6.2.3組合 教學(xué)設(shè)計【新教材 新思維高中數(shù)學(xué)】-2021-2022學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)同步教學(xué)（人教A版（2019）選擇性必修第三冊）

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節(jié)問題1的6種選法中，存在“甲上午，乙下午”和“甲上午，乙下午”2種不同順序的選法，我們可以將它看成先選出甲、乙兩名同學(xué)，然后再分配上午和下午而得到的.同樣，先選出甲、丙、或乙、丙，再分配上午和下午也各有2種方法.從而甲、乙、丙3名同選2名去參加一項活動，就只需考慮選出的2名同學(xué)作為一組，不需要考慮他們的順序。于是，在6.2.1節(jié)問題1的6種選法中，將選出的2名同學(xué)作為一組的選法就只有如下3種情況：甲乙、甲丙、乙丙.從三個不同元素中取出兩個元素作為一組一共有多少個不同的組？一、組合的相關(guān)概念1.組合:一般地,從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素作為一組,叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合.2.相同組合:兩個組合只要元素相同,不論元素的順序如何,都是相同的.名師點析排列與組合的區(qū)別與聯(lián)系(1)共同點:兩者都是從n個不同元素中取出m(m≤n)個元素.(2)不同點:排列與元素的順序有關(guān),組合與元素的順序無關(guān).例1.校門口停放著9輛共享自行車，其中黃色、紅色和綠色的各有3輛，下面的問題是排列問題，還是組合問題？

（1）從中選3輛，有多少種不同的方法？

（2）從中選2輛給3位同學(xué)有多少種不同的方法？（1）與順序無關(guān)，是組合問題；（2）選出2輛給3位同學(xué)是有順序的，是排列問題。例2.平面內(nèi)有A，B，C，D共4個點.

（1）以其中2個點為端點的有向線段共有多少條？

（2）以其中2個點為端點的線段共有多少條？分析：（1）確定一條有向線段，不僅要確定兩個端點，還要考慮他們的順序是排列問題；

（2）確定一條線段，只需確定兩個端點，而不需要考慮它們的順序是組合問題.解：（1）一條有向線段的兩個端點，要分起點和終點，以平面內(nèi)4個點中的2個為端點的有向線段條數(shù)，就是從4個不同元素中取出2個元素的排列數(shù)，即有向線段條數(shù)為A42=4×3=12.

這AB

,

BA,AC

,

CA,AD

,

DA,BC（2）由于不考慮兩個端點的順序，因此將（1）中端點相同、方向不同的2條有向線段作為一條線段，就是中平面內(nèi)4個點中的2個點為端點的線段的條數(shù)，共有如下6條：

