清單02 有理數(shù)及其運算（20個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）（原卷版）-25學(xué)年七年級數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考點大串講（北師大版2024）

清單02有理數(shù)及其運算（20個考點梳理+題型解讀+提升訓(xùn)練）

【清單01】正數(shù)和負數(shù)（1）概念正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。負數(shù)：在正數(shù)前面加上負號“—”的數(shù)叫做負數(shù)。注：0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，是正數(shù)和負數(shù)的分界線，是整數(shù)，自然數(shù)，有理數(shù)。（不是帶“—”號的數(shù)都是負數(shù)，而是在正數(shù)前加“—”的數(shù)。）（2）意義：在同一個問題上，用正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量?！厩鍐?2】有理數(shù)（1）概念整數(shù)：正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。分數(shù)：正分數(shù)、負分數(shù)統(tǒng)稱分數(shù)。（有限小數(shù)與無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。）注：正數(shù)和零統(tǒng)稱為非負數(shù)，負數(shù)和零統(tǒng)稱為非正數(shù)，正整數(shù)和零統(tǒng)稱為非負整數(shù)，負整數(shù)和零統(tǒng)稱為非正整數(shù)。（2）分類：兩種

【清單03】數(shù)軸（1）概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。三要素：原點、正方向、單位長度（2）對應(yīng)關(guān)系：數(shù)軸上的點和有理數(shù)是一一對應(yīng)的?！厩鍐?4】相反數(shù)（1）概念代數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)叫做相反數(shù)。（0的相反數(shù)是0）幾何：在數(shù)軸上，離原點的距離相等的兩個點所表示的數(shù)叫做相反數(shù)。（2）性質(zhì)：若a與b互為相反數(shù)，則a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，則a與b互為相反數(shù)。（注意：當(dāng)“—”號的個數(shù)是偶數(shù)個時，結(jié)果取正號當(dāng)“—”號的個數(shù)是奇數(shù)個時，結(jié)果取負號）【清單05】絕對值（1）幾何意義：一個數(shù)的數(shù)量大小叫作這個數(shù)的絕對值。

（3）代數(shù)符號意義：注：非負數(shù)的絕對值是它本身，非正數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。（4）性質(zhì)：絕對值是a(a＞0)的數(shù)有2個，他們互為相反數(shù)。即±a。（5）非負性：任意一個有理數(shù)的絕對值都大于等于零，即|a|≥0。幾個非負數(shù)之和等于0，則每個非負數(shù)都等于0。故若|a|＋|b|＝0，則a＝0，b＝0兩個負數(shù)比較大小時，絕對值大的反而小?！厩鍐?7】加法法則⑴同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加。⑵絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值?；橄喾磾?shù)的兩個數(shù)相加得0。⑶一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。【清單08】加法運算定律（1）加法交換律：兩數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a＋b=b＋a加法結(jié)合律：在有理數(shù)加法中，三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。即a＋b＋c=（a＋b）＋c=a＋（b＋c）【清單09】減法法則減法法則：減去一個數(shù)，等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即a－b=a＋（﹣）b【清單10】乘法法則（1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘。（2）任何數(shù)同0相乘，都得0。（3）多個不為0的數(shù)相乘，負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積為正數(shù)；負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積為負數(shù)，即先確定符號，再把絕對值相乘，絕對值的積就是積的絕對值。（4）多個數(shù)相乘，若其中有因數(shù)0，則積等于0；反之，若積為0，則至少有一個因數(shù)是0?！厩鍐?1】乘法運算定律（1）乘法交換律：兩數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即a×b＝ba（2）乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。即a×b×c＝﹙a×b﹚×c＝a×﹙b×c﹚。（3）乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，在把積相加即a×﹙b＋c﹚＝a×b＋a×c。【清單12】倒數(shù)（1）定義：乘積為1的兩個數(shù)互為倒數(shù)。（2）性質(zhì)：負數(shù)的倒數(shù)還是負數(shù)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)。注意：①0沒有倒數(shù)；②倒數(shù)等于它本身的數(shù)為±1.【清單13】除法法則（1）除以一個（不等于0）的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)。（2）兩個數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。（3）0除以任何一個不等于0的數(shù)，都得0?！厩鍐?1】乘方法則運算（1）正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)（2）負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)（3）0的任何正整數(shù)次冪都是0【清單01】混合運算（1）先乘方，再乘除，最后加減。（2）同級運算，從左到右的順序進行。（3）如有括號，先算括號內(nèi)的運算，按小括號，中括號，大括號依次進行。在進行有理數(shù)的運算時，要分兩步走：先確定符號，再求值。【清單01】科學(xué)計數(shù)法1.科學(xué)記數(shù)法概念：把一個大于10的數(shù)表示成a×10n的形式（其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n為正整數(shù)）。這種記數(shù)的方法叫做科學(xué)記數(shù)法。﹙1≤|a|＜10﹚注：一個n為數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為a×10n－12.近似數(shù)的精確度：兩種形式（1）精確到某位或精確到小數(shù)點后某位。（2）保留幾個有效數(shù)字注：對于較大的數(shù)取近似數(shù)時，結(jié)果一般用科學(xué)記數(shù)法來表示例如：256000（精確到萬位）的結(jié)果是2.6×1053.有效數(shù)字：從一個數(shù)的左邊第一個非0數(shù)字起，到末尾數(shù)字止，所有的數(shù)字都是這個數(shù)的有效數(shù)。注：（1）用科學(xué)記數(shù)法表示的近似數(shù)的有效數(shù)字時，只看乘號前面的數(shù)字。例如：3.0×104的有效數(shù)字是3。（2）帶有記數(shù)單位的近似數(shù)的有效數(shù)字，看記數(shù)單位前面的數(shù)字。例如：2.605萬的有效數(shù)字是2，6，0，5?！究键c題型一】正負數(shù)

