考研真題 《量子力學(xué)教程》（第3版）章節(jié)題庫

第1章波函數(shù)與Schr?dinger方程第2章一維勢場中的粒子第3章力學(xué)量用算符表達第4章力學(xué)量隨時間的演化與對稱性第5章中心力場第6章電磁場中粒子的運動第7章量子力學(xué)的矩陣形式與表象變換第9章力學(xué)量本征值問題的代數(shù)解法第10章微擾論第11章量子躍遷第12章其他近似方法章節(jié)題庫一、填空題1.波函數(shù)的統(tǒng)計解釋是：波函數(shù)在空間某一點處的和在該點擾到粒子的成正【參考答案】強度；幾率2.設(shè)體系的狀態(tài)波函數(shù)為I1,)如在該狀態(tài)下測量力學(xué)是F在確定的值，則力學(xué)量算符曰3.微觀粒子的狀態(tài)由波函數(shù)描述，波函數(shù)一般應(yīng)滿足的三個條件是、o【參考答案】連續(xù)性；有限性；單值性4.玻恩關(guān)于波函數(shù)統(tǒng)計解釋的基本論點是_?！緟⒖即鸢浮课镔|(zhì)的本源是粒子；波動性是指微觀粒子處于某一物理量值的統(tǒng)計幾率5.判別一個物理體系是經(jīng)典體系還是量子體系的基本標準是_o【參考答案】當物理體系的作用量與h相比擬時，該物理體系視為量子體系；當物理體系的作用量遠大于h時，視為經(jīng)典體系6.不確定關(guān)系是微觀粒子性質(zhì)的數(shù)學(xué)表述?！緟⒖即鸢浮坎６笮?.用球坐標表示，粒子波函數(shù)表為。寫出粒子在球殼中被測到【參考答案】8.一粒子的波函數(shù)為I,寫出粒子位于E間的幾率的表達式_o9.一粒子的波函數(shù),則粒子位于間的幾率為o【參考答案】10.(安徽大學(xué)2007—2008學(xué)年第1學(xué)期期末考試試題)用球坐標表示，粒子波函數(shù)表為,寫出粒子在球殼中被測到的幾率【參考答案】11.表示,幾率流密度表示為_o【參考答案】幾率密度；二、判斷題在量子力學(xué)中，粒子在某一點的能量等于動能與勢能之和。【參考答案】錯三、名詞解釋題1.波函數(shù)。答：描述微觀體系的狀態(tài)的一個函數(shù)稱之為波函數(shù)，從這個波函數(shù)可以得出體系的所有性質(zhì)。波函數(shù)一般應(yīng)滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個條件。2.基本量子條件。答：[,x,]=0,[P,p?]=0,[]=氣五、簡答題1.簡述波函數(shù)和它所描寫的粒子之間的關(guān)系。答：微觀粒子的狀態(tài)可用一個波函數(shù)完全描述，從這個波函數(shù)可以得出體系的所有性質(zhì)。波函數(shù)一般應(yīng)滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個條件。微觀粒子的狀態(tài)波函數(shù)出用算符F的本征函數(shù)中展開((F中。=2中。,Fp,=使):則在出態(tài)中測量粒子的力學(xué)量F得到結(jié)果的幾率,得到結(jié)果在2→2+范圍內(nèi)的幾率2.波函是用來描述什么的?它應(yīng)該滿足什么樣的自然條件?()f的物理含義是什么?單值、有限和連續(xù)的。|w(e)f表示在t時刻嚴附近dt體積元中粒子出現(xiàn)的幾率密度。3.在量子力學(xué)中，能不能同時用粒子坐標和動量的確定值來描寫粒子的量子狀態(tài)?答：不能。因為在量子力學(xué)中，粒子具有波料二象性，粒子的坐標和動量不可能同時具有確4.將描寫的體系量子狀態(tài)波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，所描寫的體系量子狀態(tài)是否改變?答：不改變。根據(jù)M.Born對波函數(shù)的統(tǒng)計解釋，描寫體系量子狀態(tài)的波函數(shù)是概率波，由于粒子必定要在空間中的某一點出現(xiàn)，所以粒子在空間各點出現(xiàn)的概率總和等于1,因而粒子在空間各點出現(xiàn)概率只決定于波函數(shù)在空間各點的相對強度。5.歸一化波函數(shù)是否可以含有任意相因子e(6為實常數(shù))?答：可以。因為lP=1,如果f,對整個空間積分等于1,則l°wP對整個空間積分也等于1。即用任意相因子e(6為實常數(shù))去乘以波函數(shù)，既不影響體系的量子狀態(tài)，也不影響波函數(shù)的歸一化。6.波函數(shù)ψ與Kψ、ve"(K、α均為常數(shù))是否描述同一狀態(tài)?Ky、ve描寫的相對概率分布完全相同，描寫的是同一狀態(tài)。7.試比較粒子和波這兩個概念在經(jīng)典物理和量子力學(xué)中的含義。答：對于粒子，共同點是顆粒性，即是具有一定質(zhì)量、電荷等屬性的客體；不同點是經(jīng)典粒子遵循經(jīng)典決定論，沿確定軌道運動，微觀粒子不遵循經(jīng)典決定論，無確定軌道運動。對于波，共同點是遵循波動規(guī)律，具有相干迭加性；不同點是經(jīng)典波是與某個客觀存在的物理量的周期性變化在空間中的傳播相聯(lián)系的量子力學(xué)中的物質(zhì)波不存在這樣的物理量，它只是一種幾率波。8.簡述波函數(shù)的統(tǒng)計解釋。答：波函數(shù)在空間某一點的強度(振幅絕對值的平方)和在該點找到粒子的幾率成正比。1.用測不準關(guān)系估算氫原子的基態(tài)能量。解：氫原子哈密頓,對于基態(tài)，由于球?qū)ΨQ性，哈密頓量可以寫成量可以近似為：基態(tài)時能量極小，對嚴求導(dǎo)有：解得：因此基態(tài)能量約為：2.當前物理前沿的一個重要領(lǐng)域是自旋霍爾效應(yīng)，其中有一類為二維電子氣型系統(tǒng)。該系統(tǒng)的哈密頓量為,其中C是一個系數(shù)，、C代表泡利矩陣。試從該系統(tǒng)的薛定諤方程出發(fā)，導(dǎo)出連續(xù)性方程，并給出相應(yīng)的幾率密度和幾率流密度的表達式。解：哈密頓量寫成矩陣形式：則薛定鍔方程可以寫作如下形式：①②同理，令bx(2)-bx(2)°,,則有：上述兩式相加，得：若設(shè)幾率密度=則有連續(xù)性方程：3.已知氫原子的基態(tài)波函數(shù),求：(1)勢能的平均(2)動能的平均值。解：(1)由波函數(shù)的統(tǒng)計詮釋，勢能平均1。由于勢能和波函數(shù)的中心對稱性，得：(2)由位力定理，2T>=》,,在這里，,2(T)=<-V>。因此，由(1)可知：4.由Schr?dinger方程,導(dǎo)出幾率流密度矢量。解：幾率密度為P(x,t)=y(x,t)y(x,t),p(p.t)=φ(p.t)d(p.t)=P(p-f)這表示在動量空間以速度f傳播的一個波包。下的幾率為R,而在r)下的幾率為R,有人由此斷言在9(r)態(tài)下的幾率必為(R+R)/2,試問這種斷言是否正確，說明理由。解：不正確。對量子態(tài)),出現(xiàn)在空間體積dV內(nèi)的幾率為：10.已知氫原子的基態(tài)波函數(shù)為,求幾率最大處的徑向坐標r。解：在(r?r+dr)的球殼內(nèi)粒子出現(xiàn)的幾率為：所以，幾率最大處的徑向坐標=a。11.設(shè)t=0時，粒子的狀態(tài)均動能。解：由題意可得：求此時粒子的平均動量和平所以，平均動量：動能平均值：而由歸一代條件：12.質(zhì)量為的粒子作一維自由運動，如果粒子處于y(x)=Asin2kx的狀態(tài)上，求其動量P與動能T的取值幾率分布及平均值。