AB,AC,AD,BC,BD,CD.問題2：利用排列和組合之間的關(guān)系，以“元素相同”為標(biāo)準(zhǔn)分類，你能建立起例5（1）中排列和（2）中組合之間的對應(yīng)關(guān)系嗎？進(jìn)一步地，能否從這種對應(yīng)關(guān)系出發(fā)，由排列數(shù)求出組合的個數(shù)？【例1】判斷下列問題是排列問題還是組合問題.(1)a，b，c，d四支足球隊之間進(jìn)行單循環(huán)比賽，共需比賽多少場？(2)a，b，c，d四支足球隊爭奪冠、亞軍，有多少種不同的結(jié)果？(3)從全班40人中選出3人分別擔(dān)任班長、副班長、學(xué)習(xí)委員三個職務(wù)，有多少種不同的選法？(4)從全班40人中選出3人參加某項活動，有多少種不同的選法？解(1)單循環(huán)比賽要求兩支球隊之間只打一場比賽，沒有順序，是組合問題.(2)冠、亞軍是有順序的，是排列問題.(3)3人分別擔(dān)任三個不同職務(wù)，有順序，是排列問題.(4)3人參加某項相同活動，沒有順序，是組合問題.思維升華區(qū)分排列與組合的辦法是首先弄清楚事件是什么，區(qū)分的標(biāo)準(zhǔn)是有無順序，而區(qū)分有無順序的方法是：把問題的一個選擇結(jié)果寫出來，然后交換這個結(jié)果中任意兩個元素的位置，看是否產(chǎn)生新的變化，若有新變化，即說明有順序，是排列問題；若無新變化，即說明無順序，是組合問題.【訓(xùn)練1】判斷下列問題是排列問題還是組合問題.(1)集合{0，1，2，3，4}的含三個元素的子集的個數(shù)是多少？(2)某小組有9位同學(xué)，從中選出正、副班長各一名，有多少種不同的選法？若從中選出2名代表參加一個會議，有多少種不同的選法？解(1)由于集合中的元素是無序的，一個含三個元素的集合就是一個從0，1，2，3，4中取出3個數(shù)組成的集合.這是一個組合問題.(2)選正、副班長時要考慮順序，所以是排列問題；選代表參加會議是不用考慮順序的，所以是組合問題.題型二簡單的組合問題【例2】有5名教師，其中3名男教師，2名女教師.(1)現(xiàn)要從中選2名去參加會議，有__________種不同的選法；(2)選出2名男教師或2名女教師參加會議，有________種不同的選法；(3)現(xiàn)要從中選出男、女教師各2名去參加會議，有__________種不同的選法.答案(1)10(2)4(3)3解析(1)從5名教師中選2名去參加會議的選法種數(shù)，通過列舉法可得共有10種不同的方法.(2)可把問題分兩類情況：第1類，選出的2名是男教師，有3種方法；第2類，選出的2名是女教師，有1種方法.根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有3＋1＝4(種)不同選法.(3)從3名男教師中選2名的選法有3種，從2名女教師中選2名的選法有1種，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有不同的選法3×1＝3(種).思維升華(1)解簡單的組合應(yīng)用題時，首先要判斷它是不是組合問題，組合問題與排列問題的根本區(qū)別在于排列問題與取出元素之間的順序有關(guān)，而組合問題與取出元素的順序無關(guān).(2)要注意兩個基本原理的運用，即分類與分步的靈活運用.在分類和分步時，一定注意有無重復(fù)或遺漏.【訓(xùn)練2】一個口袋內(nèi)裝有大小相同的4個白球和1個黑球.(1)從口袋內(nèi)取出的3個小球，共有多少種取法？(2)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中含有1個黑球，有多少種取法？(3)從口袋內(nèi)取出3個球，使其中不含黑球，有多少種取法？解(1)從口袋內(nèi)的5個球中取出3個球，取法種數(shù)是10.(2)從口袋內(nèi)取出3個球有1個是黑球，于是需要從4個白球中取出2個，取法種數(shù)是6.(3)由于所取出的3個球中不含黑球，也就是要從4個白球中取出3個球，取法種數(shù)是4.題型三雙重元素的組合問題【例3】某中學(xué)要從4名男生和3名女生中選4人參加公益活動，若男生甲和女生乙不能同時參加，則不同的選派方案共有()A.25種 B.35種C.820種 D.840種答案A解析分三類完成：男生甲參加，女生乙不參加，只需在其余5人中選3人，有10種選法；男生甲不參加，女生乙參加，只需在其余5人中選3人，有10種選法；兩人都不參加，只需在其余5人中選4人，有5種選法.由分類加法計數(shù)原理共有10＋10＋5＝25(種)不同的選派方案.思維升華本題用到兩個計數(shù)原理解題，兩個原理的區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理每次得到的是最后結(jié)果，分步乘法計數(shù)原理每次得到的是中間結(jié)果，即每次僅完成整件事情的一部分，當(dāng)且僅當(dāng)幾個步驟全部做完后，整件事情才算完成.【訓(xùn)練3】某校開設(shè)A類選修課3門，B類選修課5門，一位同學(xué)要從中選3門.若要求兩類課程中各至少選1門，則不同的選法共有()A.15種 B.30種C.45種 D.90種答案C解析分兩類，A類選修課選1門，B選修課選2門，或者A類選修課選2門，B類選修課選1門，因此，共有3×10＋3×5＝45(種)選法.三、課堂小結(jié)1.牢記2個知識點(1)組合的概念；(2)排列與組合之間的聯(lián)系與區(qū)