圖19-13以OB為動系，由角速度疊加原理的大小為常量，方向在變化，故角加速度為：即19-9圖19-14所示圓盤以角速度01繞水平軸CD轉動，同時軸CD以角速度o?繞通過圓盤中心點O的鉛垂軸AB轉動。@?=5rad/s,@2=3rad/s,求圓盤的合成角速度w和瞬時角加圖19-14解：如圖19-15所示，選取支架為動系，由角速度疊加原理：由幾何關系可得：19-10船式起重機桅柱高OB=6m,起重臂AB=4m,它繞桅柱③④=0.25rad/s繞軸y轉動。坐標軸Oxyz固結在衛(wèi)星上，尺寸如圖19-18所示。圖19-18所示圖19-19以衛(wèi)星為動系，電池板的絕對角速度設為@a,絕對角加速度設為αa,由圖中幾何關系可得：代入aA表達式可得：t19-12圖19-20所示機器人的手臂2在鉛垂面內的轉角用9表示：設t=1s時，機器人手臂2在鉛垂面內的位置如圖所示。試分別在下列各種條件下求手腕處點B的絕對速度和絕對加速度。(式中4(t)以rad計),小臂伸長規(guī)律為s(t)=0.2t2((2)沖(t)以rad計),手臂繞鉛垂軸z轉動的規(guī)律(式(式中t)以rad計),機器人向右移動的規(guī)律是si(t)=0.1t2(式圖19-20①解：(1)選B為動點，OA為動系，根據圖19-21(b)的速度和加速度的分析，有：①(2)OB繞定點O運動，絕對角速度為@,角加速度為α,則：②B點矢徑為：B點的速度和加速度分別為：③③t=1s時，φ=-30°,根據圖19-21