解：作一維自由運動粒子的動量與動能算符分別為：顯然，兩者相互對易，有共同完整本征函數(shù)：且滿足pp,(x)=pd,(x),于是有：8表示偏離州的程度。,W表示H的歸一化本征函數(shù)，試證明：E-E>(E?-E)e。14.設(shè)W?(x,t)是Schrodinger方程的解，且當t=0時W:(x,0)滿足正交歸一條件。求證W(x,t)亦滿足正交歸一條件，即證明：15.設(shè)t=0時，粒子的狀態(tài)求此時粒子的平均動量和平均動能。解：粒子波函數(shù)可以化為：動量的可能值為：0,2k,-2k,k,-k。動能的可能值為：0,相應(yīng)的幾率為：滿即相應(yīng)的幾率為5s富富s。,其中所以有：17.一維運動粒子的狀態(tài)是(1)粒子動量的幾率分布函數(shù)。(2)粒子的平均動量。解：先將波函數(shù)歸一化：所以，動量幾率分布函數(shù)為：或者：(奇函數(shù)積分)。18.對一維線性諧振子基態(tài)三，求動量幾率分布。,則：(3)粒子的z分量坐標出現(xiàn)在Z1→Z2范圍內(nèi)，同時動量分量P出現(xiàn)在Pi→P1范圍內(nèi)的幾率。解：(1)W(Z→z:)-[d["dlv()f。21.設(shè)(r.t)和W?(r.t)是薛定諤方程的兩個解，證明：與時間無關(guān)。證明：(r.t)和W?(r.t)是薛定諤方程的兩個解，則：①②以WI左乘②式、V?左乘①式的共軛方程，再相減，有：對全空間積分，得：波函數(shù)在無限遠處迅速趨于0的條件，等式右端為0,所以,即與時間無關(guān)。22.質(zhì)量為m,速度為v,能量為的粒子沿x軸方向運動，其位置測量誤差為△x,設(shè)△t=△x/v,試由測不準關(guān)導(dǎo)出能量與時間的測不準關(guān)23.考慮一維波函,其中A、n、Xo為已知常數(shù)。利用薛定諤方程求位勢V(x)和能量E。對于它們，該波函數(shù)為一本征函數(shù)(已知當，-90)解：(1)定態(tài)薛定諤方程為：①從式①和②中消去Y(x),得：③代回式③,解得：24.一個諧振子處于基,求勢能的平均值及動能T=p2/2m的平均值。(積分公式25.一個質(zhì)量為的粒子在勢V(X)作用下作一維運動。假定它處在態(tài)的能量本征(1)求粒子的平均位置。(2)求粒子的平均動量。(4)求粒子的動量在(4)求粒子的動量在E間的幾率。解：(1)(3)由薛定諤方程：將式②、③代入①,解得：①②③(4)由題意可得：證明：,其中利用了奇函數(shù)的性質(zhì)。滿足不確定關(guān)系得證。28.在t=0時，自由粒子波函數(shù)(1)給出在該態(tài)中粒子動量的可能測得值及相應(yīng)的幾率振幅。(2)求出幾率最大的動量值。(3)求出發(fā)現(xiàn)粒子在湯導(dǎo)÷區(qū)間中的(4)y(x,t)=?(積分形式即可)。解：(1)利用傅里葉變換，可得粒子在動量空間的波函數(shù)為：該態(tài)中粒子動量可能測得值為E,相應(yīng)的幾率振幅為(2)動量幾率最大時，有：29.體系處于一=態(tài)，求：(1)幾率密度(2)幾率流密度解：(1)因為V-V",故：得證。的能量本征30.一個質(zhì)量為m的粒子在勢V(x)作用下作一維運動。假定它處在態(tài)的能量本征(1)求粒子的平均位置。(2)求粒子的平均動量。解：(1)(3)由薛定諤方程：粒子的動量在P→p+dp間的幾率為：31.設(shè)某時刻，粒子處在狀,求此時粒子的平均動量和平均動解：由題意可得：由歸一化條,得：所以有：粒子的平均動量為：粒子的平均動能為：32.求在定態(tài)中，粒子的幾率流密度J及其變化率。解：概率流密度故在定態(tài)一、填空題1.一質(zhì)量為口的粒子在一維無限深方勢阱波函數(shù)為,能級表達式為_o中運動，其狀態(tài)【參考答案】2.粒子在一維6勢阱中運動，波函數(shù)為一日，則一的躍變條件為。若勢阱改為【參考答案】3.如圖3-14所示，有一勢場為：當粒子處于束縛態(tài)時，E的取值范圍為11圖3-14二、名詞解釋題能級簡并、簡并度。答：量子力學(xué)中，把處于不同狀態(tài)、具有相同能量、對應(yīng)同一能級的現(xiàn)象稱為能級簡并。把對應(yīng)于同一能級的不同狀態(tài)數(shù)稱為簡并度。1.放射性指的是束縛在某些原子核中的更小粒子有一定的概率逃逸出來，你認為這與什么量子效應(yīng)有關(guān)?答：與量子隧穿效應(yīng)有關(guān)。2.一個量子體系處于定態(tài)的條件是什么?答：量子體系處于定態(tài)的條件是哈密頓算符不顯含時間或能量取確定值。3.分別說明什么樣的狀態(tài)是束縛態(tài)、簡并態(tài)與負宇稱態(tài)?答：當粒子的坐標趨向無窮遠時，波函數(shù)趨向零，稱之為粒子處于束縛態(tài)。若一個本征值對應(yīng)一個以上的本征態(tài)，則稱該本征值是簡并的，所對應(yīng)的本征態(tài)即為簡并態(tài)，本征態(tài)的個數(shù)就是相應(yīng)的簡并度。將波函數(shù)中的坐標變量改變一個負號，若新波函數(shù)與原波函數(shù)相差一個負號，則稱其為負宇稱態(tài)。答：一個能級對應(yīng)多個相互獨立的能量本征函數(shù)的現(xiàn)象稱為“簡并”;一個能級對應(yīng)的本征函5.什么樣的狀態(tài)是定態(tài)，其性質(zhì)是什么?答：定態(tài)是能量取確定值的狀態(tài)，其性質(zhì)：定態(tài)之下不顯含時間的力學(xué)量的取值幾率和平均值不隨時間改變6.什么是隧道效應(yīng)，并舉例說明。解：粒子的能量小于勢壘高度時仍能貫穿勢壘的現(xiàn)象稱為隧道效應(yīng)，如金屬電子冷發(fā)射和α衰變現(xiàn)象都是隧道效應(yīng)產(chǎn)生的。1.質(zhì)量為m的粒子在無限深勢阱(0<x<a)中運動，處于基態(tài)。寫出能級和波函數(shù)，并計算平均值x、D,2.如圖3-9所示，設(shè)電子以給定的能量自左入射，遇到一個方勢阱(1)求反射系數(shù)和透射系數(shù)。(2)給出發(fā)生共振隧穿的條件。(3)考慮到電子有自旋(自旋向下或向上),你能否借用上面的結(jié)果，設(shè)計一個量子調(diào)控裝置，使反射回來的只有自旋向上的電子而沒有自旋向下的電子?圖3-9解：(1)設(shè)能量為E的粒子從左側(cè)入射，則由薛定鍔方程：其中，考慮波函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)在x=-a和x=a時的連續(xù)性，可以解出：因此透射系數(shù)：(2)當T=1時，出現(xiàn)共振透射，此時=1,k'a-nπ,,n為所有使E>0的正整數(shù)。(3)外加均勻磁場B,則入射自旋向下電子能量,當此能量為共振透射能量時，自旋向下電子全部透射，反射系數(shù)為零。此時有：3.試求質(zhì)量為m的粒子處在長度為L的一維盒子(可看成是無限深勢阱)中，試求他對盒子壁的壓力。解：設(shè)粒子處于第n個本征態(tài)Wn,本征能,因此粒子對盒壁的壓力：4.考慮一維階梯,若能量E的粒子(E>Uo)從左邊入射，試求該階梯勢的反射系數(shù)和透射系數(shù)。解：當x>0時，由薛定鍔方,得：由于粒子從左邊入射，在x>0的區(qū)域只有透射波，故解得波函數(shù)為：=其中C為常數(shù)，當x<0時，由薛定鍔方,同理可得：其中A、B為常數(shù)，利用在x=0處和Y的連續(xù)所以，可得反射系數(shù)：透射系數(shù)為：5.