2024年中考數(shù)學(xué)小題速練一2填空題【06圓】

2024屆中考數(shù)學(xué)填空題速練（含解析）

06圓

01已知。。的半徑為3cm,圓心。到直線/的距離是2cm.則直線/與。0的位置關(guān)系是_____.

已知在中，AB=AC,交=10,cotB=^,如果頂點C在。8內(nèi)，頂點Z在。8外，那么

的半徑，的取值范圍是___.

03如圖，在平面直角坐標系中，點力的坐標為（-2,0）,點B在y軸正半軸上，以點B為圓心，8A長為半

徑作弧，交》軸正半軸于點C,則點C的坐標為.

04如圖，48、C是。。上的點，OC_L48,垂足為點。，且。為OC的中點，若。力=7,則8c的

長為.

05如圖，在中，/氏4c點。在邊47上，以。為圓心，4為半徑的圓恰好過點C,且與邊

至相切于點2交交于點￡則劣弧況的長是_______（結(jié)果保留兀）

A

D

05《墨子?天義志》記載：-執(zhí)規(guī)矩，以度天下之月圓度月知圓，感悟數(shù)學(xué)之美.如圖，正月形

A8C0的面積為4,以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形4e若A夕:/18=

2：i,則四邊形力'夕的外接圓的周長為.

07如圖，在矩形4鳳?。中，/19=6,BC=8,點、M、N分別是邊AD、"的中點，某一時刻，動點E從點

M出發(fā)，沿MA方向以每秒2個單位長度的速度向點4勻速運動；同時，動點F從點N出發(fā)，沿NC方

向以每秒1個單位長度的速度向點C勻速運動，其中一點運動到矩形頂點時，兩點同時停止運動，

連接EF,過點8作EF的垂線，垂足為H.在這一運動過程中，點H所經(jīng)過的路徑長是—.

03半圓0的直徑AB=9,兩弦AB、CD相交于點E,弦CD二超,且BD=7,則DE=

09如圖，。。的半徑是4,是。。的直徑，。是衿的中點，連接力。則圖中陰影部分的面積是

（結(jié)果保留n）.

10如圖，在邊長為1的正方形網(wǎng)格中，。。是△/比?的外接圓，點4B,。在格點上，則

cos乙力的值是_______.

11如圖，在O。中，力8是。。的直徑，AB=2V3,AD=BC,AD,交交于點￡點。為品?的中

點，點G為平面內(nèi)一動點且BG1EG,則ZG的最小值為.

4/\

O

CEB

12如圖，一次函數(shù)尸(a>0)的圖像與坐標軸交于48兩點，以坐標原點。為圓心，半徑

為2的。。與直線力8相離，則a的取值范圍是

13如圖，矩形"CD中，AB=U,/ID=4,。。分別與邊4D,AB,C。相切，點而，A/分別在

AB.CD上,CN=1,將四邊形8CNM沿著MN翻折，使點&C分別落在夕、U處，若射線Me恰

好與O。相切，切點為G,則線段MB的長為

14如圖，。。的直徑48的長為8,戶是腦上一動點，乙4Ps的角平分線交。。于點。點/為△川PE

的內(nèi)心，連接”，下列結(jié)論：①點。是定點；②PQ的最大值為8；③Q/的長為定值；?AP?BP

的最大值為16.其中正確的結(jié)論是_________(把正確結(jié)論的序號都填上).

15如圖，在矩形498中，BC=8,2正6,經(jīng)過點8和點。的兩個動圓均與2c相切，且與49、

8G/a。。分別交于點G、H、E、F,則仔*的最小值是_______.

15已知。。的半徑和正方形/的邊長均為1,把正方形A8C0放在。。中，使頂點4。落在。。

上，此時點力的位置記為人，如圖L按下列步驟操作：如圖2,將正方形力BCD在。0中繞點力

順時針旋轉(zhuǎn),使點8落到0。上，完成第一次旋轉(zhuǎn)；再繞點8順時針旋轉(zhuǎn)，使點C落到。。上，

完成第二次旋轉(zhuǎn)；……

⑴正方形力BCD每次旋轉(zhuǎn)的度數(shù)為°；

⑵將正方形ABCD連續(xù)旋轉(zhuǎn)6次，在旋轉(zhuǎn)的過程中，點6與4。之間的距離的最小值為

17如圖，在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格中，A048的頂點A,B、。均落在格點上，以點。為圓心

長為半徑的圓交06于點C

(I)線段8c的長等于；

(II)若8。切。。于點。，P為。力上的動點，當8P+0P取得最小值時，請用無刻度的直尺，在如

圖所示的網(wǎng)格中，畫出點P,并簡要說明點D,P的位置是如何找到的(不要求證明).

