考研題庫 北京大學數(shù)學系《高等代數(shù)》（第3版）配套題庫（真題+課后習題+章節(jié)題庫+模擬試題）（下冊）

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3)=0.由于實對稱陣的特征值均為實數(shù)，因而知λ=1.即A的特征值全為1,所以A為正定陣.15.設V是復數(shù)域上以(eeae.e為基底的線性空間，ψ為V上的線性變換①記Imψ={yly=ψ(x),Vx∈V為函的象空間，Kerψ=xlψ(x)=0,x∈V為ψ的核，試求Imψ,Kerψ.Imψ+Kerψ,ImψNKerψ[南京大學研]解：因為Imψ=ψV=ψL(e,e?,,e)所以dim(Imψ)=2,ee為它的一組基.且dim(Kerψ)=4-dim(Imψ)=2.設中在1,ere,下矩陣為A,由①知且齊次方程組Ax=0的基礎解系為6:=(eiezee)a:=e-e?·則Kerb=L(E.&),其中&,&為Ker的一組基.Imy+Kery=L(e?,e)+L(Imy+Kery=L(e,es.es),dim(Imp∩Kery)=dim(Imd)+dim(Kery)-dim(Imd令6=e-e,則ImsNKerd=L(&),且6為Im∩Kerv的一組基.16.設T是線性空間V上的線性變換，Z是V的非零向量.若向量組2.TZ.….TZ線性無關，而T"Z與它們線性相關.證明：子空間W=L(Z.TZ,….T-Z)是T的不變子空間，并求在該組基下的矩陣.[華中科技大學研]設T在基Z.TZ.….TZ下的矩陣為A,則17.(1)設n階矩陣A和B有相同的特征多項式及最小多項式，問A與B是否相似?若dimV,(A)=dimV.(B)·這里V(A).V(B分別表示A,B的屬于λ的特征子空間.[武漢大學2009研]解：(1)矩陣A與B不一定相似，例如：塊構成，B由兩個jordan塊構成，是兩個不同的jordan標準形，所以A與B不相似.故dimV(A)=3-rank(AaE-A)=3-rank(A?E-B)=dimV,(B).和In都只能有以下3種可能性：現(xiàn)在，由于dimV(A)=dimV.(rank(A.E-J)=rank(AE-因此⊥=Jn,故A與B相似.第8章λ-矩陣一、分析計算題1.設n維線性空間V上的線性變換A一的最小多項式與特征多項式相同.求證：3aEV,使得a,Aa,A'a,…,A?1a為v的一個基.[北京大學2007研]則A的前n-1個不變因子為1,1,.….,1,第n個不變因子為d.(A),容易知道，矩陣矩陣為A,即現(xiàn)在令a=EV,則Aa=8,A'a=62.證明：矩不能用相似變換對角化.[中國科技大學研]證明：由有一個一階子式為非零常數(shù)，因此有d?(A)=1,d.(A)=|AE-A|=a-3).即A的最小多項式為λ-3)2,它有重根，所以A不能對角化.3.設有一個6階矩陣①在①的右上角有一個5階子式等于b3,而b≠0.所以D(A)=1.d?(A)=d(A)=…=d(A)=1.A的初等因子為A的若當標準形為4.設A是n級冪等陣，且秩為r,試求(1)矩陣A的相似標準形，并說明理由；(2)計解：(1)因為A2=A,從而A有無重根的零化多項式g(A)=A-λ.由于e(A)無重根，所以A相似于對角陣，且特征值只能是1或0.再由秩A=r,所以存在可逆陣T,并有A的相似標①其中Er,為r級單位陣.5.已知g(A)=(A2-2A+2)2(A-1)是6階方陣A的極小多項式，且tr(A)=6,(1)A的特征多項式f(λ)及若當標準形.(2)A的伴隨矩陣A*的若當標準形.[華東師范大學研]解：(1)設A的不變因子為d(A),i=1,2,….,6.由于A的極小多項式是A的最后一個不變因子，所以d(A)=(A2-2A+2)2(A-1).又A的特征多項式/(A)=lλE-AI=d,(A)d?(A)…d?(A)為6次多項式，且tr(A)=6,所以d,(A)=A-1,d,(A)=1,i從而A的特征多項式S(A)=d?(A)d?(A)…d?(A)=(A有初等因子λ-1,λ-1,(λ-1+i)2,(λ-1+i)2,(λ-1-i)2.A的若當標準形為(2)由(1)知，存在可逆陣P,使由于所以A*的若當標準形為6.設A為n階復方陣.證明：存在一個n維向量α,使α,Aα,…,A1α線性無關的充要條件是A的每一個特征根恰有一個線性無關的特征向量.[南京大學研]證明：→:由于3α,使n維向量組α.Aα,…,A*?1α線性無關，所以可令且由A(α,Aα,…,A?α)=(Aα,A2α,…,A*'αf(A)=IAE-Al=d.(A)=A?+bA?1+…+b,λ+b?令f(A)=(A-A.)'(A-A,)2…(A-A.)°,(A≠A.i≠j)則A的初等因子為所以A的每個特征子空間的維數(shù)均為1,即A的每個特征根恰有一個線性無關的特征向量.r(At-A)=n-1,從而A的若當標準形中不同若當塊的對角線元素互不相同，因此A的特征多項式與最小多項式相等.設A的最小多項式為則A與有相同的不變因子，因而A與B相似.取α=α?,則有α≠0,且α.Aα.….A?'α線性無關.第9章歐幾里得空間矩陣.