備考2024年新高考數學一輪復習專題108統(tǒng)計、概率結合其他知識含詳解

專題10.8統(tǒng)計、概率與結合其他知識

三I題型目錄

題型一統(tǒng)計概率與函數

題型二統(tǒng)計概率與導數

題型三統(tǒng)計概率與不等式

題型四統(tǒng)計概率與數列

才典例集練

題型一統(tǒng)計概率與函數

例1.體檢時，為了確定體檢人是否患有某種疾病，需要對其血液采樣進行化驗，若結果呈陽性，則患有該疾??；

若結果呈陰性，則未患有該疾病.對于〃5wN.)份血液樣本，有以下兩種檢驗方式:一是逐份檢驗，則需檢驗〃次.

二是混合檢驗，將〃份血液樣本分別取樣混合在一起，若檢驗結果為陰性，那么這〃份血液全為陰性，因而檢驗一

次就夠了；如果檢驗結果為陽性，為了明確這〃份血液究竟哪些為陽性，就需要對它們再次取樣逐份檢驗，則〃份

血液檢驗的次數共為〃+1次.已知每位體檢人未患有該疾病的概率為次(0<〃<1),而且各體檢人是否患該疾病相互

獨土.

(1)若〃=￡，求3位體檢人的血液樣本混合檢驗結果為陽性的概率；

(2)某定點醫(yī)院現取得6位體檢人的血液樣本，考慮以下兩種檢驗方案：

方案一:采用混合檢驗；

方案二:平均分成兩組，每組3位體檢人血液樣本采用混合檢驗.

若檢驗次數的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.試問方案一、二哪個更“優(yōu)”?請說明理由.

例2.從2023年起，云南省高考數學試卷中增加了多項選擇題(第9-12題是四道多選題，每題有四個選項，全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分).在某次模擬考試中，每道多項選題的正確答案是兩個選項的

概率為〃，正確答案是三個選項的概率為(其中。).現甲乙兩名學生獨》?解題.

(I)假設每道題甲全部選對的概率為：，部分選對的概率為!，有選錯的概率為!；乙全部選對的概率為,，部分選

2446

對的概率為;，有選錯的概率為:，求這四道多選題中甲比乙多得13分的概率；

(2)對于第12題，甲同學只能正確地判斷出其中的一個選項是符合題意的，乙同學只能正確地判斷出其中的一個選

項是不符合題意的，作答時，應選擇幾個選項才有希望得到更理想的成績，請你幫助甲或者乙做出決策(只需選擇

幫助一人做出決策即可）.

舉一反三

練習1.在排查新冠肺炎患者期間，一戶4口之家被確認為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護人員要對

其家庭成員隨機地逐一進行“核糖核酸”檢測，若出現陽性，則該家庭為“感染高危戶”.設該家庭每個成員檢測呈陽

性的概率均為〃（（）<〃<I）且相互獨立，該家庭至少檢測了3個人才能確定為“感染高危戶”的概率為〃P）,當〃

時，“P）最大，則〃。二（）

A."&B.也C.1D.凡

2322

練習2.為降低工廠廢氣排放量，某廠生產甲、乙兩種不同型號的減排器，現分別從甲、乙兩種減排器中各自抽取

100件進行性能質量評估檢測，綜合得分情況的頻率分布直方圖如圖所示:

乙型號減排器

減排器等級及利潤率如下表，其中

綜合得分k的范圍減排器等級減排器利潤率

A>85一級品a

75a<85二級品5a2

70<Jt<75三級品a~

（1）若從這100件甲型號減排器中按等級分層抽樣的方法抽取10件，再從這10件產品中隨機抽取4件，求至少

有2件一級品的概率;

（2）將頻率分布直方圖中的頻率近似地看作概率，用樣本估計總體，貝IJ：

①若從乙型號減排器中隨機抽取3件，求二級品數4的分布列及數學期望Eq)；

②從長期來看，投資哪種型號的減排器平均利潤率較大？

練習3.為了解新研制的抗病毒藥物的療效，某生物科技有限公司進行動物試驗.先對所有白鼠服藥，然后對每只白

鼠的血液進行抽樣化驗，若檢測樣本結果呈陽性，則白鼠感染病毒;若檢測樣本結果呈陰性，則白鼠未感染病毒.現

隨機抽取〃(〃eN,〃N2)只白鼠的血液樣本進行檢驗，有如下兩種方案：

方案一:逐只檢驗，需要檢驗〃次；

方案二:混合檢驗，將〃只白鼠的血液樣本混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，則〃只白鼠未感染病毒;若檢驗結果

為陽性，則對這〃只白鼠的血液樣本逐個檢驗，此時共需要檢驗〃+1次.

⑴若〃=10,且只有兩只白鼠感染病毒，采用方案一，求恰好檢驗3次就能確定兩只感染病毒白鼠的概率；

⑵已知每只白鼠感染病毒的概率為〃《)<〃<1).

①采用方案二，記檢驗次數為X,求檢驗次數X的數學期望；

②若〃=20,每次檢驗的費用相同，判斷哪種方案檢驗的費用更少?并說明理由.

練習4.2022北京冬奧會和冬殘奧會吉祥物冰墩墩、雪容融亮相上海展覽中心.為了慶祝吉祥物在上海的亮相，某

商場舉辦了一場贏取吉祥物掛件的''定點投籃”活動，方案如下：

方案一：共投9次，每次投中得1分，否則得0分，累計所得分數記為丫；

方案二：共進行三輪投籃，每輪最多投三次，直到投中兩球為止得3分，否則得0分，三輪累計所得分數記為X.