13如圖所示，將一個半徑。4=10cm,圓心角乙力。8=90。的扇形紙板放置在水平面的一條射線。M

上.在沒有滑動的情況下，將扇形力。8沿射線OM翻滾至OB再次回到OM上時，則半徑(M的中點。

運動的路線長為cm

19在平面直角坐標系xOy中，點A在直線I上，以A為圓心，0A為半徑的圓與y軸的另一個交點為

E.給出如下定義：若線段OE,OA和直線I上分別存在點B,點C和點D,使得四邊形ABCD是

矩形(點A,B,C,D順時針排列)，則稱矩形ABCD為直線I的“位置矩形”.

例如，圖中的矩形ABCD為直線I的"位置矩形”.

備用圖

(1)若點、A(-1,2),四邊形ABCD為直線x=-l的"位置矩形”，則點D的坐標為；

(2)若點A(1,2),求直線y=kx+1(kKO)的“位置矩形”的面積；

(3)若點A(1,-3),直線I的“位置矩形”面積的最大值為,此時點D的坐標

為-.

23在平面直角坐標系％0y中，給出如下定義：若點P在圖形M上，點Q在圖形N上，如果PQ兩點間的

距離有最小值，那么稱這個最小值為圖形M,N的“近距離”，記為d(M,N).特別地，當圖形M與

圖形N有公共點時，d(M,川)=0.

已知A(-4.0),B(0,4),C(4,0),D(0,-4),

（1）d（點A,點C）=d（點A,線段BD）=；

（2）。。半徑為r,

①當「二1時，求。。與正方形ABCD的“近距離”d（00,正方形ABCD）；

②若d（OO,正方形ABCD）=1,則r=.

（3）M為x軸上一點，OM的半徑為1,0M與正方形ABCD的“近距離"d（OM,正方形

ABCD）<1,請直接寫出圓心M的橫坐標m的取值范圍.

答案&解析

01【答案】相交

【分析】根據(jù)圓心O到直線/的距離小于半徑即可判定直線/與。。的位置關(guān)系為相交.

【詳解】解：???圓心。到直線/的距離是2cm,小于。0的半徑為3cm,

二直線/與。。相交.

故答案為：相交.

【點睛】此題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系解

答.若dvr,則直線與圓相交；若4=r,則直線于圓相切；若d>r,則直線與圓相離.

02【答案］ioVr<13##13>r>10

【分析】過點工作比于。，貝1)8。4紀二卜10二5,解應(yīng)△/人?,求出47長，從而求出工8

長,再根據(jù)點與圓的位置關(guān)系求解即可.

【詳解】解：如圖,過點/作ADLBC千D,

￡A

\\、//

\八〉/

、-----V

■：AB^AC,ADLBC,

??.86.=：x10=5,層90°,

,cBD5an55

即—=一

cot8=—AD=—12',1AD12

■■■AD=12,

由勾股定理，#A8=yjAD2+BD2=V122+52=13.

??,頂點。在08內(nèi)，頂點,4在。8外，

???10<r<13.

故答案為：10<r<13.

【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解直角三角形，點與圓的位置關(guān)系，過點力作4XL%?于

D,構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵.

03【答案】（2,0）

【分析】連接8C,先根據(jù)點力的坐標可得04=2,再根據(jù)等腰三角形的判定可得A/BC是等腰三

角形，然后根據(jù)等腰三角形的三線合一可得。。=OA=2,由此即可得出答案.

【詳解】解：如圖，連接BC.

、上

丁點力的坐標為（一2,0）,

OA=2,

由同圓半徑相等得：84=BC,

.?.△ABC是等腰三角形，

vBO1AC.

0C=0A=2（等腰三角形的三線合一），

又：點C位于％軸正半軸，

二點C的坐標為（2,0）,

故答案為：（2,0）.

【點睛】本題考查了同圓半徑相等、等腰三角形的三線合一、點坐標等知識點，熟練掌握等腰三

角形的三線合一是解題關(guān)鍵.

04【答案】7

【分析】根據(jù)垂徑定理可得OC垂直平分48,根據(jù)題意可得平方。C,可得四邊形HOBC是菱

形,進而根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解.

