2024年中考數(shù)學幾何模型24專題專題22 最值之瓜豆原理含解析

2024年中考數(shù)學幾何模型專題22最值之瓜豆原理

一、軌跡之直線

例：如圖，P是直線8C上一動點，連接AP,取AP中點Q,當點尸在BC上運動

時，。點軌跡是？

【分析】當尸點軌跡是直線時，Q點軌跡也是?條直線.

可以這樣理解：分別過人、Q向8C作垂線，垂足分別為M、M在運動過程中，

因為AP=24Q,所以QV始終為AM的一半，即Q點到AC的距離是定值，故。點

秋跡是一條直線.

典例精析

1.（2019?宿遷）如圖，正方形A3C。的邊長為4,E為BC上一點,且AE=1,F為AB邊

上的?個動點，連接EF,以EF為邊向右側作等邊AEFG,連接CG,則CG的最小值為.

2.（2021?新泰市模擬）如圖，長方形ABCZ）中，A8=3,BC=4,E為BC上一點，且BE=1,

F為AB邊上的一個動點，連接EF，將EF繞著點石順時針旋轉(zhuǎn)45。到EG的位置，連接FG

和CG,則CG的最小值為（）

5

c.2V2D.

2

3.（2021?無棣縣模擬）如圖，正方形A8C。的邊長為7,E為BC上一點,且BE=M，F(xiàn)

為AA邊上的一個動點，連接防，以"'為邊向右側作等邊AEPG,連接CG,則CG的最

小值為.

4.（2020?東臺市一模）如圖，已知點A（-3,0）,8（0,3）,以-1,4）,動點P在線段上，

點尸、C、M按逆時針順序排列，且NC尸M=90。，CP=MP,當點尸從點A運動到點B時,

5.（2020?蘭溪市模擬）如圖，乙40笈=30。，">=4,當點C在上運動時，作等腰RuXCDE,

CD=DE,則O,石兩點間距離的最小值為一.

A

E

30=

DB

6.（2020?清江浦區(qū)一模）如圖，正方形A8C￡＞的邊長為2,E為BC上一點、,且應：=1,F

為4"邊上的一個動點，連接痔，以防為底向右側作等腰直角AEPG,連接CG,貝JCG

的最小值為一.

7.（202（）?市中區(qū)一模）如圖，正方形A8CD的邊長為8,石為8c的四等分點（靠近點8的

位置），尸為3邊上的一人動點，連接EF,以叮為邊向右側作等邊AEFG,連接CG,則

CG的最小值為.

8.（2020?祁江區(qū)校級一模）如圖，菱形A6CD的邊長為4,ZB=120°,E是4c的中點，

產(chǎn)是對角線AC上的動點，連接所，將線段所繞點「按逆時針旋轉(zhuǎn)30。，G為點￡對應

點，連接CG,則CG的最小值為.

二、軌跡之圓

例1：如圖，尸是圓。上一個動點，A為定點，連接AP,。為4P中點.

考慮：當點P在圓。上運動時，Q點軌跡是？

【分析】觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓。有什么關系?

考慮到。點始終為AP中點，連接4。，取A。中點M,則M點即為Q點軌跡圓圓心，半徑

MQ是OP一半，任意時刻，均有△4MQS2\AOP,QM.PO=AQ.AP=\:2.

【小結】確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，

由A、Q、P始終共線可得：A、M、0三點共線,

由。為AP中點可得：AM=1/2AO.

Q點軌跡相當于是P點軌跡成比例縮放.

根據(jù)動點之間的相對位置關系分析圓心的相對位置關系;

根據(jù)動點之間的數(shù)量關系分析軌跡圓半徑數(shù)量關系.

古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”.

典例精析

1.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=16,3c=12,點尸在以AB為直徑的半圓上

運動，由點〃運動到點A,連接CF,點/足8的中點，則點M經(jīng)過的路徑長為

2.如圖，已知點A是第一象限內(nèi)的一個定點，若點P是以O為圓心，2個單位長為半徑的

圓上的一個動點，連接AP,以4。為邊向AP右側作等邊三角形當點夕在OO上運

動一周時，點4運動的路徑長是.

3.如圖，O的半徑為2,O到定點A的距離為5,點B在O上，點P是線段的中點,

若8在?O上運動一周.

（1）點戶的運動路徑是一個圓；

（2）AAAC始終是一個等邊三角形，直接寫出PC長的取值范圍.

（1）思路引導

要證點尸運動的路徑是一個圓，只要證點尸到

定點M的距離等于定長r,由圖中的定點、定

長

可以發(fā)現(xiàn)r.

4.如圖，線段為二O的直徑，點C在4?的延長線上，AB=4,8C=2,點夕是2O上

一動點，連接CP,以C尸為斜邊在尸。的上方作RlAPCD,且使NDCP=60°,連接0D,

則。D長的最大值為.

