2024年上海數(shù)學(xué)高考一輪復(fù)習(xí)必刷大題 專題2 立體幾何大題綜合含詳解

專題02立體幾何大題綜合

一、解答題

1.(2023?上海金山?統(tǒng)考二模)如圖，在正三棱柱ABC-中，己知人8=人4=2,。是A3的中點.

⑴求直線CC.與DB.所成的角的大小;

(2)求證：平面COS_L平面A84A，并求點3到平面。。片的距離.

2.(2023?上海奉賢?統(tǒng)考二模)如圖，在四棱錐?-人8c。中，AB//CD,M^BAP=Z.CDP=90.

(1)證明：平面243_L平面?AO；

Q

⑵若加=PZ)=AB=OC,/4PD=9Q，且四棱錐P-A8CQ的體積為,，求與平面A8C。所成的線面角的大小.

3.(2023?上海?華師大二附中?？寄M預(yù)測)在如圖所示的圓錐中，底面直徑與母線長均為4,點。是底面直徑A8

所對孤的中點，點。是母線力的中點.

(1)求該圓錐的側(cè)面積與體積；

(2)求異面直線AB與CD所成角的大小.

4.(2023?上海普陀?曹楊二中校考三模)如圖，在四棱錐C-ABE。中，正方形的邊長為2,平面月3蛆_!_平

面A8C,且8C_LAC,AC=6,點G,廠分別是線段反"。的中點.

(1)求證：直線GF〃平面A8C：

(2)求直線GF與平面BDE所成角的大小.

5.(2023?上海徐匯?統(tǒng)考三模)如圖，已知頂點為S的圓錐其底面圓。的半徑為8,點。為圓錐底面半圓弧4C的中

點，點P為母線SA的中點.

⑴若母線長為10,求圓錐的體積；

(2)若異面直線PQ與SO所成角大小為：，求/＞、。兩點間的距離.

4

6.(2023?上海閔行?上海市七寶中學(xué)校考二模)已知正方體ABCQ-AgCQ，點E為AA中點，直線8c交平面C￡陀

于點F.

(1)證明：點尸為8c的中點；

⑵若點.為棱的上一點'且直線"與平面8"所成角的正弦值為繚'求箸的值.

7.(2023?上海浦東新?華師大二附中?？寄M預(yù)測)如圖，直三棱柱ABC-內(nèi)接于圓柱，AB=AA.=BC=2f

平面4BC_L平面AA46

(1)證明：AC是圓柱下底面的直徑；

⑵若M為AG中點，N為CG中點，求平面A8C與平面8MN所成二面角的正弦值.

8.(2023?上海奉賢?上海市奉賢中學(xué)?？既?已知三棱錐P-ABC,/%_!_平面A8C,以=6,AC=4,ABd.BC,

M,N分別在線段PB,PC上.

(1)若PB與平面A8C所成角大小為g,求三棱錐P-ABC的體積V；

(2)若PC_L平面AMN,求證：平面P8C

9.(2023?上海閔行?上海市七寶中學(xué)校考三模)如圖，線段AA是圓柱。。1的母線，BC是圓柱下底面。的直徑.

(I)若。是弦A4的中點，且AE=；M，求證：OE〃平面A^C；

(2)若BC=2,NA8C=30。，直線4。與平面A8c所成的角為g,求異面直線A。與A3所成角的大小.

10.(2023?上海長寧?統(tǒng)考二模)如圖，在四棱錐P-A8C。中，底面ABCQ為直角梯形，ADHBC,AB1BC,AB=AD,

BC=2AB,￡尸分別為棱3C/P中點.

p

(1)求證：平面平面。CP；

⑵若平面p平面A8CQ,直線加,與平面P8C所成的角為45,且CP_LP8,求二面角P-AB-。的大小.

11.(2023?上海松江?統(tǒng)考二模)如圖，在四楂錐尸一八。「八中，底面4〃。。為平行四邊形，。是AC與/")的交點,

ZADC=45,AD=AC=2,PO_Z平面A4C。，P0=2,M是P。的中點.

(1)證明：心//平面ACM

(2)求直線AM與平面ABCD所成角的大小.

12.(2023?上海青浦?統(tǒng)考二模)如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，底面.A8C是等腰直角三角，AC=BC=AAi=2t

。為側(cè)棱AM的中點.

⑴求證：3cl平面ACGA：

(2)求二面角片-8-￡的正弦值.

13.(2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模)如圖，三角形E4。與梯形A8CO所在的平面互相垂直，AE1AD,ABLAD,

BC//AD,AB=AE=BC=2,4>=4,F、H分別為ED、區(qū)的中點.

E

(1)求證：4,〃平面AFC：

(2)求平面ACF與平面所成銳二面角的余弦值.

14.(2023?上海閔行?統(tǒng)考二模)如圖，在四棱錐P-4AC。中，底面八BO為矩形，PDI平面人*￥).PD=AD=2,

A3=4,點E在線段AB上，旦BE=1A8.

