2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測專題14 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-函數(shù)的最值問題5題型分類-備2025年高考數(shù)學(xué)一輪專題復(fù)習(xí)全套考點(diǎn)突破和專題檢測（解析版）

專題14導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用--函數(shù)的最值問題5題型分類1.函數(shù)的最值函數(shù)最大值為極大值與靠近極小值的端點(diǎn)之間的最大者；函數(shù)最小值為極小值與靠近極大值的端點(diǎn)之間的最小者．導(dǎo)函數(shù)為（1）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．（2）當(dāng)時，最大值是與中的最大者；最小值是與中的最小者．一般地，設(shè)是定義在上的函數(shù)，在內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，求函數(shù)在上的最大值與最小值可分為兩步進(jìn)行：（1）求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；（2）將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．注：①函數(shù)的極值反映函數(shù)在一點(diǎn)附近情況，是局部函數(shù)值的比較，故極值不一定是最值；函數(shù)的最值是對函數(shù)在整個區(qū)間上函數(shù)值比較而言的，故函數(shù)的最值可能是極值，也可能是區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值；②函數(shù)的極值點(diǎn)必是開區(qū)間的點(diǎn)，不能是區(qū)間的端點(diǎn)；③函數(shù)的最值必在極值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)處取得．2.不等式的恒成立與能成立問題（1）若函數(shù)在區(qū)間D上存在最小值和最大值，則不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；不等式在區(qū)間D上恒成立；（2）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，且值域為，則不等式在區(qū)間D上恒成立．不等式在區(qū)間D上恒成立．（3）若函數(shù)在區(qū)間Ｄ上存在最小值和最大值，即，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；不等式在區(qū)間D上有解；（4）若函數(shù)在區(qū)間D上不存在最大（?。┲?，如值域為，則對不等式有解問題有以下結(jié)論：不等式在區(qū)間D上有解不等式在區(qū)間D上有解（5）對于任意的，總存在，使得；（6）對于任意的，總存在，使得；（7）若存在，對于任意的，使得；（8）若存在，對于任意的，使得；（9）對于任意的，使得；（10）對于任意的，使得；（11）若存在，總存在，使得（12）若存在，總存在，使得．（一）求函數(shù)的最值1.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值時，在得到極值的基礎(chǔ)上，結(jié)合區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值，與的各極值進(jìn)行比較得到函數(shù)的最值．2.導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．題型1：求函數(shù)的最值（不含參）1-1．（2024·全國）函數(shù)的最小值為.【答案】1【分析】由解析式知定義域為，討論、、，并結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，即可求最小值.【詳解】由題設(shè)知：定義域為，∴當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，有，此時單調(diào)遞減；當(dāng)時，，有，此時單調(diào)遞增；又在各分段的界點(diǎn)處連續(xù)，∴綜上有：時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增；∴故答案為：1.1-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)求在區(qū)間上的最大值；【答案】(1)；(2)；【分析】（1）首先求解切點(diǎn)和此點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)，然后表示出切線方程.（2）對函數(shù)求導(dǎo)，然后通過再求導(dǎo)研究導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性，從而分析出導(dǎo)數(shù)在與0的大小關(guān)系，從而求解出函數(shù)在的單調(diào)性，最后比較的大小，從而求解出函數(shù)的最大值；【詳解】（1）因為，所以，則，又，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）令，則，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增.因為，，所以，使得.所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以函數(shù)可能在或處求得最大值，又，，所以.1-3．（2024·江蘇）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)，則在上的最大值與最小值的和為．【答案】【分析】方法一：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，確定零點(diǎn)位置，求出參數(shù),再根據(jù)函數(shù)在上的單調(diào)性確定函數(shù)最值，即可解出.【詳解】［方法一］：【通性通法】單調(diào)性法求導(dǎo)得，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以函數(shù)在內(nèi)無零點(diǎn)；當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．當(dāng)時，；當(dāng)時，．要使函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有一個零點(diǎn)，只需，解得．于是函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，所以最大值與最小值之和為．故答案為：．［方法二］：等價轉(zhuǎn)化由條件知有唯一的正實(shí)根，于是．令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，當(dāng)時，；當(dāng)時，．