【詳解】解：如圖，連接08,C4,

c

V力、B、。是O。上的點，OC_L/1B,

AD=DB,

???D為。。的中點，

:.OD=DC,

二四邊形A08C是菱形，。4=7,

BC=AO=7.

故答案為：7.

【點睛】本題考查了垂徑定理，菱形的性質(zhì)與判定，掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵.

05【答案】27r

【分析】如圖，連接02OE,證明AB〃0E,可得乙4=乙。。及再證明土COE+/A。。=90。，可

得乙D0E=180°-90°=90。，再利用弧長公式進行計算即可.

【詳解】解：如圖，連接02OE,

OE=OC=4,

/.Z.0EC=Z-OCE,

L

B-------C

???AB=AC,

:.乙B=Z-ACB,

:.乙B=Z.OEC,

AB//OE,

Z.A=乙COE,

??,。0與邊49相切于點。

/.Z.ADO=90°,

AA+^LAOD=90°,

...乙COE+LAOD=90°,

.*?乙DOE=180°-90°=90°,

二度的長=喏=2兀，

故答案為：27r.

【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)，切線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和

定理的應(yīng)用，弧長的計算，求解乙DOE=90。是解本題的關(guān)鍵.

05【答案】4企7T

【分析】根據(jù)正方形工88的面積為4,求出力8=2,根據(jù)位似比求出48'=4,周長即可得出；

【詳解】解：?正方形28CO的面積為4,

???AB=2,

???A'B''.AB=2:1,

???A'B'=4,

:.A'C=V42+42=4V2,

所求周長二4企兀；

故答案為：4V27T.

【點睛】本題考查位似圖形，涉及知識點：正方形的面積，正方形的對角線，圓的周長，解題關(guān)

鍵求出正方形的邊長.

07【答案】務(wù)##粵

【分析】根據(jù)題意知斤在運動中始終與例/V交于點Q且AAQM~AFQN,NQ-.MQ=1:2,點H

在以8。為直徑的mV上運動，運動路徑長為mV的長，求出8Q及打V的圓角，運用弧長公式進行計

算即可得到結(jié)果.

【詳解】解：二?點M、N分別是邊4。、BC的中點,

連接例V,則四邊形49A/例是矩形，

:AM=BN=^AD==4,

根據(jù)題意知所在運動中始終與例V交于點Q如圖,

■-AO//BC.

.MAQM?AFQN,

.NF=NQ_1

''EM~MQ~2

:.NQ*MN=2

當點￡與點力重合時，則A/e*M=2,

:，BF;BN+NF=4+2=6,

:，AB^BF=6

「.△48"是等腰直角三角形，

???，力/8=45。，

'：BPLAF,

"PBF=45°

由題意得，點〃在以8。為直徑的mV上運動，運動路徑長為用V長，取8。中點。連接尸。

NO、

???乙PON-94C、

又乙BNQ=90。，

BQ=y/BN2+NQ2=V42+22=275,

「.ON=OP=OQ=：BQ=V5,

.?.用V的長為陋出二立7r

HJ八iso2

故答案為：爭

【點睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理.圓周角定理，以及弧長等知識,

判斷出點分運動的路徑長為用V長是解答本題的關(guān)鍵.

03［答案］3V2.

【詳解】試題分析：根據(jù)圓周角定理得出的兩組相等的對應(yīng)角，易證得△AEB-aDEC,根據(jù)

CD、AB的長，即可求出兩個三角形的相似比，設(shè)BE=X,貝IJDE=7-X,然后根據(jù)相似比表示出

AE、EC的長，連接BC,首先在RtaBEC中，根據(jù)勾股定理求得BC的表達式，然后在RtZ\ABC

中，由勾股定理求得x的值，進而可求出DE的長.

試題解析：??.△D:4A,￡DCA=ZABD,

?1.AAEB-ADEC；

ECDEDC3

—=—————'

BEAEAB5'

設(shè)BE二x,則DE=7-x,EC=|x,AE二|(7-x)；

Rt^BCE中，BE=x,EC二，則BC=gx；

在RtaABC中，AC=AE+EC=莪x,BC=gx；

由勾股定理，得：ABz=Ad+BC2,

即:92=(y-^X)2+⑨2,

整理,得xJ14x+31=0,

解得：x尸7+3或(不合題意舍去)，X2二7-3夜

貝ijDE=7-x=3V2.

【點睛】1.圓周角定理；2相似三角形的判定與性質(zhì).