【典例1】微信錢包收入200元時在微信賬單中顯示為+200，那么支出50元將顯示為（

）A．+50 B．?50 C．+200 D．?200【變式1-1】史料證明：追溯到兩千多年前，中國人已經(jīng)開始使用負數(shù)，并應(yīng)用到生產(chǎn)和生活中．在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，如果增產(chǎn)100kg記為+100kg，那么減產(chǎn)50kgA．?100kg B．+100kg C．?50kg【變式1-2】中國是最早采用正、負數(shù)來表示相反意義的量的國家．如果收入200元記作+200元，那么虧損120元記作（

）A．+120元 B．?80元 C．?120元 D．+80元【變式1-3】如果風(fēng)車順時針旋轉(zhuǎn)66°，記作+66°，那么逆時針旋轉(zhuǎn)78°，記作（

）A．?78° B．78° C．?12° D．12°【考點題型二】相反意義的量表示

【典例2】中國是最早使用正負數(shù)表示具有相反意義的量的國家，若向東走20米記作+20米，那么向西走30米記作米．【變式2-1】如圖，表中列出了國外幾個城市與北京的時差，其中帶正號的數(shù)表示同一時刻比北京時間早的時數(shù)，比如北京的時間是7：00時，東京時間為8：00．則當(dāng)北京的時間為2024年1月28日9：00時，紐約的時間是．城市紐約巴黎東京芝加哥時差/時?13﹣7+1?14【變式2-2】如果?50元表示支出50元，那么+40元表示．【變式2-3】中國是最早采用正負數(shù)表示相反意義量的國家，如果盈利100元記作+100元，那么虧損10元可記作元．【考點題型三】有理數(shù)的概念辨析

【典例3】?3.782（

）A．是負數(shù)，不是分數(shù) B．不是分數(shù)，是有理數(shù)C．是負數(shù)，也是分數(shù) D．是分數(shù)，不是有理數(shù)【變式3-1】在?2，3.14，227，π，0.101001000……中，有理數(shù)的個數(shù)是（

A．5個 B．4個 C．3個 D．2個【變式3-2】下列各數(shù)：0，?5.11，3.151151115，227，7π中，有理數(shù)有【變式3-3】在“?1，?0.3，+116，0，?2.7”這五個數(shù)中，負有理數(shù)是【考點題型四】有理數(shù)的分類