粒子以能量E由左向右對階梯勢入射，求透射系數(shù)。討論如下三種情況：(3)E>0,但由右向左入射。一般解可寫為：,將上述方程簡化為：由波函數(shù)連接條件，有：據(jù)此，可計算出入射波、反射波和透射波的幾率流密度及反射系數(shù)和透射系數(shù)分別為：滿足R+D=1。可見，總能量小于勢壘高度的粒子必全部被反射，但在x<0的區(qū)域找到電子(2)對于E>0情況，寫出分區(qū)薛定諤方程為：(3)對E>0的情況，粒子從右向左入射，仿(2)有：6.質(zhì)量為μ的一維粒子，在勢阱=-內(nèi)運動(α>0),求束縛態(tài)能級和波函數(shù)。7.求電荷為q的一維諧振子在外加均勻電場E中的能級，哈密頓量為每=,,哈密頓量可寫為：在坐標空間有,于是有：與無電場時的哈密頓量相比，相差一常數(shù)，且x、p換為x'、P,對易關(guān)系不變，而這不影響原有的能級，所以：8.一微觀粒子處于M≤a已知該粒子在t=0時刻處于由波函數(shù)：描寫的量子狀態(tài)中，證明在此后任意時刻該粒子能量的期望值必大于該無限高方勢阱的基態(tài)本征能量值。證明：由于[A.A]=0,,故能量是守恒量，因此任意時刻體系的能量本征值保持不變。一維無限深勢阱本征波函數(shù)：而t=0時，粒子處于波函描寫的量子態(tài)中，由傅立葉展開知Y(x)可以寫作：得證。證明：一維δ勢壘中粒子的定態(tài)薛定諤方程為：趨近于零，故不是束縛態(tài)。得證。10.質(zhì)量為“的粒子被約束在半徑為r的圓環(huán)上做一維運動。(1)求粒子的能量本征值和本征函數(shù)，判斷能級是否有簡并。(2)粒子在t=0時刻的歸一波函數(shù),若在t時刻對能量進行測量，求結(jié)果等于第一激發(fā)態(tài)能量的概率。(3)若在圓環(huán)上加入勢壘,求粒子的能量本征值和本征函數(shù)。解：(1)體系的哈密頓量為。設(shè)本征函數(shù)為◎,本征值為，則有：-,。(勝為整數(shù))11.質(zhì)量為m的一個粒子在邊長為a的立方盒子中運動，粒子所受勢能V(x,y,z)由下o(1)列出定態(tài)薛定諤方程，并求系統(tǒng)能量本征值和歸一化波函數(shù)(2)假設(shè)有兩個電子在立方盒子中運動，不考慮電子間相互作用，系統(tǒng)基態(tài)能是多少?并寫出歸一化系基態(tài)波函數(shù)。(提示：電子自旋,是費米子)解：(1)定態(tài)薛定諤方程：武(2)電子是費米子，波函數(shù)應(yīng)是反對稱的：(3)玻色子可占據(jù)相同態(tài)，基態(tài)：ψs(F,臣)-vm(xi,yi,Z)ym(x?,y12.如圖3-10所示，質(zhì)量為m的電子以動能E>V?由左向右入射到高度為Vo(Vo>0)的臺(1)列出定態(tài)薛定諤方程及波函數(shù)導(dǎo)數(shù)ψ'在x=0兩側(cè)的躍變條件.圖3-10解：(1)定態(tài)薛定諤方程：?；啚椋涸趚=0兩側(cè)鄰域積分得13.試判斷下列函數(shù)中的那些所描述的狀態(tài)是定態(tài)?p=|4GF.A2|=k(x)e2+v()e可見，是定態(tài)。(2)同理可知：=μ(x)f[2+--×+e-]-2h(xf[1+co可見，不是定態(tài)。(3)同理可知：可見，不是定態(tài)。14.設(shè)粒子在寬為a的一維無限深勢阱中運動，求基態(tài)動量的平均值和基態(tài)動量平方的平均值。解：在寬為a的一維無限深勢中運動的粒子的波函數(shù)為：因此基態(tài)動量平均值為：基態(tài)動量平方的平均值為：215.質(zhì)量為“的粒子沿x方向以能量E向x=0處勢階運動。,問在x=0處被反射的粒子幾率有多大?解：寫出分區(qū)薛定諤方程為：由x=0處的連續(xù)性條件，可得：從而幾率流密度為：所以，反射幾率：;透射幾率：16.頻率為②的諧振子，初始時刻的狀態(tài)是W(0)=cw。(0)+c?v?(0),寫出體系在t時刻的狀態(tài)，給出能量的平均值。Schr?dinger方程，即：17.質(zhì)量為m的粒子在-a<x<a和-b<y<b的矩形無限深勢阱中運動，求體系的能級和波函數(shù)，并討論簡并存在的條件及簡并度。解：在-a<α<a、-b<y<b以外的其他區(qū)域，由u=知，當-a<x<a-b<y<b時，得Schrodinger方程為：②由①式，,則原萬程可化為：X(x)=Ae+Be-由波函數(shù)連續(xù)性條件X(-a)=X(a)=0,得：e2a-22=2isin2ka=0,(M為正整數(shù))18.質(zhì)量為m的粒子在有限深勢井中運動，自己寫出一個有限深勢場的形式，相應(yīng)的哈密頓量以及波函數(shù)滿足的邊值關(guān)系。解：,相應(yīng)的哈密頓量為：本征函數(shù)，求任意時刻諧振子的波函數(shù)、能量和坐標的平均值。諧振子的遞推關(guān)系：解：由可得：令-曰為一對應(yīng)的能量本征值，則任意時刻之皆振子能量的平均值為：將任意時刻坐標的平均值為：結(jié)可見，任意時刻坐標的平均值為0。20.求在xy平面內(nèi)運動的二維各向同性諧振子的本征函數(shù)和能量本征值。解：該諧振子體系的Hamilton量為：由分離變量法可得：H?X(x)=E,X(x)因為上述兩式都是一維線性諧振子情況，可得：Y(W)=NeH(ay),,n=0,1,2,…21.設(shè)質(zhì)量為m的粒子在下列勢阱中運動：求粒子的能級。解：由題意可列定態(tài)薛定諤方程：①方程①即為一維線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程。由連續(xù)性條件，其波函數(shù)滿足W?(x)=0。而方程①的解為：22.在勢中運動的粒子，處于第n激發(fā)態(tài)，試求：(1)距勢阱內(nèi)左壁寬度處的幾率密度。(2)在該處，量子數(shù)n取何值時幾率密度最大，最大值為多少。解：在0<x<a區(qū)域，定態(tài)薛定諤方程為：①所以，X處iN幾率密度數(shù)為(處在第n激發(fā)態(tài)):(1)所以，距勢阱內(nèi)左壁寬度處即處的幾率密度為：結(jié)合以上兩個條件，n=4m+1(m=0,1,2,…),即n取1,5,9,.…時幾率密度最大，23.有一質(zhì)量為醋的粒子，在如下勢場中運動：試求出束縛能級所滿足的方程。解：當E>V時，四個區(qū)域的波函數(shù)分別為：y?(x)-0,(x)-Asin(kxv:(x)-Bsin(k?x+7),y.(由x-0處波函數(shù)連續(xù)可知：δ-0;由x-b處波函數(shù)連續(xù)可知：Y--k,b。此即E>V%時能量本征值滿足的超越方程。w?(x)-0,w?(x)-Asin(v:(x)-Bexp(ax)+Cexp(-ax),w.由x=b處波函數(shù)連續(xù)條件可知：Bexpbα+Cexp(-ba)=0或者B=-Cexp(-2bα)。Asinka--Cexp(aα-2bα)+CexpAkcoska--Caexp(ax-2bα)-Caexp24.質(zhì)量為“的粒子處于如下的一維位勢中：解：當一時，兩個區(qū)域的波函數(shù)分別為：25.質(zhì)量為□的粒子處于如下一維勢阱中：若已知該粒子在此勢阱中存在一個能量的狀態(tài)，試確定此勢阱的寬度□。