累計所得分數越多，所獲得獎品越多.現在甲準備參加這個“定點投籃”活動，已知甲每次投籃的命中率為〃(。<〃<1),

每次投籃互不影響.

(1)若〃=:，甲選擇方案二，求第一輪投籃結束時，甲得3分的概率；

(2)以最終累計得分的期望值為決策依據，甲在方案一，方案二之中選其一，應選擇哪個方案？

練習5.從2021年起，全國高考數學加入了新題型多選題，每個小題給出的四個選擇中有多項是正確的，其中IE答

錯誤得。分，部分正確得2分，完全正確得5分，小明根據以前做過的多項選擇題統(tǒng)計得到，多選題有兩個選項的

概率為P，有三個選項的概率為(其中.

(1)若〃=3，小明對某個多項選擇題完全不會，決定隨機選擇一個選項，求小明得2分的概率；

(2)在某個多項選擇題中，小明發(fā)現選項A正確，選項B錯誤，下面小明有三種不同策略：I：選擇4再從剩下的

C,。選項中隨機選擇一個，小明該題的得分為X；H：選擇AC7Z小明該題的得分為匕川：只選擇A、小明該

題的得分為Z；在〃變化時、根據該題得分的期望來幫助小明分析該選擇哪個策略.

題型二統(tǒng)計概率與導數

例3.今年5月以來，世界多個國家報告了猴痘病例，非洲地區(qū)猴痘地方性流行國家較多.9月19口，中國疾控中

心發(fā)布了我國首例“輸入性猴痘病例”的溯源公告.我國作為為人民健康負責任的國家，對可能出現的猴痘病毒防控

已提前做出部署，同時國家衛(wèi)生健康委員會同國家中醫(yī)藥管理局制定了《猴痘診療指南(2022年版)》.此《指南》

中指出：①猴痘病人潛伏期5-21天；②既往接種過天花疫苗者對猴痘病毒存在一定程度的交叉保護力.據此，援非

中國醫(yī)療隊針對援助的某非洲國家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者集中醫(yī)

學觀察21天.在醫(yī)學觀察期結束后發(fā)現密切接觸者中未接種過天花疫苗者感染病毒的比例較大.對該國家200個

接種與未接種天花疫苗的密切接觸者樣本醫(yī)學觀察結束后，統(tǒng)計了感染病毒情況，得到下面的列聯表：

接種天花疫苗與否/人數感染猴痘病毒未感染猴痘病毒

未接種天花疫苗3060

接種天花疫苗2090

(1)是否有99%的把握認為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關；

(2)以樣本中結束醫(yī)學現察的密切接觸者感染猴痘病毒的頻率估計概率.現從該國所有結束醫(yī)學觀察的密切接觸者中

隨機抽取4人進行感染猴痘病毒人數統(tǒng)計，求其中至多有1人感染候痘病毒的概率：

(3)該國現有一個中風險村莊，當地政府決定對村莊內所有住戶進行排查.在排查期間，發(fā)現一戶3口之家與確診患

者有過密切接觸，這種情況卜.醫(yī)護人員要對其家庭成員逐一進行猴痘病毒檢測.每名成員進行檢測后即告知結果，

若檢測結果呈陽性，則該家庭被確定為“感染高危家庭''.假設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為且

相互獨立.記：該家庭至少檢測了2名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率為了(〃).求當〃為何值時，/(〃)最

n(ad-bc)2

大？附：z2=

(a+b)(c+d)(a+c)(b-i-d)

A/%)0.10.050.010

k。2.7063.8416.635

例4.汽車尾氣排放超標是全球變暖、海平面上升的重要因素我國近幾年著重強調可持續(xù)發(fā)展，加大在新能源項目

的支持力度，積極推動新能源汽車產業(yè)迅速發(fā)展，某汽車制造企.業(yè)對某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進行調查，得到

下面的統(tǒng)計表：

年份/20172018201920202021

年份代碼x(x=-2016)12345

銷量)，/萬輛1012172026

(I)統(tǒng)計表明銷量)'與年份代碼X有較遇的線性相關關系，求)'關于K的線性回歸方程，并預測該地區(qū)新能源汽車的

銷量最早在哪一年能突破5()萬輛；

(2)為了解當地的購車種類(分為新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車)，該企業(yè)隨機調查了該地區(qū)的購車情況.設購置新能源

汽車的概率為〃，若將樣本中的頻率視為概率，從被調查的所有車主中隨機抽取5人，記恰有3人購置新能源汽車

的概率為/(〃)，求當〃為何值時，/(〃)最大.

n

“七工一應3

附：y=宸+G為叵I歸方程，B=巴------,a=y-bx.

1=1

舉一反三

練習6.某研究所研究某一型號疫苗的有效性，研究人員隨機選取50只小白鼠注射疫苗，并將白鼠分成5組，每組

10只，觀察每組被感染的白鼠數.現用隨機變量X,(i=l,2,,5)表示第i組被感染的白鼠數，并將隨機變量X,的觀測

值,5)繪制成如圖所示的頻數分布條形圖.若接種疫苗后每只白鼠被感染的概率為〃(p《O,l)),假設每只

白鼠是否被感染是相互獨立的.記A為事件“％=%(/=1,2,⑸”.