只需直線與的圖像有一個交點(diǎn)，故，下同方法一．［方法三］：【最優(yōu)解】三元基本不等式同方法二得，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，要滿足條件只需，下同方法一．［方法四］：等價轉(zhuǎn)化由條件知有唯一的正實(shí)根，即方程有唯一的正實(shí)根，整理得，即函數(shù)與直線在第一象限內(nèi)有唯一的交點(diǎn)．于是平移直線與曲線相切時，滿足題意，如圖．設(shè)切點(diǎn)，因為，于是，解得，下同方法一．【整體點(diǎn)評】方法一：利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)在上的單調(diào)性，確定零點(diǎn)位置，求出參數(shù)，進(jìn)而問題轉(zhuǎn)化為閉區(qū)間上的最值問題，從而解出，是該類型題的通性通法；方法二：利用等價轉(zhuǎn)化思想，函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)圖象有唯一交點(diǎn)，從而求出參數(shù)，使問題得解；方法三：通過三元基本不等式確定取最值條件，從而求出參數(shù)，使問題得解，是該題的最優(yōu)解；方法四：將函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為直線與曲線相切，從而求出參數(shù)，使問題得解．1-4．（2024·遼寧葫蘆島·二模）已知函數(shù)，則的最大值是．【答案】【分析】利用導(dǎo)函數(shù)分析單調(diào)性求最值即可.【詳解】因為，所以.當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減；所以.故答案為：.1-5．（2024·全國）函數(shù)在區(qū)間的最小值、最大值分別為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出在區(qū)間上的最小值和最大值.【詳解】，所以在區(qū)間和上，即單調(diào)遞增；在區(qū)間上，即單調(diào)遞減，又，，，所以在區(qū)間上的最小值為，最大值為.故選：D題型2：求函數(shù)的最值（含參）2-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，．討論函數(shù)的最值；【答案】答案見解析【分析】根據(jù)題意，求得，分和，兩種情況討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求得函數(shù)的最值.【詳解】由函數(shù)，可得其定義域為，且，當(dāng)時，可得，在上單調(diào)遞增，無最值；當(dāng)時，令，可得，所以在上單調(diào)遞減；令，可得，所以在單調(diào)遞增，所以的最小值為，無最大值．綜上可得：當(dāng)時，無最值；當(dāng)時，的最小值為，無最大值．2-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，求在內(nèi)的最大值；【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增．(2)0【分析】（1）根據(jù)求導(dǎo)公式和運(yùn)算法則可得，由可得，，即可求解；（2）由題意可得，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而，則在內(nèi)單調(diào)遞增，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，，且．當(dāng)時，，，則，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2），令，則，由且，可得，，則，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，又當(dāng)時，，所以，在內(nèi)單調(diào)遞增，故．2-3．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，其中．(1)若a=2，求的單調(diào)區(qū)間；(2)已知，求的最小值．（參考數(shù)據(jù)：）【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)的符號，進(jìn)而確定其單調(diào)區(qū)間；（2）由題意得，即，對函數(shù)求導(dǎo)，研究導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷單調(diào)性，進(jìn)而求最小值即可.【詳解】（1）由題設(shè)，則，且，所以，當(dāng)時，當(dāng)時，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）由題意，所以，即，又，且，當(dāng)或時，或時，所以、上遞減，、上遞增，又極小值，故最小值為.2-4．（2024·天津和平·三模）已知函數(shù)，，其中.(1)若曲線在處的切線與曲線在處的切線平行，求的值；(2)若時，求函數(shù)的最小值；(3)若的最小值為，證明：當(dāng)時，.【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出，，依題意兩數(shù)相等，即可得到方程，解得即可；（2）利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值；（3）利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性，即可求出的最小值，從而得到的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值，即可得證.【詳解】（1）因為，，所以，，所以，，因為兩條切線平行，所以，解得（2）由（1）可知，令，即，即，即，又，解得，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時，函數(shù)的最小值為.（3）證明：因為，，，令，則，即，所以當(dāng)時解得，所以在上單調(diào)遞增，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，所以在處取得極小值即最小值，所以，即的最小值為的解析式為，，則，令，解得，所以當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，即在上單調(diào)遞增，所以在處取得極大值即最大值，即，所以，即當(dāng)時，總有.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．（二）根據(jù)最值求參數(shù)已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(或范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn)，探索最值點(diǎn)，根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問題．其中注意分類討論思想的應(yīng)用．題型3：根據(jù)最值求參數(shù)3-1．