D

OBL

5.已知：如圖，AA是O的直徑，。是O上一點，。￡>_14。于點。，過點。作QO的

切線，交OD的延長線于點E，連接

（1）求證：AE與QO相切；

（2）連接班），若ED:DO=3:1,OA=9,求他的長；

（3）若A3=10,4c=8,點尸是QO任意一點，點M是弦A廠的中點，當點尸在QO上

運動一周，則點M運動的路徑長為.

6.若AC=4,以點。為圓心，2為半徑作圓，點尸為該圓上的動點，連接AP.

（1）如圖1,取點3,使A48C為等腰直角三角形，ZMC=90°,將點尸繞點A順時針旋

轉(zhuǎn)90。得到A產(chǎn).

①點P'的軌跡是」L（填“線段”或者“圓”）：

②CP的最小值是一；

（2）如圖2,以AP為邊蚱等邊AAPQ（點A、P、。按照順時針方向排列），在點〃運動

過程中，求CQ的最大值.

（3）如圖3,將點A繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到點M,連接尸則CM的最小值為.

圖1圖2圖3

7.如圖1,在平面直角坐標系中，直線y=-5x+5與x軸，)，軸分別交于A、C兩點，拋

物線.y=V+/U-+C?經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為8.

(1)求拋物線解析式；

(2)若點M為x軸下方拋物線上一動點，當點M運動到某一位置時，AA8W的面積等于

AA4c面積的？，求此時點用的坐標；

5

(3)如圖2,以8為圓心，2為半徑的8與x軸交于七、尸兩點(口在￡右側)，若2點是

3上一動點，連接八4,以04為腰作等腰RtAPAD,使/抬。=90。(2、A、。三點為逆

時針順序)，連接出).求FD長度的取值范圍.

圖1圖2

專題22最值之瓜豆原理

一、軌跡之直線

例：如圖，P是直線8C上一動點，連接AP,取AP中點Q,當點尸在BC上運動

時，。點軌跡是？

【分析】當尸點軌跡是直線時，Q點軌跡也是?條直線.

可以這樣理解：分別過人、Q向8C作垂線，垂足分別為M、M在運動過程中，

因為AP=24Q,所以QV始終為AM的一半，即Q點到AC的距離是定值，故。點

秋跡是一條直線.

【例】如圖，MPQ是等腰直角三角形，ZPAQ=90°^AP=AQ,當點尸在直線BC

上運動時，求Q點軌跡？

【分析】當A尸與AQ夾角固定且為定值的話，P、。軌跡是同一種圖形.

當確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q

點的起始位置和終點位置，連接即得Q點軌跡線段.

AO2

B

0

【模型總結】

必要條件：

主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（N%Q是定直）；

主動點、從動點到定點的電離之比是定量（4P:AQ是定道）.

結論：

尸、Q兩點軌跡所在直線的夾角等于（當N力維90。時，NFQ等于MN與

BC夾角）

P、。兩點軌跡長度之比等于AP:4Q（由△ABCs^AMN,可得4P:AQ=8C:MN）

典例精析

1.（2019?宿遷）如圖，正方形A3C。的邊長為4,E為BC上一點,且3E=1,F為AB邊

上的一個動點，連接E",以所為邊向右側作等邊AEAG,連接CG,則CG的最小值為.

解：由題意可知，點廠是主動點，點G是從動點，點尸在線段上運動，點G也一定在直線

軌跡上運動

將AEF8繞點石旋轉(zhuǎn)60°,使廝與EG重合，得到AEfB二AEHG

從而可知A/m〃為等邊三角形，點G在垂直于HE的直線HN上

作■CMIHN,則CM即為CG的最小值

作EPJ.CW,可知四邊形”￡尸例為矩形，

13S

貝JICM=MP+"=〃E+2EC=1+2=2

222

2.（2021?新泰市模擬）如圖，長方形人中，AB=3,BC=4,E為BC上一點、，且BE=1,

廠為4?邊上的一個動點，連接EF，.將EF繞著點、K順時針旋轉(zhuǎn)45。到EG的位置，連接FG

和CG,則CG的最小值為（）

5

C.26D.

2

解：如圖，將線段隨繞點E順時針旋轉(zhuǎn)45。得到線段ET,連接G7',連接。￡交CG于

四邊形ABC。是矩形，

AB=CD=3fN8=N5C￡>=90。,

,；ZBET=/FEG=45。,

:.ZBEF=ZTEGt

在AE8/7和ATW中，

EB=ET

、/BEF=/TEG,

EF=EG

;.\EBF=NEG(SAS),

:.NB=NETG=90。,

.??點G的在射線7G上運動，

.?.當CGJ_7U時，CG的值最小，

.BC=4,BE=\rCD=3,

.,.CE=CD=3,

：./CED=ZBET=45。,

N7E/=90。=NETC="GT=90°,

四邊形EFGJ是矩形，

:.DE//GTtGJ=TE=BE=\,

..CJ±DEt

:.JE—JD，

13五

CJ=—DE=-----,

22

:.CG=CJ+GJ=\+—

29

.?.CG的最小值為1+迪，

2

故選：B.