(1)寫出尸(A)(用〃表示，組合數不必計算)；

(2)研究團隊發(fā)現概率〃與參數/之間的關系為〃=!4-。夕+與.在統(tǒng)計學中，若參數時的〃值使得

2645

概率3AA)最大，稱，。是。的最大似然估計，求練.

練習7.生產某種特殊零件的廢品率為〃),優(yōu)等品的概率為0.4,若20個此特殊零件中恰有4件廢品的

概率為〃P)，設/(〃)的最大值點為/%.

⑴求為;

(2)若工廠生產該零件的廢品率為局.

(i)從生產的產品中隨機抽取”個零件，設其中優(yōu)等品的個數為X,記《=P(X=2),k=OJ…”已知X=5

時優(yōu)等品概率A最大，求〃的最小值；

(ii)已知合格率為80%,每個零件的生產成本為80元，合格品每件售價150元，同時對不合格零件進行修復，

修復為合格品后正常售賣,若仍不合格則以每件10元的價格出售，若每個不合格零件修復為合格零件的概率為0.5,

工廠希望一個零件至少獲利50元，試求一個零件的修復費用最高為多少元.

練習8.今年5月以來，世界多個國家報告了猴痘病練習，非洲地區(qū)猴痘地方性流行國家較多.我國目前為止尚無猴

痘病練習報告.我國作為為人民健康負責任的國家，對可能出現的猴痘病毒防控提前做出部署.同時國家N生健康

委員會同國家中醫(yī)藥管理局制定了《猴痘診療指南(2022年版)》.此《指南》中指出：①猴痘病人潛伏期5-21天；

②既往接種過天花疫苗者對猴痘病毒存在一定程度的交叉保護力.據此，援非中國醫(yī)療隊針對援助的某非洲國家制

定了猴痘病毒防控措施之?是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者集中醫(yī)學觀察21天.在醫(yī)學觀察期結束后發(fā)

現密切接觸者中未接種過天花疫苗者感染病毒的比練習較大.對該國家200個接種與未接種天花疫苗的密切接觸者

樣本醫(yī)學觀察結束后，統(tǒng)計了感染病毒情況，得到下面的列聯表：

接種天花疫苗與否/人數感染猴痘病毒未感染猴痘病毒

未接種天花疫苗3060

接種天花疫苗2090

(1)是否有99%的把握認為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關；

(2)以樣本中結束醫(yī)學觀察的密切接觸者感染猴痘病毒的頻率估計概率.現從該國所有結束醫(yī)學觀察的密切接觸者

中隨機抽取4人進行感染猴痘病毒人數統(tǒng)計，求其中至多有2人感染猴痘病毒的概率；

(3)該國現有一個中風險村莊，當地政府決定對村莊內所有住戶進行排兗.在排查期間，發(fā)現一戶3口之家與確診患

者有過密切接觸，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員逐一進行猴痘病毒檢測.每名成員進行檢測后即告知結果，

若檢測結果呈陽性，則該家庭被確定為“感染高危家庭假設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為〃(。<〃<1)且

相互獨立.記：該家庭至少檢測了2名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率為了(〃).求當〃為何值時，/(〃)最大？

n^ad-be)2

附：r=

S+/?)(C'+〃)(4+C')(〃+4)

P(獷次))0.10.050.010

2.7063.8416.635

練習9.今年5月以來，世界多個國家報告了猴痘病練習，非洲地區(qū)猴痘地方性流行國家較多.9月19日，中國疾

控中心發(fā)布了我國首練習“輸入性猴痘病練習”的溯源公告.我國作為為人民健康負責任的國家，對可能出現的猴痘

病毒防控已提前做出部署，同時國家衛(wèi)生健康委員會同國家中醫(yī)藥管理局制定了《猴痘診療指南(2022年版)》.此

《指南》中指出：①猴痘病人潛伏期5-21天；②既往接種過天花疫苗者對猴痘病毒存在一定程度的交叉保護力.據

此，援非中國醫(yī)療隊針對援助的某非洲國家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者

集中醫(yī)學觀察21天.在醫(yī)學觀察期結束后發(fā)現密切接觸者中未接種過天花疫苗者感染病毒的比練習較大.對該國家

200個接種與未接種天花疫苗的密切接觸者樣本醫(yī)學觀察結束后，統(tǒng)計了感染病毒情況，得到下面的列聯表：

接種天花疫苗與否/人數感染猴痘病毒未感染猴痘病毒

未接種天花疫苗3060

接種天花疫苗2090

(I)根據小概率值。=0.01的獨立性檢驗，判斷密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗是否有關？

(2)以樣本中結束醫(yī)學觀察的密切接觸者感染猴痘病毒的頻率估計概率.現從該國所有結束醫(yī)學觀察的密切接觸者中

隨機抽取4人進行感染猴痘病毒人數統(tǒng)計，求其中至多有1人感染猴痘病毒的概率：

(3)該國現有一個中風險村莊，當地政府決定對村莊內所有住戶進行排查.在排查期間，發(fā)現一戶3口之家與確診患

者有過需切接觸，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員逐一進行猴痘病毒檢測.每名成員進行檢測后即告知結果,

若檢測結果呈陽性，則該家庭被確定為“感染高危家庭假設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為〃(。<〃<1)且

相互獨立.記：該家庭至少檢測了2名成員才能確定為“感染高危家途”的概率為/(〃).求當〃為何值時，/(〃)最

大？

n(ad-bey

(?+/?)(<?+J)(6f+(?)(/?+J)

2

P(x>kQ)0.10.050.010

%2.7063.8416.635

練習10.某醫(yī)療用品生產商用新舊兩臺設備生產防護口罩，產品成箱包裝，每箱500個.