(1)求證：CE_L平面尸8。；

(2)求二面角P-CE-A的余弦值.

7

15.(2023?上海靜安?統(tǒng)考二模)如圖：在五面體A/3COE/中，/%_1_平面A8C。，AD//BC//FE,ABA.ADt若

⑴求五面體A8CDM的體積；

(2)若m為EC的中點，求證：平面。E_L平面AMD

16.(2023?上海長寧?上海市延安中學(xué)?？既?已知cABC和V人。*所在的平面巨相垂育，AD±AE,AA=2,

AC=4,Z^4C=120°,。是線段BC的中點，AD=6

(1)求證：AD±BE；

(2)設(shè)AE=2,在線段AE上是否存在點尸(異于點A),使得二面隹A-Bb-C的大小為45。.

17.(2023?上海嘉定?統(tǒng)考二模)如圖，正四棱柱ABC。-A8CA中，AB=2,點、E、尸分別是棱8c和C。的中點.

DxG

(1)判斷直線AE與。尸的關(guān)系，并說明理由；

(2)若直線D.E與底面ABCD所成角為￡,求四棱柱ABCD-ABCR的全面積.

4

18.(2023?上海黃浦?統(tǒng)考二模)如圖，多面體AGA48C。是由棱長為3的正方體A8CQ-A4GA沿平面A8G截

去一角所得到，在棱AG上取一點E，過點。I，c，E的平面交棱BG于點F.

(1)求證：EF//A.B.

(2)若。避=29，求點E到平面ARCB的距離以及E/)|與平面ARCS所成角的大小.

19.(2023?上海寶山?統(tǒng)考二模)四棱維2-48co的底面是邊長為2的菱形，ND48=60。，對角線AC與BD相交

于點。，PO工底面A8CD,P8與底面A8CQ所成的角為60。，E是08的中點.

⑴求異面直線OE與南所成角的大小(結(jié)果用反三角函數(shù)值表示)；

(2)證明：OE〃平面以。，并求點七到平面以。的距離.

20.(2023?上海浦東新?統(tǒng)考三模)如圖所示的幾何體是圓錐的一半和一個三棱錐組成，圓錐底面圓。的半徑為1,

圓錐的高PO=2,三棱錐夕-人AC的底面ABC是以圓錐的底面圓的直徑為斜邊的等腰直角三角形，且與圓錐底

面在同一個平面上.

p

(1)求直線PC和平面ABC所成角的大小；

(2)求該幾何體的表面積.

21.(2023?上海黃浦?上海市敬業(yè)中學(xué)?？既?已知，正三棱柱ABC-ABC中，A4,=2,4C=1,延長CB至

(1)求證：CA1DA,.

(2)求平面B.AD與平面AQC所成銳二面角的余弦值.

22.(2023?上海黃浦?格致中學(xué)?？既?如圖，三棱柱ABC-A/G中、四邊形/W4A是菱形,且乙=60,

(2)求直線和平面A8C所成角的正弦值;

23.(2023?上海奉賢??？寄M預(yù)測)如圖，將邊長為2的正方形A8C。沿對角線8D折疊，使得平面順/)，平面

C8。，4E_L平面AB。，且

E

(1)求證：直線EC與平面AB。沒有公共點；

(2)求點C到平面BED的距離.

24.(2023?上海徐匯?南洋中學(xué)?？既?如圖，在三棱錐尸-AAC中，P4,平面ARC,Z/?4C=90°,

|^|=|.AP|=|^C|=2,M、N分別為PA、PC的中點.

P

⑴求更線與平面A8C所成角的大??；

(2)求平面MN8與平面A8C所成二面角的大小.

25.(2023?上海寶山?上海交大附中?？既?如圖，平面A8CO,四邊形A8CO為直角梯形,

A13//CD,ZADC=90,PD=CD=2AD=2AB=2.

⑴求異面直線AB與PC所成角的大小;

(2)求二面角8-PC-。的余弦值.

專題02立體幾何大題綜合

一、解答題

1.（2023?上海金山?統(tǒng)考二模）如圖，在正三棱柱ABC-中，己知人8=人4=2,。是A3的中點.

⑴求直線CC.與DB.所成的角的大??；

（2）求證：平面COSJ平面A84A，并求點3到平面片的距離.

【答案】（l）arctan：

⑵拽

【分析】（1）根據(jù)可知所求角為N。q8,由長度關(guān)系可得結(jié)果；

（2）作用。，由面面垂直性質(zhì)可知所求距離為的，利用面積橋可求得結(jié)果.

【詳解】（1）由正三棱柱結(jié)構(gòu)特征可知：CC#BB\,陰_1平面ABC,.."C為等邊三角形;

直線CC.與DB｝所成角即為NDBB、,

QBDu平面ABC,..BB1上BD,

在Rt々8。中，tan/DBB=^=^~=L;?/。48=arclan；，

184A4,22

即直線CG與。片所成角的大小為arctang.