（2024高三上·廣西桂林·階段練習(xí)）已知函數(shù)在處取最大值，則實(shí)數(shù)（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性即可求解．【詳解】由題意得，，當(dāng)時，在上恒成立，此時單調(diào)遞增，不符合題意，當(dāng)時，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)取極大值也是最大值，故，故選：C．3-2．（2024高二下·四川綿陽·期中）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時，函數(shù)在上的最大值為，求實(shí)數(shù)的值．【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求出的導(dǎo)函數(shù)，對分類討論分析導(dǎo)函數(shù)的符號，可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）由題意，令，利用的單調(diào)性可得，從而在上單調(diào)遞減，即可確定在上的最大值，從而得解.【詳解】（1）由題意得，當(dāng)時，在上恒成立，故函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減．（2）由題意，，，令，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，則，則，則在上單調(diào)遞減，故在上的最大值為，所以.3-3．（2024高三上·河南新鄉(xiāng)·周測）若函數(shù)f（x）＝x3﹣3x在區(qū)間（a，6﹣a2）上有最小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】【分析】根據(jù)題意求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因為函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，6﹣a2）上有最小值，所以f′（x）先小于0然后再大于0，所以結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得：a＜1＜5﹣a2，進(jìn)而求出正確的答案．【詳解】由題意可得：函數(shù)f（x）＝x3﹣3x，所以f′（x）＝3x2﹣3．令f′（x）＝3x2﹣3＝0可得，x＝±1；在上遞增，在（-1，1）上遞減，在（1，+）上遞增，因為函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，6﹣a2）上有最小值，則其最小值必為f（1），1（a，6﹣a2）即a＜1＜6﹣a2，又結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得：f（a）＝a3﹣3a≥f（1）＝﹣2，且6﹣a2﹣a＞0，聯(lián)立解得：﹣2≤a＜1．故答案為[﹣2，1）．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與函數(shù)的最值的問題，屬于中檔題．3-4．（2024高二·貴州貴陽·階段練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】函數(shù)在區(qū)間上有最小值，即在這個區(qū)間上有極小值，而且極小值是開區(qū)間的最小值，從而列不等式求解即可.【詳解】，所以在和上，，函數(shù)單調(diào)遞減；在上，，函數(shù)單調(diào)遞增；且當(dāng)時，，即，所以在區(qū)間上有最小值，則：解得.故答案為：3-5．（2024·山東·一模）若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則整數(shù)的取值可以是．【答案】（答案不唯一，、均可）【分析】利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，作出圖形，求出使得的的值，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間上有最小值可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，解之即可.【詳解】因為，則.由可得，由可得或，所以，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、，所以，函數(shù)的極大值為，極小值為，令，其中，則，解得，因為函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則，解得，所以，整數(shù)的取值集合為.故答案為：（答案不唯一，、均可）.3-6．（2024高三上·吉林長春·開學(xué)考試）函數(shù)在內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】將函數(shù)在內(nèi)有最小值等價轉(zhuǎn)化成函數(shù)在內(nèi)必有極值點(diǎn)，再利用導(dǎo)函數(shù)研究極值點(diǎn)的范圍即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可得，函數(shù)的定義域為，易知，若函數(shù)在內(nèi)有最小值，則函數(shù)在內(nèi)必有極值點(diǎn)，又，不妨設(shè)為方程的兩個不相等實(shí)數(shù)根，則有，不妨令，因此即可；令，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，解得；經(jīng)檢驗在內(nèi)有最小值，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)在某開區(qū)間上有最值問題一般情況下是轉(zhuǎn)化成有極值點(diǎn)，再將極值點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成其導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)的問題，利用零點(diǎn)存在定理即可實(shí)現(xiàn)問題求解.3-7．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知四棱錐的各個頂點(diǎn)都在同一個球面上．若該球的體積為，則該四棱錐體積的最大值是．【答案】/【分析】根據(jù)球的體積求出半徑，再判斷出體積最大時為正四棱錐，根據(jù)直角三角形中勾股定理求出正四棱錐底面邊長和高的關(guān)系，表示出正四棱錐的體積，通過導(dǎo)數(shù)求得其最大值.【詳解】球的體積,球的半徑要使該四棱錐體積最大，如圖四棱錐，對于底面所在的小圓中，頂點(diǎn)到該小圓面距離最大，也就是高最大，即點(diǎn)位于小圓圓心與球心所在直線與球面的交點(diǎn)（遠(yuǎn)離小圓圓心的那點(diǎn)）；同時要使四棱錐體積最大，底面四邊形面積取最大，（其中為與的夾角）所以當(dāng)、取最大即小圓的直徑，取最大為1時，即時，底面四邊形面積最大，也就是四邊形為正方形時，其面積最大，因此當(dāng)四棱錐為正四棱錐時，其體積最大.