⑴若從新舊兩臺設備生產的產品中分別隨機抽取100箱作為樣本，其中新設備生產的100箱樣本中有10箱存在不

合格品，舊設備生產的100箱樣本中有25箱存在不合格品，由樣本數據，填寫完成2x2列聯表，并依據小概率值

<2=0.01的獨立性檢驗，能否認為“有不合格品”與“設備”有關聯？

單位：箱

是否有不合格品無不合格品有不合格品合計

設備

新

舊

合計

(2)若每箱口罩在出廠前都要做檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品.檢驗時，先從這箱口罩中任取20個做

檢驗，再根據檢驗結果決定是否對余下的所有口罩做檢驗.設每個口罩為不合格品的概率都為〃(Ov〃vl),且各口

罩是否為不合格品相互獨立.記20個口罩中恰有3件不合格品的概率為/(〃)，求/(〃)最大時〃的值P。.

⑶現對一箱產品檢驗了20個，結果恰有3個不合格品，以(2)中確定的P“作為〃的值.已知每個口罩的檢驗費

用為02元，若有不合格品進入用戶手中，則生產商要為每個不合格品支付5元的賠償費用.以檢驗費用與賠償費

用之和的期望為決策依據，是否要對這箱產品余下的480個M罩做檢驗？

題型三統(tǒng)計概率與不等式

例5.已知隨機變量4伏7。5),則概率P(4二Q最大時，k的取值為()

A.3B.4C.3或4D.4或5

例6.某科研所研究表明，絕大部分抗抑郁抗焦慮的藥物都有一個奇特的功效，就是刺激人體大腦多巴胺〃〃加e)

的分泌，所以又叫“快樂藥其實科學、合理、適量的有氧運動就會增加人體大腦多巴胺(Dopamine)的分泌，從

而緩解抑郁、焦慮的情緒.人體多巴胺(Dopamine)分泌的正常值是l()7.2-246.6Ng/24h,定義運動后多巴胺含量

超過400Ng/24h稱明顯有效運動，否則是不明顯有效運動.樹人中學為了了解學生明顯有效運動是否與性別有關，

對運動后的60名學生進行檢測，其中女生與男生的人數之比為1：2,女生中明顯有效運動的人數占男生中明

3

顯有效運動的人數占：.

4

女牛男牛合計

明顯有效運動

不明顯有效運動

合計

（1）根據所給的數據完成上表，并依據a=（）.l（X）的獨立性檢驗，能否判斷明顯有效運動與性別有關？并說明理由；

（2）若從樹人中學所有學生中抽取11人，用樣本的頻率估計概率，預測11人中不明顯有效運動的人數最有可能是多

少？

其中〃=a+〃+c+d.

附:上…黑匿）…）

參考數據:

0.15()0.1000.0500.0250.0100.0050.001

a2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

舉一反三

練習11.某綜藝節(jié)目中，有?個盲擰魔方游戲，就是玩家先觀察魔方狀態(tài)并進行記憶，記住后蒙住眼睛快速還原魔

方.為了解某市盲擰魔方愛好者的水平狀況，某興趣小組在全市范圍內隨機抽取了100名盲擰魔方愛好者進行調查，

得到的情況如表所示：

用時/秒[5,10](10,15](15,20](20,25]

男性人數1721139

女性人數810166

以這100名盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的頻率，代替全市所有盲擰魔方愛好者用時不超過10秒的概率，每位

盲擰魔方愛好者用時是否超過10秒相互獨立.若該興趣小組在全市范圍內再隨機抽取20名盲擰魔方愛好者進行測

試，其中用時不超過10秒的人數最有可能（即概率最大）是（）

A.3B.4C.5D.6

練習12.某市政府為了引導居民合理用水，決定全面實施階梯水價，居民用水原則上以住宅為單位（一套住宅為一

戶）.

階梯級別第一階梯第二階梯第三階梯

月用水范圍（噸）(0,12](12,16](16,+co)

為了了解全市居民月用水量的分布情況，通過抽樣，獲得了10戶居民的月用水最(單位：噸)，得到統(tǒng)計表如下:

(2)現要在這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯水量的戶數的分布列與期望；

(3)用抽到的10戶家庭作為樣本估訂全市的居民用水情況，從全市依次隨機抽取10戶，若抽到〃戶片用水量為第一階

梯的可能性最大，求k的值.