Asinka=Bexp(-aa),Akcoska=-Bce(2)若已知t=0時，該粒子狀態(tài)為,求t時刻該粒子的波函態(tài)波函數(shù)為：(3)t時刻測量到粒子的能量為E的幾率是：t時刻測量到粒子的能量為E?的幾率是：(4)平均能量：平均位置：27.一維諧振子在t=0在t時刻的狀態(tài)三及此時刻能量、坐標及動量的平均值。解：由薛定諤方程易知：其中，一維諧振子能級釋，可得：再由波函數(shù)統(tǒng)計詮28.質(zhì)量為m的粒子處在如下一維勢阱中：若已知該粒子在此勢阱中具有一個的本征態(tài)，求此勢阱的寬度a。解：對于的情況，三個區(qū)域中的波函數(shù)分別為：w?(x)=0,v?(x)=Asin(kx+δ),y(x)=Bexp其中，W?(x)=Asin(kx+nπ)=A(-1)"sin(kx)=Asin在x=a處，利用波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件：W?(a)=w?(a),w?(a)=vAsin(ka)=Bexp(-aa),A'kcos(ka)=-Bαexp(-aa)于是有：此時即能量滿足超越方程。當時，由于,因此有：所以，勢阱的寬度為：其中，,如圖3-11所示。圖3-11由波函數(shù)有限性，可知一；同時束縛態(tài)要求E<0。令,所以：由束縛態(tài)條件,有三。再利用x=a處的連續(xù)性條件所以，代入，即為確定束縛態(tài)能級的方程。具體能級可用數(shù)值法或作圖法求解。(2)設(shè)入射波函數(shù)幾率幅為1,求反射波和透射波幾率幅及幾率流密度。(3)求反射系數(shù)和透射系數(shù)。圖3-12解：(1)由題意可知：①(2)首先，利用y(X)在一三連續(xù)的條件W?(0)=V(0),代入①式可得：使用最后，將③代入②得到,因而有：對于定態(tài)),概率流是時間無關(guān)的且等于：對區(qū)域I應(yīng)用①式，有：同樣，對于區(qū)域Ⅱ,有：在區(qū)域I,概率流是兩項之和，,相應(yīng)于從左向右的入射粒子流，而相應(yīng)于反射粒子流(從右向左運動)。注意，在區(qū)域Ⅱ,概率流代表透射波。(3)應(yīng)用反射系數(shù)的定義，則：將③式代入，得到：透射系數(shù)是：31.證明：一維無奇性勢的薛定諤方程的束縛態(tài)無簡并。證明：設(shè)無奇性一維勢=。M、日若對應(yīng)同一能量E,則由薛定諤方程即,所以：32.質(zhì)量為的粒子，在一維無限深勢阱中運動，若三時，粒子處于狀態(tài)上，其中，一為粒子的第7個本征態(tài)。(1)求t-0時能量的可測值與相應(yīng)的取值幾率。(2)求三時的波函數(shù)Y(x,t)及能量的可測值與相應(yīng)的取值幾率。(2)因為哈密頓算符不顯含時間，故>0時的波函數(shù)為：其中，Akcoska=-Bαexp(-aa)此即能量滿足的超越方程。時，由于,故：最后，得到勢阱的寬度：34.求一維無限深勢阱中處于狀態(tài)W(X)的粒子的動量分布概率A(p)f。解：無限深勢阱積分方法1:利用公式有：積分方法2:。利用三角函數(shù)的積化和差公式分別對實部和虛部分別積分。積分方法3:用復(fù)數(shù)積分法。E→Akcos(k+nx)=-Bαexp(-aa)整理可得：39.質(zhì)量為m的粒子在如下一維勢阱中運動(V%>0):若已知該粒子在此勢阱中有一個能量的狀態(tài)，試確定此勢阱的寬度a。解：對于-V?<E<0的情況，三個區(qū)域中的波函數(shù)分別為：v(x)-0,v?(x)-Asin(kx+8),v:(x)-Bex其中，利用波函數(shù)再x-0處的連接條件知，δ-nπ,n=012,…。Akcos(ka+nπ)=-Bαexp于是有：此即能量滿足的超越方程。時，由于,則有：最后得到勢阱的寬度為：40.粒子在一維勢場V(x)中運動，證明：屬于不同能級的束縛態(tài)波函數(shù)互相正交。③(2)求通解。W?=Ae“+A?e",Vπ=Bsin(kx+δ),(3)利用波函數(shù)的標準條件。1)有限性：2)連續(xù)性：,所以有：,所以有：(1)÷(2)得：(3)÷(4)得：(6)由(5)得：n=0±1…兩式相加可得：實際上只有兩組獨立的解，分別對應(yīng)：①當δ=0時，;②。這就是束縛態(tài)能級所滿足的方程。。體系的定態(tài)薛定諤方程為：此為一維線性諧振子的定態(tài)薛定諤方程，其定態(tài)波函數(shù)為：代入得系統(tǒng)的定態(tài)波函數(shù)與能級為：,n=0,1,2,3...44.一粒子在寬度為C的一維無限深勢阱中運動，求其定態(tài)能量和定態(tài)波函數(shù)。的具體形式為：方程可變?yōu)椋焊鶕?jù)波函數(shù)的標準條件確定系數(shù)A、B,由連續(xù)性條件，得：y(0)=0,y(2α)=0=B=0=Asin))?？梢奅是量子化的。對應(yīng)于E的歸一化的定態(tài)波函數(shù)為：第3章力學(xué)量用算符表達一、選擇題值為()。力光【參考答案】BA.Ap/im【參考答案】CA.ACB.CA【參考答案】C1.角動量算符各分量之間滿足的對易關(guān)系為。坐標x和動量-三的對易關(guān)系是_o【參考答案】2.如兩力學(xué)量算符A、有共同本征函數(shù)完全系，則它們滿足對易關(guān)系為【參考答案】03.設(shè)粒子處于態(tài),V為歸一化波函數(shù)，-日為歸一化的球諧函數(shù)，則系數(shù)C的取值為,三的可能值為,三的平均值為-04.角動量算符滿足的對易關(guān)系為,坐標x和動量-三的對易關(guān)系是_o【參考答案】5.量子力學(xué)中的力學(xué)量用算符表示，表示力學(xué)量的算符有組成_的本征函數(shù)?！緟⒖即鸢浮慷蛎埽煌耆?.給出如下對易關(guān)系：【參考答案】7.量子力學(xué)中，體系的任意態(tài)y(x)可用一組力學(xué)量完全集的共同本征態(tài)V(x)展開，展開式為,展開式系數(shù)_o【參考答案】;【參考答案】(1)-1;(2)2x9.一維運動中，哈密頓量,求【參考答案】【參考答案】①③⑤P11.已知體系的哈密頓算符為,下列算符：①x;②y;③x;④【參考答案】③④⑤12.量子力學(xué)中的力學(xué)量用算符來表示，量子力學(xué)中的力學(xué)量算符的矩陣是【參考答案】厄米；厄米13.正交歸一性表示為,如果算符F是厄米算符，則它滿足_o14.如果算符F表示力學(xué)量F,那么當體系處于F的本征態(tài)時，力學(xué)量F有_。這個【參考答案】確定值；本征值【參考答案】iAL?;0【參考答案】語；0;AL?;0;0三、判斷題【參考答案】錯3.在任意態(tài)中，力學(xué)量x和x必定滿足下述關(guān)系式：【參考答案】對四、簡答題1.量子力學(xué)中的可觀測量算符為什么應(yīng)為厄米算符?答：實驗上可以觀測的力學(xué)量的平均值必須為實數(shù)，而體系在任何量子態(tài)下平均值為實數(shù)的算符必為厄米算符，因此這要求可觀測量算符應(yīng)為厄米算符。2.寫出測不準關(guān)系，并簡要說明其物理含義。答：測不準關(guān)系。物理含義：若兩個力學(xué)量不對易，則它們不可能同時有確定的測值。3.如果算符F表示力學(xué)量F,那么當體系處于F的本征態(tài)Y時，問該力學(xué)量是否有確定的答：是，其確定值就是F在本征態(tài)的本征值。4.