【典例4】把下列各數(shù)填在相應(yīng)的大括號里：5，14，?3，?312，0，2010，?35，6.2正數(shù)：{

?}；負數(shù)：{

?}；非負整數(shù)：{

?}；整數(shù)：{

?}；分數(shù)：{

?}；負分數(shù)：{

?}．【變式4-1】請把下列各數(shù)填入它所屬于的集合的大括號里．1，0.0708，?700，?3.88，0，3.14，?723，正有理數(shù)集合：{

…}，負整數(shù)集合：{

…}，正分數(shù)集合：{

…}，非負整數(shù)集合：{

…}．【變式4-2】將有理數(shù)?2.5,0,21整數(shù)：{

…}；負數(shù)：{

…}；正分數(shù)：{

…}【考點題型五】有理數(shù)的大小比較【典例5】a，b兩數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖所示，將a,b,?a,?b用“<”連接，正確的是（A．?b<?a<a<b B．?b<a<?a<bC．a(chǎn)<b<?a<?b D．a(chǎn)<?b<?a<b【變式5-1】在0、1、?12、?2四個數(shù)中，最小的數(shù)是（A．?2 B．?12 C．0【變式5-2】在??5，?0.8，0，|?6|A．??5 B．?0.8 C．0 D．【變式5-3】比較大?。?2?(?6)；?123?65（填“>”“【考點題型六】數(shù)軸上兩點之間的距離

【典例6】M點在數(shù)軸上表示?4，N點離M的距離是3，那么N點表示的數(shù)為（

）A．?1 B．?7 C．?1或?7 D．?1或1【變式6-1】數(shù)軸上與原點距離是2的點有兩個，它們表示的數(shù)是（

）A．?2和0 B．2和0C．?2和2 D．?1和1【變式6-2】數(shù)軸上點P表示的數(shù)為?3，與點P距離為4個單位長度的點表示的數(shù)為．【變式6-3】數(shù)軸上兩個點之間的距離是5，其中一個點表示的數(shù)為3，則另一個點表示的數(shù)為．【考點題型七】數(shù)軸上的動點問題

【典例7】已知數(shù)軸上兩點A，B對應(yīng)的數(shù)分別為?1，3，點P為數(shù)軸上一動點，其對應(yīng)的數(shù)為x．(1)若點P為AB的中點，則點P對應(yīng)的數(shù)是．(2)數(shù)軸的原點右側(cè)有點P，使點P到點A，點B的距離之和為8．請你求出x的值．(3)現(xiàn)在點A，點B分別以每秒2個單位長度和每秒0.5個單位長度的速度同時向右運動，同時點P以每秒6個單位長度的速度從表示數(shù)1的點向左運動．當(dāng)點A與點B之間的距離為3個單位長度時，直接寫出點P對應(yīng)的數(shù)．【變式7-1】如圖所示，點A、B、C、D在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別為a、b、c、d，其中a是最大的負整數(shù)，b、c滿足b?92+c?12

(1)a=____________；b=_____________；線段BC=____________；(2)若點A以每秒3個單位長度的速度向左運動，同時點C以每秒5個單位長度的速度向左運動，設(shè)運動的時間為t秒，當(dāng)A、C兩點之間的距離為11個單位長度時，求運動時間t的值；(3)若線段AB和CD同時開始向右運動，且線段AB的速度小于線段CD的速度．在點A和點C之間有一點M，始終滿足AM=CM，在點B和點D之間有一點N，始終滿足BN=DN，此時線段MN為定值嗎?若是，請求出這個定值，若不是，請說明理由．【變式7-2】如圖，點A對應(yīng)的有理數(shù)為a，點B對應(yīng)的有理數(shù)為b，點C對應(yīng)的有理數(shù)為c，且c=?2，點C向左移動3個單位長度到達點A，向右移動5個單位長度到達點B．

