福建省南平市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

南平市2023-2024學(xué)年第一學(xué)期高一期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分考試形式：閉卷）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫(xiě)自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、班級(jí)和座號(hào).考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.第I卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.下列Venn圖能正確表示集合和關(guān)系的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】確定集合，的關(guān)系，然后選擇合適的圖象即可.【詳解】，又，所以，選項(xiàng)B符合，故選：B.2.函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢 B.C. D.【答案】C【解析】分析】由題意列出不等式組即可求解.【詳解】由題意，解得或，所以函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C.3.命題“”的否定為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由命題否定的定義即可得解.【詳解】命題“”的否定為.故選：B.4.設(shè)，，，則a、b、c的大小關(guān)系是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性并借助“媒介”數(shù)即可得解.【詳解】因函數(shù)在R上單調(diào)遞減，，則有，又函數(shù)在R上單調(diào)遞增，，則有，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則有，于是得，所以.故選：D5.函數(shù)的部分圖象大致是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合奇偶性以及函數(shù)值的符號(hào)性逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】由題意定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)，它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且，所以是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，且，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，對(duì)比選項(xiàng)可知，只有B選項(xiàng)符合題意.故選：B.6.不等式成立的一個(gè)充分不必要條件是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先分析不等式成立的一個(gè)充分不必要條件的性質(zhì)，再解不等式即可得解.【詳解】要成為不等式成立的一個(gè)充分不必要條件，則該條件所對(duì)應(yīng)的集合為不等式的解集的真子集，解，得，故不等式的解集為，逐一分析各選項(xiàng)，可知只有D選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的集合滿足題意，故D正確.故選：D.7.若函數(shù)在恰好有3個(gè)零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將函數(shù)在恰好有3個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上恰有條對(duì)稱(chēng)軸，利用正弦曲線列不等式求解即可.【詳解】令得，因?yàn)楹瘮?shù)在恰好有3個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)在上恰有條對(duì)稱(chēng)軸，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上恰有條對(duì)稱(chēng)軸，如圖：，則，解得.故選：C.8.已知函數(shù)，則關(guān)于的不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，判斷的單調(diào)性和奇偶性，由此求得不等式的解集.【詳解】設(shè)，由題意知，則函數(shù)的定義域?yàn)?，又，所以是奇函?shù)，當(dāng)時(shí)，為增函數(shù)，為增函數(shù)，所以是增函數(shù)，則，由是奇函數(shù)可知，在上單調(diào)遞增，由得，即，則，解得，所以不等式的解集為.故D正確.故選：D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列各式中，值為1是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用三角公式逐一計(jì)算判斷.【詳解】對(duì)于A：，正確；對(duì)于B：，錯(cuò)誤；對(duì)于C：，錯(cuò)誤；對(duì)于D：，正確.故選：AD.10.若，則下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】【分析】舉反例判斷AC；利用基本不等式判斷B；利用不等式的性質(zhì)判斷D.【詳解】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，，A不一定成立；對(duì)于B：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，B一定成立；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，，C不一定成立；對(duì)于D：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，D一定成立.故選：BD.11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)B.在上單調(diào)遞減C.若，則D.為了得到函數(shù)的圖象，只要把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】BC【解析】【分析】對(duì)于A，直接代入檢驗(yàn)即可；對(duì)于B，由余弦函數(shù)、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性即可判斷；對(duì)于C，由誘導(dǎo)公式即可判斷；對(duì)于D，由平移變換法則驗(yàn)算即可.【詳解】對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，且在內(nèi)單調(diào)遞減，可知上單調(diào)遞減，故B正確；對(duì)于C，若，則，故C正確；對(duì)于D，把函數(shù)圖象上所有的點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，所得函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)表達(dá)式為，故D錯(cuò)誤.故選：BC.12.若函數(shù)為奇函數(shù)，則（）A.B.函數(shù)的值域?yàn)镃.，且，有D.，“”是“”的充分不必要條件【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A：根據(jù)奇函數(shù)定義運(yùn)算求解；對(duì)B：可求解；對(duì)C：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義與性質(zhì)分析運(yùn)算；對(duì)D：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性整理可得恒成立，再結(jié)合充分必要條件從而可求解.【詳解】對(duì)A：由為奇函數(shù)且定義域?yàn)?，所以，即，得，故A正確；對(duì)B：由，因?yàn)?，所以，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：由，對(duì)于，且，則，因?yàn)?，所以，即，又因?yàn)?，所以，所以函?shù)在其定義域上為增函數(shù)，所以且，有，故C正確；對(duì)D：充分性：當(dāng)，因?yàn)?，由為增函?shù)，所以，故充分性滿足；必要性：由為增函數(shù)，當(dāng)恒成立，因?yàn)?