[浙江大學研]證明：(1)2.設n維歐氏空間的兩個線性變換0,T在V的基》:,n.下的矩陣分別是A和B,證則A'PA=B'PB.證：證法1:由于V恰由一切與V正交的向量組成，所以只要證明V∩V?≠0即可.所以V:④V?CV④V.所以dimV?≤dimV,與dimV,<dim而方程組(1)的方程個數(shù)r<未知量個數(shù)s,所以它有非零解.(a,t(β)).證明：(1)τ是V的線性變換；(2)t的值域Imt等于σ的核ker(σ)的正交補.[武漢大學研]證明：(1)Vβ,α,γ∈V∈V,由題設可得(α,r(β+γ))=(o(α),β+α)=(σ(α=(α,7(β)+r(γ)).T(β+y)=T(β)+T(γ).(1)同理，有所以由式(1)、式(2)得t是V的線性變換.(2)可等價地證明ker(α)=(Imr)(α,T(β))=(σ(α),β)=(0,β)=0.所以(a(B),a(B))=(β.7(σ(β))=0.5.設S是酉空間V的一個非空集合，記證明：S是子空間，且SC(S+),并舉例說明S=(S)不一定成立.[西安交通大學研](復數(shù)域),對任一γ∈S有所以(kα+Iβ,y)=k(α,y)+l(β.γ)=0.又Vξ∈S,ηeS+,由題設知(E.n)=0.S=(S+)不一定成立，如在酉空間C3=|(x?,x?,x,)lx?∈C,i=1,2,3中，取S={(0,0,6.在歐氏空間V中S是V的子空間，且①②[四川大學研]證明：(1)因為(a,a)=(β.β),所以(a+β,a-β=(a,a)+(a,-β)=(a,a)-(β.β)-(a,β)+(幾何解釋：表示菱形兩對角線互相垂直.(2)由已知有S1=(a∈V|(a,B)=0.VBES)仿上題可證S1是V的予空間，且V=SOS1,故①成立，且故S和(S1)+是同一子空間S的正交補，由正交補的惟一性，即證②.7.nXn實矩陣A和B,證明：A和B實相似的充要條件是復相似.[復旦大學研]證明：必要性顯然.下證充分性，設A與B復相似，即存在復可逆陣T=M+iH,使T'AT=B.其中M和H都是n階實方陣，由①有AT=TB,此即AM+iAH=MH+iHB>AM=MB.AH=HB.②因為TI=|M+iH≠0.故M+AHI不是零多項式，它在復數(shù)域上僅有有限個根，從而存在實數(shù)AP=AM+aAH=MB+aHB=PB.>P'AP=B.8.設T是酉空間V的一個線性變換，證明：下面四個命題互相等價.(1)T是酉變換；(2)T是同構映射；(3)如果E1,",En是標準正交基，那么Te,…,Te.也是標準正交基；(4)T在任一組標準正交基下的矩陣為酉矩陣.[湖南大學研]取E1,…,E。為V的一組標準正交基，且令A=(A….A.),A為A的列向量，由①有③所以Te….Te.也是標準正交基.基，且由⑤知B為酉矩陣.設④⑤G⑦由于D是酉矩陣，因此D|=±1.D可逆.故丁是V到V的雙射.Va.βEV.Vk∈C.有a=(e…e)x,β=(c,…)y.Ta=[T(…e)]x=(e,….e)(Dx)⑧Ts=(c…,c.)Dy所以T(ka)=(,….c.)kD=k(e由③,④,知故綜上所述丁是V的同構映射.第10章雙線性函數(shù)與辛空間(a,kβ+k?β)=k?(a,β)+k?(a,β).(k?β+k?β,a)=k?(β,a)+k?(B,a).是一個雙線性函數(shù).求證：f為對稱的或反對稱的.[北京大學2007解：令Y=a.有f(a,β)f(a,a)=f(β,a)f((2)若Vα.都有f(a,a)=0,則Va,β·有/(a-β,a-β)=0,從而有f(a.a)-f(a,β-f(β.a)+f(β,β)=0.第二部分課后習題a∈MNN,即MMNN.這就證明了MNN=M.N.2.證明：MU(NNL)=(MUN)∩(MUL).證明：先證第一式.對a∈MN(NUL),有a∈M及a∈N或a∈L.于是a∈MNN或MNL,即a∈(M∩N)U(M∩L).故得MN(NUL)C(MNN)U(MNL).對a∈(MNN)U(MNL),有a∈MNN或a∈MNL.當a∈MNN時，有a∈M及a∈N,從而證明了(MNN)U(M∩L)=MN(NUL).類似地可以證明第二式.3.檢驗以下集合對于所指的線性運算是否構成實數(shù)域上的線性空間：(1)次數(shù)等于n(n≥1)的實系數(shù)多項式的全體，對于多項式的加法和數(shù)量乘法；(2)設A是一個n×n實矩陣，A的實系數(shù)多項式f(A)(3)全體n級實對稱(反對稱，上三角)矩陣，對于矩陣的加法和數(shù)量乘法；(4)平面上不平行于某一向量的全部向量所成的集合，對于向量的加法和數(shù)量乘法；(5)全體實數(shù)的二元數(shù)列，對于下面定義的運算：(6)平面上全體向量，對于通常的加法和如下定義的數(shù)量乘法：kα=0;(7)集合與加法同(6),數(shù)量乘法定義為：k*α=0;(8)全體正實數(shù)R+,加法與數(shù)量乘法定義為：kα=0.解：(1)否.該集合中沒有零多項式，即沒有零元素，故不能構成線性空間.(2)是.令V={f(A)|f(x)是實系數(shù)多項式}.