《型曲線積分北工大》課件

型曲線積分北工大PPT課件型曲線積分定義第一型曲線積分設(shè)函數(shù)f(x,y)在曲線L上有定義，L的弧長為s，在L上取分點(diǎn)，并作相應(yīng)的弧長差，則第二型曲線積分設(shè)向量函數(shù)F(x,y)=(P(x,y),Q(x,y))在曲線L上有定義，L的方向向量為t，則型曲線積分的性質(zhì)線性性質(zhì)型曲線積分滿足線性性質(zhì)，即對于任意常數(shù)a和b，以及任意兩個(gè)連續(xù)函數(shù)f和g，有可加性型曲線積分滿足可加性，即對于任意兩個(gè)連續(xù)函數(shù)f和g，以及任意兩段光滑曲線C1和C2，有方向依賴性型曲線積分的方向依賴性是指，若將積分路徑的方向反向，則型曲線積分的值會變?yōu)橄喾磾?shù)。第一型曲線積分的計(jì)算公式參數(shù)方程若曲線L的參數(shù)方程為x=x(t),y=y(t)(a≤t≤b),則有：計(jì)算公式∫Lf(x,y)ds=∫abf(x(t),y(t))√[x'(t)]2+[y'(t)]2dt第一型曲線積分的應(yīng)用弧長計(jì)算第一型曲線積分可用于計(jì)算曲線弧長。面積計(jì)算可用于計(jì)算平面圖形的面積。質(zhì)量計(jì)算可用于計(jì)算曲線或曲面的質(zhì)量。格林公式1聯(lián)系將第一型曲線積分與第二型曲線積分聯(lián)系起來。2簡化簡化曲線積分計(jì)算，將曲線積分轉(zhuǎn)化為二重積分。3應(yīng)用在物理、工程等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用。第二型曲線積分的定義定義設(shè)L是分段光滑曲線，函數(shù)P(x,y)和Q(x,y)在L上連續(xù).積分則稱積分∫L(Pdx+Qdy)為第二型曲線積分.意義第二型曲線積分的意義在于，它可以用來計(jì)算曲線L上的面積、體積、功等.第二型曲線積分的性質(zhì)線性性第二型曲線積分對被積函數(shù)具有線性性。積分路徑可加性積分路徑可以分解成多個(gè)子路徑，積分結(jié)果等于各子路徑積分的和。方向性第二型曲線積分的方向性，積分路徑方向相反，積分值符號相反。第二型曲線積分的計(jì)算公式公式描述∫CPdx+Qdy積分路徑C上的積分，其中P和Q是定義在C上的函數(shù)∫CPdx+Qdy=∫ab[P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t)]dt計(jì)算公式，其中t是參數(shù)第二型曲線積分的應(yīng)用流體動(dòng)力學(xué)計(jì)算流體在特定路徑上的流動(dòng)功。力學(xué)計(jì)算力沿著曲線路徑所做的功。電磁學(xué)計(jì)算電場或磁場沿著曲線路徑的積分。第一型與第二型曲線積分的聯(lián)系定義第一型曲線積分定義為沿曲線積分函數(shù)值乘以弧長，第二型曲線積分定義為沿曲線積分函數(shù)值乘以切向量投影長度。計(jì)算第一型曲線積分可通過參數(shù)方程計(jì)算，第二型曲線積分可通過Green公式轉(zhuǎn)化為第一型曲線積分。第三型曲線積分的定義曲線積分類型第三型曲線積分是另一種重要的曲線積分類型，它通常用于計(jì)算曲線的長度或曲面面積.積分定義定義:設(shè)L是空間曲線，f(x,y,z)是L上的連續(xù)函數(shù)，則第三型曲線積分是指將函數(shù)f(x,y,z)沿曲線L積分，其結(jié)果是一個(gè)數(shù)值.第三型曲線積分的性質(zhì)1線性對于同一曲線，第三型曲線積分對被積函數(shù)具有線性性質(zhì)。2可加性如果曲線C是由曲線C1和C2拼接而成，則第三型曲線積分可以分解為對C1和C2的積分。3與路徑無關(guān)對于保守向量場，第三型曲線積分與積分路徑無關(guān)，只與曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)。第三型曲線積分的計(jì)算公式1參數(shù)方程用參數(shù)方程表示曲線，求出參數(shù)的積分上限和下限2被積函數(shù)將被積函數(shù)代入?yún)?shù)方程，轉(zhuǎn)換為參數(shù)形式3微元將曲線微元ds用參數(shù)表示第三型曲線積分的應(yīng)用計(jì)算面積第三型曲線積分可以用來計(jì)算曲面的面積。