（2）作BE工BQ,垂足為E,

平面84_1_平面A844,平面。。8門平面4期4=4。，BEu平面A叫A,BE”D,

：.BEJL平面CDBi一?.點B到平面CDBi的距離即為BE的長，

由（1）知：BBX1BD,.?.B\D=J"22=逐,

,Q1?nIRRH||R廠BB「BD22\/5

??SBlBD=-?,D??￡=--13D,E|JBE==-==—,

2Z5D73、

???點B到平面CO4的距離為乎.

2.（2023?上海奉賢?統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐?-人8c。中，AB//CD,M^BAP=Z.CDP=90.

（1）證明：平面243_L平面?AO；

Q

⑵若加=PZ）=AB=OC,/4PD=9Q，且四棱錐P-A8CQ的體積為,，求與平面A8C。所成的線面角的大小.

【答案】（1）證明見解析

（2）30.

【分析】（1）利用面面垂直的判定定理證明；

（2）根據(jù)線面垂直的判定定理i止明得底面A8C'。，冉根據(jù)四棱錐的體枳公式求出B4=FD=A8=OC=2,

從而用線面角的定義求解.

【詳解】（1）因為在四棱錐P—A8CZ）中，NBAP=NCDP=90,

所以AB_L44,CD1PD,

乂ABHCD,所以ABJ.PO,

因為241q力二兒PAPOu平面PA。，

所以平面PAO,

因為A3u平面小所以平面平面E4O.

(2)取AO中點0,連結(jié)PO,

因為94=尸。，所以尸O_LA￡>,

由(1)知A8J.平面尸4。，AOu平面尸A。，所以A3_LPO,

因為ABcAD=A,4反4Ou底面ABCD,

所以P。」底面A3CO,

設(shè)抬=/V)=A8=￡)C=a,求得A￡>=J/+/=缶,PO=§a,

Q

因為四棱錐尸-ABC。的體積為

所以ARrn=~x加邊形<皿1XPO

=4xABx人。xPO=-xaxy/2aa=-a3=-

33233

解得a=2,

Wy.PB=yjpo-+4O2+PB2=V2+2+4=2>/2，

因為PO_Z底面A8CO,

所以NPA。為依與平面/WC。所成的角，

在Rt"O8中，sin/P8O=曹=磊弓，

所以NP8O=30.

所以必與平面A8CO所成的線面角為30.

3.(2023?上海?華師大二附中?？寄M預(yù)測)在如圖所示的圓錐中，底面直徑與母線長均為4,點C是底面直徑AB

所對弧的中點，點。是母線心的中點.

(1)求該圓錐的側(cè)面枳與體枳；

(2)求異面直線AB與CD所成角的大小.

【答案】（i）W萬；

(2)arctanx/7.

【分析】（1）由圓錐的側(cè)面積與體積公式求解即可；

（2）找到異面直線A8與CD所成角R勺平面角，計算即可.

【詳解】（1）由題意，得08=2,PB=4,

PO=yjPB2-OB2=273'

S=nrl=8TI,V=-itr2h=--n-22-2\/3=n；

333

（2）如圖：

取PO的中點￡,連接。E,CE,因為點。是母線%的中點，

所以O(shè)E/A8,

則NCQE或其補角即為異面直線A8與C。所成角，

因為P。/平面ABC,八Bu平面ABC,所以P0J,A8,所以PO_LOE,

因為點C是底面直徑4B所對弧的中點，所以。_L46,所以CO_LDE,

乂COcOE=O,且兩直線在平面內(nèi)，所以O(shè)E1平面EOC,ECu平面EOC,；?DE1EC,DE=^OA=\,

CE=\IOC2+OE2=打+（6丫=幣,

于是tanNCDE=與=幣，即異面直線AB與CD所成角的大為arctan幣.

4.（2023?上海普陀?曹楊二中?？既＃┤鐖D，在四棱錐C-ABED中，正方形人4百。的邊長為2,平面4?四_!_平

面A8C,且8C_LAC,AC=G，點G,產(chǎn)分別是線段的中點.

ED

（1）求證：直線GF〃平面A8C：

（2）求直線GF與平面BDE所成角的大小.