給定f(A),g(A)∈V及k是實數(shù)，這時f(x)及g(x)是實系數(shù)多項式，可令f(x)+g(x)=h(x),kf(x)=d(x),貝k(x)及d(x)仍是實系數(shù)多項式.于是f(A)+g(A)=h(A)∈V,kf(又V中元素皆為n×n實系數(shù)矩陣，矩陣的加法和數(shù)量乘法自然滿足線性空間的八條性質，故V構成實數(shù)域上的線性空間.(3)只對全體n×n實反對稱矩陣證明它對矩陣的加法和數(shù)量乘法構成實數(shù)域上的線性空間.設n×n實矩陣A和B皆為反對稱，即有則故它們都是實反對稱矩陣，即全體n×n實反對稱矩陣的集合對加法和數(shù)量乘法都封閉.又八條運算性質是自然具備的.故構成實線性空間.(4)否.這集合中不含零向量，故不構成線性空間.(5)是.令V是全體實二元數(shù)列的集合.按定義它對加法和數(shù)量乘法是封閉的.下面驗證八條運算性質.①加法交換律顯然成立.②加法結合律：=(a?+a?+as,b?+b?+a?a?+b?+a=(a?+a?+as,b?+b?+b?+a?a?+a兩者相等，故成立.③(0,0)是加法零元素.④(-a.a2-b)是(a,b)的負元素.⑧故V具備八條運算性質，構成線性空間.(6)否.取平面上任一非零向量α,并取k=1.按線性空間運算性質應有kα=1α=α≠0.但按題目中定義則是k·α=0.故不符合線性空間的要求.(7)否.取平面上任一非零向量α,取k=0.按線性空間性質應有kα=0α=0.但按題目中定義0α=α≠0.故不符合線性空間的要求(8)是.首先R+對定義的加法和數(shù)量乘法是封閉的.下面逐條驗證八條性質.①aOb=ab=ba=b田a;證明：(1)k0=k(α+(-α))=ka+k(-α)=ka+k(-1)α=ka+(-k)α=(k+(-k))α=0α=0.(2)k(α-β)=k(a+(一β))=ka+k(一β)=ka+k(-1)β=ka+(-1)kβ=ka互素矛盾.故ki=k?=k?=0,即fi(x),f?(x),f?(x)83=(1,-1,1,-1),84=(83=(1,1,0,0),E4=(0,1,-(2)令ξ=xi81+x282+x383+x484,由此得線性方程組8.求下列線性空間的維數(shù)與一組基：(1)數(shù)域P上的空間Pn×n;(2)Pn×n中全體對稱(反對稱，上三角)矩陣作成的數(shù)域P上的空間；(3)第3題(8)中的空間；(4)實數(shù)域上由矩陣A的全體實系數(shù)多項式組成的空間，其中解：(1)令i即E;的元素除去第i行，第i列處為1外，其余全為零.:于是任意n×n矩陣是{Ej}的線性組合，故{Ej}是Pn×的一組基，且Pn×n是n2維的.(3)對任意a∈R+,令logioa=k,則a=10k=k-10,又10≠1,它不是R+的加法的零元素，故是線性無關的.于是10是R*這個線性空間的一組基，且R+是一維的.V={f(A)|f(x)是實系數(shù)多項式}.及對任意k有對任意f(x)=ao+aix+.…+anx”,故V中任一元是E,A,A2的線性組合.現(xiàn)設aoE+a?A+a?A2=0.即有其系數(shù)行列式為范德蒙德行列式故上述方程組只有零解，即ao=a?=a?=0.于是E,A,A2是線性無關的，因而是V的一9.在P?中，求由基ε,82,E3,ε4到基ηi,η2,η3,η4的過渡矩陣，并求向量ξ在所指基下的ξ=(1,0,0,0)在ε,82,83,84下的坐標；ξ=(1,0,0,-1)在ηi,η2,η3,η4下的坐標.解：(1)εj,82,E3,ε4是單位向量組成的基.ni的各分量恰是它在此基下的各個坐標，故就是過渡矩陣的第i列.因此過渡矩陣是(2)把8},82,8,e]和n7,n,η,n!分別按列排成矩陣M和N.記過渡矩陣為A,A的第i列A;就是η;,在ε,82,83,84下的坐標向量，即ηi=(E1,82,83,84)Ai.用矩陣寫出來，就是再利用矩陣分塊運算，就可寫成N=MA.于是經計算得(3)仿照題(2),把，e2,aS,84和n.n,n.n分別按列排成矩陣M和N,記過渡矩陣為A.則有經計算ξ=(1,0,0,-1)在ηi,η2,η3,η4下的坐標是10.繼第9題(1),求一非零向量ξ,它在基ε1,82,83,84與ηi,η2,η3,η4下有相同的坐標.即(1,1,1,-1)在此兩組基下坐標相同.11.證明：實數(shù)域作為它自身上的線性空間與第3題(8)中的空間同構.12.設V?,V?都是線性空間V的子空間，且V?SV?,證明：如果V?的維數(shù)和V?的維數(shù)相等，那么V?=V?.證明：設維(V?)=維(V?)=r,可取V?的一組基α1,a?,…,ar.因V?Cv?,這也是V?中r個線性無關的向量，因維(V?)=r,故它是V?的基.因此V?={α1,α2,….,ar的全部線性組合}=V?.(1)證明：全體與A可交換的矩陣組成Pn×n的一子空間記作C(A);時，求C(A)的維數(shù)和一組基.解：(1)顯然C(A)非空，又是Pn×n中加法封閉和數(shù)量乘法封閉的子集，故構成子空間.(2)Pn×n中任一矩陣都與E交換，故C(E)=Pn×n.