3.(2021?無棣縣模擬)如圖，正方形A48的邊長為7,E為BC上一息，且BE=6，F(xiàn)

為AB邊上的一個動點，連接￡F,以所為邊向右側作等邊AEFG,連接CG,則CG的最

小值為

解：AEAG為等邊三角形，

:.EF=EG,

把小繞點E順時針旋轉(zhuǎn)60。得到AE〃G,如圖，延長"G交CD于M,過C點作

CQ1HM,過E點作“_LCQ,

."￡7/=60。，EB=EH=C,AEHG=/EBF=W,

即G點在過H點且垂直于EH的線段HM上，

易得四邊形為矩形，

:.PQ=EH=6ZH"=90°,

??/CEP=90°-ZBEH=30°,

,D7-6

22

...CQ=CP+PQ=ZZ^+G=g^.

」.CG的最小值為上芭.

2

故答案為上好.

4.(2020?東臺市一模)如圖，已知點A(-3,0),8(0,3),C(-l,4),動點尸在線段AB上，

點P、C、M按逆時針順序排列，且NCPM=90。，CP=MP,當點尸從點A運動到點B時,

:.AB=3上，

vC（-l,4）,動點P在線段A3上，ZCPA/=90°,CP=MP,

:.°、=——,尸為主動點，M為從動點，C為定點，

CM2

由“瓜豆原理”得P運動路徑（人功與M運動路徑之比等于巖，

二點M運動的路徑長為3尬+包=6,

2

故答案為：6.

5.（2020?蘭溪市模擬）如圖，ZAOB=30°,8=4,當點C在。4上運動時，作等腰RtACDE,

CD=DE,則O,E■兩點間距離的最小值為.

解：?.ZAO8=30°,8=4,點。在。4上運動時，CD=DE,CDVDE,

.?.C為主動點，E為從動點，。為定點，

由“瓜豆原理”，C在04上運動，則E在垂直04的直線上運動,

當"J_OA時，如答圖：

c

答圖

過石作EM_LQ4于M,交08于N,則直線MN即為E的運動軌跡，OM的長為O,E兩

點間距離的最小值,

\ZAOB=30°,O￡)=4,DC±OAf

:.CD=2,

CD=DE,

：.DE=2t

/OCD=/CDE=W,

：.DE//OAt

而

:.NDEN=90。，NEDN=3/，

.?.在ADEN中可得ON=%,

3

。=4+竽,

△0”可中可得。/”=爭（4+竽）=2+26,

故答案為：2+2G.

6.（2020?清江浦區(qū)一模）如圖，正方形A8CO的邊長為2,E為BC上一點、,且跳：=1,F

為45邊上的一個動點，連接EF,以所為底向右側作等腰直角AEFG,連接CG,貝JCG

的最小值為.

D

解：如圖1,過點G作GPJ■回于點2，GQ_L4c于點Q,連接班）,

圖1

根據(jù)題意知，NABC=90°,ZPGO=90°.

:./PGF+乙FGQ=ZQGE+/FGQ=90°.

4PGF=/QGE.

又用6是等腰直角三角形，且NFGE=90。，

:.GF=GE.

在△G/Y'與AGQE中，

CGPF=CGQE=900

NPGF=NQGE

GF=GE

;.AGPF^AGQE(AAS).

；.GP=GQ,NGBP=/GBE=L/ABC.

2

.??點G在“。所在的直線上運動.

尸為M邊上的一個動點，如圖2,

當點尸與點3重合時，點G的位置如圖所示.

當點?與點A重合時，記點G的位置為G〃.

點G的運動軌跡為線段GG”.

過點C作CG1BD于點G'.

.?1CG1*CG=；BD?

正方形ABCD的邊長為2,

BD=2叵.

??|CGL,=V2.

故答案是：血.

7.（2020?市中區(qū)一模）如圖，正方形44a）的邊長為8,E為4c的四等分點（靠近點笈的

位置），尸為8邊上的一人動點，連接EF,以所為邊向右側作等邊AEFG,連接CG,則

CG的最小值為.

解：由題意可知，點尸是主動點，點G是從動點，點尸在線段上運動，點G也一定在直線

軌跡上運動

將AEF8繞點石旋轉(zhuǎn)60°,使斯與￡G重合，得到AE/歸二

從而可知AEAH為等邊三角形，點G在垂直于〃E的直線"N上

作CMA.HN,則CW即為CG的最小值

作EP_LCM,可知四邊形〃出加為矩形，

則CM=MP+CP"+嚴=2+3=5,

故答案為：5.