【答案】（1）證明見解析

%

【分析】（1）連接AE可得G尸為AC的中位線，再利用線面平行的判定定理即可得出證明：

（2）利用四棱錐的結(jié)構(gòu)特征以及線面垂直的判定定理，建立以3為坐標原點的空間直角坐標系，利用空

間向量和線面角的位置關(guān)系，即可求得直線G”與平面伙兒:所成角的大小為j

【詳解.】（I）根據(jù)題意可知，連接4凡則A石交友）與尸：如下圖所示：

在ZMCE中，”為A石的中點，又點G是線段EC的中點，

所以G尸〃AC,

又G尸0平面ABC,ACu平面A8C,

所以直線GF7/平面A8C；

（2）由平面平面ABC,H平面人平面A8C=A8,

又四邊形48ED是正方形，所以8E_LA8,又BEu平面A8ED,

所以8E_L平面ABC；

過點夕‘乍直線了平行于AC,又4C_LAC,

所以以4為坐標原點，分別以直線BC,直線直線BE為x，，z軸建立空間直角坐標系；如下圖所示:

由正方形45￡￡)的邊K為2,BC±AC,AC=，5可得，BC=\；

所以8(0,0,0),C(l,0,0),E(0,0,2),0(l,x/J,2)；

BE=(0,0,2"/)=(I,60)；

又點G/分別是線段比80的中點，所以尸

即G尸Jo,4,o］；

\2>

設(shè)平面CDE的一個法向量為〃=(x,y,z)；

n-BE=2z=0

所以可得z=0,令x=G，解得y=-l；

n-ED=x+=0

即〃=依-1,0)

設(shè)直線B與平面CQE所成的角為“0doe，則

解得0=3；

6

所以直線G廠與平面8OE所成角的大小為

0

5.(2023?上海徐匯?統(tǒng)考三模)如圖，已知頂點為S的圓錐其底面|員|。的半徑為8,點Q為圓錐底面半圓弧AC的中

Q

(1)若母線長為10,求圓錐的體積;

（2）若異面直線PQ與SO所成角大小為；，求P、。兩點間的距離.

4

【答案】⑴128兀;

（2）4710.

【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出圓錐的高，再利用錐體的體積公式計算作答.

（2）取AO的中點M,作出異面直線PQ與SO所成角，再利用線面垂直的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求解作答.

【詳解】（1）圓錐SO的底面圓半徑為X,母線長為10,而SOI貝”02+402=必2,解得$0=6,

所以圓錐的體積為丫=：乃片力=：7^82又6=128瓦.

（2）取A。的中點M,連接PM.0M,

由弧AC為圓錐底面的半圓弧知圓錐底面圓心。在AC上且為AC中點，

P為母線SA的中點，則PM"SO,PQ與SO所成角為NQPM或其補角，

由SO_L平面ACQ,得尸M_L平面人CQ,MQi平面4CQ,則

于是有tanNQPM=器=1,由。是半圓弧AC的中點可得OQ1AC,

PM

貝UPM-QM-JOQ2A-OM2-V82+42=475，

所以PQ=&|QM|=4折.

6.（2023?上海閔行?上海市七寶中學(xué)?？级＃┮阎襟w/WCQ-AMGQ,點E為中點，直線片G交平面CQE

于點F.

（1）證明：點尸為"C的中點;

（2）若點M為棱4與上一點，且直線M/與平面CDE所成角的正弦值為延，求籌的值.

25~4

【答案】（1）證明見解析.

⑵十

【詳解】（1）在正方體4BCO—AqC〃中，CO//CQ,又。。仁平面44GA，且CRu平面A%G2,

則co〃平面ASGA，而8c交平面COE于點尸，即/w平面CORF€4G,

又4C|U平面A81GA，有尸w平面AAGA，因此平面CDEC平面A4GR=E/"

于是CD//EF,而七為AA中點,

所以/為4G的中點.

（2）以。為坐標原點，Q4OCQR方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標系,

=2(04"),

則M(3.34,3),C(0,3,0)，嗚,0,3),尸整3,3),

從而產(chǎn)”二(j,3/1-3,0),0。=(0,3,0),七0二(口,0,3

I，/Iz

設(shè)平面CZ）E的一個法向量為〃=（x,y,z）,則

ir°x=2

n-CD=0

，即，不妨取x=2,則，y=0，即〃=(2,0,—1),

n-ED—0-x+3z=0

[2z=-l

設(shè)育線MG與平面CDE所成角為0,

又直線例〃與平面CQE所成角的正弦值為逑，

25

sin-」MfL________________3I

因此?研⑶后+…遙25’解得"針

..AM1

所以衣"??

7.（2023?上海浦東新?華師大二附中?？寄M預(yù)測）如圖，直三棱柱A3dA4G內(nèi)接于圓柱，AB=AA]=BC=2f

平面4BC_L平面44,3出

⑴證明：AC是圓柱下底面的直徑：

（2）若M為4G中點，N為CQ中點，求平面ABC與平面8MN所成二面角的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵答

【分析】（1）連接AB.利川平面ABC1平面4ASB可得到人用1.平面ABC,繼而得到8cd.4片，結(jié)合8CJ.A6

可得到5c工平面44罔B,所以A818C,即可求證；

（2）以｛BABCIA｝為正交基底建立空間直角坐標系B-入斗，計算出平面A8C和平面8MN的法向量，然后用夾

角公式進行求解即可

【詳解】（1）連接在直三棱柱ABC-A4G中，AB=A\=2,

???四邊形人4蜴8為正方形，.?.人用，人神，

又平面4出。_1_平面44.8#,平面ASCc平面",48=4a平面4AM3,

.-.441平面A6C,又8。u平面ABC,;.BC±AB.