則b;j=ibj,i,j=1,2,.….,n.故當i≠j時有bj=0,即B是對角陣.反之，對角陣也屬于C(A)的一組基可取E,E?2,.….,Em,其維數(shù)為n.求P3×3中全體與A可交換的矩陣所成子空間的維數(shù)和一組基.解：令顯然B=(bj)3×3∈C(A)當且僅當B∈C(T),也即BT=TB.寫出來就是即為其中bi,b?1,bi?,b22,b32是自由未知量.分別對自由未知量取bi?=1,其余為零；b?2=1,其余為零；b32=1,其余為零；bi=1,其余為零；b??=1,其余為零，得5組解.分別對應了C(A)中5個矩陣：任意B∈C(A)當且僅當b31=9b12+3b?2+3b32-3b-b?則B=bi?A?+b??A?+bi?A?+b??A且A,A?,A?,A?,As線性無關，故是C(A)的一組基.C(A)是5維的. (a,β)=L(β,γ).16.在P?中，求由向量αi(i=1,2,3,4)生成的子空間的基與維數(shù).設解：(1)把α,α2,α3,α4按列排成矩陣.對它用初等行變換來求極大線性無關組.它的第1,2,4列，是列向量的極大線性無關組.因而原矩陣的第1,2,4列也是自己的列向量的極大線性無關組.即α,α2,α4是α1,α2,α3,a?的極大線性無關組，也是L(a1,α2,α3,α4)的一組基.L(α,α2,α3,α4)是3維的.(2)按(1)題同樣的方法，可求出α1,α2是L(a?,α2,α3,α4)的一組基，而其維數(shù)是2.17.在P?中，求由n次方程組確定的解空間的基與維數(shù).得到一般解解空間的維數(shù)是2.解：(1)xia1+x2a?屬于L(a1,α2)∩L(βi,β2)當且僅當存在yiβ?+y?β2解：(1)xia1+x2a?Xiα1+x2a2+yiβ1+y?β?=0.可求得基礎解系只有一個解(-1,4,3,-1),全部解是x(-1,4,3,-1).于是L-xa?+4xα2=x(-5,2,3,4).(5,-2,-3,-4)是它的基，它是一維的.(2)與(1)題同樣方法，知L(ai,α2)NL(βi,β2)的全部向量xia1+x?a2是使得下列該方程組只有零解.故子空間L(ai,a2)∩L(β,β2)={0},沒有基.(3)L(a1,α2,α3)NL(βi,β2)的全部向量xia1+x?a2+x3α3xia1+x2a2+x3a3+yiβ?有解的全部向量x?α1+x2a?+x3α3,將上述方程按各分量寫出來，得可求得它的全部解x(-3,1,2,1,0).故交子空間的全部向量是x(-3a?+a?+2a?)=xβi,它是一維的，β1是基.19.設V?與V?分別是齊次方程組x?+x?+.….+xn=0與x?=x?=…=xn的解空間，證明Pn=V?@V2.證明：任意(ti,t?,….,tn)∈Pn,可寫成其中第一個向量屬于V?,第二個向量屬于V?.故Pn=V?+V?.即有維(V?+V?)=n.又20.證明：如果V=V?OV?,V?=V1?@Vi?,那么V=V1?@vi?OV?.證明：由題設V=V+V1?+V?,只要證零向量在這些子空間的和中的分解式惟一.設0=ai+α2+β,其中α?∈V1,α?∈V12,β∈V?.來證α?=α2=β=0.因α?+a?∈V?,β∈V?,而V=V?@V?,于是β=0及α?+a?=0.而V?=V1?@V12,0=α2+α2又是0在Vn+Vi?中的分解，即得α?=α?=0.故V?VO?V??v?.21.證明：每一個n維線性空間都可以表示成n個一維子空間的直和.證明：取此空間V的一組基α1,α2,.….,an.顯然(an)是n個一維子空間的直和.22.證明：和是直和的充分必要條件是：證明：由故必要性成立.充分性.設有零向量的一個分解a?,…,as全為零.就證明了V?④V?④…④V,是直和.23.在給定了空間直角坐標系的三維空間中，所有自原點引出的向量添上零向量構成一個三維線性空間R3.(1)問所有終點都在一個平面上的向量是否為子空間；(2)設有過原點的三條直線，這三條直線上的全部向量分別成為三個子空間L,L?,L?.問L?+L?,Li+L?+L?能構成哪些類型的子空間，試全部列舉出來.(3)就用幾何空間的例子來說明：若U,V,X,Y是子空間，滿足U+V=X,XY,是解：(1)若原點在所指的平面上，則終點在該平面上的全部向量構成子空間.若原點不在該平面上，則零向量的終點不在該平面上，因而不在此向量集合中.故該集合不(2)設1,I?,13是過原點的三條直線(可以有重合的),1;,i=1,2,3,上全部向量作成1°考察L?+L?:當1,1?重合時，L?+L?=Li=L?是一維子空間.當l,I?不重合時，只交于原點，故LINL?={0},因而Li+L?=L?L?是直和，它是二維子空間.當l,l?,1?在同一平面上，但不全重合時，不妨設l,I?不重合.各取1i上一個非零向量αi,是二維子空間.不共面的向量的線性組合.Li+L?+L?=L(a?)+L(α?)+L(α3)=三維幾何空間的全部向量.構成三維空間.且因維(L?+L?+L?)=3=維(L?)+維(L?)+維(L?),L?+L?+L?=L?OL?OL3是直和.