8.（2020?祁江區(qū)校級一模）如圖，菱形A3C￡＞的邊長為4,N5=120。，E是4c的中點，

廠是對角線AC上的動點，連接環(huán)，將線段所繞點尸按逆時針旋轉(zhuǎn)30。，G為點E對應

點，連接CG，則CG的最小值為.

解：如圖取8的中點K,連接EK,KG,EK,延長KG交6C于J,作C〃_L/K于

四邊形A8CD是菱形，

:.ZFCE=NFCK,CB=CD,AB//CDt

/.ZZXB+Z^=180°,

???NB=120°,

..Z7X^=6O°,

.BE=EC,CK=KD,

：.CK=CE,

「.AECK是等邊三角形，

CF=CF,4FCK=4FCE,CK=CE,

M'CK=bFCE(SAS),

/.FK=kE,

FG=FEt

:.FE=FG=FK,

NEKG=L/EFG=15。,

2

NC依=60°,

ZCK/=45°,

二點G在直線K/上運動,

根據(jù)垂線段最短可知，當點G與“重合時，CG的值最小,

在RtACKH中，ZCKH=450tNC”K=90。，CK="D=2,

.\CH=KH=y/2,

.??CG的最小值為夜,

故答案為&.

三、軌跡之圓

例1：如圖，P是圓O上一個動點，A為定點，連接AP,Q為AP中點.

考慮：當點P在圓。上運動時，Q點軌跡是？

【分析】觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓。有什么關系?

考慮到Q點始終為4P中點，連接AO,取AO中點M,則M點即為。點軌跡圓圓心，半徑

MQ是OP一半，任意時刻，均有△AMQS/\4OP,QM.PO=AQ:AP=\:2.

【小結】確定Q點軌跡圓即確定其圓心與半徑，

由A、Q、。始終共線可得：A、M、O三點共線,

由Q為八P中點可得：AM=l/2人0.

Q點軌跡相當于是P點軌跡成比例縮放.

根據(jù)動點之間的相對位置關系分析圓心的相對位置關系;

根據(jù)動點之間的數(shù)量關系分析軌跡圓半徑數(shù)量關系.

例2：如圖，尸是圓。上一個動點，A為定點，連接4尸，作AQ_LAP且AQ=4P.

考慮；當點〃在圓O上運動時，。點軌跡是？

【分析】。點軌跡是個圓，可理解為將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得AQ,故Q點軌跡與P

點軌跡都是圓.接下來確定圓心與半徑.

考慮人P_LAQ,可得。點軌跡圓圓心M滿足AM_L4O；

考慮4P=AQ,可得Q點軌跡圓圓心M滿足AM=40,且可得半徑MQ=PO.

即可確定圓M位置，任意時刻均有^AP。也△AQM.

例3：如圖，ZkAP。是直角三角形，/以。=90。且AP=2AQ,當P在圓。運動時，Q點軌跡

是？

Q

【分析】考慮人P_LAQ,可得。點軌跡圓圓心”滿足

考慮AP:AQ=2-.1,可得Q點軌跡圓圓心M滿足AO:AM=2:1.

即可確定圓M位置，任意時刻均有△APOSAAQM,且相似比為2.

【模型總結】

為了便于區(qū)分動點P、Q,可稱點P為“主動點”，點Q為“從動點

此類問題的必要條件：兩個定量

主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（/%。是定道）;

主動點、從動點到定點的近離之比是定量（AP：AQ是定道）.

【結論】（1）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角:

/以。=NOAM；

（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：

4P:AQ=AO:AM,也等于兩圓半徑之比.

按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，Q與夕的關系相當于旋轉(zhuǎn)+伸縮.

古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，“種”線得線，謂之“瓜豆原理”.

典例精析

I.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,47=16,8C=12,點?在以AB為直徑的半圓上

運動，由點8運動到點A,連接CP,點M是。＞的中點，則點A/經(jīng)過的路徑長為.

解：vZACB=90°,AC=I6,BC=12,

/.AB=>JAC2+BC2=Vl62+122=20,

連接”，BP,

AB是直徑，

/.ZAPB=90°,

即AP_L8P,

取3C,AC的中點E和廣，連接ME,MF,EFt

在ABPC中，

M,E為PC、3C的中點，

:.MEIIBP,ME=-BP,

2

在AAPC中，

.,點M、F為PC、AC的中點,

:.MF//AP,MF=LAP,

2

:.ME上MF,

即Z￡A/F=9C)0,

.??點M在以EQ為直徑的半圓上，

:.EF=-AB=\Ot

2

/.點M的運動路徑長為'x2;rx5=5萬，

2

故答案為：54.