又A4J平面ABC,BCu平面ABC,:.BC1A4,,

又AB|cA4,=4.AB],A4）u平面AA^Bfi,

.?.BC1平面44B出，又45u平面明8#,

4418。,，人。為圓柱底面的直徑.

（2）由已知B避1平面A8C,A8J.8C,

.?.以｛8A,8C,8月｝為正交基底建立空間直角坐標系B-Q，Z,

8(0,0,0),A(2,0,0),C(。,2,0),線(0,0,2),A(2,0,2),G(0,2,2),

?,?河,可為46，。。1中點，「?"（1』,2）,%（0,2,1）,

設(shè)平面ABC的一個法向量為J?=（N，y,zJ,

B\?〃?=0

則，又剛=(2,0,2),BC=(O,2,O),

BCm=0

2x.4-2z.=0,.

，取ZI=-l,得％=l,y=0,「.m二(1,0,—1),

設(shè)平面8MN的一個法向最為。=（七,//），

8M?〃=()

則1，又8M=(l,l,2),8N=(O,2,l),

/^V-/?=()

x2+y2+2z2=0

,取Zz=-2,得玉=3,必=1,

2%+z?=0

"=（3」,-2）,8s的加端=-^==誓,

所以平面A8C與平面BMN所成二面角的余弦值為&巨，對應(yīng)的正弦值為1J9]:叵

14丫（14J14

8.（2023?上海奉賢?上海市奉賢中學(xué)?？既＃┮阎忮F尸-A8C,?人_1_平面ABC,M=6,AC=4,ABIBC,

M,N分別在線段尸B,PCh.

⑴若PB與平面45c所成角大小為求三棱錐夕-ABC的體積V：

J

(2)若PC_L平面AMN,求證：/W_Z平面P8C

【答案】(l)4g；

(2)證明見解析.

【分析】(1)利用線面角求出A8,進而求出ABC面積，再求出體積作答.

(2)由線面垂直的判定證得8cl平面曰8,再利用線面垂直的性質(zhì)、判定推理作答.

【詳解】(1)在三棱錐P-A8C中，R4J_平面A8C,則/“8A是P3與平面A8C所成角，即NP朋=g,

而尸A14反%=6,則"=26,在/8C中，AB1BC,AC=4,有BC=2,

因此J^C的面積S*=；ABBC=；X2出乂2=26,

所以三棱錐尸-ABC的體積V=：S八碇?PA=；x2>/ix6=4后.

(2)在三棱錐P—A8C中，/，4J_平面48C,3Cu平面A8C,則P4_L3C,而A8/8C,

R4cAB=APAABu平面B4B,于是8cs平面248,AMu平面有AM_L3C,

因為PC_L平面AMN,AMu平面AMN,則八MJ.PC,又BCPC=C,BC,PCu平面PBC,

所以平面P8C.

9.(2023?上海閔行?上海市七寶中學(xué)?？既?如圖，線段AA是圓柱0a的母線，8c是圓柱下底面。的直徑.

(1)若。是弦的中點，且AE=g",求證：DE〃平面ABC；

(2)若8C=2,NA8C=30。，直線與平面ABC所成的角為々，求異面直線4。與44所成角的大小.

【答案】(1)證明見解析

(2)arccos—

4

【分析】(1)證明。E〃AB,再根據(jù)線面平行的判定定理即可得證；

(2)取線段AC的中點尸，連接4凡。尸，證明OE//S,則尸即為異面直線A4與A。所成角，證明。產(chǎn)JL平

面"C,再解RtZXA0尸即可.

【詳解】（1）因為。是弦人4的中點,

旦AE《AA，可知E是線段八A的口點，

故在，人從田中，OE為邊4/的中位線，

則。石〃A6,又A8u面A］。，且直線DE不在面4瓦?，

則。E"平面ABC；

（2）取線段4c的中點尸，連接4尸，。尸，

在58C中，線段”是A8的中位線，

故OF八B,則AAflF即為異面直線AB與4。所成角，

由題意知，AC=\,AF=-,AB=43,OF=-AB=—,

222

因為?平面ABC,AAu平面A8C,

所以AA,_LA8,

因為8C是圓柱下底面：O的直徑，所以A8/AC,

又A41cAe=A,44pAec:平面"C，所以A8工平面八人。，

所以。尸，平面AAC，

又因Afu平面AAC,所以。產(chǎn)_1_吊尸，

在RtZkA。”中，Z^C4=p故A4,=G，故JM+AO?=2,

故8$幺0尸二變二走，

044

則異面直線A。與48所成角的大小為arccos巫.