練習13.為了“讓廣大青少年充分認識到毒品的危害性，切實提升青少年識毒防毒拒毒意識”，我市組織開展青少年

禁毒知識競賽，團員小明每天自覺登錄“禁毒知識競賽APP”，參加各種學習活動，同時熱衷于參與四人賽.每局四人

賽是由網絡隨機匹配四人進行比賽，每題回答正確得20分，第1個達到100分的比賽者獲得第1名，贏得該局比

賽，該局比賽結束.每天的四人賽共有20局，前2局是有效局，根據得分情況獲得相應名次，從而得到相應的學習

積分，第1局獲得第1名的得3分，獲得第2、3名的得2分，獲得第4名的得1分；第2局獲得第1名的得2分,

獲得第2、3、4名的得1分；后18局是無效局，無論獲得什么名次，均不能獲得學習積分.經統(tǒng)計，小明每天在第1

局四人賽中獲得3分、2分、1分的概率分別為:，；，，，在第2局四人賽中獲得2分、1分的概率分別為，，

42444

(1)設小明每天獲得的得分為X,求X的分布列和數學期望；

(2)若小明每天賽完20局，設小明在每局四人賽中獲得第I名從而贏得該局比賽的概率為9，每局是否贏得比賽相

4

互獨立，請問在每天的20局四人賽中，小明贏得多少局的比賽概率最大？

練習14.某公司通過游戲獲得積分以激勵員工.游戲規(guī)則如下：甲袋和乙袋中各裝有形狀和大小完全相同的10個球，

其中甲袋中有5個紅球和5個白球，乙袋中有8個紅球和2個白球，獲得積分有兩種方案.方案一：從甲袋中有放回

地摸球3次，每次摸出1個球，摸出紅球獲得10分，摸出白球得0分；方案二：擲枚質地均勻的骰了，如果點

數為1或2,從甲袋中隨機摸出1個球；如果點數為3,4,5,6,從乙袋中隨機摸出一個球，若摸出的是紅球，則

獲得積分15分，否則得5分.

(1)某員工獲得1次游戲機會，若以積分的均值為依據，請判斷該員工應該選擇方案一還是方案二？

⑵若某員工獲得1()次游戲機會，全部選擇方案一，記該員工摸出紅球的次數為y,當尸(y=A)取得最大值時，求女

的值.

練習15.在十余年的學習生活中，部分學生養(yǎng)成了上課轉筆的習慣.某研究小組為研究轉筆與學習成績好差的關系,

從全市若干所學校中隨機抽取100名學生進行調查，其中有上課轉筆習慣的有45人.經調查，得到這100名學生

近期考試的分數的頻率分。直力圖.記分數在600分以上的為優(yōu)秀，其余為合格.

(1)請完成下列2x2列聯表.并判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的條件下，認為成績是否優(yōu)秀與上課是否轉筆

有關.

上課轉筆上課不轉筆合計

合格25

優(yōu)秀10

合計100

⑵現采取分層抽樣的方法，從這100人中抽取10人，再從這10人中隨機抽取5人進行進一步調查，記抽到5人中

合格的人數為X,求X的分布列和數學期望.

(3)若將頻率視作概率，從全市所有在校學生中隨機抽取20人進行調查，記20人中上課轉筆的人數為攵的概率為汽燈，

當尸(女)取最大值時，求出的值.

2

2n(ad-bc)

附：/*=----：——-------.......其中n=a+b+c+d.

(a+/?)(c+J)(a+c)(b+d)

可/訓0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

題型四統(tǒng)計概率與數列

例7.甲、乙兩個袋子里各有1個白球和1個黑球，每次獨立地從兩個袋子中隨機取出1個球相互交換后放回袋中,

若第〃次交換后，甲袋中兩個球顏色相同，記X“=l,否則，X”=0.

⑴求X=0的概率;

⑵求X0=1的概率：

(3)記丫=￡>,，求E(y).

1=1

例8.投壺是中國古代士大夫宴飲時做的一種投擲游戲，是把箭向壺里投.在戰(zhàn)國時期較為盛行，在唐朝時期，發(fā)

揚光大.《醉翁亭記》中的“射”指的就是“投壺”這個游戲.為發(fā)揚傳統(tǒng)文化，喚醒中國禮儀，某單位開展投壺游戲.現

甲、乙兩人為一組玩投壺游戲，每次由其中一人投壺，規(guī)則如下：若投中則此人繼續(xù)投壺，若未投中則換為對方投

壺.無論之前投壺情況如何，甲每次投壺的命中率均為0.3,乙每次投壺的命中率均為0.4.由抽簽確定第1次投壺

的人選，第1次投壺的人是甲、乙的概率各為0.5.

(1)求第2次投壺的人是甲的概率；

⑵求第，次投壺的人是乙的概率.

舉一反三

練習16.甲、乙兩個盒子中都裝有大小、形狀、質地相同的2個黑球和1個白球，現從甲、乙兩個盒子中各任取一

個球交換放入另一個盒子中，重復，次這樣的操作后，記甲盒子中黑球的個數為X“，甲盒中恰有2個黑球

的概率為P.，恰有3個黑球的概率為優(yōu).

⑴求Pi，%：

12

⑵設的=2+2%,證明：。+1,

JJ

⑶求X,的數學期望七(X”)的值.

練習17.甲、乙兩人進行象棋比賽，賽前每人發(fā)3枚籌碼.一局后負的一方，需將自己的一枚籌碼給對方；若平局，

雙方的籌碼不動，當一方無籌碼時，比賽結束，另一方最終獲勝.由以往兩人的比賽結果可知，在一局中甲勝的概率

為0.3、乙勝的概率為0.2.

(1)第一局比賽后，甲的籌碼個數記為X,求X的分布列和期望；

(2)求四局比賽后，比賽結束的概率；

⑶若玖i=,6)表示“在甲所得籌碼為i枚時，最終甲獲勝的概率”，則《=0/=1.證明：｛匕「號。=0,12-,5)

為等比數列.

