6.1.2分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理（二）教學(xué)設(shè)計【新教材 新思維高中數(shù)學(xué)】-2021-2022學(xué)年上學(xué)期高二數(shù)學(xué)同步教學(xué)（人教A版（2019）選擇性必修第三冊）

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分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理區(qū)別一完成一件事共有n類辦法,關(guān)鍵詞是“分類”完成一件事共有n個步驟,關(guān)鍵詞是“分步”區(qū)別二每類辦法中的每種方法都能獨立地完成這件事,它是獨立的、一次的且每種方法得到的都是最后結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事除最后一步外,其他每步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個步驟都完成了,才能完成這件事區(qū)別三各類辦法之間是互斥的、并列的、獨立的各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨立的,“關(guān)聯(lián)”確保不遺漏,“獨立”確保不重復(fù)二、典例解析例1.要從甲、乙、丙3幅不同的畫中選出2幅，分別掛在左、右兩邊墻上的指定位置，問共有多少種不同的掛法？分析：要完成的一件事是“從3幅畫中選出2幅，并分別掛在左、右兩邊墻上”，可以分步完成.解：從3幅畫中選出2幅分別掛在左、右兩邊墻上，可以分兩個步驟完成:第1步，從3幅畫中選1幅掛在左邊墻上，有3種選法，第2步，從剩下的2幅畫中選1幅掛在右邊墻上，有2種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同掛法的種數(shù)是N=3×2=6.例2．給程序模塊命名，需要用個字符，其中首字符要求用字母或，后兩個要求用數(shù)字.問最多可以給多少個程序命名？分析：要完成一件事是“給一個程序模塊命名”，可以分三個步驟完成：第1步，首選字符，第2步，選中間字符；第3步，選最后一個字符，還有首字符又可以分為兩類。解：由分類加法計數(shù)原理，首字符不同選法的種數(shù)為，后兩個字符從中選，因為數(shù)字可以重復(fù)，所以不同選法的種數(shù)都為9.由分步乘法計數(shù)原理，不同名稱的個數(shù)是，即最多可以給1053個程序命名.例3.電子元件很容易實現(xiàn)電路的通與斷、電位的高與低等兩種狀態(tài)，而這也是最容易控制的兩種狀態(tài).因此計算機(jī)內(nèi)部就采用了每一位只有0或1兩種數(shù)字的記數(shù)法，即二進(jìn)制.為了使計算機(jī)能夠識別字符，需要對字符進(jìn)行編碼，每個字符可以用一個或多個字節(jié)來表示，其中字節(jié)是計算機(jī)中數(shù)據(jù)存儲的最小計量單位，每個字節(jié)由8個二進(jìn)制位構(gòu)成.問：（1）一個字節(jié)(8位)最多可以表示多少個不同的字符？（2）計算機(jī)漢字國標(biāo)碼(GB碼)包含了6763個漢字，一個漢字為一個字符，要對這些漢字進(jìn)行編碼，每個漢字至少要用多少個字節(jié)表示？分析：（1）要完成的一件事是“確定1個字節(jié)各二進(jìn)制位上的數(shù)字”.由于每個字節(jié)有8個二進(jìn)制位，每一位上的值都是0，1兩種選擇，而且不同的順序代表不同的字符，因此可以用分步乘法計數(shù)原理來求解；（2）只要計算出多少個字節(jié)所能表示的不同字符不少于6763個即可.解：（1）一個字節(jié)共有8位，每位上有2種選擇，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，一個字節(jié)最多可以表示2×2×2×2×2×2×2×2=28=256（2）由（1）知，用一個字節(jié)能表示256個字符，∵256<6763，一個字節(jié)不夠；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，2個字節(jié)可以表示256×256=65536個不同的字符，∵65536>6763，所以每個漢字至少要用2個字節(jié)表示.例4.計算機(jī)編程人員在編寫好程序以后需要對程序進(jìn)行調(diào)試，程序員需要知道到底有多少條執(zhí)行路徑（即程序從開始到結(jié)束的路線），以便知道需要提供多少個測試數(shù)據(jù).一般地，一個程序模塊由許多字模塊組成，如圖，這是一個具有許多執(zhí)行路徑的程序模塊，它有多少條執(zhí)行路徑？另外，為了減少測試時間，程序員需要設(shè)法減少測試次數(shù).你能幫助程序員設(shè)計一個測試方法，以減少測試次數(shù)嗎？分析：整個模塊的任意一條執(zhí)行路徑都分兩步完成：第1步是從開始執(zhí)行到A點；第2步是從A點執(zhí)行到結(jié)束.而第1步可有子模塊1、子模塊2、子模塊3中任何一個來完成；第2步可以由子模塊4、子模塊5中任何一個來完成，因此，分析一條指令在整個模塊的執(zhí)行路徑需要用到兩個技術(shù)原理.解：由分類加法計數(shù)原理，子模塊1、子模塊2,、子模塊3中的子路徑條數(shù)共為18+45+28=91；子模塊4、子模塊5中的子路徑條數(shù)共為38+43=81.又由分步乘法計數(shù)原理，整個模塊的執(zhí)行路徑條數(shù)共為91×81=7371.在實際測試中，程序員總是把每一個子模塊看成一個黑箱，即通過只考察是否執(zhí)行了正確的子模塊的方式來測試整個模塊，這樣，它可以先分別單獨測試5個模塊，以考察每個子模塊的工作是否正常，總共需要的測試次數(shù)為18+45+18+38+43=172.再測試各個模塊之間的信息交流是否正常，只需要測試程序第1步中的各個子模塊和第2步中的各個子模塊之間的信息交流是否正常，需要測試的次數(shù)為3×2=6.