10.（2023?上海長寧?統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐夕-/WC。中，底面A3CO為直角梯形，ADHBC,AB1BC,AI3=AD,

BC=2AB,Ej-分別為棱8C8P中點.

p

⑴求證：平面AM〃平面0c尸;

⑵若平面p平面A8CQ,直線相與平面尸8c所成的角為45,且CP_LP8,求二面角2AB-。的大小.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和三角形中位線性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定可得AE〃平面DCP,EF〃平面DCP,

由面面平行的判定可證得結(jié)論；

（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可證得A2/平面28C,由線面角定義可知/4PB=45，根據(jù)二面角平面角的定義可知

所求二面角的平面角為NPKC,由長度關(guān)系可得結(jié)果.

【詳解】（1）?.E為BC中點，BC=2AB=2AD,ADIIBC,：.AD//CE,AD=CE,

???四邊形AECD為平行四邊形，

,??4￡（7平面。。尸，CDu平面DCP,.ME//平面。CP；

W分別為AC,BP中點，.?.瓦7/CP,

???M<Z平面。CP,CPu平面0cP,.?.斯〃平面0cP；

QAEIEF=E,A￡,EFu平面A樣，.?.平面4"〃平面￡）CR

（2）?,平面以Cc平面A8C￡）=8C,平面P8C1平面ABC。，八8u平面A8CQ,ABJ.BC,

.?.48/平面/>8。，」.乙428即為直線心與平面。8（7所成角，即NAP8=45；

設(shè)AB=AO=1,貝lj8c=2,

QA3_L平面PBC,尸8u平面P8C,.?.A8_L/>8,.?.尸8=AB=1；

.BCtAB,PBA,AB,BCu平面4BC,P8u平面平面ABCc平面Q4B=AB,

.?.ZPBC即為二面角P-AB-C的平面角，

VCP1PB,.-.cosZPBC=—=-,/.ZPBC=-,

BC23

即二面角Q-AB-C的大小為

H.（2023?上海松江?統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐P—AACO中，底面/WCD為平行四邊形，。是4c與的交點,

Z4DC=45,AD=AC=2,PO_Z平面ABC。，P0=2,M是PO的中點.

A

(1)證明：PA//平面ACM

(2)求直線AM與平面4BC。所成角的大小.

【答案】(1)見解析

(2)arcun^

【分析】(1)連接MO,通過中位線性質(zhì)得到從而根據(jù)線面平行的判定定理得到尸8〃平面ACM；

(2)取。。中點N,連接MMAN,利用線面垂直的性質(zhì)得MN，平面ABCD,從而將題目轉(zhuǎn)化為求/MAN的大小,

再利用勾股定理求出。0=石，則得到4N=正，最后利用反三角即可表示出角的大小.

2

【詳解】(1)連接在平行四邊形A8C。中，

因為。為AC與8。的交點，

所以。為5。的中點，

又M為。。的中點，所以PB//MO.

因為/>3N平面ACM,MOu平面ACM,

所以PB//平面ACM.

(2)取。。中點N,連接MN,AN,

因為例為7Y＞的中點，所以MN//PO,且

由P。/平面A8CO,得MV_L平面ABCZ）,

所以/MAN是直線AM與平面A8CZ）所成的角.

因為底面48co為平行四邊形，且4OC=45"，AD=AC=2,

所以NACO=45，則ND4C=90,

在Rt^DAO中,AD=2,AO—1，所以DO=#＞，從而AN=—DO=?

22

因為AmJ_平面ABCD,ANu平面ABCD,;.MN工AN,

儲MN\2也「1

所以在RjANM中，,ann肱*病在=亍，?./“川可0用，

所以直線AM與平面A8CO所成角大小為arctan也.

5

12.（2023?上海青浦?統(tǒng)考二模）如圖，在直三棱柱ABC-A4G中，底面"6C是等腰直角三角，AC=4C=M=2,

。為側(cè)棱4A的中點.

J

Q

（1）求證；3C4平面八CGA；

（2）求二面角B.-CD-C,的正弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵手

【分析】（1）證明出ACJ_AC,BC工CQ,利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立;

（2）以點C為坐標原點，CA.CB、所在直線分別為x、N、二軸建立空間直角坐標徐，利用空間向量法結(jié)合

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可求得結(jié)果.

【詳解】(1)解：因為」3c是等腰直角三角形，且AC=6C=2,則6C_LAC,

因為在直三棱柱ABC-4罔G中，CG_L平面ABC,

因為8Cu平面A8C,所以，BC±CC),

因為AC|CC|=C,ACX。。］＜=平面4。。］4，故8c1平面ACGA.