設(shè)，高，則,在Rt中，,即，所以正四棱錐的體積，故當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以時，函數(shù)取得最大值故答案為：.3-8．（2024高三下·云南昆明·階段練習(xí)）已知函數(shù)在區(qū)間上最大值為M，最小值為m，則的值是.【答案】【分析】求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出最值，得到答案.【詳解】由題意，，，在上，故函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，，故的值是.故答案為：3-9．（2024·貴州畢節(jié)·模擬預(yù)測）當(dāng)時，函數(shù)的最小值為1，則．【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)得到函數(shù)單調(diào)性，再分和討論即可.【詳解】當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，令，解得，若，即，此時在和上單調(diào)遞減，注意當(dāng)分別代入分段函數(shù)的解析式得到的值均為，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則此時，解得，但不滿足，故舍去；若，即，此時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則此時，解得，滿足，綜上所述，.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是通過導(dǎo)數(shù)求出當(dāng)時，從而得到導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，然后討論與0的大小關(guān)系，即對進(jìn)行分類討論得到值.（三）函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用求函數(shù)在區(qū)間上的最值的方法：（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則與一個為最大值，另一個為最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，則要求先求出函數(shù)在區(qū)間上的極值，再與、比大小，最大的為最大值，最小的為最小值；（3）若函數(shù)在區(qū)間上只有唯一的極大點(diǎn)，則這個極值點(diǎn)就是最大（最?。┲迭c(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到.題型4：函數(shù)單調(diào)性、極值、最值得綜合應(yīng)用4-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．(1)若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)討論函數(shù)的零點(diǎn)個數(shù)；(3)求在內(nèi)的最值．【答案】(1)(2)有2個零點(diǎn)(3)最大值為，最小值為．【分析】（1）由已知可得，，根據(jù)已知可得，所以，代入可得，求導(dǎo)進(jìn)而根據(jù)已知，可推得在內(nèi)恒成立，分，，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案；（2）由已知可得，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間以及極大值，又，根據(jù)零點(diǎn)的存在性定理以及，即可得出函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)；（3）由已知，求出導(dǎo)函數(shù).構(gòu)造，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出恒成立，進(jìn)而即可得出恒成立，所以在上單調(diào)遞減，根據(jù)單調(diào)性即可得出答案.【詳解】（1）由已知可得，.因為是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以當(dāng)時，，即，所以.此時有，.令，，則在上恒成立，所以，即在上單調(diào)遞減.又當(dāng)時，，所以時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以，當(dāng)時，函數(shù)取得極小值，所以，所以．則，所以，．因為，所以.設(shè)，要使在內(nèi)單調(diào)遞減，則應(yīng)有在內(nèi)恒成立，只需在內(nèi)恒成立，只需在上的最小值即可．當(dāng)時，滿足條件；當(dāng)時，，此時，函數(shù)在處有最小值，所以，解得，所以；當(dāng)時，，此時，要使在上恒成立，所以只需，解得，所以.綜上可知，實(shí)數(shù)m的取值范圍為．（2）由已知可得，，則.因為，所以，.當(dāng)時，有.當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減.故的極大值為.又，由零點(diǎn)存在性定理知，可知在內(nèi)存在一個零點(diǎn).又，故函數(shù)有2個零點(diǎn)．（3）由題可得（且），則.設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞增.所以，故恒成立.又因為當(dāng)且時，，所以恒成立，所以在上單調(diào)遞減，故在內(nèi)的最大值為，最小值為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)的個數(shù)：先求出導(dǎo)函數(shù)，然后得出函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的極值，結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理，即可得出零點(diǎn)的個數(shù).4-2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知．(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值點(diǎn)；(2)求函數(shù)在上的最值．