(3)不一定成立.例取過原點的不重合的兩直線l,l?.I和l?上的全部向量分別構成兩個一維子空間U和V.U+V是1,1?決定的平面上全部向量組成的二維子空間.再取此平面上過原點的一條直線1,它不與l,I?重合.令它上面的全部向量構成能子空間為Y.由(2)24.(1)證明：在P[x]n中，多項式fi=(x-a1).….(x-aj-1)(x-ai+1).….(x-an),i=1,2,…,n(2)在(1)中，取aj,a2,…,an是全體n次單位根，求由基1,x,…,xn-1到基fj,f?,….,fn的過渡矩陣.證明：(1)fi(x)的特性是fi(aj)=0,j≠i,fi(ai)≠0.設k?fi(x)+k?f?(x)+…+ki-1f-1(x)+kifi(x)+ki+1fi+1(x)+.…+knf用上述特性，將x=ai代入，得到kifi(ai)+..+ki-1fi-1(ai)+k;fi(ai)+ki+1fi+1(ai)+...+knfn(ai)=0.k?=k?=….=kn=0.這就證明了fi(x),f(x),…,fn(x)是線性無關的.又P[x]n是n維的，故fi(x),f?(x),…,fn(x)是它的基.上面Z是α在基α?,α2,…,an下的坐標作成的列向量.在這同構對應下，線性組合對應成坐標列向量是Y?,Y?,...,Ys.則將它們按列排成矩陣就是A.即(βi,β2,….,βs)=(a1,α2,….,an)(Yi,Y2,...,Ys)=(a是β1,…,βr的線性組合，故任意Y;是Y?,…,YrYs的極大線性無關組.即r是A的秩.26.設f(x?,….,Xn)是一秩為n的二次型，證明：存在R的一個維子空間V?(其中s為符號差數(shù)),使對任一(x?,….,xn)∈V,有f(xi,X2,…,Xn)=0.證明：設經可逆線性替換Z=CY,將f(x?,X?,….,Xn)變成標準形，即f(x?,X2,…,xn)=Z'AZ=(CY)不妨設p≤n-p.則下列向量集合構成R"中一個子空間，其維數(shù)為p.任意向量Y=(yi,…,yp,)代入g(Y)有g(Y)=yr2….+yp2-yi2-…-yp2=0.但Y∈U,故f(Z)=g(Y)=0.由于對應是同構對應，故V?也是p維的.而f(Z)=g(Y)的符號差s=(n-p)-p,故有這就證明了題目中的結論.同時成立.證明：因Vi,V?非平凡，故有a?∈V?,a?∈V:.若有a,EV?,或a?∈V,則已完成證明.若α?+α2是所要求的向量.28.設V,V?,…,Vs是線性空間V的s個非平凡的子空間，證明：V中至少有一向量不屬于V,V?,...,Vs中任何一個.證明：對子空間的數(shù)目n作歸納法.當n=1時顯然成立.設n=s-1時題目的結論成立.當n=s時.取陽v,,又由歸納假設有α∈V?,V?,…,V1于是對任意V;,a,β不能同時屬于Vi.考察α+k;β,任意ki.若α+k;β∈Vi,則任何其他k≠k;有α十k;β∈Vi.否則由α+k;β∈Vi及α+k;β∈Vi,k≠k;,易得α,β∈Vi,矛盾，故對于任一V;,最多僅有一個值k;使α+kiβ∈Vi.取k∈P使k≠ki,k?,….,ks,則α+kβ∈V,i=1,2,…,5完成了歸納法.1.判別下面所定義的變換，哪些是線性的，哪些不是：(1)在線性空間V中，15=ξ+α,其中α∈V是一固定的向量；(2)在線性空間V中，lξ=α,其中α∈V是一固定的向量；(7)把復數(shù)域看作復數(shù)域上的線性空間，解：(1)當α=0時，/ξ=ξ,有4(ξ+η)=ξ+η=/ξ十/η,故/是線性變換.但(ξ)+(ξ)=ξ+α+ξ+α=2ξ+2a≠l(ξ+ξ).這時不是線性變換.(2)當α=0時是線性變換.(3)計算下面式子.4(2(2,1,1))=l(4,2,2)=(16,4,4)≠2l(2,1,1).故不是線性變換.(4)由易知l(x?+yi,x?+y?,x3+y3)=l(xi,x?,x?)+l(yi,y?,y?)(5)由于知l(f(x)+g(x))=l(f(x))(6)由于故有l(wèi)(f(x)+g(x))=l(f(x))(7)不是，例(i·1)=i·1≠i=isf(1).(8)是.=B°=6=8,B≠B,但fG2=B2o2,(x,y,z)=(x,-z,y),B(x,y,6(x,y,z)=(-y,x,z).(1)lα=(x,-y.-z),a=(x,,-y),Aa=(x,y·z),故有=6.同樣有?=8,G?=6.LBα=(z,y,-x)=(z,x,y),8/α=B(x,-z,y)故≠Ssl.PgBα=a(-x,y,~z)=(-x,-y,z),故=F故/B-B=8.故-3/=6.B-BF=(B-O)+(LB-8)證明/是單射.對a,β,若有/α=β用1同乘此式兩邊，則左='(sla)=α,件是A可逆.即都是某元在變換下的像.即是滿射.再由定理11的推論，知4也是單射，故是可逆的.的垂直投影，是平面上的向量對82的垂直投影，求，B,l在基e?,82下的矩陣：(3)在空間P[x]n,中，設變換/為f(x)→f(x+1)-f(x),求在基(4)六個函數(shù)br,br,br,br,6)下的矩陣；(5)已知P3中線性變換基ηi=(-1,1,1),n?