2.如圖，已知點A是第一象限內(nèi)的一個定點，若點P是以O為圓心，2個單位長為半徑的

圓上的一個動點，連接AP,以AP為邊向4P右側作等邊三角形"8.當點?在0。上運

動一周時，點8運動的路徑長是.

解：如圖，連接AO、OP,將△AO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。，得線段人O',連接。4、。。,

AO=A(7fNOW?'=600,

\OAO'為正三角形，

AA尸4為正三角形，

/.ZE4B=60°,PA=BA,

/.ZMB-ZOAB=ZOAO-ZOAB,

：.ZPAO=ZBAOt

在AAPO與AA8O中，

AO=AO'

</PAO=ZBAO,

PA=BA

：0PO三WHO,

:.OP=CfB=2、

：.O即為動點8運動的路徑，

.??當點P在O上運動一周時，點4運動的路徑長是4不，

3.如圖，。的半徑為2,O到定點4的距離為5,點內(nèi)在。上,點戶是線段43的中點,

若B在O上運動一周.

(1)點戶的運動路徑是一個圓；

(2)AA8C始終是一個等邊三角形，直接寫出PC長的取值范圍.

(1)思路引導

要證點P運動的路徑是一個圓，只要證點戶到

定點M的距離等于定長r,由圖中的定點、定

長

可以發(fā)現(xiàn)M,r.

(1)解：連接。4、OB,取。4的中點〃，連接如圖1所示:

則利是AA3O的中位線,

:.HP=-OB=\

2t

.?.夕點到月點的距離固定為1,

在。上運動一周，點?運動的路徑是以點，為圓心，半徑為1的一個圓;

(2)解：連接47并延長40交二。于點例、N,如圖2所示：

AA3C是等邊三角形，點尸是線段4?的中點，

：.PCLABPA=PB=-AB=-BC

f22t

PC=&A=BAB,

2

當點A運動到點用位置時，點0運動到點P'位置，PC最短，

AM=OA-OM=5-2=3f

13

/.Ar=-AM=-,

22

，心理

2

當點4運動到點N位置時，點P運動到點產(chǎn)位置,PC最長，

AN=OA+ON=5+2=7,

|7

/.AP"=-AN=-

22f

，心鳴

2

.?.PC長的取值范圍是」一領PC—.

圖2

B

圖1

4.如圖，線段AB為GO的直徑，點。在AB的延長線上，AB=4,8c=2,點尸是0。上

一動點,連接CP,以。尸為斜邊在PC的上方作RtAPCD,且使NDCP=60°,連接。。，

則OD長的最大值為.

解：如圖，作△（%>￡>,使得NCEO=90。，NECO=60。，貝UCO=2CE,OE=20

NOCP=NECD,

NC￡>P=90°,ZDCP=60°,

:.CP=2CD,

COCP

CE~~CD

:MOgkCED,

OPCP

EDCD

即EO=-OP=1（定長）,

2

點E是定點，DE是定長,

.??點。在半徑為1的二七上,

?/OD?OE+DE=2>/3+\f

.?.8的最大值為26+1，

故答案為26+1.

5.已知：如圖，是CO的直徑，。是0。上一點，8_LAC于點。，過點C作QO的

切線，交QD的延長線下點E,連接AE.

(1)求證：AE與OO相切；

(2)連接若ED:")=3:1,04=9,求AE的長；

(3)若43=10,AC=8,點廠是0。任意一點，點M是弦Ab的中點，當點尸在QO上

運動一周，則點例運動的路徑長為.

(1)證明：如圖I中，連接OC.

圖1

.—AC,

AD=DC,

:.EA=ECt

在△QEC和AOE4中,

OE=OE

，OC=OAt

EA=EC

:.AOEC^M)EAf

/.4OAE=NOCE,

用?是O切線，

:.EC±OCf

NOCE=90。，

:.ZOAE=ZOCE=90°f

：.OA±AE,

.?.AE是O的切線.

(2)如圖1中，設。。=〃，則0E=3〃，

\ZAOD=ZAOEt")D\=4OAE,

:.AOAD^AOEA,

OAOD

~OE=~OAf

.?.4/=81,

6/>0,

9

/.Cl=-9

2

/.OE=18,

在RrAACR中，AE=^OF：2-OA2=\/182-92;96

(3)如圖2中，連接。M,取OA的中點O,連接

圖2

AM=MF,

：.OMlAFt

AO^OO>OA=OB=5f

.?.<7M=，OA=定長=3,

22

.??當點/在O上運動一周，則點”運動的路徑是以。，為圓心之為半徑的圓，

2

???點M運動的路徑長為27?2=5".

2

故答案為54.