【答案】(1)極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為(2)最小值為0，最大值為【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)討論的單調(diào)區(qū)間，然后可得；（2）利用二次導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性即可求解.【詳解】（1）由得．令，解得，，即，．又，所以，．，隨x變化而變化的情況如下表所示：x+0-0+↑極大值↓極小值↑所以函數(shù)在內(nèi)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為．（2）由題知．，記，則．因為，所以，又，所以，所以函數(shù)單調(diào)遞增，，所以當(dāng)時，，即，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時，，即，函數(shù)單調(diào)遞增．，，，顯然，所以函數(shù)在上的最小值為，最大值為．4-3．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中．(1)當(dāng)時，求函數(shù)在內(nèi)的極值；(2)若函數(shù)在上的最小值為5，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)極大值為9，無極小值(2)【分析】（1）首先求得導(dǎo)函數(shù)，然后利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，據(jù)此可求得函數(shù)的值域；（2）求得函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的符號確定函數(shù)的單調(diào)性，分類討論即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由題意得，當(dāng)時，，則，令，得，，，在內(nèi)隨x變化而變化的情況如下表所示：x1+0單調(diào)遞增極大值9單調(diào)遞減故在內(nèi)的極大值為9，無極小值；（2），①當(dāng)時，，且不恒為0，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上，，由題意，則，解得，與矛盾，②當(dāng)時，，且不恒為0，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在上，，符合題意，③當(dāng)時，當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在上，，由題意，則，即，即，即，解得或，與矛盾，綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求函數(shù)在區(qū)間上的最值的方法：（1）若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則與一個為最大值，另一個為最小值；（2）若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，則要求先求出函數(shù)在區(qū)間上的極值，再與、比大小，最大的為最大值，最小的為最小值；（3）若函數(shù)在區(qū)間上只有唯一的極大點(diǎn)，則這個極值點(diǎn)就是最大（最小）值點(diǎn)，此結(jié)論在導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常用到.4-4．（2024·天津河北·二模）已知，函數(shù)，其中e是自然對數(shù)的底數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)求證：函數(shù)存在極值點(diǎn)，并求極值點(diǎn)的最小值.【答案】(1)(2)單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為(3)證明見解析，的最小值是e．【分析】（1）先求的導(dǎo)函數(shù),再點(diǎn)斜式求曲線在點(diǎn)處的切線方程（2）先求的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)的正負(fù)判定函數(shù)的增減即可；（3）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的分母正，需要分子有變號零點(diǎn)，轉(zhuǎn)變?yōu)殡p變量函數(shù)的恒成立和有解問題，利用導(dǎo)數(shù)再次確定新函數(shù)單調(diào)性和最值即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，,,,,曲線在點(diǎn)處的切線方程,切線方程.（2）當(dāng)時，，則令，得；令，得；所以，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．（3）令，因為，所以方程，有兩個不相等的實(shí)根，又因為，所以，令，列表如下:-0+減極小值增所以存在極值點(diǎn).所以存在使得成立，所以存在使得，所以存在使得對任意的有解，因此需要討論等式左邊的關(guān)于的函數(shù)，記，所以，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．所以當(dāng)時，的最小值為．所以需要，即需要，即需要，即需要因為在上單調(diào)遞增，且，所以需要，故的最小值是e．4-5．（四川省宜賓市2023屆高三三模數(shù)學(xué)（理科）試題）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的極值點(diǎn)個數(shù)；(2)若，的最小值是，求實(shí)數(shù)m的所有可能值.【答案】(1)時，恰有一個極值點(diǎn)；時，恰有三個極值點(diǎn)；(2).【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，按與分類討論，并借助零點(diǎn)存在性定理推理作答.（2）利用（1）中信息，按與探討利用導(dǎo)數(shù)函數(shù)的最小值作答.【詳解】（1）函數(shù)的定義域是，求導(dǎo)得，令，求導(dǎo)得，遞減，遞增，，①當(dāng)時，，遞減，遞增，有1個極小值點(diǎn)；②當(dāng)時，，令，則，函數(shù)在上遞增，，即，當(dāng)時，，此時，使得，令，有，令，，即有在上遞增，，函數(shù)在上遞增，，則，當(dāng)時，，此時，使得，因此遞減，遞增，遞減，遞增，有3個極值點(diǎn)，所以當(dāng)時，恰有一個極值點(diǎn)；當(dāng)時，恰有三個極值點(diǎn).