練習18.王先生準備每天從騎自行車和開車兩種出行方式中隨機選擇一種出行.從即日起出行方式選擇規(guī)則自定如

下：第一天選擇騎自行車出行，隨后每天用“一次性拋擲4枚均勻硬幣”的方法確定出行方式，若得到的正面朝上的

枚數小于3,則該天出行方式與前一天相同，否則選擇另一種出行方式.設〃表示事件”笫〃天王先生選擇

騎自行車出行”的概率.

(1)用Pi表示(〃之2)；

(2)請問王先生騎自行車的概率和開車的概率哪個更大？并說明理由.

練習19.有編號為1,2,3,…，18,19,20的20個箱子，第一個箱子有2個黃球1個綠球，其余箱子均為2個

黃球2個綠球，現從第一個箱子中取出一個球放入第二個箱子，再從第二個箱子中取出一個球放入第二個箱子，以

此類推，最后從第19個箱子取出一個球放入第20個箱子，記P,為從第i個箱子中取出黃球的概率.

⑴求化，〃3；

(2)求P：o-

練習20.某知識測試的題目均為多項選擇題，每道多項選擇題有A,B,C,。這4個選項，4個選項中僅有兩個或

三個為正確選項.題目得分規(guī)則為：全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分.已知測試過程中隨機

地從四個選項中作選擇，每個選項是否為正確選項相互獨立.若第一題正確選項為兩個的概率為g,并且規(guī)定若第

中=1,2,，〃-1)題正確選項為兩個，則第i+1題正確選項為兩個的概率為:：第中=12、〃-1)題正確選項為三

個，則第i+1題正確選項為三個的概率為;.

(1)若第二題只選了“。'一個選項，求第二題得分的分布列及期望；

⑵求第〃題正確選項為兩個的概率：

⑶若第〃題只選擇8、c兩個選項，設丫表示第〃題得分，求證：￡(r)<^.

專題10.8統(tǒng)計、概率結合其他知識

三I題型目錄

題型一統(tǒng)計概率與函數

題型二統(tǒng)計概率與導數

題型三統(tǒng)計概率與不等式

題型四統(tǒng)計概率與數列

才典例集練

題型一統(tǒng)計概率與函數

例1.體檢時，為了確定體檢人是否患有某種疾病，需要對其血液采樣進行化驗，若結果呈陽性，則患有該疾病；

若結果呈陰性，則未患有該疾病.對于〃5wN.）份血液樣本，有以下兩種檢驗方式:一是逐份檢驗，則需檢驗〃次.

二是混合檢驗，將〃份血液樣本分別取樣混合在一起，若檢驗結果為陰性，那么這〃份血液全為陰性，因而檢驗一

次就夠了；如果檢驗結果為陽性，為了明確這〃份血液究竟哪些為陽性，就需要對它們再次取樣逐份檢驗，則〃份

血液檢驗的次數共為〃+1次.已知每位體檢人未患有該疾病的概率為次（0＜〃＜1）,而且各體檢人是否患該疾病相互

獨立.

（1）若〃=￡，求3位體檢人的血液樣本混合檢驗結果為陽性的概率；

（2）某定點醫(yī)院現取得6位體檢人的血液樣本，考慮以下兩種檢驗方案：

方案一:采用混合檢驗；

方案二:平均分成兩組，每組3位體檢人血液樣本采用混合檢驗.

若檢驗次數的期望值越小，則方案越“優(yōu)”.試問方案一、二哪個更“優(yōu)”?請說明理由.

【答案】（1）［；（2）當＜匕叵或土芭時，方案一更“優(yōu)”；當〃一匕叵或〃一如8時，方案一、

96666

二一樣“優(yōu)"：當土史＜〃＜七亞時，方案二更“優(yōu)”.

66

【解析】（1）根據題意，3人混檢樣本為陰性的概率為=1,故根據對立事件得答案；

（2）采取方案一，檢驗次數記為X,可能取值為1,7,進而列概率分布列，求期望雙X）=7-6P〉采取方案二,

記檢驗次數為Y,可能取值為2,5.8,進而列概率分0列，求期望得f（丫）=8-6〃，再作差分情況討論即可得答案.

【詳解】解：(1)該混合樣本陰性的概率是=5,

Q1

根據對立事件可得，陽性的概率為

(2)方案一:混在一起檢驗，方案一的檢驗次數記為X,則X的可能取值為L7

P(X=l)=(0Jy=p2；p(x=7)=l-p2,其分布列為：

E□

EHEJ

則E（X）=7—6〃2,

方案二:由題意分析可知，每組3份樣本混合檢驗時，若陰性則檢測次數為1,概率為(折)'=〃，若陽性，則檢測次

數為4,概率為1-〃，

方案二的檢瞼次數記為y，則V的可能取值為2,5,8,

P(y=2)=/r；P(y=5)=d/?(l-p)=2p(l-p);P(y=8)=(l-p)2;

其分布列為：

Y258

PP：2〃-2P2（I"

則E(y)=2p2+5(2p_2P2)+8(l_p)?=8_6p,

E(K)-￡：(X)=8-6/?-(7-6/r)=6/r-6/?+l,

當()＜P＜匕叵或如叵＜〃＜］時，可得E(X)＜E(y),所以方案一更“優(yōu)”

66

當〃=上史或〃=出叵時，可得E(x)=E(y),所以方案一、二一樣“優(yōu)”

66

當上金＜〃＜止叵時，可得七(丫)〈風x),所以方案二更“優(yōu)”.