計(jì)算流量在流體力學(xué)中，第三型曲線積分可以用來計(jì)算流體的流量。計(jì)算重心第三型曲線積分可以用來計(jì)算物體的重心。型曲線積分的廣義定義廣義定義型曲線積分的廣義定義是對于曲線積分的一種擴(kuò)展，它可以處理更一般的曲線，包括非光滑曲線和閉合曲線。應(yīng)用廣義定義在處理更復(fù)雜的物理和工程問題時(shí)更為實(shí)用，例如計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)中的壓力和流速。型曲線積分的直角坐標(biāo)系下的計(jì)算1參數(shù)方程將曲線方程用參數(shù)方程表示2積分變量替換將積分變量替換為參數(shù)3求解定積分利用微積分知識求解定積分極坐標(biāo)系下的型曲線積分1曲線方程極坐標(biāo)系下，曲線方程可以用ρ=ρ(θ)表示2積分變量積分變量為θ，積分區(qū)間為曲線在極坐標(biāo)系下的參數(shù)方程的θ取值范圍3計(jì)算公式根據(jù)曲線的參數(shù)方程，將積分變量替換成θ，并用極坐標(biāo)系下的面積元素dρdθ替換原來的面積元素dxdy切線坐標(biāo)系下的型曲線積分1參數(shù)方程曲線可以用參數(shù)方程表示2切向量曲線切線方向由切向量決定3積分變量積分變量為參數(shù)第一型曲線積分的應(yīng)用實(shí)例計(jì)算曲線長度，例如計(jì)算圓周長，可以用第一型曲線積分進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算曲面面積，例如計(jì)算曲面旋轉(zhuǎn)體表面積，可以用第一型曲線積分進(jìn)行計(jì)算。計(jì)算力學(xué)中的功，例如計(jì)算恒力做功，可以用第一型曲線積分進(jìn)行計(jì)算。第二型曲線積分的應(yīng)用實(shí)例第二型曲線積分在物理學(xué)和工程學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。例如，在計(jì)算流體力學(xué)中，我們可以使用第二型曲線積分來計(jì)算流體的質(zhì)量流量。在電磁學(xué)中，第二型曲線積分可以用來計(jì)算電場的環(huán)路積分。此外，第二型曲線積分還可以用來計(jì)算曲面的面積、曲線的長度以及曲線的曲率。這些應(yīng)用表明，第二型曲線積分是一個(gè)非常強(qiáng)大的工具，可以用來解決各種問題。第三型曲線積分的應(yīng)用實(shí)例例如，在計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)中的流體流過曲面的流量時(shí)，可以使用第三型曲線積分來計(jì)算流體在曲線上的流量。在電磁學(xué)中，可以使用第三型曲線積分來計(jì)算電場或磁場在曲線上的線積分，從而計(jì)算電場或磁場對電荷或電流的作用力。幾何意義和物理意義面積第一型曲線積分可以用來計(jì)算平面圖形的面積.體積第二型曲線積分可以用來計(jì)算旋轉(zhuǎn)曲面的體積.功第二型曲線積分可以用來計(jì)算力場中物體沿曲線運(yùn)動(dòng)所做的功.作業(yè)演練題1求曲線y=x2從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,1)的第一型曲線積分∫cy2ds。該積分表示曲線y=x2上從點(diǎn)(0,0)到點(diǎn)(1,1)的弧長上的面積?？梢酝ㄟ^參數(shù)方程和積分公式來計(jì)算。作業(yè)演練題2計(jì)算曲線積分∫C(x2+y2)ds，其中C為圓周x2+y2=1上從點(diǎn)(1,0)到點(diǎn)(0,1)的弧線。作業(yè)演練題3計(jì)算曲線積分計(jì)算積分路徑為從(0,0)到(1,1)的直線段上的曲線積分。積分路徑變換將積分路徑變換為從(0,0)到(1,0)再到(1,1)的兩條直線段，并計(jì)算積分。格林公式驗(yàn)證使用格林公式驗(yàn)證上述兩種積分路徑的積分結(jié)果。作業(yè)演練題4設(shè)C是由曲線y=x2,x=1,y=0所圍成的曲線，計(jì)算曲線積分∫C(x2+y2)ds.作業(yè)演練題5計(jì)算下列曲線積分其中C為半徑為1的圓周總結(jié)及問題討論型曲線積分我們學(xué)習(xí)了型曲線積分的基本概念，以及它們在微