如果一組算符有共同的本征函數(shù)，且這些共同的本征函數(shù)組成完全系，問這組算符中的任何一個是否和其余的算符對易?=……,則對任意波函數(shù)Y,有：可見，這組算符中的任何一個均和其余的算符對易。5.以能量這個力學(xué)量為例，簡要說明能量算符和能量之間的關(guān)系。答：在量子力學(xué)中，能量E用算符H表示，當體系處于某個能量En的本征態(tài)000時，算符A對態(tài)串的作用是得到這一本征值，即：高熏=;當體系處于一般態(tài)出時，算符H對態(tài)的作用是得到體系取不同能量本征值的幾率幅(從而就得到了相應(yīng)幾率),即：6.非相對論量子力學(xué)的理論體系建立在一些基本假設(shè)的基礎(chǔ)上，試舉出二個以上這樣的基本假設(shè)，并簡述之。答：(1)微觀體系的狀態(tài)被一個波函數(shù)完全描述，從這個波函數(shù)可以得出體系的所有性質(zhì)。波函數(shù)一般應(yīng)滿足連續(xù)性、有限性和單值性三個條件。(2)力學(xué)量用厄密算符表示。如果在經(jīng)典力學(xué)中有相應(yīng)的力學(xué)量，則在量子力學(xué)中表示這個力學(xué)量的算符，由經(jīng)典表示式中將動量p換為算符-iA?得出。表示力學(xué)量的算符組成完全系的本征函數(shù)。(3)將體系的狀態(tài)波函數(shù)出用算符F的本征函數(shù)中展開：則在平態(tài)中測量力學(xué)量得到結(jié)果為的幾率是P,得到結(jié)果在2→2+di范圍內(nèi)的幾率是k?Pdz。(4)體系的狀態(tài)波函數(shù)滿足薛定諤方程：,其中H是體系的哈密頓算符。(5)在全同粒子所組成的體系中，兩全同粒子相互調(diào)換不改變體系的狀態(tài)(全同性原理)。以上選三個作為參考答案。7.坐標X分量算符與動量X分量算符P的對易關(guān)系是什么?并寫出兩者滿足的測不準關(guān)系。答：對易關(guān)系為[x,P.]-,,測不準關(guān)系8.厄米算符F的本征值人與本征矢|)分別具有什么性質(zhì)?算符?何為幺正算符?答：滿足關(guān)系式(a)的為厄密算符，滿足關(guān)系式(b)的為幺正算符。10.證明厄密算符的本征值是實數(shù)。量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符是不是都是厄密算符?11.相互不對易的力學(xué)量是否一定沒有共同的本征態(tài)?試舉例加以說明。答：相互不對易的力學(xué)量可以有共同的本征態(tài)。例如：L、L、L?相互不對易，但就是它們的共同本征態(tài)，本征值皆為0。12.簡述能量的測不準關(guān)系。答：能量測不準關(guān)系的數(shù)學(xué)表示式智，即微觀粒子的能量與時間不可能同時進行準確的測量，其中一項測量的越精確，另一項的不確定程度越大。13.簡述測不準關(guān)系的主要內(nèi)容，并寫出坐標X和動量之間的測不準關(guān)系。名丨心名丨心=P,z]P+p,[z,p]x=ih(p-,計算對易式[A,B]。解：由題意可知：4.為球坐標系中的徑向位置算符，證明其為厄米算符。證明：在三維球坐標表象下，對任意量子態(tài),有,因此其為厄米算符。5.設(shè)口、目、4曰和-三分別是某微觀粒子沿x和y方向的坐標和動量算符，下面的四個算符有哪幾個是厄米算符，給出理由。解：(1)不是。(2)是。(3)是。(4)不是。7.歸一化量子態(tài)-三相應(yīng)的密度算符為,證明三為厄米算符，并求其本征值及本征態(tài)。設(shè)P的本征值為2,本征矢為l0》,則有：=不防取l?-),z-1。此時P的本征值為2-1,本征矢為|>。得證。10.證明任何一個算符F都可以寫成F=A+iB,其中A和B都是厄米算符，寫出A和B用F表示的形式。證明：令12.一剛性轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)動慣量為I,它的能量的經(jīng)典表示式是L為角動量。求因此對應(yīng)的量子體系在下列情況下的定態(tài)能量和波函數(shù)：(1)轉(zhuǎn)子繞一固定的軸轉(zhuǎn)動。(2)轉(zhuǎn)子繞一固定點轉(zhuǎn)動。解：(1)設(shè)該固定軸沿z軸方向，則有：L2=L。哈米頓算符：設(shè)波函數(shù)為9(φ),則本征方程為Ao(0)=Ed(0),即：取其解為：=(m可正可負可為0)。轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量：由歸一化條件：所以，轉(zhuǎn)子的歸一化波函數(shù)為：(2)取固定點為坐標原點，則轉(zhuǎn)子的哈米頓算符為：。此即為角動量三的本征方程，其本征值為：其波函數(shù)為球函數(shù)：所以，轉(zhuǎn)子的定態(tài)能量為：能量分立且為21+1重簡并。13.證明：證明：因為,則有：14.設(shè)厄米特算符H的本征矢為|),-三構(gòu)成正交歸一完備系，定義一個算符(1)計算對易子(3)計算跡E,其中，算符F的跡定義為(4)若算符日的矩陣元為E,證明：解：(1)對于任意一個態(tài)矢M〉,有：因此有：oo(3)算符的跡為：15.體系的三維空間是由三個相互正交的態(tài)矢和一三構(gòu)成的，以其為基矢地兩個算符-曰和的矩陣形式如下：其中，4=為實常數(shù)。證明算符-口和-口是厄米特算符，并且兩者相互對易，進而求出它們的共同本征函數(shù)。解：由厄米特算符的定義知，厄米特算符-三滿足1,或者1。題中所給出的哈密頓算符H和力學(xué)量算符日皆為實對稱矩陣，故它們都是厄米特算符。,所以有：設(shè)-=滿足的本征方程為：=其中，=E,能量具有二度簡并。由于簡并的存在，僅由算符H不能惟一確定，與的當==時，波函數(shù)一無法惟一確定，它們的矩陣形式是一樣的，為簡潔計，當B?=-b時，重復(fù)上面的求解過程，可以得到：綜上所述，算符H與B的本征值都是二度簡并的，本征函數(shù)皆不能惟一確定，但因為它們相互對易，所以有共同完備本征函數(shù)系，它們的共同本征函數(shù)是惟一確定的，用公式表示如16.某量子體系的能量算符為,(2),證明：證明再再(2)若F和G對易，且F和G的本征值都沒有簡并，先設(shè)F有完備的本征函數(shù)系{Wm},由FG=GF有：G上式表明，是算符F18.設(shè)f(F)是只與空間坐標有關(guān)的力學(xué)量，證明：證明：考慮一維情況，由動量算符的定義：進而得到：由另外兩個分量也可以得到類似的結(jié)果，故得證。所以有：證明：L2與L?算符的共同本征態(tài)為Y(θ,0),平均值：21.對于用哈密頓算符描寫的一維物理體系。證明：(1)解：(1)Aq=4-4,4p=-P,[a.門=?D-p=流。I(4)-j(GAqv-14v)LE(Aqv)°+1(Ap≤√2mE25.證明：(1)若一個算符與角動量算符的兩個分量對易，則其必與的另一個分量對易。JJ證明：(1)設(shè)算符F與角動量算符J與皆對易，即,1=是]=0,則：動量算符皆對易，則算符F必與對易，于是，問題得證。27.設(shè)體系處在=2帶狀態(tài)中，9、C?為常數(shù)。ww)=((zI+(Y?/?(z)+c?IY?))求H的本征值和相應(yīng)的本征矢。久期方程,即(2b-E)(E2-b2)=0,解得：解：(1)[x.L.]=-ity。30.已知厄米算符A、B互相反對易：{A,B}=AB+BA=0;|b)是算符B的本征態(tài)：D|07=7,本征值b-0。