09【答案】4n-8##-8+4n

【分析】連接先證明△力是等腰直角三角形，再利用陰影部分的面積二S扇形A。。-S-OD

即可求得答案.

【詳解】解：連接OD,

是腦的中點，4?是。。的直徑,

.1-48=90°,

'：AO=。。=4,

???△49。是等腰直角三角形,

:陰影部分的面積=S&形wo。一S^AOD

907rx421

———--------x4x4

3602

=4TT-8,

故答案為：4兀-8

【點睛】此題考查了不規(guī)則圖形的面積、扇形面積公式、圓心角和弧之間的關(guān)系等知識，把不規(guī)

則圖形的面積轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形的面積是解題的關(guān)鍵.

13【答案】等

【分析】取49中點。，由圖可知，49=6,AD=BD=3,OD=2,由垂徑定理得OZXL/8,則

OB=yJOD2+BD2=V22+32=713,cos乙DOB琛=之二繆，再證乙二LDOB,即可

OB\1313

解

【詳解】解：取力8中點。如圖,

\

由圖可知，力/6,4?=及？=3,OD=2、

■-ODA.AB,

二.40。族90°,

.1.OB=y/OD2+BD2=V22+32=V13,cos乙。。次器=盍=等，

?/OA=O3,

:?/-B0*/-AOB、

V/-AC哈乙AOB,

■■jACB=乙DOB.

cosZ-ACB=cos4。。族哈士

故答案為：警.

【點睛】本題考查勾股定理，垂徑定理.圓周角定理，解直角三角形，取力8中點。得皿ODB

是解題的關(guān)鍵.

11【答案】近-1##-1+近

【分析】連接力0,以緋為直徑作。M,先證明點G在0M上，連接4W,當力例于0M交于點

G時，此時/G最短，再求得的=/￡=缶；=2,CE=\AE=1,貝IJMG=M8=叱=；桀=1,得到

CM=CE+ME=2,由勾股定理得到4%位，即可得到答案.

【詳解】解：連接ZC以85為直徑作OM.

,:BGLEG,

二?人BGE=90°,

「?點G在。M上，

連接4W,當力例于OM交于點G時，此時4s最短，如圖，

O

n…"”

、：AD=BC、

「.Q=阮,

??點。為此的中點，

.?所=6=品,

:,/-CBD=LCBA=乙BAD=LCAD,

■-AE=BE.

,「ZB為。。的直徑，

「?4C8=90。，

■■/-CAD^LBAD+4力80=90°,

■■/-CBD=LCBA=ABAD=4C40=3O°,

???4>%*X2V5=V5,

：-BE=AE=-^-=2.CE=\AE=1,

cos3002

-：MG=MB=ME=\BE=1,

，CM二CE+ME=2、

：.AM=yjAC2+CM2=J（、"）2+22s

.■.AG^AM-MG=>/7-l,

即gG的最小值為近一1,

故答案為：V7-1

【點睛】此題考查了圓周角定理、勾股定理、解直角三角形等知識，作輔助圓是解題的關(guān)鍵.

12【答案】a>V5

【分析】先求出一次函數(shù)與坐標軸的交點48的坐標，再利用勾股定理計算出48=V5a.接著

利用面積法計算出。"二竽Q,然后根據(jù)直線與圓的位苣關(guān)系得到。/2,即當Q>2,于是解不

等式即可得到3的范圍.

【詳解】解：當尸0時，?5+年0,解得產(chǎn)2a則42a,0),

當產(chǎn)0時,y=-^x+a=a,flij^0.a),

在Rt^/18。中，=JQ2+(2Q)2=病&

過。點作。兒L4?于“如圖，

.「。0分別與邊AD,AB,CD相切，AD=4,

，。。的直徑為4,

.-.OE=0G=2.

?AD.A8為。。的切線，

..OHLAD,OELAB,

,.Z=90°.

???四邊形。H4E為矩形，

：OH=OE,

???四邊形。從4E為正方形.

:,AE=AH=OE=2.

???ME,"6為。。的切線，

：.OE1AM,OGLMG,ME=MG.NOME=NOMG.

???四邊形BCNM沿著MN翻折，使點8、。分別落在B'、C，處，

CN=CNr=1,MB=MB',BlC=BC=4,乙BMN=^B'MN.

■：^AMO+LGMO+乙B'MN+乙BMN=180°,

：.Z.OME+Z.B'MN=90°,

■：NF1MG.

.'.Z.FNM+Z.GMN=90°,

：.^OME=乙FNM,

:/.OEM=Z.MFN=90°,

△OEMMFN.