66

【點睛】本題考查隨機事件的概率分布列與數學期望，考查知識遷移與運算求解能力，是中檔題.本題解題的關鍵在

于根據題意寫出方案一與方案二的概率分布列，求解對應事件的概率是難點，理解并應用獨立事件的概率求解是解

決概率的基本方法，進而根據分布列求期望，并作差分類討論.

例2.從2023年起，云南省高考數學試卷中增加了多項選擇題(第9-12題是四道多選題，每題有四個選項，全部

選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分).在某次模擬考試中，每道多項選題的正確答案是兩個選項的

概率為〃，正確答案是三個選項的概率為(其中。＜〃＜】).現甲乙兩名學生獨立解題.

（I）假設每道題甲全部選對的概率為5,部分選對的概率為!，有選錯的概率為9；乙全部選對的概率為，，部分選

2446

對的概率為g，有選錯的概率為g,求這四道多選題中甲比乙多得13分的概率；

（2）對于第12題，甲同學只能正確地判斷出其中的一個選項是符合題意的，乙同學只能正確地判斷出其中的一個選

項是不符合題意的，作答時，應選擇幾個選項才有希望得到更理想的成績，請你幫助甲或者乙做出決策（只需選擇

幫助一人做出決策即可）.

【答案】（1玲

⑵答案見解析

【分析】（1）先分析包含的事件有哪些種，再求概率即可.

（2）分別求出選擇123個選項三個情況下的得分的期望，取期望最大的情況即可.

【詳解】（1）由題意知：甲比乙多得13分的情況包含：

A：甲四道全對；乙一道全對，一道部分選對，兩道選錯，即甲得20分，乙得7分.

B：甲三道全對，一道部分選對：乙兩道部分選對，兩道選錯，即甲得17分，乙得4分.

C：甲三道全對，一道選錯；乙一道部分選對，三道選錯，即甲得15分，乙得2分.

尸⑷=（小找心3?=]

尸⑻=c：

p（c）=c：

P=P（A）+P（B）+P（C）=].

（2）若為甲出方案.

則甲可能的選項個數為：1，2,3.

記A表示選1個選項的得分，則期望為石（A）=2.

記為表示選2個選項的得分，則得分可能為0,2,5,

2,、11z

P（A2=0）=/;x-+（l-p）x-=-（l+/7）

/?

P（A2=2）=-（\-p）,

P（4=5）=:〃，

J

此時期里為石（4）=°x巨上十2x2（1-P）十=上.

3333

記&表示選3個選項的得分，則得分可能為0,5

P(43=0)=/?+(I-p)x|=^i^,

P(4，=5)=(l-p)xl=l^,

此時期望為七(4)=0x罕+5'?=3寺.

JJJ

??.2>22>工

33

???甲應選擇I個選項才有希望得到更理想的成績.

若為乙出方案.

則乙可能的選項個數為：1,2,3.

(]、「21?

記用表示選1個選項的得分，類比甲的情況，則E(Bj=Oxpx-+2xpx-+(l-p)xl=2--p

IJ，L)J。

記與表示選2個選項的得分，則得分可能為0,2,5,

此時E出)=()x(〃x：)+2x(l_〃)x]+5x〃x；=2/.

記4表示選3個選項的得分，則得分可能為0,5,此時，(仄)-0K〃十5K(1-〃)K1—5-5〃.

V2--p<2—

33

2苫-(5-5〃)=竿

9

.?.當弓<〃<1時，乙應選擇2個選項才有希望得到更理想的成績.

14

9

當。<時，乙應選擇3個選項才有希望得到更理想的成績，

14

9

當〃時，乙應選擇2或3個選項都有希望得到更理想的成績.

14

舉一反三

練習I.在排查新冠肺炎患者期間，一戶4口之家被確認為“與確診患者的密切接觸者”，這種情況下醫(yī)護人員要對

其家庭成員隨機地逐一進行“核糖核酸'檢測，若出現陽性，則該家庭為“感染高危戶設該家庭每個成員檢測呈陽

性的概率均為且相互獨立，該家庭至少檢測了3個人才能確定為“感染高危戶”的概率為/(〃)，當〃=為

時，/(P)最大，則為=()

A.1-—B."C.D.—

2322

【答案】A

【分析】根據題意，先求出概率，再利用基本不等式求最大值即可.

【詳解】設事件A為：檢測了3個人確定為感染高危戶.

