2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.4.3不同函數(shù)增長的差異課時(shí)分層作業(yè)含解析新人教A版必修第一冊

PAGE5課時(shí)分層作業(yè)(三十一)不同函數(shù)增長的差異(建議用時(shí)：40分鐘)一、選擇題1．當(dāng)a>1時(shí)，有下列結(jié)論：①指數(shù)函數(shù)y＝ax，當(dāng)a越大時(shí)，其函數(shù)值的增長越快；②指數(shù)函數(shù)y＝ax，當(dāng)a越小時(shí)，其函數(shù)值的增長越快；③對數(shù)函數(shù)y＝logax，當(dāng)a越大時(shí)，其函數(shù)值的增長越快；④對數(shù)函數(shù)y＝logax，當(dāng)a越小時(shí)，其函數(shù)值的增長越快．其中正確的結(jié)論是()A．①③ B．①④C．②③ D．②④B[結(jié)合指數(shù)函數(shù)及對數(shù)函數(shù)的圖象可知①④正確．故選B.]2．y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，當(dāng)2<x<4時(shí)，有()A．y1>y2>y3 B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2 D．y2>y3>y1B[在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出這三個(gè)函數(shù)的圖象(圖略)，在區(qū)間(2,4)內(nèi)，從上到下圖象依次對應(yīng)的函數(shù)為y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.]3．某地區(qū)植被被破壞，土地沙漠化越來越嚴(yán)峻，最近三年測得沙漠增加值分別為0.2萬公頃、0.4萬公頃和0.76萬公頃，則沙漠增加數(shù)y公頃關(guān)于年數(shù)x的函數(shù)關(guān)系較為近似的是()A．y＝0.2x B．y＝eq\f(1,10)(x2＋2x)C．y＝eq\f(2x,10) D．y＝0.2＋log16xC[用解除法，當(dāng)x＝1時(shí)，解除B項(xiàng)；當(dāng)x＝2時(shí)，解除D項(xiàng)；當(dāng)x＝3時(shí)，解除A項(xiàng)．]4．在某試驗(yàn)中，測得變量x和變量y之間對應(yīng)數(shù)據(jù)，如表．x0.500.992.013.98y－1.010.010.982.00則x，y最合適的函數(shù)是()A．y＝2x B．y＝x2－1C．y＝2x－2 D．y＝log2xD[依據(jù)x＝0.50，y＝－1.01，代入計(jì)算，可以解除A；依據(jù)x＝2.01，y＝0.98，代入計(jì)算，可以解除B、C；將各數(shù)據(jù)代入函數(shù)y＝log2x，可知滿意題意．故選D.]5．四人賽跑，假設(shè)他們跑過的路程fi(x)(其中i∈{1,2,3,4})和時(shí)間x(x>1)的函數(shù)關(guān)系分別是f1(x)＝x2，f2(x)＝4x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，假如他們始終跑下去，最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是()A．f1(x)＝x2 B．f2(x)＝4xC．f3(x)＝log2x D．f4(x)＝2xD[明顯四個(gè)函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)是增長最快的，故最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是f4(x)＝2x，故選D.]二、填空題6．函數(shù)y＝x2與函數(shù)y＝xlnx在區(qū)間(0，＋∞)上增長較快的一個(gè)是________.y＝x2[當(dāng)x變大時(shí)，x比lnx增長要快，∴x2要比xlnx增長的要快．]7．下列各項(xiàng)是四種生意預(yù)期的收益y關(guān)于時(shí)間x的函數(shù)，從足夠長遠(yuǎn)的角度看，更為有前途的生意是________．①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg(x－1)；④y＝50.①[結(jié)合三類函數(shù)的增長差異可知①的預(yù)期收益最大，故填①.]8．生活閱歷告知我們，當(dāng)水注入容器(設(shè)單位時(shí)間內(nèi)進(jìn)水量相同)時(shí)，水的高度隨著時(shí)間的改變而改變，在圖中請選擇與容器相匹配的圖象，A對應(yīng)________；B對應(yīng)________；C對應(yīng)________；D對應(yīng)________．(4)(1)(3)(2)[A容器下粗上細(xì)，水高度的改變先慢后快，故與(4)對應(yīng)；B容器為球形，水高度改變?yōu)榭臁?，?yīng)與(1)對應(yīng)；C，D容器都是柱形的，水高度的改變速度都應(yīng)是直線型，但C容器細(xì)，D容器粗，故水高度的改變?yōu)椋篊容器快，與(3)對應(yīng)，D容器慢，與(2)對應(yīng)．]三、解答題9．函數(shù)f(x)＝1.1x，g(x)＝lnx＋1，h(x)＝xeq\s\up12(eq\f(1,2))的圖象如圖所示，試分別指出各曲線對應(yīng)的函數(shù)，并比較三個(gè)函數(shù)的增長差異(以1，a，b，c，d，e為分界點(diǎn))．