=(1,0,-1),η3=求在基ε=(1,0,0),E?=(0,1,0),E?=(0,0,1)下的矩陣；求在基E?=(1,0,0),82=(0,1,0),E?=(0,0,1)下的矩陣；/e?=(-1,1,0)=(E?,E?,E?)(-1.1(2)E?=(1,0),E?=(0,1).則故在E1,82下的矩陣為(3)計算…(4)略去計算.9在基e?,&2,…,En下的矩陣為(5)因故及在8,82,83下的矩陣是故(7)又因故E=aE?+cE?1,類似的計算可得2,在E,E12,E21,E22下的矩陣分別是9.設三維線性空間V上的線性變換在基ε,82,82下的矩陣為(1)求在基e?,82,81下的矩陣；(3)求在基81+82,82,E?下的矩陣.解：(1)在ε3,82,E?下的矩陣是10.設是線性空間V上的線性變換，如果E≠0.但ξ=0,求證ξ,ξ,….,QYk-lξa?S+a?Pξ+…+a-1ξ=0.得到a?=a2=.….=ak=0.因此5.5.…,線性無關.11.在n維線性空間中，設有線性變換/與向量ξ,使得ξ≠0,但ξ=0.求證在證明：由上一題的結論，5,15,…,線性無關，因而是V的一組基.在這組基下的全體n級方陣.設在該基下矩陣為A.任一線性變換》,設在該基下矩陣為B.13.3/是數(shù)域P上n維線性空間V的一個線性變換.證明：如果在任意一組基下的矩證明：取V的一組基ε,82,…,En.設在該基下矩陣為A.我們證明A是數(shù)量矩陣.是一組基.于是在這組基下的矩陣是(E+Ej)?1A(E+Ej).A可交換.由第四章習題7的(3),知A是數(shù)量矩陣，從而是數(shù)乘變換.(1)求在基η?=8?-282+84,n?=382-83-84,η3=83+84,n4=2ε4下的矩陣；(2)求的核與值域；(3)在的核中選一組基，把它擴充成V的一組基，并求在這組基下的矩陣；(4)在的值域中選一組基，把它擴充成V的一組基，并求在這組基下的矩陣.解：(1)(2)設ξ∈'(0),ξ=x?E?+x?&2+xsE3+xE?則5=0.由定理3,有再求v.由定理10知slv=L(/8,,/8,,/8,/84).(3)易計算(81,82,ξ1,ξ2)=(81,82,83,84)Z,52=-8?-28?+84,得81=(1,0,1),82=(2,1,0),ηi=(1,2,-1),η2=(2,2,-1),η3=(2,-1,3E,=η,,i=1.2.3.(2)寫出在基ε1,82,E?下的矩陣；解：(1)令α?=(1,0,0),α2=(0,1,0),α3=(0,0,1),則解此方程，得(2)因為在基81,82,83下的矩陣就是Z.(c/η,/η2,/η?)=(/e?,證明：在任意n維線性空間V中取一組基E,82,…,En.作一線性變換，它在ε1,E2,…,8n下的矩陣是在新基下是同一線性變換在不同基下矩陣，故相似.17.如果A可逆，證明：AB與BA相似.相似.相似.相似.19.求復數(shù)域上線性空間V的線性變換的特征值與特征向量，已知在一組基下的矩解：(1)故A的特征值為7,-2.求特征向量.對λ=7,相應的齊次線性方程組為它的基礎解系為(1,1).于是的屬于特征值7的全部特征向量為k(ei+ε2),E?,E?對特征值λ=-2,相應的方程組為其基礎解系為(4,-5).屬于特征值-2的全部特征向量為k(48?-582),k≠0,取所有數(shù)值.(2)當a=0時，的特征值為0,任何非零向量都是特征向量.屬于λ=ai的全部特征向量為k(-iε?+ε2),k為任意非零復數(shù).屬于λ=-ai的全部特征向量為k(ie?+ε2),k為任意非零復數(shù).(3)特征值λ=2及-2.屬于特征值2的全部特征向量為k?(gi+82)+k?(E?+ε3)+k?(8i+ε4),其中k?,k?,k?為不全為零的任意數(shù)值.屬于特征值-2的全部特征向量為k(8?-82-83-E4),k≠0為任意數(shù).屬于特征值2的全部特征向量為k(281-82),k≠0為任意數(shù).取任意數(shù)值.取任意數(shù)值.(5)特征值為λ=1,-1.屬于特征值1的全體特征向量為k?(E?+ε3)+k?E?,kj,k?取不全為零的全體數(shù)值.屬于特征值-1的全體特征向量為k(e?-83),k≠0,取任意數(shù)值.(6)特征值為0及±√14i.屬于特征值0的全部特征向量為k(381-82+283),k≠0,取任意數(shù)值.屬于-√14i的全部特征向量為k((6-√14i)e+(-2-3√14i)g-10g),k≠0,取任意數(shù)(7)特征值為λ=1,-2.屬于特征值1的全部特征向量為k(38?-682+20ε3),k≠0,取任意數(shù)值.屬于特征值-2的全部特征向量為ke3,k≠0,取任意數(shù)值.20.在上題中哪些變換的矩陣可以在適當?shù)幕伦兂蓪切?在可以化成對角形的情況，寫解：由定理7知n維線性空間的線性變換的矩陣能在某組基下成為對角形的充要條件是它有n個無關的特征向量.這樣，上一題中(1)到(6)都可以化成對角形，而(7)不可能.下面分別寫出其過渡矩陣T.