求在態(tài)l中，算符A的平均值。解：因為{A,B}=AB+BA=0,所以有：0=<b|{A,B}|b)=(b|AB|b)+(b|BA但b=0,從而有：31.一維運動中，哈密頓量,32.證明厄米算符平方的對角元是非負的。證明：對于厄米算符A,其平方的對角元為：(2)若t-0時，子處于fi,它在A。表象中的表示。試求出t>0時的粒子波函數(shù)。(3)繪出粒子在f?態(tài)的幾率隨t的變化(以A/△E為單位)。解：(1)哈密頓量H本征值E滿足,所以E=E,±△E。E=E,+AE,對應(yīng)本征E-E,-AE,對應(yīng)本征(2)利用前面的結(jié),故：,如圖4-2所示。圖4-234.設(shè)力學(xué)量算符(厄米算符)F,G不對易，令,試證明：(1)4三的本征值是實數(shù)。(2)對于F的任何本征態(tài)三，的平均值為0。(3)在任何態(tài)中證明：(1)三是厄米算符，所以其本征值必為實數(shù)。(3)易知：35.任意角動量算符滿足]×j-濤。證明：在任意的兩個狀態(tài)與l之下，投影算符P的矩陣元為：而投影算符P的共軛算符的矩陣元為：f(x)D?(a)V(x)=f(x)P(x-a)=D。、都不相等,試證當=時,40.已知t?=L±試。,試證：[L2.L.]=0。41.設(shè)為算符屬于本征值的本征函數(shù)，且k=AB,-=1,試證：Bφ是算證明：Bo=ABBφ=(1+BAB?=(a+1)BP,所以，B?是屬于本征值λ+1的本征(3),故的本征函數(shù)，本征值為-1。,的本征函數(shù)，本征值是-1。=jGuFudz-JRGidr=?FuGdz(2)juitFG-GFudz-iju(FG-GF)udr,,上面已證明：=?u-(FG-GF)hidr=?ui(FG滿足厄米算符的定義，故i(FG-GF)是厄米算符。是厄米算符。是厄米算符。第4章力學(xué)量隨時間的演化與對稱性一、選擇題考慮N個無相互作用的玻色子處在一維無限深勢阱中，粒子質(zhì)量為m,勢阱范圍為D.A2π2N/4ma2【參考答案】E二、填空題1.費米子組成的全同粒子體系的波函數(shù)具有,玻色子組成的全同粒子體系的波函數(shù)具有o【參考答案】對稱性；反對稱性2.自旋為的微觀粒子稱為費米子，它們所組成的全同粒子體系的波函數(shù)具有自旋為的微觀粒子稱為玻色子，它們所組成的全同粒子體系的波函數(shù)具有-0【參考答案】的奇數(shù)倍；反對稱變換；0或1的整數(shù)倍；對稱變換3.稱等固有性質(zhì)完全相同的微觀粒子為_o參考答案：質(zhì)量；電荷；自旋；全同粒子三、判斷題若力學(xué)量算符F不顯含時間，則力學(xué)量口必為運動恒量?！緟⒖即鸢浮垮e1.能級的簡并度指的是什么?2.描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)有何特點?六、綜合分析題1.定點轉(zhuǎn)子的狀態(tài)可以用哪兩個物理量的本征函數(shù)描述，這種描述是否唯一，還可以有什解：剛體定點轉(zhuǎn)動時,可得：可知守恒量有2.設(shè)粒子在一維勢場=中運動，其中a是常數(shù)，n是自然數(shù)，證明：對于束縛態(tài)3.利用角動量之間的對易關(guān)系，證明在-三的本征態(tài)一E中算符-曰和-曰和平均值證明：假設(shè)-二是Jz的本征態(tài)，相應(yīng)的本征值是-日，4.粒子在勢場V(x)中運動并處于束縛定態(tài)W(x),中。試證明粒子所受勢場作用力的平均值證明：粒子所受勢場作用的力算符F為：5.對于處于勢場2中的一維粒子，證明在其基態(tài)下的動能和勢能的平均因此,得證。6.粒子在勢場中運動，寫出定態(tài)能量E,并指出以下力學(xué)量中，哪些是守恒量：能量E,動量=軌道角動量L、L、L:,,宇稱Ⅱ。7.作一維運動的粒子，當哈密頓算符為時，能級是日，如果哈密頓算符變(C為實參數(shù)),求變化后的能級-目。解：視以為參變量，則有：利用費曼—海爾曼定理可知：。在任何束縛態(tài)|n)下，均有：進而得到能量本征值滿足的微分方程：對上式作積分，得到：最后，得到A的本征值為：8.給定總能量算符—,用En、Wa表示其本征值和本征函數(shù)。態(tài)矢量-三簡記為曰。按照海森伯運動方程，力學(xué)量算符三的時間變化率算符為,,(1)若定義能量表象中矩陣元,證明：(2),證明求和規(guī)則：先計算對易矩陣：不用H的顯式，直接對易式定義將后一對易式展開：這兩種形式算符相等效：求能量本征態(tài)出、出所對應(yīng)的上述算符的矩陣元。在計算過程中，凡是兩個以上的算符乘積的矩陣元都用每一算符的矩陣元的項表示，此外矩陣元也用簡寫的代表文字如：將求和指標全部寫成p,前式成為：9.設(shè)一粒子在一維空間運動，其哈密頓量為：證明：由Ehrenfest關(guān)系，對于不顯與經(jīng)典運動方程相同，得證。(1)任何不顯含時間的力學(xué)量的平均值不隨時間變化。(2)任何不顯含時間的力學(xué)量取各種可能測量值的幾率不隨時間變化。證明：(1)由題意可知：A(t)=(w(t).Ay(t))Hy=E?V,Aw=AW,a(t)=(w.,y(t))在Y(1)態(tài)下，在t時刻測量A得Ak的幾率為|a?)2,而：11.設(shè)力學(xué)量A不顯含時間t,證明在束縛定態(tài)下，因A不顯含時間t,所,因而有：一、選擇題類氫原子問題中，設(shè)原子核帶正電核為Ze,a0為原子的波爾半徑，對處于基態(tài)的電子，其出現(xiàn)幾率最大的徑向坐標位置是()。1.描述微觀粒子運動狀態(tài)的量子數(shù)有_;具有相同n的量子態(tài)，最多可以容納的電子【參考答案】主；角；磁；1,2,3,.….;0,1,2,.….,n-1;l,I-1,…,-l+1,-1三、簡答題1.現(xiàn)有三種能級,E"cn2,E黑n,請分別指出他們對應(yīng)的是哪些系統(tǒng)。2.有人說“在只考慮庫侖勢場情況下，氫原子原有本征態(tài)都存在實的軌道波函數(shù)”,你是否同意這種說法，簡述理由。答：不同意。因為Vm=R(r)Y_(θ,0),R(r)R(")為實函數(shù)，但Y(θ.0)可以為復(fù)函數(shù)。1.已知氫原子的基態(tài)波函數(shù)(1)求氫原子的最可幾半徑(即徑向幾率密度取最大值的值)。(2)求氫原子的平均半徑(即P得平均值)。解：(1)基態(tài)時，在?→r+dr范圍內(nèi)測量到電子的概率為：徑向幾率密度為：率密度取極大值，,因此0為最可幾半徑。(2)氫原子平均半徑：2.試求的能級。你覺得能級簡并度有什么特點?提示：二維各向同性諧振子可用極坐標求解，能級為徑向量子數(shù)，m為磁量子數(shù)。E=(2n+m+m+1)to。,v=()=H(ay)exp(-α2y2/2)(1)由位力定理可得：(2)當把角動量部分分離后，類氫原子的的等效一維哈氏量為：利用Feynman-Hellmann定理(3)對一維等效定態(tài)方程：,,兩邊作用以一三，利用關(guān)系,可5.一個質(zhì)量為m的粒子被限制在r=a和r=b的兩個不可穿透的同心球面之間運動。不存在解：波函數(shù)可設(shè)為,,則u(r)滿足約化徑向方程對于基態(tài)l=0,則方程變?yōu)椋浩?。其通解為u(r)=Asin(kr+δ),a≤r≤b。,n=1,2,..因此基態(tài)能量：又由歸一化條件,得：因此歸一化的徑向波函數(shù)為：又由,最后求得歸一化的總波函數(shù)為：6.