(2)解：因為CC]_L平面ABC,AC1BC,

以點C為坐標原點，C4、CB、CCJ斤在直線分別為x、＞\z軸建立如下圖所示的空間直角坐標系,

則C(O,O,O)、￡>(2,0,1),4(022)、q(0,0,2),

設(shè)平面第笫的法向量為m=(x,y,z),CD=(2,0,1),CB,=(0,2,2),

m-CD=2x+z=0

則〉取x=l,可得機=(1,2,-2),

m-CBx=2y+2z=0

易知平面CG。的一個法向量為〃=(0,1,0),

因此，二面角4-。。-G的正弦值為好.

3

13.(2023?上海浦東新?統(tǒng)考二模)如圖，三角形￡4。與梯形A8CO所在的平面互相垂直，AEA.AD,AB_L4),

BC//AD,AB=AE=BC=2,4)=4,F、H分別為ED、E4的中點.

(1)求證：〃平面

(2)求平面ACF與平面所成銳二面角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵手

6

【分析】（1）根據(jù)已知條件及三角形的中位線定理，利用平行四邊的判定及性質(zhì)，結(jié)合線面平行的判定定理即可求

解：

（2）根據(jù)已知條件、面面垂直的性質(zhì)定理和線面垂宜的性質(zhì)定理，建立.空間直角坐標系，求出相關(guān)點的坐標，求

出平面ACr和平面E48的法向量，利用向量的夾角公式，結(jié)合二面角的平面角的定義及向量夾角的關(guān)系即可求解.

【詳解】（1）連接切，

因為r、H分別為ED、石4的中點，

所以且H產(chǎn)二?A。，

又因為8C〃A。，且8c=（A。，

所以5〃8C且，尸=8C,

所以四邊形8CF”為平行四邊形，

所以BH〃CF,

又平面4/C,bu平面AFC,

所以8"〃平面AFC.

（2）因為三角形￡4。與梯形A8C。所在的平面互相垂直，AE1AD,

又平面E4/）n平面ABCD=AD,AEu平面￡4。，

所以4￡_L平面48CD,

又八笈u平面A8c。，

所以A￡_LAB,

所以以A為坐標原點，建立空間直角坐標系A(chǔ)-x），z,如圖所示

則A（0,0,0）,C（2,2,0）,。（0,4,0）,尸（0,2,1）.

所以AC=（2,2,O）,Af二（0,2,1）,

由題意知，平面E48的法向量，4=（01,0）,

設(shè)平面AFC的法向量/=（.*y,z）,則

n,-AC=02x+2j=0

，即《

2y+z=0

n2AF=0

令y=-l,則x=l,z=2,所以％=(1,-1,2),

設(shè)平面ACF與平面￡48所成銳二面角為。，則

，聞_|0xl+lx(-l)+0x2|_V6

cos"

同同1X712+(-1)?+226

所以平面Ab與平面￡43所成銳二面角的余弦值為好.

6

14.（2023?上海閔行?統(tǒng)考二模）如圖，在四棱錐尸-48CD中，底面ABCO為矩形，尸。_1平面人8。。.PD=AD=2,

"=4,點E在線段AB上，旦跖="乩

（1）求證：CE_L平面尸8。；

（2）求二面角P-CE-A的余弦值.

【答案】（1）證明見解析

⑵

21

【分析】（1）結(jié)合三角函數(shù)的定義證明8。_LC￡,然后由線面垂直的判定定理得證線面垂直;

（2）建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求二面角.

【詳解】（1）設(shè)8。與CE相交于點兒

因為PD_L平面A8CQ,CEu平面A8CQ,

所以PQ_LCE,

由A4=4,BE=-AB得BE=1,

4f

因止匕tanZ.ECB=—,tan/.ABD--,

22

可得NECB=ZABD,

因為NDBC=ZAO8,

所以NB〃C=N8AO=90。，即8O_LCE,

又因為PQ_LCE,PDcBD=D,尸平面。W九

所以CE_L平面PBD；

(2)如圖，建立空間直角坐標系Q-iyz,

則C(040),*0,0,2),￡(2,3,0),

所以PC=(0,4,-2),CE=(2,-l,0),

設(shè)平面PCE的一個法向量〃=(x,y,z),

n-CE=02.r-y=0

則，即《

n-PC=04y-2z=0'

令x=l,則5=2,z=4,于是“=(1,2,4),

平面ACE的一個法向量為^=(0,0.1),

m-n44及T

|J1||COS<〃?，fl>=;~n-r=/=----

刻|砸|M+4+1621，

由圖形可知二面角P-CE-A為銳角，

所以二面角P-CE-A的余弦值是處1.

21

15.(2023?上海靜安?統(tǒng)考二模)如圖，在五面體相。?！戤a(chǎn)中，"平面"CO,AD//BC//FE,ABA.AD,若

4)=2AF=AB=BC=FE=\.

(1)求五面體ABCDEF的體枳;

(2)若M為EC的中點，求證：平面CDE_L平面AMD

【答案】⑴:

⑵證明見解析

【分析】(1)取AO中點N,連接EMCN,易證得硒，平面43。》五面體A8COE/的體積=棱柱尸—NCE的

體積+凌錐E-CZ)N的體積，分別求出棱柱NCE的體積和棱維E-CDN的體積即可得出答案.