(1)一對線性無關的特征向量作為基，其過渡矩陣是(3)取四個線性無關的特征向量為基，其過渡矩陣(4)取三個線性無關的特征向量為基，其過渡矩陣為在該基下矩陣為(5)取三個線性無關的特征向量為基，其過渡矩陣為(6)取三個線性無關的特征向量為基，其過渡矩陣為21.在P[x]。中(n>1),求微分變換⑨的特征多項式，并證明9在任何一組基下的矩陣都不可能是對角矩陣.解：取P[x]n的基為1,x,…,x-1,則9在該基下矩陣為它只有0為特征值.(0·E-D)=-D的秩為n-1,因此齊次線性方程組的基礎解系中只一個解.即D只有一個線性無關的特征向量.而P[x]n的維數(shù)x>1.由定理7,9任何基下的矩陣都不是對角陣.A的特征值為1,±5.屬于1的特征向量設為(xi,X2,x3)',則取一個解(1,0,0)',它是A的屬于特征值為1的特征向量.屬于5的特征向量設為(xi,X?,x?)',則取一個解(2,1,2)',它是A的屬于5的特征向量.屬于-5的特征向量設為(2,1,2)',則令23.設ε1,82,83,ε4是四維線性空間V的一組基，線性變換在這組基下的矩陣為(1)求在基(2)求的特征值與特征向量；(3)求一可逆矩陣T,使T1AT成對角形.解：(1)屬于特征值0的特征向量設為xini+x2n?+x3η3(1,0,0,0)及(0,1,0,0)是它的一組基礎解系.屬于特征值0的全部特征向量為屬于特征值1的特征向量設為xini+x?n2+x3η3+x4n4,則xi,X2,X3,x4滿足方程組(-7,5,3,5)是基礎解系.屬于特征值1的全部特征向量是k(-7ni+5n?+3η3+5η4)=k(3ε?+ε2+83-282),k≠0,取任意數(shù)值.1(-8,6,1,2)是它的基礎解系，屬于2的全部特征向量是k(-8ηi+6n?+η3+2η4)=k(48?+2ε2-83-684),k≠0,取任意數(shù)值.則24.(1)設λ,λ2是線性變換的兩個不同特征值，ε,82是分別屬于λ,λ2的特征向量，(2)證明：如果線性空間V的線性變換以V中每個非零向量作為它的特征向量.那么是數(shù)乘變換.證明：(1)反證法.設(8?+82)=λ(e?+8?)但(e?+8?)(λ-λ?)e?+(λ-λ?)e?=0.是特征向量.(2)任取V的兩個非零向量α1,α2,由題設它們都是的特征向量，且它們的和也是特征向量.由(1)知α1,α2,屬于同一個特征值.因此V中任一非零向量都是屬于同一特征值的特征向量，就是數(shù)乘變換.25.設V是復數(shù)域上的n維線性空間，,是V的線性變換，且8=明(2)34,S至少有一個公共的特征向量證明：(1)設α∈山，則：α=λoα.于是即有a∈V故山是的不變子空間.、V.(2)‘么是的不變子空間，令是4上的線性變換.因么是復數(shù)域上線性空間，26.設V是復數(shù)域上的n維線性空間，而線性變換在基ε1,82,…,En.下的矩陣是一若爾當塊.證明：(2)V中任一非零/一子空間都包含En;(3)V不能分解成兩個非平凡的/-子空間的直和.證明：(1)設即有(/-λ?c)ε?=82,(a/-λo6)&設W是/-不變子空間，含有ε,則含有則W含有V的一組基E?,82,…,En.即基礎解系是(0,0,…,0,1).全部特征向量是ken,k≠0,取任意復數(shù)值.任取V中的一個非零的-子空間W,llw在W上必有復特征值，它也是/-的特征值，27.求下列矩陣的最小多項式解：(1)以A記題目所設的矩陣.它的特征多項式為A的最小多項式是(λ-1)2(λ+1)的因式.現(xiàn)計算得到A-E≠O,A+E≠O,但(A-E)(A+E)=0.故A的最小多項式為λ2-1.(2)仍以A記題目所設的矩陣.它的特征多項式為(1)如果(x+8)2=+.那么=0;那么(+B-)2=+-h.證明：(1)(+B)2=sP+B+Bs/+B2=+B+B+Bs1.因題設(+A)2=+沸，得+/=0,于是=-Bs1.又B=B=-B./=92=Bs/=-l8,(2)(/+B-B)2=sP+另2+(B)2+&B-PB-8lB+l-Bs/-LB2=/+B+PB2+lB-B-QB+B-B-B=/+B-lb.+1個元素皆線性相關.,,….是該空間中n2+1個元素，必線性相關.故存在不a?&+a?l+a?F2+…+a22=0.f(x)十v(x)g(x).于是d(/)=u(s)f()+v(c)g(c)=0.(3)必要性.由(1),有ao,ai,.….,an2不全為零使an&+a,d+…+a.22=0.充分性.設f(x)=an+ax+.…+axk,ao≠0,使f()=0.1證明：(1)設在某基下的矩陣A,則的特征值入就是A的特征值.由于為零.即入?1是/的特征值.32.設是線性空間V上的線性變換，證明的行列式為零的充分必要條件是以零作33.設A是—n級下三角矩陣，證明：(2)如果ai1=a22=.…=amm,而至少有一aiojo≠0(io>jo),那么A不與對角矩陣相似.2)數(shù)量矩陣只與自己相似.不同的特征值.由定理8的推論1,A相似于一個對角陣.(2)A若與對角陣相似，則A與它有相同特征值.于是{bi,b?,…,bn}與{a11,a22,…,am}相同，則有b?