寫出氫原子處于3p態(tài)的電子徑向Schrodinger方程，并給出該態(tài)下哈密頓算符H和角動量平方算符曰的本征值。對于3p態(tài)電子，。哈密頓算符本征值角動量平方算符本征值7.質(zhì)量為m的粒子處于二維簡諧振子勢中，分析該粒子能量本征態(tài)的簡并度(或稱退化度)。解：粒子能量本征態(tài)E=E?+E,=ho(n?+n,+),其中，此=2…。因此，n=n+n,簡并度為n+1。8.氫原子處于基,其中a為玻爾半徑。(2)求動量P的大小P的幾率分布W(p)。解：(1)(2)因為基態(tài)空間波函數(shù)球?qū)ΨQ，故其對應(yīng)的動量空間波函數(shù)P)9.求粒子在無限深球方勢阱中運動的S態(tài)(1-0)定態(tài)能量和歸一化波函數(shù)。解得：由波函數(shù)有界性條件，知,因此，。故能級和歸一化波函數(shù)為：10.一體系服從薛定諤方程：(1)指出體系的所有守恒量(不必證明)。(2)求基態(tài)能量和基態(tài)波函數(shù)。解：(1)體系的哈密頓量為：引入質(zhì)心坐標日和相對坐標口：在坐標變換下，體系的哈密頓量變?yōu)椋喝菀椎弥到y(tǒng)的守恒量為(中心力場)。(2)相對運動哈密頓量為：11.設(shè)t=0時氫原子處在態(tài)(1)求體系能量的平均值。(2)任意t時刻波函數(shù)(3)任意t時刻體系處在態(tài)的幾率。(4)任意t時刻體系處在一|態(tài)的幾率。(1)體系能量的平均值為：(2)任意t時刻波函數(shù)為：(3)任意t時刻體系處在I=態(tài)的幾率為1/5。12.考慮在三維各向同性勢下運動的帶電荷+e的粒子，受沿正x方向的電場E的作用，求粒子的定態(tài)能量和波函數(shù)。已知一維線性諧振子對應(yīng)于量子數(shù)n的波函數(shù)為解：由題意可知，其中歸一化因子：,nx,ny,nz=0,1,2,3,...。13.設(shè)一粒子在一有心勢場V(r)中運動，試問守恒的量有哪幾個。(不計自旋)解：在有心勢場V(r)中，哈密頓算符是：而角動量符只和一有關(guān)，與r無關(guān)。因此這些角動量算符與r的函數(shù)對易。因此目與H對易。而哈密頓不含t,所以[A,A]=0,即H也是守恒量。14.已知氫原子處于如下狀態(tài)：求角動量平方和角動量第三分量的可能值及對應(yīng)的幾率。解：由題意可知：所以，據(jù)題中所給狀態(tài)函數(shù)可得角動量平方的可能值為：2A2,0;對應(yīng)的幾率分別為1/3,角動量第三分量的可能值為：h,0;對應(yīng)的幾率分別為1/3,2/3。15.設(shè)氫原子處于 的狀態(tài)上，求其能量、角動量平方及角動量看分量的可能取值與相應(yīng)的取值幾率，進而求出它們的平均值。解：選=三為描述體系的力學(xué)量完全集，氫原子的本征解為：其中，量子數(shù)的取值范圍是：利用歸一化條件求出歸一化常數(shù)為：氫原子的能量只與主量子數(shù)有關(guān)，由題意可知，n的可能取值只有兩個，即—是：角動量量子數(shù)的可能取值只有一個，即曰，故有：16.設(shè)氫原子處于如下狀態(tài)：求氫原子能量、角動量平方及角動量Z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)解：在此能量中，氫原子能量有確定值為：(n=2)。17.已知氫原子處在態(tài)下，求電子出現(xiàn)概率最大的角度方向。18.氫原子的波函數(shù)為,其中，下指標是量(1)該體系能量的平均值。(2)近似計算電子在二=cm之內(nèi)出現(xiàn)的概率。(3)體系處于一日，態(tài)概率。解：(1)體系的能量平均值,由-=正交歸一可得：率:由已(3)t時刻體系的波函數(shù)為：19.氫原子處于狀態(tài)：.。問：氫原子的能量E、角動量平方日、角動量z分量曰，這三個量中哪些量具有確定值?哪些量沒有確定值?有確定值的求出它的確定值；沒有確定值的求出它的可能值及其出現(xiàn)的幾率，并求出其平均值。角動量平方有確定值：角動量子分量沒有確定值。日可能值：,幾率目；面，幾率目。平均值：20.1897年，畢克林(Pickering)在天文觀察時，發(fā)現(xiàn)一個很象巴爾末線系的譜線系，如圖6-1所示，該譜線系具備如下兩個特征：一部分譜線與氫光譜的巴爾末線系幾乎重合，但又不完全重合；一部分譜線介于氫光譜巴爾末線系兩相鄰譜線之間。里德伯將畢克林線系歸結(jié)為類似巴爾末的經(jīng)驗公式：2=2.5,3,3.5,...請說明畢克林線系是由何種元素發(fā)出的，給出定量推斷理由。注：圖中較高的譜線代表巴爾末譜線，較短的譜線代表畢克林譜線，圖中譜線是從n=3開始畫入的圖6-1解：畢克林線系是一=光譜。推斷理由如下：(1)考慮原子核與電子的二體運動，里德伯常數(shù)應(yīng)作如下修正：代入H和He的原子核質(zhì)量，可以計算得到它們里德伯常數(shù)的微小差別，以此解釋He+光譜存在與巴爾末線系靠近的光譜線。(2)由里德伯一般光譜公式：取m=4,Z=2,可以解釋He+光譜的另一部分譜線出現(xiàn)在巴爾末兩相鄰譜線之間的現(xiàn)象。21.氫原子的波函數(shù)(t-0時刻)為。求時刻氫原子的平均能量，具有能量E?的幾率，以及相應(yīng)角動量在Z方向投影為零的幾率。其其中，(E是Bohr半徑，一),為-三態(tài)對應(yīng)的能量。于在一中，有三個能量本征態(tài)，其中-三和-三對應(yīng)于能量E?,故由幾率定義，時;23.設(shè)氫原子處于狀態(tài),求氫原子能量、經(jīng)歸一化,所以當氫原子處于狀態(tài)(1)能量的可能取值為,相應(yīng)幾率為1,平均值為(2)角動量平方的可能取值為B=,相應(yīng)幾率為1,平均值為(3)角動量z分量的可能取值為,相應(yīng)幾率為24.設(shè)氫原子在一時處于狀態(tài)(1)二時氫原子的日、曰和三的取值幾率和平均值。(2)2時體系的波函數(shù)，并給出此時體系的三、三和-目的取值幾率和平均值。,將=向氫原子的本征態(tài)展開。(1)=,不為零的展開系顯然，題中所給的狀態(tài)并未歸一化，容易求出歸一化常數(shù)為于是歸一化的展開系數(shù)1)能量的取值幾率：;平均值為：3)L?的取值幾率為：;平均值：皆為守恒量，所以它們的取值幾率和平均值均不隨時間改變，與t=0時第6章電磁場中粒子的運動一、簡答題1.什么是塞曼效應(yīng)?什么是斯達克效應(yīng)?2.寫出電子在外電磁場中的哈密頓量。1.電子在二維均勻磁場中運動，,試寫出描寫該系統(tǒng)的哈密頓量。解：可取,系統(tǒng)的哈密頓量為：2.質(zhì)量為4,電荷為q的粒子在以電磁勢(目，A)描寫的電磁場內(nèi)運動，哈密頓量為,試求相應(yīng)的守恒流。解：薛定諤方程為,前一方程乘以W,程乘以Y,二者相減可得,后一方由此可得守恒流為：3.處于某種量子環(huán)境下的電子的哈密頓量具有如下形式：其中，m是電子質(zhì)量，=為電子動量算符，算符A且②和B都為實常數(shù)，證明電子角動量算符的z分量為該體系的守恒量。其中，顯然。設(shè)：于是有：利用類似的方法，可得：=-i[Lp]+[PJx)=-2沈y[2,J.]=[V,節(jié)-]=[j2,p]=2/iy第7章量子力學(xué)的矩陣形式與表象變換一、綜合分析題1.一維諧振子在t=0時處于歸一化波函數(shù)所描述的態(tài)中，式中4(x)、A(x)、4(x)均為一維諧振子的歸一化定態(tài)波函數(shù)，求：(1)待定系數(shù)C。