(1)a=，b=；(2)若將數(shù)軸折疊，使得點A與點B重合，求與點C重合的點表示的數(shù)；(3)若點P從點A開始以3個單位長度/秒的速度向左運動，同時，點Q從點B開始以6個單位長度/秒的速度向右運動，點M從點C開始以4個單位長度/秒的速度向右運動，設(shè)運動時間t秒，則7QM?2PM的值是否隨著t的變化而改變？若變化，請說明理由；若不變，請求其值．【考點題型八】倒數(shù)的概念和相反數(shù)的概念

【典例8】?2的相反數(shù)是（

）A．?12 B．12 C．【變式8-1】2024的倒數(shù)是（

）A．2024 B．?2024 C．12024 D．【變式8-2】?57的相反數(shù)是，倒數(shù)是【考點題型九】相反數(shù)的性質(zhì)運用

【典例9】設(shè)a與b互為相反數(shù)，則?13【變式9-1】若a、b互為相反數(shù)，c是最小的非負數(shù)，d是最小的正整數(shù)，(a+b)d+d?c=．【變式9-2】已知a+4與2互為相反數(shù)，那么a=．【變式9-3】若m、n互為相反數(shù)，則|m?5+n|=．【考點題型十】絕對值定義、絕對值的性質(zhì)

【典例10】若a，b互為相反數(shù)，m的絕對值為1，則m2022+a+b的值是（A．?1 B．0或?2 C．0或?1 D．1【變式10-1】?2024的絕對值是（）A．?12024 B．12024 C．2024【變式10-2】?2的絕對值是（

）A．?2 B．?12 C．2 【變式10-3】若m=6，則m的值是（

A．?6 B．6 C．16 D．?6【變式10-3】若x=7，則x=

【考點題型十一】化簡絕對值

【典例11】已知有理數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡a+1?b?a的結(jié)果為（

A．2a?b+1 B．?b+1 C．?b?1 D．?2a?b?1【變式11-1】若ab≠0，那么aaA．?2 B．0 C．1 D．2【變式11-2】有理數(shù)m、n在數(shù)軸上的對應(yīng)點如圖所示，則下列各式子正確的是（

）A．m?n=m?nB．m?n=n?m C．n?m=n+m【變式11-3】已知x為有理數(shù)，則x+5+x?3的最小值是【考點題型十二】非負性的性質(zhì)

【典例12】如果a+1+(b?2)2=0，則A．1 B．3 C．?1 D．?3【變式12-1】已知|3a?9|+4+b2=0，則a+b=【變式12-2】已知a?3+(4?b)2=0【變式12-3】已知a+22與b?3互為相反數(shù)，則a?b=【考點題型十三】有理數(shù)的加減運算【典例13】計算：(1)?4+(2)13

【變式13-1】將?3?(+6)?(?5)+(?2)寫成省略加號的和的形式是（

）A．?3+6?5?2 B．?3?6+5?2C．?3?6?5?2 D．?3?6+5+2【變式13-2】已知x=3，y=2，且x<y，則x+y的值為【變式13-3】(?8)+10+2+(?1)【考點題型十四】有理數(shù)乘除法運算

【典例14】計算下列各題：(1)?24×?34+【變式14-1】計算：?1.5×【變式14-2】計算：(1)?12557÷(?5)；【考點題型十五】有理數(shù)的乘方

【典例15】下列各組數(shù)中，數(shù)值相等的是（

）A．23和32 B．(?2)2和?22 C．2和|?2|【變式15-1】在??3，?32，??3，?A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式15-2】下面對有理數(shù)的大小關(guān)系判斷錯誤的是（

）A．35<23 B．+?5<?【考點題型十六】有理數(shù)混合運算

【典例16】計算：(1)?23×25?6×25+18×25+25；(2)?【變式16-1】計算：(1)26?27×73?【變式16-2】計算：(1)?9÷3+12【變式16-3】計算：(1)16÷?23?22【變式16-4】計算：?13??22+?28．(3)?22?9×?1【考點題型十七】算“24”點