6.若AC=4,以點。為圓心，2為半徑作圓，點尸為該圓上的動點，連接

（1）如圖1,取點3,使443。為等腰直角三角形，ZMC=90°,將點P繞點A順時針旋

轉(zhuǎn)90。得到同產(chǎn).

①點P'的軌跡是圓（填“線段”或者“圓”）;

②C戶的最小值是；

（2）如圖2,以AP為邊蚱等邊A4PQ（點A、P、。按照順時針方向排列），在點P運動

過程中，求CQ的最大值.

（3）如圖3,將點A繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90。，得到點連接尸M,則CM的最小值為___.

B

圖1圖2圖3

解：（1）①連接CQ、BP,如圖1所示：

AABC是等腰直角三角形，Z^4C=90°,

f

:.AC=ABt由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：AP=APtNRW=90L

ZPAC=ZP'ABf

AP'=AP

在AAB嚴和AACP中，^P'AB=APAC,

AB=AC

...AABQ'NAAC尸（SAS）,

：.BP=CP=2,即點P'到點8的距離等于定長，

.??點P'的軌跡是以3為圓心，2為半徑的圓;

故答案為：圓；

②A4AC是等腰直角三角形，入C=4,

8C=V5AC=4拉，

當點P'在線段上時，C尸最小=4C-B/=4夜一2；

故答案為：4\/2-2；

(2)以AC為邊長作等邊AAC。，連接。。、CP,如圖2所示:

AAPQ和AACD是等邊三角形，

：.AP=AQfAC=AD=CD=4tNE4Q=NG4。=60。，

ND4Q=NC4尸，

AD=AC

在A4￡>g和A4C。中，?ZDAQ=^CAPt

AQ=AP

：.SAD(2^SACP(SAS)t

DQ=CP=2t

當C、D、Q三點共線時，CQ有最大值=CO+OQ=4+2=6；

(3)如圖3所示：M點的軌跡是以W為直徑的一個圓O,

f

貝lj尸M=E4=2,PM=PA=4+2=6f

則CO'是梯形PMMP的中位線，

...C*；(2+6)=4,

連接MMJ

則NMMW90。，

;.FME=PM=2,MM*=Py=4,

.-.MMW=6-2=4=A^WW,

.?.△MMVT是等腰直角三角形，.?.““=也

MM"=4叵,

:.O'M"=2①,

:.CM=CO'-O'M”=4S；

故答案為：4-2>/2.

圖1

7.如圖1,在平面直角坐標系中，直線)，=-5%+5與x軸，)，軸分別交于A、C兩點，拋

物線y=f+/u，+c經(jīng)過A、C兩點，與x軸的另一交點為3.

(1)求拋物線解析式；

(2)若點M為工軸下方拋物線上一動點，當點M運動到某一位置時，的面積等于

AA8C面積的-，求此時點M的坐標；

5

（3）如圖2,以8為圓心，2為半徑的B與x軸交于￡、尸兩點（尸在七右側），若P點是

C8上一動點，連接附,以Q4為腰作等腰RtAPAD,使/以力=90。（。、A、。三點為逆

時針順序），連接FQ.求。長度的取值范圍.

解：(1)令4=0,則y=5,

/.C(0,5),

令y=0,貝b=l,

4(1,0),

將點A(l,0),C(0,5)代入y=x'+hx+c,

但H+b+c=0

得＜u，

b=-6

《9

c=5

二.y=x2-6x+5；

(2)設-6〃?+5],

令y=0,貝吐3+5=0,

解得x=5或x=l，

:.8(5,0),

：.AB=4t

?-5M?c=2X4x5=10,

MBM的面積等于MBC面積的

5

/.S：SMB=6=gx4x(〃?2-6m+5),

解得/〃=2或m=4,

.?.欣2,-3)或欣4,-3)；

(3)將點8繞A點順時針旋轉(zhuǎn)90。到夕，連接48',PB,夕。,

々'AD+Za4O=90°,ZPAB+^BAD=90°t

:“AD=/PAB,

,AB=AfffPA=ADf

.?.AAOB'MAAP8'(S4S),

:.RP=R'D,

PB=2,

,

BD=2t

.?.O在以8'為圓心，2為半徑的圓上運動，

7B(5,0),A(l,0),

二.成1,-4),

?BF=2,

：.尸(7,0),

/.B'F=2x/13,

.?.。/的最大值為2/百+2,的最小值為2J萬-2,

2N/13-2WF2V13+2.

專題23最值之費馬點問題

一、方法突破

皮耶?德?費馬，17世紀法國數(shù)學家，有“業(yè)余數(shù)學家之王”的美譽，之所以叫業(yè)余并非段位不

夠，而是因為其主職是律師，兼職搞搞數(shù)學.費馬在解析幾何、微積分等領域都有卓越的貢

獻，除此之外，費馬廣為人知的是以其名字命名的“費馬小定理”、"費馬大定理”等.