(2)t=0時，體系能量的可能取值及相應(yīng)的幾率。(3)t>0時，體系的狀態(tài)波函數(shù)Y(x,t)。(4)t=0與t>0時體系的。(2)能量可能取14都為偶數(shù)，故宇稱為偶。,相應(yīng)的幾率為1/2、1/5、3/10。因為n=0、2、(4)利,有：解：L滿足的本征方程為：5.設(shè)算符,求A的本征值和本征函數(shù)。則有：可得-C?=C?,又IG2+|C?P=1,則有：,則有：,則有：(2)給出從A表象到B表象的變換矩陣。解：(1)令A(yù)的本征值為α,本征態(tài)為，則：Ay=ay,Av=αv=y,d2=1,α=±1同理，B的本征值β=±1,在A表象中，由β2=1得b2=1,b=e°,為任意實數(shù)，取①=0。由B的本征方程,解得：β=1時，0(2)找出一個么正變換矩陣S,將算符一x對角化。解：(1)設(shè)本,本征值為2,則本征方程為: (2)么正變換矩陣：將一交換到自身表象中實現(xiàn)對角化：8.證明幺正變換不改變算符的本征值。證明：設(shè)在某一表象下，一個幺正變換的矩陣表示為S。對任意算符F,其在該表象下的矩陣表示為F,則對其進行幺正變換后的矩陣表示為：=由于相似變換不改變矩陣本征值，故SFS與F本征值相同，因此幺正變換不改變算符本征值。9.試證明，表象經(jīng)幺正變換后，不改變算符本征值。證明：設(shè)警=U為幺正變換，則UFY=UFW=F?UY=UFU+OY=由>=1=N(l)-02(la)-(|X出矩陣A、B。解：根據(jù)定義有：由此式求出B的本征值為0,1。在B表象中，B為對角矩陣，對角矩陣元等于本征值，所以B可以表示為：②則有：⑤⑤由③可得：⑥由式⑤、⑥可得：?？扇?α為實數(shù)),代入②式，即得B表象中A的矩陣表示：⑦由①、⑦表示的A、B已滿足題設(shè)條件。故α可取實數(shù)。令α-0,則：15.力學(xué)量在自身表象中的矩陣表示有何特點?解：力學(xué)量在自身表象中的矩陣是對角的，對角線上為G的本征值。16.已知厄米算符A、B,滿足A2=B2=1,且3÷盛=m,求：解：(1)由于A2=1,所以算符A的本征值是±1,因為在A表象中，算符A的矩陣是對角矩陣，所以，在A表象中算符A的矩陣是：由于B2=1,所以：-令012=e,其中為任意實常數(shù)，得B在A表象中的矩陣表示式為：(2)類似地，可求出在B表象中算符A的矩陣表示為：,,可得：2-±1。對λ=1,有：所以，在B表象中算符A的本征值是±1,本征函數(shù)為：(3)類似地，在A表象中算符B的本征值是±1,本征函數(shù)為：從A表象到B表象的幺正變換矩陣就是將算符B在A表象中的本征函數(shù)按列排成的矩陣，1.稱等固有性質(zhì)的微觀粒子為全同粒子。【參考答案】質(zhì)量；電荷；自旋；完全相同2.對氫原子，不考慮電子的自旋，能級的簡并度為,考慮自旋但不考慮自旋與軌道角動量的耦合時，能級的簡并度為_o【參考答案】n2;2n23.一個電子運動的旋量波函數(shù)為,則表示電子自旋向上、位置在嚴處的幾率密度表達式為,表示電子自旋向下的幾率的表達式為-0【參考答案】電子自旋。答：電子的內(nèi)稟特性之一：(1)在非相對論量子力學(xué)中。電子自旋是作為假定由Uhlenbeck和Goudsmit提出的：每個電子具有自旋角動量S,它在空間任何方向上的投影只能取兩個數(shù)值：;每個電子具有自旋磁矩Ms,它和自旋角動量的關(guān)系式：(2)在相對論量子力學(xué)中，自旋象粒子的其他性質(zhì)—樣包含在波動方程中，不需另作假定。三、簡答題1.請用泡利矩并驗證它們滿足角動量對易關(guān)系。2.寫出由兩個自旋態(tài)矢構(gòu)成的總自旋為0的態(tài)矢和自旋為1的態(tài)矢。答：總自旋為0:總自旋為1:|Ty個>3.寫出泡利矩陣。4.試設(shè)計一實驗，從實驗角度證明電子具有自旋，并對可能觀察到的現(xiàn)象作進一步討論。答：讓電子通過一個均勻磁場，則電子在磁場方向上有上下兩取向，再讓電磁通過一非均勻磁場，則電子分為兩束。5.完全描述電子運動的旋量波函數(shù),試述|。-及分別表示什么樣的物理意義。答：表示電子自旋向下G?=-A/2),位置在嚴處的幾率密度；表示電子自旋向上(G?=A/2)的幾率。6.何謂正常塞曼效應(yīng)?何謂反常塞曼效應(yīng)?何謂斯塔克效應(yīng)?答：在強磁場中，原子發(fā)出的每條光譜線都分裂為三條的現(xiàn)象稱為正常塞曼效應(yīng)。在弱磁場中，原子發(fā)出的每條光譜線都分裂為(2j+1)條(偶數(shù))的現(xiàn)象稱為正常塞曼效應(yīng)。原子置于外電場中，它發(fā)出的光譜線會發(fā)生分裂的現(xiàn)象稱為斯塔克效應(yīng)。7.寫出在表象中的泡利矩陣。8.斯特恩—革拉赫實驗證明了什么?答：(1)半整數(shù)內(nèi)稟角動量在存在。(2)空間量子化的事實。(3)電子自旋磁矩需引入2倍關(guān)系。9.自旋可以在坐標表象中表示嗎?答：自旋是內(nèi)稟角動量，與空間運動無關(guān)，故不能在坐標空間表示出來。10.反常塞曼效應(yīng)的特點，引起的原因。(1)堿金屬原子能級偶數(shù)分裂；(2)光譜線偶數(shù)條；(3)分裂能級間距與能級有關(guān)；(4)由于電子具有自旋。11.電子在位置和自旋S:表象下，波函如何歸一化?解釋各項的幾率意義。表示粒子在(x,y.2)處的幾率密度。12.寫出電子自旋=的二本征值和對應(yīng)的本征態(tài)。解：(1)基態(tài)"=n=0加o非簡并第一2ha二重(2)基態(tài)-n?=0a非簡并(3)基態(tài)馬=n=0o非簡并第二3ha二態(tài)簡并其中，θ和4是球坐標系中的角度坐標，s?=土代表自旋自由度。Y?-(θ,0)是球諧函數(shù)，Z±是自旋算符：的本征態(tài)，(1)若在該狀態(tài)下測量軌道角動量平方算符L2對應(yīng)的力學(xué)量，計算可能得到的測量值以及相應(yīng)的幾率，并計算該力學(xué)量的量子力學(xué)平均值。(2)若在該狀態(tài)下測量軌道角動量的z分量，做與上問相同的計算。(3)若在該狀態(tài)下測量自旋角動量的z分量，做與上兩問相同的計算。(4)定義總角動量的J=L+S,若測量該角動量的平方，做與上面相同的計算。(5)狀態(tài)是否是哈密頓量A=αL.S的本征態(tài)(其中α為常數(shù)),給出理由。解：(1)該狀態(tài)下測量軌道角動量平方算符L2對應(yīng)的力學(xué)量，對應(yīng)的計算式為：由于自旋波函數(shù)不與軌道角動量算符作用，因此：根據(jù)球諧函數(shù)的性質(zhì)，有：因此，,也即可能得到的測量值為2A2,相應(yīng)概率為1。(2)該狀態(tài)下測量軌道角動量z分量，類似前面的計算過程，有：根據(jù)球諧函數(shù)的性質(zhì)，有：于是，有：因此，可能的測量結(jié)果為0和力，相應(yīng)概率分別為(3)該狀態(tài)下測量自旋角動量z分量?,由于坐標空間波函數(shù)不與自旋算符發(fā)生作用，所因此可能的測量結(jié)果為,相應(yīng)概率分別為由角動量升、降算符的定義，可得：故可能的測量結(jié)果、√2h2,,對應(yīng)概率比為2:2√2:1,也即相應(yīng)的概率分別因此，有：3.當前冷原子物理研究非?；钴S。在實驗中，粒子常常是被束縛在諧振子勢中，因此其哈密頓量為