,OE_FM

''ME~'FN'

?..四邊形C'B'MN為直角梯形，NFLB'M,

ANF=B'C=4,B'F=C'N=1,

設(shè)BM=8'M=x,則MF=B'M-8'r=x-l,EM=AB-AE-BM=11-2-x=9-x.

9-X4'

解得：％=5-2e或5+2x/2（不合題意.舍夫）.

:.BM=5-2魚.

故答案為：5-2企.

【點睛】本題主要考查了圓的切線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相

似三角形的判定與性質(zhì)，梯形的性質(zhì)，切線長定理，條件適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

14【答案】①②③

【分析】連接BQM/,由題意易得熊=時，然后可得①，根據(jù)圓中直徑最大可判定②，由內(nèi)心可

知乙P4=ZBA/,然后根據(jù)三角形外角的定義及圓周角定理可進行排除;③，過點夕作PD1AB于

點2進而可得4P?尸最后可得出選項.

【詳解】解：連接BQM/,如圖所示：

多

Q

?.MB為。。的直徑，

Z.APB=90°,

?.Z/P8的角干分線交。。于點。點/為4/PB的內(nèi)心，

AAPQ=乙BPQ=45°,^PAI=乙BAI,

.??代=時，且A/IQB是等腰直角三角形，

-.AQ=BQ=^AB=4V2,即點。是定點，故①正確，

由圓中最長的弦是直徑可知PQ的最大值為8,故②正確；

,.乙Q1A=Z.PA1+/-APQ.LQA1=Z.BAI+Z.QAB,且4Q.48=Z.APQ=45°,

Z.QIA=Z.QAI,

-AQ=QI=4或，即Q/的長為定值，故③正確；

過點戶作PD14B于點D,

■■-S^APB=^APBP=^A3PD.

當BP的值為最大，則AB的值為最大，即PD的值為最大,

?.當PD是半徑時,即為PD=4.

■AP?BP的最大值為4P?BP=8x4=32；故④錯誤；

綜上所述：正確的有①②③；

故答案為①卷③.

【點睛】本題主要考查三角形的內(nèi)心、圓周角定理及等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握三角形

的內(nèi)心、圓周角定理及等接三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵.

15【答案】9.6

【分析】設(shè)GA的中點為。，過。點作0M過8點作垂足分別為儀M根據(jù)

乙/90?？芍?，點。為過8點的圓的圓心，。用為。。的半徑，30+0/1/為直徑，可知

B8OMNBN、故當82大直徑時，直徑的值最小，即直徑劭也最小，同理可得斤的最小值.

【詳解】如圖，設(shè)GH的口點為。過。點作。用過8點作垂足分別為酎、N,

...在。ZX/S。中，BC=B,/a6,

-.AC=>JAB2+BC2=10.

由面積法可知，BN^AC=A3?BC,

解得8g4.8,

.二4金90°,

???點。為過8點的圓的圓心，。例為。。的半徑，例為直徑的長，

又「B80MNBN、

,當班/為直徑時，直徑的值最小，

此時，直徑GN=8/H4.8.

同理可得：礦的最小值為4.8,

故為G片的最小值是9.6.

故答案為：9.6

【點睛】本題考查了切線的性質(zhì)，垂線的性質(zhì)及勾股定理的運用.關(guān)鍵是明確依G4為兩圓的直

徑，根據(jù)題意確定直徑的最小值.

15【答案】(1)30

(2)2-V2

【分析】(1)根據(jù)題意可知△。力。是等邊三角形，每一次旋轉(zhuǎn)可以轉(zhuǎn)化為等邊三角旋轉(zhuǎn)60度，則

正方形各頂點構(gòu)成正六邊形，邊長為1,進而求得每次旋轉(zhuǎn)的角度；

(2)在正方形的旋轉(zhuǎn)過程中，第三次旋轉(zhuǎn)過程中點8與4。之間的距離的最小值為。。的直徑減去

正方形的對角線的長度.

【詳解】(1)解：:。。的半徑和正方形力88的邊長均為1,

。”。是正三角形，

???WAD=60c

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可得正方形各頂點構(gòu)成正六邊形，

???48。/8=120。-90。=30°

即正方形每一次旋轉(zhuǎn)的角度為30。，

故答案為：30.

(2)如圖，8點的運動路徑如圖中%―86部分，

???正方形的邊長為L

二正方形的對角線長為企,

???。。的半徑為L

???最短距離為2-亞

故答案為：2-V2.