（2）由（1）知，①當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，即，令，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，則；②當(dāng)時，，使得，，使得，遞減，遞增，遞減，遞增，其中，則，顯然符合要求，即有，綜上提，所以m的所有可能值是上的實(shí)數(shù).【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及含參的函數(shù)零點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)分類討論，研究函數(shù)的單調(diào)性、最值等，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，借助數(shù)形結(jié)合思想分析解決問題.（四）不等式恒成立與存在性問題1.求解不等式的恒成立問題，常用的方法有：（1）分離參數(shù)求最值；（2）直接求函數(shù)的最值；（3）端點(diǎn)優(yōu)先法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.2.在不等式恒成立或不等式有解條件下求參數(shù)的取值范圍，一般利用等價轉(zhuǎn)化的思想其轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值或值域問題加以求解，可采用分離參數(shù)或不分離參數(shù)法直接移項構(gòu)造輔助函數(shù)．題型5：不等式恒成立與存在性問題5-1．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若存在，使得不等式成立，則m的取值范圍為【答案】【分析】利用參變分離可得，恒成立，設(shè)，，利用導(dǎo)數(shù)可求其最小值，故可求參數(shù)的取值范圍.【詳解】存在，要使成立，即，，令，，即，又，設(shè)，，則，則在內(nèi)單調(diào)遞增，，則，在內(nèi)單調(diào)遞增，，故m的取值范圍為．故答案為：.5-2．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）對任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】移項化簡可得.換元，根據(jù)的范圍，求得.構(gòu)造函數(shù)，，求導(dǎo)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，以及的最小值，即可得出答案.【詳解】原題等價于，.令，，則.當(dāng)時，.當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.所以，函數(shù)在處取得唯一極大值，也是最大值.又，所以.令，，則.當(dāng)時，.因為，所以，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增.所以，函數(shù)在處取得唯一極小值，也是最小值.所以，當(dāng)時，有.要使時，有恒成立，則應(yīng)有.故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：移項，構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性，研究函數(shù)的最值，即可得出參數(shù)的取值范圍.5-3．（2024高三上·內(nèi)蒙古呼和浩特·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)，．(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性；(3)若在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)答案見解析(3)【分析】（1）求出，，寫出切線方程；（2），討論，，確定的正負(fù)找出單調(diào)區(qū)間.（3）恒成立，討論的單調(diào)性，由得a的取值范圍．【詳解】（1）∵

∴，，，∴切線方程為：.（2），①當(dāng)時，，在R上單調(diào)遞增；②當(dāng)時，，負(fù)0正減極小值增綜上所述：時，的單調(diào)遞增區(qū)間為R；時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間.（3），令，即，.①時，，單調(diào)遞增，，故不成立，舍去.②時，恒成立，此時.③時，由（2）知，，故只需即可，，即.綜上所述：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：恒（能）成立問題的解法：若在區(qū)間上有最值，則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分離常數(shù)，即將問題轉(zhuǎn)化為：（或），則（1）恒成立：；；（2）能成立：；.5-4．（2024高三上·遼寧朝陽·階段練習(xí)）已知函數(shù)，其中.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)若存在，使得不等式成立，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求得，分、和，分類討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號，即可求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）不等式轉(zhuǎn)化為，設(shè)，根據(jù)題意得到存在，，求得，分、和，三種情況討論，得到函數(shù)的單調(diào)性和最值，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】（1）解：由函數(shù)的定義域為，且，當(dāng)時，無單調(diào)性；當(dāng)時，對任意恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，無單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)時，對任意恒成立，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，無單調(diào)遞增區(qū)間.