【典例17】根據(jù)“二十四點”游戲的規(guī)則，用僅含有加、減、乘、除及括號的運算式（每個數(shù)字只能用一次），使12，?12，3，?1的運算結(jié)果等于24：（只要寫出一個算式即可）【變式17-1】“24點的規(guī)則是四個數(shù)用且只用一次進行加、減、乘、除四則運算，使結(jié)果等24”．現(xiàn)在有四個有理數(shù)7，?2，3，?4，運用上述規(guī)則列出算式=24．【變式17-2】有一種“24點”游戲的規(guī)則：用4個整數(shù)進行有理數(shù)運算（可用括號和乘方）列出一個計算結(jié)果為24的算式，現(xiàn)有數(shù)2，﹣3，4，5，請列出“24點”的算式：（寫出一個算式即可）．【變式17-3】小明和同學(xué)們玩撲克牌游戲．游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進行混合運算，其中J代表11、Q代表12、K代表13，若每張牌上的數(shù)字只能用一次，并使得運算結(jié)果等于24．(1)小明抽到的牌如圖所示，請幫小明列出一個結(jié)果等于24的算式；(2)請你抽取任意數(shù)字不相同的4張撲克牌，并列出一個結(jié)果等于24的算式．【考點題型十八】科學(xué)計數(shù)法

【典例18】2024年國慶檔全國電影票房為21.04億元，觀影人次為5209萬，國產(chǎn)影片票房為20.17億元，占比為95.87%，其中數(shù)據(jù)20.17億用科學(xué)記數(shù)法表示是（

A．20.17×108 B．2.017×109 C．【變式18-1】我國的北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)中有一顆中高軌道衛(wèi)星高度大約是21500000米．將數(shù)21500000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．2.15×107 B．0.215×109 C．【變式18-2】2021年12月3日中老鐵路全線開通運營，全長1035000米，將1035000米用科學(xué)記數(shù)法表示應(yīng)為（

）A．10.35×105米 B．C．0.1035×107米 D．【變式18-3】2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕，在中國共產(chǎn)黨成立一百周年的重要時刻，我國脫貧攻堅戰(zhàn)取得了全面勝利，現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下9899萬農(nóng)村貧困人口全部脫貧，832個貧困縣全部摘帽，128000個貧困村全部出列，區(qū)域性整體貧困得到解決，數(shù)據(jù)128000用科學(xué)記數(shù)法表為．【考點題型十九】近似數(shù)的表示【典例19】用四舍五入法按要求對0.05019分別取近似值，其中錯誤的是（）A．0.1（精確到0.1） B．0.05（精確到百分位）C．0.5（精確到十分位） D．0.0502（精確到0.0001）【變式19-1】用四舍五入法得到的近似數(shù)2.003萬，精確到（

）A．千分位 B．萬位 C．十位 D．百位【變式19-2】有理數(shù)5.555精確到百分位的近似數(shù)為．【變式19-3】對于近似數(shù)8.10×10?3，它有【考點題型二十】有理數(shù)實際應(yīng)用

【典例20】某快遞公司小哥騎三輪摩托車從公司A出發(fā)，在一條東西走向的大街上來回投遞包裹，現(xiàn)在他一天中七次連續(xù)行駛的記錄如下表（我們約定向東為正，向西為負，單位：千米）第一次第二次第三次第四次第五次第六次第七次?3+7?9+10+4?5?2(1)快遞小哥最后一次投遞包裹結(jié)束時他在公司A的哪個方向上？距離公司A多少千米？(2)在第幾次記錄時快遞小哥距公司A地最遠，計算說明理由．(3)如果每千米耗油0.08升，每升汽油需7.2元，并且快遞小哥工作結(jié)束后要回公司A交回三輪摩托車，那么快遞小哥工作一天需要花汽油費多少元？【變式20-1】科技改變生活，當(dāng)前網(wǎng)絡(luò)銷售日益盛行，許多農(nóng)商采用網(wǎng)上銷售的方式進行營銷，實現(xiàn)脫貧致富．小明把自家種的柚子放到網(wǎng)上銷售，計劃每天銷售100千克，但實際每天的銷售量與計劃銷售量相比