設事件3為：檢測了4個人確定為感染高危戶,

事件A為第一個人不是陽性，第二個人不是陽性，第三個人是陽性，所以P（A）=p（l-p『，同理P（A）=p（l「

即/（〃）=〃（1一〃『+〃（1一〃）'=〃（2-〃）（1一〃）2，

設O〈X=1-〃<1，則g(x)=/(〃)="_X)(1+X)彳2=0_/b2,

因為g（x）=（］_%2卜2=；，當且僅當一=2,即1=等時取等號，即〃=〃0=1_亨

故選：A

練習2.為降低工廠廢氣排放量，某廠生產甲、乙兩種不同型號的減排器，現分別從甲、乙兩種減排器中各自抽取

100件進行性能質量評估檢測，綜合得分情況的頻率分布直方圖如圖所示:

甲型號減排器乙型號減排器

減排器等級及利潤率如下表，其中

綜合得分攵的范圍減排器等級減排器利潤率

《之85一級品a

75必〈85二級品5a2

70JV75三級品a2

（1）若從這100件甲型號減排器中按等級分層抽樣的方法抽取10件，再從這1。件產品中隨機抽取4件，求至少

有2件一級品的概率;

（2）將頻率分布直方圖中的頻率近似地看作概率，用樣本估計總體，則:

①若從乙型號減排器中隨機抽取3件，求二級品數。的分布列及數學期望七信）；

②從長期來看，投資哪種型號的減排器平均利潤率較大？

【答案】（i）=77：（2）①二級品數j的分布列見詳解，E（g）=3j②投資乙型號減排器的平均利詞率較大.

424

【分析】（I）由已知及頻率分布直方圖中的信息知，甲型號減排器中的一級品的概率為0.6,根據分層抽樣，計算

10件減排器中一級品的個數，再利用互斥事件概率加法公式能求出至少2件一級品的概率；

7I

（2）①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，乙型號減排器中的一級品的概率為二級品的概率;，三級品的

104

概率為白，若從乙型號減排器隨機抽取3件，則二級品數4所有可能的取值為。1,2,3,且J倒3」），由此能求出

4的分布列和數學期望.

②由題意分別求出甲型號減排器的利潤的平均值和乙型號減排器的利潤的平均值，由此求出投資乙型號減排器的平

均利潤率較大.

【詳解】（1）由己知及頻率分布直方圖中的信息知，

甲型號減排器中的一級品的概率為0.08x5+0.04x5=0.6,

分層抽樣的方法抽取10件，

則抽取一級品為10x0.6=6（件）

則至少有2件一級品的概率，

C汨+C；C；+《_37

/-------------------?

042’

（2）①由已知及頻率分布直方圖中的信息知，

乙型號減排器中的一級品的概率為《，

二級品的概率—,

4

三級品的概率為《，

若從乙型號減排器隨機抽取3件，

則二級品數4所有可能的取值為04,2,3,且45（3，!）,

4

所以

227

圖%64

9

P(=2)=G?

64

尸C=3)=C；削片

所以4的分布列為

40123

272791

P

64646464

所以數學期望:

“、八27,27r9cl3

E（乙）=0x---f-1x---F2x---F3x—=一

646464644

②由題意知，甲型號減排器的利潤的平均值:

2

Ei=0.6/7+0.4xSa=1（r+0.6〃；

乙型號減排器的利潤的平均值:

-104201010

17-1，X-<a<-1,

E.-E^—cr一a一a

~1010107J98

所以投資乙型號減排器的平均利潤率較大.

【點睛】思路點睛：本題考查了頻率分布直方圖及分層抽樣和互斥事件概率的算法.求解隨機變量的分布列及期望

和利用函數思想解決實際問題.解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用.

練習3.為了解新研制的抗病毒藥物的療效，某生物科技有限公司進行動物試驗.先對所有白鼠服藥，然后對每只白

鼠的血液進行抽樣化驗，若檢測樣本結果呈陽性，則向鼠感染病毒;若檢測樣本結果呈陰性，則白鼠未感染病毒.現

隨機抽取，?(〃eN’,”22)只白鼠的血液樣本進行檢驗，有如下兩種方案：

方案一:逐只檢驗，需要檢驗〃次；

方案二:混合檢驗，將〃只白鼠的血液樣本混合在一起檢驗，若檢驗結果為陰性，則〃只白鼠未感染病毒;若檢驗結果

為陽性，則對這〃只白鼠的血液樣本逐個檢驗，此時共需要檢驗〃+1次.

⑴若〃=10,且只有兩只白鼠感染病毒，采用方案一，求恰好檢驗3次就能確定兩只感染病毒白鼠的概率；

⑵已知每只白鼠感染病毒的概率為〃(。<P<1).

①采用方案二，記檢驗次數為X,求檢驗次數X的數學期望；

②若〃=20,每次檢驗的費用相同，判斷哪種方案檢驗的費用更少?并說明理由.

【答案】⑴卷2;

45

⑵①石(X)=(〃+l)-〃(l-p)"；②答案見解析.

【分析】(1)應用獨立事件乘法公式及互斥事件加法求恰好檢驗3次就能確定兩只感染病毒白鼠的概率；

(2)①次數為X可能取值為1,〃+1,利用對立事件概率求法求各值的概率，進而求其期望；②由①得

20

E(X)-2O=l-2Ox(l-/?),根據其單調性及其零點，判斷方案檢驗的費用的大小關系.

2G1

【詳解】(I)根據題意，恰好在第一、三次確定兩只感染病毒白鼠的概率6=正>1*§=*,

恰好在第二、三次確定有兩只感染病毒白鼠的概率6=。短:=5，

109o45

7X1X7I?

所以恰好檢驗3次就能確定有兩只白鼠感染病毒的概率尸=至喙"+旨?.京.

(2)①設檢驗次數為X,可能取值為1,〃+1.

則p(X=l)=0_〃)"，P(X=,?+l)=l-(l-/?)\

所以研X)=(l—p)"+(〃+l)[l—(l—p)[=(〃+l)—〃(l