5.2.3簡單復合函數(shù)的導數(shù)（知識梳理+例題+變式+練習）（解析版）

倒賣拉黑，關(guān)注更新免費領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育倒賣拉黑，關(guān)注更新免費領(lǐng)取，淘寶唯一每月更新店鋪:知二教育5.2.3簡單復合函數(shù)的導數(shù)要點一復合函數(shù)的定義一般地，對于兩個函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱這個函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)的復合函數(shù)，記作y＝f(g(x))要點二復合函數(shù)的求導法則復合函數(shù)y＝f(g(x))的導數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導數(shù)間的關(guān)系為y′x＝y(tǒng)′u·u′x，即y對x的導數(shù)等于y對u的導數(shù)與u對x的導數(shù)的乘積，即若y＝f(g(x))，則y′＝[f(g(x))]′＝f′(g(x))·g′(x)【重點小結(jié)】(1)復合函數(shù)對自變量的導數(shù)，等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù)．(2)中學階段不涉及較復雜的復合函數(shù)的求導問題，只研究y＝f(ax＋b)型復合函數(shù)的求導，不難得到y(tǒng)′＝(ax＋b)′·f′(ax＋b)＝af′(ax＋b)．【基礎(chǔ)自測】1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)函數(shù)y＝log3(x＋1)是由y＝log3t及t＝x＋1兩個函數(shù)復合而成的．()(2)函數(shù)f(x)＝e－x的導數(shù)是f′(x)＝e－x.()(3)函數(shù)f(x)＝ln(1－x)的導數(shù)是f′(x)＝eq\f(1,1－x).()(4)函數(shù)f(x)＝sin2x的導數(shù)是f′(x)＝2cos2x.()【答案】（1）√（2）×（3）×（4）√2．(多選題)下列所給函數(shù)為復合函數(shù)的是()A．y＝ln(x－2)B．y＝lnx＋x－2C．y＝(x－2)lnxD．y＝ln2x【答案】AD【解析】函數(shù)y＝ln(x－2)是由函數(shù)y＝lnu和u＝g(x)＝x－2復合而成的，A符合；函數(shù)y＝ln2x是由函數(shù)y＝lnu和u＝2x復合而成的，D符合，B與C不符合復合函數(shù)的定義．故選AD.3．若函數(shù)f(x)＝3cos(2x＋eq\f(π,3))，則f′(eq\f(π,2))等于()A．－3eq\r(3)B．3eq\r(3)C．－6eq\r(3)D．6eq\r(3)【答案】B【解析】f′(x)＝－6sin(2x＋eq\f(π,3))∴f′(eq\f(π,2))＝－6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,2)＋\f(π,3)))＝6sineq\f(π,3)＝6×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3).故選B.4．曲線y＝e－x在點(0,1)的切線方程為________．【答案】x＋y－1＝0【解析】∵y＝e－x∴y′＝－e－x∴y′|x＝0＝－1∴切線方程為y－1＝－x即x＋y－1＝0題型一求復合函數(shù)的導數(shù)【例1】寫出下列各函數(shù)的中間變量，并利用復合函數(shù)的求導法則，求出函數(shù)的導數(shù)．(1)y＝eq\f(1,3－4x4)；(2)y＝cos(2008x＋8)；(3)y＝21－3x；(4)y＝ln(8x＋6)．【解析】(1)引入中間變量u＝φ(x)＝3－4x.則函數(shù)y＝eq\f(1,3－4x4)是由函數(shù)f(u)＝eq\f(1,u4)＝u－4與u＝φ(x)＝3－4x復合而成的．查導數(shù)公式表可得f′(u)＝－4u－5＝－eq\f(4,u5)，φ′(x)＝－4.根據(jù)復合函數(shù)求導法則可得eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3－4x4)))′＝f′(u)φ′(x)＝－eq\f(4,u5)·(－4)＝eq\f(16,u5)＝eq\f(16,3－4x5).(2)引入中間變量u＝φ(x)＝2008x＋8，則函數(shù)y＝cos(2008x＋8)是由函數(shù)f(u)＝cosu與u＝φ(x)＝2008x＋8復合而成的，查導數(shù)公式表可得f′(u)＝－sinu，φ′(x)＝2008.根據(jù)復合函數(shù)求導法則可得[cos(2008x＋8)]′＝f′(u)φ′(x)＝(－sinu)·2008＝－2008sinu＝－2008sin(2008x＋8)．(3)引入中間變量u＝φ(x)＝1－3x，則函數(shù)y＝21－3x是由函數(shù)f(u)＝2u與u＝φ(x)＝1－3x復合而成的，查導數(shù)公式表得f′(u)＝2uln2，φ′(x)＝－3，根據(jù)復合函數(shù)求導法則可得(21－3x)′＝f′(u)φ′(x)＝2uln2·(－3)＝－3×2uln2＝－3×21－3xln2.(4)引入中間變量u＝φ(x)＝8x＋6，則函數(shù)y＝ln(8x＋6)是由函數(shù)f(u)＝lnu與u＝φ(x)＝8x＋6復合而成的，查導數(shù)公式表可得f′(u)＝eq\f(1,u)，φ′(x)＝8.根據(jù)復合函數(shù)求導法則可得[ln(8x＋6)]′＝f′(u)·φ′(x)＝eq\f(8,u)＝eq\f(8,8x＋6)＝eq\f(4,4x＋3).選取中間變量，確定原函數(shù)復合方式，寫出內(nèi)層，外層函數(shù)表達式，利用復合函數(shù)求導法則求解【方法歸納】復合函數(shù)求導的步驟