[解]由指數(shù)爆炸、對數(shù)增長、冪函數(shù)增長的差異可得曲線C1對應(yīng)的函數(shù)是f(x)＝1.1x，曲線C2對應(yīng)的函數(shù)是h(x)＝xeq\s\up12(eq\f(1,2))，曲線C3對應(yīng)的函數(shù)是g(x)＝lnx＋1.由題圖知，當(dāng)x<1時(shí)，f(x)>h(x)>g(x)；當(dāng)1<x<e時(shí)，f(x)>g(x)>h(x)；當(dāng)e<x<a時(shí)，g(x)>f(x)>h(x)；當(dāng)a<x<b時(shí)，g(x)>h(x)>f(x)；當(dāng)b<x<c時(shí)，h(x)>g(x)>f(x)；當(dāng)c<x<d時(shí)，h(x)>f(x)>g(x)；當(dāng)x>d時(shí)，f(x)>h(x)>g(x)．10．某人對東北一種松樹的生進(jìn)步行了探討，收集了其高度h(米)與生長時(shí)間t(年)的相關(guān)數(shù)據(jù)，選擇h＝mt＋b與h＝loga(t＋1)來刻畫h與t的關(guān)系，你認(rèn)為哪個(gè)符合？并預(yù)料第8年的松樹高度．t(年)123456h(米)0.611.31.51.61.7[解]據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖如圖：由圖可以看出用一次函數(shù)模型不吻合，選用對數(shù)型函數(shù)比較合理．將(2,1)代入到h＝loga(t＋1)中，得1＝loga3，解得a＝3.即h＝log3(t＋1)．當(dāng)t＝8時(shí)，h＝log3(8＋1)＝2，故可預(yù)料第8年松樹的高度為2米．11．函數(shù)y＝2x－x2的圖象大致是()ABCDA[分別畫出y＝2x，y＝x2的圖象，由圖象可知(圖略)，有3個(gè)交點(diǎn)，∴函數(shù)y＝2x－x2的圖象與x軸有3個(gè)交點(diǎn)，故解除B，C；當(dāng)x<－1時(shí)，y<0，故解除D，故選A.]12．某林區(qū)的森林蓄積量每年比上一年平均增長10.4%，要增長到原來的x倍，需經(jīng)過y年，則函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為()ABCDD[設(shè)該林區(qū)的森林原有蓄積量為a，由題意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，所以函數(shù)y＝f(x)的圖象大致為D中圖象，故選D.]13．若已知16<x<20，利用圖象可推斷出xeq\s\up12(eq\f(1,2))和log2x的大小關(guān)系為________．xeq\s\up12(eq\f(1,2))>log2x[作出f(x)＝xeq\s\up12(eq\f(1,2))和g(x)＝log2x的圖象，如圖所示：由圖象可知，在(0,4)內(nèi)，xeq\s\up12(eq\f(1,2))>log2x；x＝4或x＝16時(shí)，xeq\s\up12(eq\f(1,2))＝log2x；在(4,16)內(nèi)，xeq\s\up12(eq\f(1,2))<log2x；在(16,20)內(nèi)，xeq\s\up12(eq\f(1,2))>log2x.]14．(一題兩空)已知某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的月產(chǎn)量y與月份x滿意關(guān)系y＝a·0.5x＋b，現(xiàn)已知該廠今年1月、2月生產(chǎn)該產(chǎn)品分別為1萬件、1.5萬件．則a＋b＝________，此廠3月份該產(chǎn)品的產(chǎn)量為________萬件．01.75[∵y＝a·0.5x＋b，且當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝1.5，則有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝a×0.5＋b，,1.5＝a×0.25＋b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝2，))∴a＋b＝0∴y＝－2×0.5x＋2.當(dāng)x＝3時(shí)，y＝－2×0.125＋2＝1.75(萬件)．]15．某化工廠開發(fā)研制了一種新產(chǎn)品，在前三個(gè)月的月生產(chǎn)量依次為100t,120t,130t．為了預(yù)料今后各個(gè)月的生產(chǎn)量，須要以這三個(gè)月的月產(chǎn)量為依據(jù)，用一個(gè)函數(shù)來模擬月產(chǎn)量y與月序數(shù)x之間的關(guān)系．對此模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)y＝f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c均為待定系數(shù)，x∈N*)或函數(shù)y＝g(x)＝pqx＋r(p，q，r均為待定系數(shù)，x∈N*)，現(xiàn)在已知該廠這種新產(chǎn)品在第四個(gè)月的月產(chǎn)量為137t，則選用這兩個(gè)函數(shù)中的哪一個(gè)作為模擬函數(shù)較好？[解]依據(jù)題意可列方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝a＋b＋c＝100，,f2＝4a＋2b＋c＝120，,f3＝9a＋3b＋c＝130.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－5，,b＝35，,c＝70.))所以y＝f(x)＝