，所以，解得或，故必要性不滿足；綜上可知“”是“”的充分不必要條件，故D正確.故選：ACD.第II卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，其中第16題第1空2分，第2空3分，共20分．13.半徑為2的圓中，的圓心角所對(duì)的弧的長(zhǎng)度是______．【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解.【詳解】由已知的圓心角所對(duì)的弧的長(zhǎng)度是.故答案為：.14.已知冪函數(shù)．若是奇函數(shù)，則的值為_(kāi)_____．【答案】3【解析】【分析】由冪函數(shù)的定義結(jié)合奇函數(shù)的定義即可求解.【詳解】由題意，解得或，又是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，滿足題意.故答案為：3.15.如圖是在北京召開(kāi)的第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，會(huì)標(biāo)是根據(jù)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖設(shè)計(jì)的，由4個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形．若直角三角形中較小的內(nèi)角為，大正方形的面積為1，小正方形的面積是，則______．【答案】【解析】【分析】直角三角形的兩條直角邊分別為，可得小正方形的邊長(zhǎng)為，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系即可求解.【詳解】直角三角形中較小的內(nèi)角為，則直角三角形的兩條直角邊分別為，所以小正方形的邊長(zhǎng)為，所以，即，即，所以，所以.故答案為：.16.已知函數(shù)，用表示中的較小者，記為，則函數(shù)的最大值為_(kāi)_____；若，則的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】①.1②.【解析】【分析】先確定函數(shù)的單調(diào)性，再求的最大值；不等式等價(jià)于，利用的單調(diào)性和奇偶性，求出的范圍，進(jìn)而可得的范圍.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，用表示中的較小者，記為，所以，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最大值為，不等式，即，又明顯為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，所以，解得，因?yàn)椋愠闪?，所以，即，所以的取值范圍?故答案為：；.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．17.已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過(guò)點(diǎn)．（1）求的值；（2）求的值．【答案】17.-2；18..【解析】【分析】（1）由三角函數(shù)定義代入即可求解；（2）由三角函數(shù)定義結(jié)合兩角和的正切公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)榈慕K邊過(guò)點(diǎn)，所以，，所以．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)榈慕K邊過(guò)點(diǎn)，所以，所以.18.設(shè)函數(shù)．（1）若，求不等式的解集；（2）若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式即可得解；（2）由題意得，恒成立，對(duì)分類(lèi)討論即可求解.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)，，不等式即為，解得或，所以的解集為或．【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以不等式可化為，依題意對(duì)，恒成立．所以當(dāng)時(shí)，，不符合要求；當(dāng)時(shí)，由一元二次函數(shù)性質(zhì)，可知，即，解得，因此實(shí)數(shù)的取值范圍是．19.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域，并判斷函數(shù)的奇偶性；（2）解關(guān)于x的不等式．【答案】（1），奇函數(shù)（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可求得定義域；根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可判斷函數(shù)的奇偶性；（2）將化為，再利用函數(shù)的單調(diào)性得到，解不等式結(jié)合函數(shù)的定義域可得答案.【小問(wèn)1詳解】由，得函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又,所以函數(shù)奇函數(shù)；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，所以不等式可化為，因?yàn)樵谑窃龊瘮?shù)，所以有，又，所以，解得，又，因此不等式的解集為．20.燕子每年都要進(jìn)行秋去春來(lái)的南北大遷徙，已知某種燕子在飛行時(shí)的耗氧量與飛行速度（米/秒）之間滿足關(guān)系：．（1）當(dāng)該燕子的耗氧量為1280時(shí)，它的飛行速度是多少？（2）若該燕子飛行時(shí)的耗氧量增加到原來(lái)的3倍，則它的飛行速度大約增加多少？（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1）35（米/秒）（2）8（米/秒）【解析】【分析】（1）由題意可列出指數(shù)方程，結(jié)合指數(shù)運(yùn)算，即可求得答案；（2）設(shè)該燕子原來(lái)的耗氧量為，飛行速度為，可設(shè)燕子的耗氧量為時(shí)，飛行速度為，由題意列式，化簡(jiǎn)可得，兩邊取對(duì)數(shù)，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】依題意，有，即，.又，所以，所以，解得，故該燕子的飛行速度是35（米/秒）．【小問(wèn)2詳解】設(shè)該燕子原來(lái)的耗氧量為，飛行速度為，則該燕子的耗氧量為，飛行速度記為，依題意，有，所以，則，則，所以它的飛行速度大約增加8（米/秒）.21.已知函數(shù)是偶函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)的最大值為1，求實(shí)數(shù)的值；（3）若函數(shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）1（2）4（3）【解析】【分析】（1）利用函數(shù)的奇偶性，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則即可得解；（2）利用換元法與二次函數(shù)的性質(zhì)即可得解；（3）利用參數(shù)分離法，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，即對(duì)任意恒成立，所以，則，故，由于的任意性，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，所以的最大值為1，令，則的最大值為1，①當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，，所以；②當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，，得（舍去）；綜上，實(shí)數(shù)．【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，，函?shù)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，即方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，由，得，則，即，因?yàn)楹愠闪?，所以，又在上單調(diào)遞減，故，則，所以的取值范圍是.22.已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）若方程在區(qū)間上恰有三個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)的表達(dá)式，結(jié)合正弦函數(shù)的周期公式，即可求