【跟蹤訓練】求下列函數(shù)的導數(shù)．(1)y＝e2x＋1.(2)y＝eq\f(1,2x－13).(3)y＝5log2(1－x)．(4)y＝sin3x＋sin3x.【解析】(1)函數(shù)y＝e2x＋1可看作函數(shù)y＝eu和u＝2x＋1的復合函數(shù)，所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.(2)函數(shù)y＝eq\f(1,2x－13)可看作函數(shù)y＝u－3和u＝2x－1的復合函數(shù)，所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－eq\f(6,2x－14).(3)函數(shù)y＝5log2(1－x)可看作函數(shù)y＝5log2u和u＝1－x的復合函數(shù)，所以y′x＝y(tǒng)′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝eq\f(－5,uln2)＝eq\f(5,x－1ln2).(4)函數(shù)y＝sin3x可看作函數(shù)y＝u3和u＝sinx的復合函數(shù)，函數(shù)y＝sin3x可看作函數(shù)y＝sinv和v＝3x的復合函數(shù)．所以y′x＝(u3)′·(sinx)′＋(sinv)′·(3x)′＝3u2·cosx＋3cosv＝3sin2xcosx＋3cos3x.題型二復合函數(shù)求導法則的綜合應用【例2】(1)已知f(x)為偶函數(shù)，當x≤0時，f(x)＝e－x－1－x，則曲線y＝f(x)在點(1,2)處的切線方程是________．【答案】(1)2x－y＝0【解析】(1)設x>0，則－x<0，因為x≤0時，f(x)＝e－x－1－x，所以f(－x)＝ex－1＋x，又因為f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)＝ex－1＋x，f′(x)＝ex－1＋1，f′(1)＝e1－1＋1＝2，所以切線方程為y－2＝2(x－1)，即：2x－y＝0.(2)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ln(2－x)(a∈R)，設曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線為l，若直線l與圓C：x2＋y2＝eq\f(1,4)相切，則實數(shù)a的值為__________．【解析】(2)因為f(1)＝a，f′(x)＝2ax＋eq\f(2,x－2)(x<2)，所以f′(1)＝2a－2，所以切線l的方程為2(a－1)x－y＋2－a＝0.因為直線l與圓相切，所以圓心到直線l的距離等于半徑，即d＝eq\f(|2－a|,\r(4a－12＋1))＝eq\f(1,2)，解得a＝eq\f(11,8)【方法歸納】準確利用復合函數(shù)求導法則求出導函數(shù)是解決此類問題的第一步，也是解題的關(guān)鍵，務必做到準確．【跟蹤訓練2】(1)設曲線y＝eax在點(0,1)處的切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，則a＝________.【答案】(1)2【解析】(1)令y＝f(x)則曲線y＝eax在點(0,1)處的切線的斜率為f′(0)，又切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(x)＝(eax)′＝aeax.所以f′(0)＝ae0＝a故a＝2.(2)已知函數(shù)f(x)＝ax2＋2ln(2－x)設曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線為l，則切線l的方程為________；若直線l與圓C：x2＋y2＝eq\f(1,4)相交，則實數(shù)u的取值范圍為________．【答案】(2)2(a－1)x－y＋2－a＝0(eq\f(11,8)，＋∞)【解析】(2)f′(x)＝2ax＋eq\f(2,x－2)(x<2)∴f′(1)＝2a－2又f(1)＝a∴切線l的方程為：y－a＝(2a－2)(x－1)即2(a－1)x－y＋2－a＝0.若直線l與圓C：x2＋y2＝eq\f(1,4)相交則圓心到直線l的距離d＝eq\f(|2－a|,\r(4a－12＋1))<eq\f(1,2).解得a>eq\f(11,8)，即實數(shù)a的取值范圍為(eq\f(11,8)，＋∞)．【易錯辨析】對復合函數(shù)求導不完全致錯例3函數(shù)y＝xe1－2x的導數(shù)y′＝________.【答案】(1－2x)e1－2x【解析】y′＝e1－2x＋x(e1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x·(1－2x)′＝e1－2x＋xe1－2x(－2)＝(1－2x)e1－2x.【易錯警示】出錯原因?qū)1－2x的求導沒有按照復合函數(shù)的求導法則進行，導致求導不完全致錯糾錯心得復合函數(shù)對自變量的導數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導數(shù)乘以中間變量對自變量的導數(shù)，分步計算時，每一步都要明確是對哪個變量求導一、單選題1．