(2)證法1：以4為坐標原點，以加，4。，人/為x，),，z軸正半軸建立空間直角坐標系.由垂直向量的坐標運算可

證得CE_L4O,CE1MQ,即可得出CEJ_平面AMD,再由面面垂克的判定定理即可證明；證法2：由題意證得

AMLCE,MNJ_CE即可得出CEJ_平面AMO,再由面面垂直的判定定理即可證明；

【詳解】(1)因為尺。=2,AF=AI3=I3C=FE=\,取A。中點N,連接EN,CN,

因為ADHBC//FE,所以EN//AF,EN=AF=T,CN=AB=1,

又加_L平面A8CQ,4Vu平面ABCD,FA1AN,

所以EM_L平面ABC。，又因為AB_L4>,BPABA.AN,ABr>FA=A,

AZUXu平面以5,所以4VJ.平面E43,

所以AB/-NCE為底面是等腰直角三角形的直棱柱，

高等于1,三棱錐E-CDV是高等于1底面是等腰直角三角形.

五面體ABCDEF的體積=棱柱ABF-NCE的體積+棱錐E-CDN的體積.

III?

即：V=—xlxlxl+—X—xlxl=—.

(2)正法1：以A為坐標原點，以AB，A。，A/為乂)‘二軸正半軸建立空間直角坐標系.

,、ZZ、11

點C（U,O）,D（0,2,0）,E（O,1J）,M

12乙

所以AD=（0,2,0）.MO=（_；J,_；）,CE=（_1,OJ）

得到：CEAD=0,CEMD=---=0

22

所以CELAD,CE工MD,ADIMD=D,平面AMO,

所以C.EI平面AMD.又CEu平面CDF,所以平面CDF.I平面AMD.

證法2：因為AC=AE=夜，所以ZkACE為等腰三角形，M為EC的中點，所以AMJ_CE；

同理在△NCE中，MN1.CE,（N為AD中點、）乂人M、MNu平面AM。，

AMcMN=M,所以CE_L平面AMD,又CEu平面

平面COEJ_平面AMD

16.（2023?上海長寧?上海市延安中學(xué)?？既＃┮阎?C和V人OE所在的平面互相垂直，AD±AE,AB=2,

AC=4,N3AC=I2O。，。是線段的中點，AD=6

（I）求證：AD工BE；

（2）設(shè)4E=2,在線段AE上是否存在點尸（異于點A）,使得二面隹4-8。的大小為45。.

【答案】（1）證明見解析

（2）不存在，理由見解析

【分析】（1）根據(jù)余弦定理計算8。=24，根據(jù)勾股定理得到確定ADJL平面A8E,得到證明.

（2）建立空間直角坐標系，計算各點坐標，平面A3尸的一個法向量為q=（OJO）,平面CB廠的一個法向量為

。，半，2）,根據(jù)向量的夾角公式計算得到答案.

【詳解】⑴BC2=AC2+AB2-2ACA13COS\200=4+\6+S=2S,故BC=2近,

BD=汨,則8O2=A82+A。，故

y.AD±AE,AE,AAu平面叱，AEryAB=A,故AO_L平面4花,

5￡u平面ABE,故ADJ.BE,

E

(2)△ABC和△ADE所在的平面互相垂直，則平面48Cc平面4)E=A。,

A￡>_L伍且AEu平面AO￡,故4￡_1_平面48。，

如圖所示：以A氏AD,AE分別為x,)，,z軸建立空間直角坐標系，

則A（0,0,0）,8（200）,C（—2,26,0）,設(shè)尸（0,0,〃），we（0,2],

平面八3廠的一個法向量為q=（0J0）,

iun,-BC=2y/3y-4A=0

設(shè)平面CBF的一個法向量為%=(x,y.z)，則，

n2-BF=-2x+az=0

取x=Q得到n2=ja,',2],

解得〃=26,不滿足題意.

綜上所述：不存在點F，使二面角A-8產(chǎn)-。的大小為45。.

17.(2023?上海嘉定?統(tǒng)考二模)如圖，正四棱柱ABC。-A4GA中，AB=2,點、E、尸分別是棱4C和CG的中點.

（1）判斷直線與。尸的關(guān)系，并說明理由；

（2）若直線2七與底面ABC。所成角為求四楂柱ABC。-44GA的全面積.

4

【答案】（1）相交；理由見解析

（2）8—+8

【分析】（1）連結(jié)冼根據(jù)三角形的中位線得出Er〃8小且杯毛鳥。然后證明四邊形ABCQ是平行

四邊形，即可推出四邊形EFR八是梯形，進而得出結(jié)論；

（2）由題意知推得。。=。邑在RtVOCE中，解得。E=后，即可求出四棱柱的面積.

4

【詳解】（1