【點睛】本題考查了正多邊形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正三角形的性質(zhì)，找到正方形旋

轉(zhuǎn)的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

17【答案】713-3連接力點和8點上一格再左兩格的格點，交。。于。，找到6點關(guān)于。/

的對稱點&連接交"于2

【分析】（I）利用網(wǎng)格根據(jù)勾股定理求出。8的長，再用。B-OC即可求出線段BC的長；

（II）如圖，連接/點和8點上一格再左兩格的格點￡交。。于2找到8點關(guān)于3的對稱點

B,連接8。交。力于2則點。。即為所求.證明△08。和力全等,得出BD是。。的切

線，通過垂徑定理可得點。、。關(guān)于0人的對稱，有最短路徑，可得當8、P、0,三點共線時，BP+

DP=8P+/TP取得最小值.

【詳解】解：（I）.「。力=3,AB=2,OALAB,

OB=y/OA2+AB2=V32+22=V13,

..BC=OB-OC=OB-OA=y113-3

二線段BC的長等于舊-3.

（II）如圖，連接2點和8點上一格再左兩格的格點￡交。。于2找到8點關(guān)于3的對稱點

B,連接8。交。/）于a則點。。即為所求.連接8。交0A于P,點。、P即為所求，

根據(jù)格點的特點，AEL06,

-：oA=oa

???LDOB^LAOB,

SA08。和△OBA中

OD=OA

乙DOB=LAOB,

OB=OB

.-^OBD^AOBA,

；ZODB二乙OAB=90。，ODLOB.

二?BO是。。的切線，

B'是B關(guān)于04的對稱點，

?.BP=B'P,

當8'、P、。三點共線時,8P+0P=8'P+DP取得最小值.

【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖、勾股定理、圓周角定理、軸對稱-最短路徑問題以及垂徑

定理等知識，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對稱性質(zhì).

13【答案】（10兀+警加）

【分析】本題考查了弧長的計算，解題的關(guān)鍵是理解點。經(jīng)過的路線并能正確運用弧長公式進行

計算.仔細觀察點。經(jīng)過的路線可得，點。經(jīng)過的路線可以分為四段，分別求出四段的長，再求

出其和即可.

【詳解】解：連接8P,如圖所示：

為4。的中點，0A=10cm,

P0=5cm,

根據(jù)勾股定理得：BP=y/PO2+BO2=5V5cm,

中點戶經(jīng)過的路線可以分為四段，當筋切射線。M于點8時，0810M,此時Q點繞K動點8轉(zhuǎn)

過了90。，此時點"經(jīng)過的路線長為：

907TX5V55后

=-Cm'

第二段：OB10M到。410M.2點繞動點轉(zhuǎn)動，而這一過程中腦始終與射線0M相切，

.??點尸轉(zhuǎn)動點的連線始終垂直射線0M.

???點尸運動的路線長為神的長，即黑尸=57rcm,

loU

第三段：OB10M到點尸落在射線。M上，點夕繞不動點力轉(zhuǎn)動了90。，此時點"運動的路線長

、，.907TXS5

為-E=”cm,

第四段：。41OM到。8與射線OM重合.點尸繞不動點。轉(zhuǎn)動了90。，此時點夕運動的路線長為：

907rx55

180=-7rcrri

，戶點經(jīng)過的路線總長為：5〃+^兀++苧7T=(10"+苧7T)cm

故答案為：(10兀+苧7T).

19【答案】(1)(-1,0)；⑵V6；(3)5、⑶?2)或(-1,-2).

【分析】(1)只需根據(jù)新定義畫出圖形就可解決問題；

(2)過點A作AF_Ly軸于點F,連接AO、AC,如圖2,根據(jù)點A(1,2)在直線y=kx+l上可求

出k,設(shè)直線y=x+l與y軸相交于點G,易求出OG二1,4FGA二45。，根據(jù)勾股定理可求出AG、

AB、BC的值，從而可求出“位置矩形"ABCD面積；

(3)設(shè)"位置矩形"的一組鄰邊長分別為x、y.則有占夕=10.由(x-y)2=x2+y2-2xy=10-

2xy20可得xy這5,當且僅當x二y時，xy取最大值是5,此時“位置矩形”是正方形，然后分點D

在第四象限(如圖3)和第三象限(如圖4)兩種情況討論，就可解決問題

【詳解】(1)如圖1,

點D的坐標為(-1,0