隨著科學技術(shù)的發(fā)展，放射性同位素技術(shù)已經(jīng)廣泛應用于醫(yī)學、航天等眾多領(lǐng)域，并取得了顯著的經(jīng)濟效益.假設在放射性同位素釷234的衰變過程中，其含量N（單位：貝克）與時間t（單位：天）滿足函數(shù)關(guān)系，其中為時釷234的含量.已知時，釷234含量的瞬時變化率為，則（）A．12 B． C．24 D．【答案】C【分析】對求導得，根據(jù)已知有即可求，進而求.【解析】由，得，∵當時，，解得，∴，∴當時，.故選：C.2．已知是函數(shù)的導數(shù)，且對任意的實數(shù)都有，則不等式的解集是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】構(gòu)造新函數(shù)，求出后由導函數(shù)確定，注意可得，從而得出的解析式，然后解不等式即可．【解析】設，，因為，所以，所以．因此，，所以，，不等式即為，，解得或．故選：D．3．已知，函數(shù)在處的切線與直線平行，則的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】結(jié)合復合函數(shù)求導求出函數(shù)的導函數(shù)，進而求出切線的斜率，然后根據(jù)兩直線平行斜率相等得到，進而結(jié)合均值不等式即可求出結(jié)果.【解析】因為，則，因為切點為，則切線的斜率為，又因為切線與直線平行，所以，即，所以，當且僅當，即時，等號成立，則的最小值是，故選：C.4．已知函數(shù)在上可導，函數(shù)，則等于（）A． B．0 C．1 D．2【答案】B【分析】利用復合函數(shù)求導法則運算即可.【解析】∵，∴，∴.故選：B.5．已知，若，則等于（）A． B． C． D．1【答案】A【解析】因為，所以，又，所以，因為，所以，所以.故選：A.6．下列關(guān)于函數(shù)的復合過程與導數(shù)運算正確的是（）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】C【分析】直接根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)，找到內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)，即可得解.【解析】由復合函數(shù)求導法則，知函數(shù)由基本初等函數(shù)，復合而成，所以.故選：C.7．函數(shù)的導數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用復合函數(shù)進行求導，即可得到答案；【解析】，令，則，從而.故選：D.8．函數(shù)的導數(shù)為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】結(jié)合導數(shù)的運算法則即可求出結(jié)果.【解析】由題意結(jié)合導數(shù)的運算法則可得.故選：B.二、多選題9．以下函數(shù)求導正確的是()A．若，則B．若則C．若，則D．設的導函數(shù)為，且，則【答案】ACD【分析】利用求導法則逐項檢驗即可求解.【解析】對于A，，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，故C正確；對于D，，所以，故D正確．故選：ACD.10．（多選）函數(shù)（），我們可以作變形：，所以可看作是由函數(shù)和復合而成的，即（）為初等函數(shù)．對于初等函數(shù)（）的說法正確的是（）A．無極小值 B．有極小值1C．無極大值 D．有極大值【答案】AD【分析】根據(jù)材料，把函數(shù)改寫為復合函數(shù)的形式，求導，分析導函數(shù)正負，研究極值，即得解【解析】根據(jù)材料知，所以．令，得，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，所以有極大值，無極小值故選：AD．11．函數(shù)在區(qū)間，上連續(xù)，對，上任意二點與，有時，我們稱函數(shù)在，上嚴格上凹，若用導數(shù)的知識可以簡單地解釋為原函數(shù)的導函數(shù)的導函數(shù)（二階導函數(shù)）在給定區(qū)間內(nèi)恒為正，即.下列所列函數(shù)在所給定義域中“嚴格上凹”的有（）A． B．C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)題目中定義，逐個判斷各函數(shù)是否滿足條件二階導函數(shù)大于零，即可解出．【解析】由題意可知，若函數(shù)在所給定義域中“嚴格上凹”，則滿足在定義域內(nèi)恒成立．對于A，，則在時恒成立，不符合題意，故選項A錯誤；對于B，，則恒成立，符合題意，故選項B正確；對于C，，則在時恒成立，符合題意，故選項C正確；對于D，，則在時恒成立，不符合題意，故選項D錯誤.故選：BC.第II卷（非選擇題）請點擊修改第II卷的文字說明三、填空題12．若定義在上的函數(shù)滿足，，則不等式的解集為________________．【答案】【分析】構(gòu)造，由已知結(jié)合導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式.【解析】構(gòu)造，