如果每個子模塊都正常功能，并且各個子模塊之間的信息交流也正常，那么整個程序模塊就工作，正常這樣測試整個模塊的次數(shù)就變?yōu)?72+6=178，顯然178與7371的差距是非常大的.1.使用兩個原理的原則使用兩個原理解題時,一定要從“分類”“分步”的角度入手.“分類”是對于較復(fù)雜應(yīng)用問題的元素分成互相排斥的幾類,逐類解決,用分類加法計數(shù)原理;“分步”就是把問題分化為幾個互相關(guān)聯(lián)的步驟,然后逐步解決,這時可用分步乘法計數(shù)原理.2.應(yīng)用兩個計數(shù)原理計數(shù)的四個步驟(1)明確完成的這件事是什么.(2)思考如何完成這件事.(3)判斷它屬于分類還是分步,是先分類后分步,還是先分步后分類.(4)選擇計數(shù)原理進(jìn)行計算.

例5.通常，我國民用汽車號牌的編號由兩部分組成：第一部分為用漢字表示的省、自治區(qū)、直轄市簡稱和用英文字母表示發(fā)牌機(jī)關(guān)代號，第二部分有阿拉伯?dāng)?shù)字和英文字母組成的序號如圖，其中，序號的編碼規(guī)則為：

（1）由10個阿拉伯?dāng)?shù)字和除

O,I之外的24個英文字母組成;

（2）最多只能有2個英文字母.

如果某地級市發(fā)牌機(jī)關(guān)采用5位序號編碼，那么這個發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放多少張汽車號牌？典例解析分析：由號牌編號的組成可知，序號的個數(shù)決定了這個發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號牌數(shù)，按程序編碼規(guī)則可知，每個序號中的數(shù)字、字母都是可重復(fù)的，并且可將序號分為三類；沒有字母，有1個字母，有2個字母，以字母所在位置為分類標(biāo)準(zhǔn)，可將有1個字母的序號，分為五個子類，將有2個字母的序號，分為十個子類.解：有號牌編號的組成可知，這個發(fā)牌機(jī)關(guān)所能發(fā)放的最多號牌數(shù)就是序號的個數(shù)，根據(jù)序號編碼規(guī)則，5位序號可以分為三類：沒有字母，有1個字母，有2個字母.（1）當(dāng)沒有字母時，序號的每一位都是數(shù)字，確定一個序號可分5個步驟，每一步都可以從10個數(shù)字中選1個，各有10種選法，根據(jù)分布乘法計數(shù)原理，這類號牌張數(shù)為10×10×10×10×10=100000.（2）當(dāng)有1個字母時，這個字母可以分別在序號的第1位、第2位、第3位、第4位或第5位，這類序號可以分為五個子類.

當(dāng)?shù)?位是字母時，分5個步驟確定一個序號中的字母和數(shù)字：第1步，從24個字母中選1個放在第1位，有24種選法；第2~5步都是從10個數(shù)字中選一個放在相應(yīng)的位置，各有10種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，號牌張數(shù)為：24×10×10×10×10=240000.

同樣，其余四個子類號牌也各有240000張。根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這類號牌張數(shù)，共為240000+240000+240000+240000+240000=1200000.（3）當(dāng)有2個字母時，根據(jù)這2個字母在序號中的位置，可將這類序號分為十個子類：第1位和第2位，第1位和第3位，第1位和第4位，第1位和第5位，第2位和第3位，第2位和第4位，第2位和第5位，第3位和第4位，第3位和第5位，第4位和第5位.

當(dāng)?shù)?位和第2位是字母時，分5個步驟確定一個序號中的字母和數(shù)字：第1~2步都是從24個字母中選1個分別放在第1位，第2位，各有24種選法；第3~5步都是從10個數(shù)字中選1個放在相應(yīng)的位置，各有10種選法.根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，號牌張數(shù)為24×24×10×10×10=576000

同樣其余九個子類號牌也各有576000張

于是這類號牌張數(shù)一共為576000×10=5760000綜合（1）（2）（3）根據(jù)分類加法計數(shù)原理，這個發(fā)牌機(jī)關(guān)最多能發(fā)放的汽車號牌張數(shù)為10000十1200000+5760000=7060000.解決抽取(分配)問題的方法(1)當(dāng)涉及對象的數(shù)目不大時,一般選用列舉法、樹狀圖法、框圖法或圖表法.(2)當(dāng)涉及對象的數(shù)目很大時,一般有兩種方法:①直接使用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理.一般地,若抽取是有順序的,則按分步進(jìn)行;若是按對象特征抽取的,則按分類進(jìn)行.②間接法.去掉限制條件,計算所有的抽取方法數(shù),然后減去所有不符合條件的抽取方法數(shù)即可.歸納總結(jié)跟蹤訓(xùn)練.7名學(xué)生中有3名學(xué)生會下象棋但不會下圍棋,有2名學(xué)生會下圍棋但不會下象棋,另2名學(xué)生既會下象棋又會下圍棋.現(xiàn)從中選出會下象棋和會下圍棋的學(xué)生各1人參加比賽,共有多少種不同的選法?跟蹤訓(xùn)練解:第1類,從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計數(shù)原理得N1=3×2=6(種).第2類,從3名只會下象棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計數(shù)原理得N2=3×2=6(種).第3類,從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,同時從2名只會下圍棋的學(xué)生中選1名參加圍棋比賽,由分步乘法計數(shù)原理得N3=2×2=4(種).第4類,從2名既會下象棋又會下圍棋的學(xué)生中選1名參加象棋比賽,另一名參加圍棋比賽,有N4=2種.綜上,由分類加法計數(shù)原理可知,不同選法共有N=N1+N2+N3+N4=6+6+4+2=18(種).通過引導(dǎo)學(xué)生回顧計數(shù)原理，進(jìn)一步比較分析加