今天的問題不是費馬提出來的，是他解決的，故而叫費馬點.

問題：在△A8C內(nèi)找一點P,使得%+P8+PC最小.

【分析】在之前的最值問題中，我們解決的依據(jù)有：兩點之間線段最短、點到直線

的連線中垂線段最短、作對稱化折線段為直線段、確定動點就跡求最值等.

其實理論還是上面的理論，本題難點在于有3條線段，我們需要對這三條線段作一

些位置上的變化，如果能變換成在一條直線上，問題就能解決了！

若點P滿足=NCB4=120。，則以+PB+尸C值最小，P點稱為該三角

形的費馬點.

為什么P點滿足/必4=/牝0=/。陽=120。，%+PB+PC值就會最小呢？

考慮到NAP8=120。，JZAPE=60°,則可以AP為邊，在PE邊取點Q使得PQ=AP,則&4PQ

是等邊三角形.

△APQ、△4CE均為等邊三角形，且共頂點A,故△APCg/XAQE,PC=QE.

以上兩步分別轉(zhuǎn)化辦二PQ，PC=QE,PA+PB+PC=PB^-PQ+QE=BE.

沒有對比就沒有差別，我們換個夕點位置，如下右圖,司樣可以構造等邊△A。。，

同樣有△APC經(jīng)ZXAQ石，轉(zhuǎn)化辦=PQ,PC=QE,

顯然，必+PB+PC=PB+PQ+QE>BE.

二、典例精析

1.在43c中，若其內(nèi)部的點夕滿足NAP8=N8尸C=/CE4=120°,則稱P為AABC的費

馬點.如圖所示，在AABC中，已知N8AC=45。，設尸為AA8C的費馬點，且滿足

ZPa4=45°,PA=4,則APAC的面積為.

A

2.如圖，在邊長為6的正方形A3CD中，點M,N分別為AB、8C上的動點，且始終保

特BM=CN.連接MV,以A/N為斜邊在矩形內(nèi)作等腰RtAMNQ,若在正方形內(nèi)還存在一

點尸，則點尸到點A、點D、點Q的距離之和的最小值為一.

B

3.如果點P是A43C內(nèi)一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則尸點叫AA5C的

費馬點.已經(jīng)證明：在三個內(nèi)角均小于120。的AA4C中，當NA依=NAPC=NBPC=120。時,

?就是AAAC的費馬點.若點夕是腰長為血的等腰直角三角形小尸的費馬點，則

PD+PE+PF=

4.如圖(1),尸為AAAC所在平面上一點，且NAPB=NAPC=NCE4=120°,則點夕叫做

AABC的費馬點.

(1)如果點P為銳角A4FC的葫馬點，HZ4/?C=60°.

①求證：;

②若9=3,PC=4,貝！必=.

(2)已知銳角AA3C,分別以A3、AC為邊向外作正AA8E和正AACD,CE和相交

于P點.如圖(2)

①求NCPD的度數(shù)；

②求證：0點為AA8C的費馬點.

5.已知點尸是AA8C內(nèi)一點，且它到三角形的三個頂點距離之和最小，則尸點叫A46C的

費馬點(Fem3PH川).已經(jīng)證明：在三個內(nèi)角均小于120°的MBC中，當

NAQ4=NAPC=N8PC=l20°時，戶就是AA4C的費馬點.若點尸是腰長為血的等腰直角

三角形DEF的費馬點、，則PD+PE+PF=.

三、真題演練

1.如圖（1）,尸為AA8C所在平面上一點，且NAP8=NBPC=NCR4=120°,則點。叫做

AA3。的費馬點.

（1）若點尸是等邊三角形三條中線的交點，點P—1填是或不是）該三角形的費馬點.

（2）如果點。為銳角AABC的費馬點，l.ZABC=60°.求證：MBP^MCP；

（3）己知銳角A48C,分別以/3、AC1為邊向外作正ZV1BE和正A46，CE和臺￡＞相交

于尸點.如圖（2）

①求NCPD的度數(shù)；

②求證：尸點為AA8C的費馬點.

2.閱讀下列材料，完成后面相應的任務:

費馬1601年8月17日-1665年I月12日），生于法國南部圖盧茲（7b〃〃，依e）附

近的波蒙?德?羅曼，被譽為業(yè)余數(shù)學家之王.1643年，費馬曾提出了一個著名的幾何問題:

給定不在一條直線上的三個點A，B,C,求平面上到這三個點的距離之和最小的點的位

置.另一位數(shù)學家托里拆利成功地解決了這個問題：如圖1，AABC（三個內(nèi)角均小于120。）

的三條邊的張角都等于120。，即滿足〃依=/4也=/4。。=120°的點~,就是到點A,

A,。的距離之和最小的點，后來人們把這個點戶稱為“費馬點”.