=b?=….=bn.因而它是數(shù)量矩陣、數(shù)量矩陣可與任何矩陣交換，它只能相似于自己.若A與它相似，則A必為數(shù)量矩陣.但現(xiàn)在A不是數(shù)量矩陣，矛盾.故A不能相似于對角陣.34.證明：對任一n×n復系數(shù)矩陣A,存在可逆矩陣T,使T1AT是上三角矩陣.證明：一種方法，它相似于若爾當形，即相似于一個下三角陣.把基的次序換一下就可得上三角陣.另一種方法是直接證明：取n維線性空間V的一組基ε,82,.….,En.作V上的一個線性變換，使在該基下的矩陣為A.由于是復數(shù)域，必有復特征值，取一個特征值λ及及則有對A的級數(shù)n作歸納法.n=1,結論顯然成立.又設n-1時結論成立，即對(n-1)級方陣B有可逆陣T?,使Z1BT?,為上三角陣.則由于2BT?已是上三角陣，故上式右端成為上三角陣.令間.這時a≠0.當-的核是零子空間時，當然a也不在-的核中.故這a不在Es+1,…,8r.W=L(sle,,…,e,8(L+1E+1+…+Le,)=0.于是…8+…+L8.∈'(0).它又須是81,…,的線性組合，就有一組數(shù)11,l?,…,(1)4與有相同值域的充分必要條件是B=另，/=;&/V=B.VCSVa∈V使α=0,則/α=/Bα=0.故'(0)=S1(0)必要性.已知1(0)=S1(0).得B(β-β)=Bβ-Bs/β=0,即β=B.β,同樣可證/=/6..解：(1)因為D?(λ)=λ,=λ?-10x3-3x2=λ2(λ2-所以d?(λ)=λ,d?(λ)=λ(λ2-10λ-3),(2)作初等變換(3)初等因子：λ,λ,λ+1,(λ+1)2.(4)初等因子：λ,λ,λ2,λ-1,λ-1,(λ-1)2.(5)標準形為：(6)標準形為：2.求下列λ-矩陣的不變因子：1所以不變因子為1,1,(λ-2)3.所以，不變因子為(3)當β=0時，原矩陣成為此時D?(λ)=D?(λ)=1,D?(λ)=(λ+a)2,D?(λ)=(λ+a不變因子為1,1,(λ+a)2,(λ+a)2.有一個3級子式與D?(λ)互素.所以得D?(λ)=D?(λ)=D?(λ)=1.因此不變因子為的不變因子證明：記則|A|=λ+aiλ-1+a2λ-2+.….+an-1λ+anA有一個n-1級子式因此從而所以A的不變因子是4.設A是數(shù)域P上一個n×n矩陣，證明A與A"相似.證明：因為而λE-A與(λE-A)"的各個子式之間按轉置關系有一個一一對應.對應的子式因為彼此價.根據(jù)本章定理7,A與A"相似.求A".解：將A表成其中可交換，并且所以6.求下列復系數(shù)矩陣的若爾當標準形：解：(1)所以A有3個不同的特征值，A可以對角化.A的若爾當標準形為：λE-A有二個互素的2級子式：所以D?(λ)=D?(λ)=1.又因所以A的初等因子有λ+3,(λ-1)2.A的若爾當形為：所以不變因子為1,1,(λ-1)3;初等因子為(λ-1)3.若爾當形為：(5)|λE-A|=(λ-1)(λ2+1)=(λ-1初等因子為λ-1,λ-i,λ+i.若爾當形為：(6)用初等變換將λE-A化為標準形所以A的初等因子為λ,λ,λ-2.A的若爾當形為：(7)初等因子：λ,λ2.若爾當標準形：(8)初等因子：(λ-2)3.若爾當標準形：(9)初等因子：λ,(λ+1)2.若爾當標準形：(10)不變因子：1,1,f(λ)=λ3+30λ-8.初等因子：λ-λ,λ-λ2,λ-λ3,其中λ,這里若爾當標準形：λE-A有下面2個3級子式是互素的：D?(λ)=D?(λ)=D?(λ)=1,D?(λ)=|λE-A|d?(λ)=d?(λ)=d?(λ)=1,d?初等因子：(λ-1)4.(12)若爾當標準形：(13)對特征矩陣進行初等變換不變因子：1,1,λ-1,(λ-1)(λ2-14λ+19)不變因子：1,1,...,1,λ"-1,初等因子：λ-εi,λ-82,…,λ-8n,其中故A的若爾當標準形為7.把習題6中各矩陣看成有理數(shù)域上矩陣，試寫出它們的有理標準形.提示求出A的不變因子，應用伴侶陣(本章§7定義8),寫出有理標準形.證明：(1)因為A是d(λ)的伴侶陣，所以d(λ)是A的特征多項式，因此d(A)=0,則又單位矩陣可表成都是(n-1)×n矩陣.線性無關，對次數(shù)小于n的多項式g(λ),g()≠0.d;(λ)|di+1(λ),i=1,2,.….,s-1,其中d;(λ)是的次數(shù)最高的不變因子.用B;表示d;(λ)的伴侶矩陣，i=1,2,.….,s那么A與下列矩陣相似即得ds(A)=0.由于d(λ)是Bs(λ)的最小多項式，因此ds(λ)是A的最小多項式，也就是的最小多項式.1.設A=(aj)是一個n級正定矩陣，而α=(xi,X2,….,xn),β=(y在R"中定義內積(α,β)為(1)證明在這個定義之下，R"成一歐氏空間；(2)求單位向量ε?=(1,0,….,0),E?=(0,1,.….,0),…,En=(0,0,…,1)的度量矩陣；(3)具體寫出這個空間中的柯西-布涅柯夫斯基不等式.證明：(1)①(a,β)=αAβ'=(aAβ')'=βA'α'②(ka,β)=(kα)Aβ'