下面是“費馬點”的證明過程：如圖2,將A4PA繞著點4逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到△4產(chǎn)3,

使得A戶落在MBC外，則△AAB為等邊三角形，;.PB=PB=PP,于是

PA+PB+PC=PA+PP+PC..AC.....

任務：（1）材料中，判定△AAA為等邊三角形的依據(jù)是.

（2）請你完成剩余的部分.

（3）如圖，A4BC為銳角三角形，以AC為一邊作等邊AAC。，C。是AACD的外接圓，連

接BD交1O于點、M,求證：M是AA8C的費馬點.

3.（1）知識儲備

①如圖1,己知點。為等邊A4AC外接圓的上任意一點.求證：PB+PC=PA.

②定義：在AA8C所在平面上存在一點?，使它到三角形三頂點的距離之和最小，則稱點?

為MBC的費馬點，此時+PC的值為AABC的費馬距離.

（2）知識遷移

①我們有如下探尋AABC（其中NA,ZB,NC均小于120。）的費馬點和費馬距離的方法：

如圖2,在的外部以4c為邊長作等邊及其外接圓，根據(jù)（1）的結論，易知線

段—的長度即為A4AC的費馬距離.

②在圖3中，用不同于圖2的方法作出A4BC的費馬點P（要求尺規(guī)作圖）.

（3）知識應用

①判斷題（正確的打4,錯誤的打x）：

i.任意三角形的費馬點有且只有一個—；

ii.任意三角形的費馬點一定在三角形的內(nèi)部—.

②已知正方形A3C￡）,尸是正方形內(nèi)部一點，且+的最小值為耐+&,求正

方形A8CZ）的

邊長.

A

D

4.皮埃爾?德?費馬，17世紀法國律師和業(yè)余數(shù)學家，被譽為“業(yè)余數(shù)學家之王1638年

勒?笛卡兒邀請費馬思考關于三個頂點距離為定值的函數(shù)問題，費馬經(jīng)過思考并由此提出費

馬點的相關結論.

定義：若一個三角形的最大內(nèi)角小于120。，則在其內(nèi)部有一點，可使該點所對三角形三邊

的張角均為120。，此時該點叫做這個三角形的費馬點.例如，如圖1,點夕是AABC的費馬

點.

請結合閱讀材料，解決卜列問題：

己知：如圖2,銳角ADEF.

（1）尺規(guī)作圖，并標明字母.

①在ADE/外，以"'為一邊作等邊AD尸G.

②作ADEG的外接圓O.

③連接即交O于點M.

（2）求證：（1）中的點M是AM戶的費馬點.

如圖1,在ZU8C中，NA=120。，AB=AC,BC=56,貝JA48c的夕卜接圓的半徑值為

【問題解決】

如圖2,點P為正方形45co內(nèi)一點，fiZBPC=90°,若AB=4,求"的最小值.

【問題解決】

如圖3,正方形A3CZ）是一個邊長為的隔離區(qū)域設計圖，CE為大門，點石在邊3。上,

C￡=>/5a〃，點P是正方形A4c。內(nèi)設立的一個活動崗哨，到4、E的張角為120。，即

NBPE=120。，點A、。為另兩個固定崗哨.現(xiàn)需在隔離區(qū)域內(nèi)部設置一個補水供給點Q,

使得Q到A、D、。三個崗哨的距離和最小，試求QA+QO+QP的最小值.(保留根號或

結果精確到1?！ǎ瑓⒖紨?shù)據(jù)1.7,10.52=110.25).

6.如圖，在平面直角坐標系xO.y中，點8的坐標為(0,2),點。在x軸的正半軸上，

2ODB=3G,OE為的中線，過6、E兩點的拋物線y=o?十立八十。與大軸相交于

6

A、尸兩點(A在尸的左側).

(1)求拋物線的解析式；

(2)等邊△OMN的頂點M、N在線段AE上，求AE及AM的長；

(3)點尸為AA8O內(nèi)的一個動點，設〃7=Q4+P3+PO,請直接寫出/〃的最小值，以及加

取得最小值時，線段4P的長.

7.已知拋物線丁=-；/+反1+4的對稱軸為x=l,與y交于點A,與X軸負半軸交于點C,

作平行四邊形ABOC并將此平行四邊形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90。，得到平行四邊形A8OC.

(1)求拋物線的解析式和點A、C的坐標；

(2)求平行四邊形ABOC和平行四邊形A8O。重疊普分△OCO的周長；

(3)若點尸為A4OC內(nèi)一點，直接寫出Q4+PC+尸。的最小值(結果可以不化簡)以及直

線CP的解析式.

8.如圖。是AA3c所在平面上一點.如果/4依=//吐=/。4=120°,則點尸就叫做費

馬點.