（2）解：由不等式，即，則，設(shè)，，根據(jù)題意，存在，，又由，且，當(dāng)時，在上恒成立，不滿足題意；當(dāng)時，方程，可得，即在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立，不滿足題意；當(dāng)時，令，得，，由和，得，則當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，此時，因此，當(dāng)時，存在，使得不等式成立，所以滿足題意的的取值范圍為.【點(diǎn)睛】方法技巧：對于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．5-5．（2024高三上·福建莆田·開學(xué)考試）已知函數(shù)，.(1)若不等式的解集為，求不等式的解集；(2)若對于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)不等式的解集轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用根與系數(shù)之間的關(guān)系求出，然后解一元二次不等式即可；（2）問題轉(zhuǎn)化為在恒成立，令，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍即可；【詳解】（1）若不等式的解集為，即1，2是關(guān)于的方程的兩個根，則，即，則，由得，即，得，解得或，即不等式的解集為．（2）不等式對于任意的恒成立，即對于任意的恒成立，令，，則，令，解得，當(dāng)時，當(dāng)時時故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，故，所以．5-6．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知函數(shù)，是上的奇函數(shù)，當(dāng)時，取得極值．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極大值；(2)若對任意，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若對任意，，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和；極大值為2(2)(3)【分析】（1）由是上的奇函數(shù)求出，當(dāng)時，取得極值，求出，利用導(dǎo)數(shù)求的單調(diào)區(qū)間和極大值；（2）對任意，都有成立，等價于在時恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求區(qū)間內(nèi)的最大值即可；（3）依題意有在區(qū)間上的最大值都小于或等于的最小值，利用函數(shù)單調(diào)性和二次函數(shù)的性質(zhì)，分別求在區(qū)間上的最大值和在區(qū)間上的最小值即可.【詳解】（1）是上的奇函數(shù)，，即，得恒成立，可得，即，又當(dāng)時，取得極值，，解得，故函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)，令解得，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為，故當(dāng)時，取到極大值（2），對任意，都有成立，只需在時恒成立，構(gòu)造函數(shù)，，則有，令可得或，當(dāng)時，，單調(diào)遞減當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，取到極大值，又，故的最大值為8，故實(shí)數(shù)的取值范圍為：；（3）若對任意，，都有成立，即在區(qū)間上的最大值都小于或等于的最小值，由（1）可知：當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)取到極小值，也是該區(qū)間的最小值，而為開口向上的拋物線，對稱軸為，故當(dāng)時取最大值，由，解得故實(shí)數(shù)的取值范圍為：一、單選題1．（2024·全國）當(dāng)時，函數(shù)取得最大值，則（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】根據(jù)題意可知，即可解得，再根據(jù)即可解出．【詳解】因為函數(shù)定義域為，所以依題可知，，，而，所以，即，所以，因此函數(shù)在上遞增，在上遞減，時取最大值，滿足題意，即有．故選：B.2．（2024·全國）已知正四棱錐的側(cè)棱長為l，其各頂點(diǎn)都在同一球面上.若該球的體積為，且，則該正四棱錐體積的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)正四棱錐的高為，由球的截面性質(zhì)列方程求出正四棱錐的底面邊長與高的關(guān)系，由此確定正四棱錐體積的取值范圍.【詳解】∵球的體積為，所以球的半徑,[方法一]：導(dǎo)數(shù)法設(shè)正四棱錐的底面邊長為，高為，則，,所以，所以正四棱錐的體積，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，正四棱錐的體積取最大值，最大值為，又時，，時，,所以正四棱錐的體積的最小值為，所以該正四棱錐體積的取值范圍是.故選：C.[方法二]：基本不等式法由方法一故所以當(dāng)且僅當(dāng)取到，當(dāng)時，得，則當(dāng)時，球心在正四棱錐高線上，此時，，正四棱錐體積，故該正四棱錐體積的取值范圍是3．（2024高二下·全國·專題練習(xí)）如果圓柱的軸截面周長l為定值，那么圓柱的體積的最大值是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意，，則，求導(dǎo)分析單調(diào)性，即可得最大值【詳解】設(shè)底面半徑為，高為，則，即，所以，則，令則，令則；令則,故當(dāng)，單調(diào)遞增，當(dāng)，單調(diào)遞減,即時，取得最大值.故選：A．4．（2024高三上·河南焦作·期中）在直角坐標(biāo)系中，一個長方形的四個頂點(diǎn)都在橢圓上，將該長方形繞軸旋轉(zhuǎn)，得到一個圓柱體，則該圓柱體的體積最大時，其側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)橢圓與長方形在第一象限交點(diǎn)為，即可得圓柱體的母線長為，底面圓的半徑為，可得圓柱體的體積為，令，利用導(dǎo)數(shù)求的最大值，即可求得答案【詳解】設(shè)橢圓與長方形在第一象限交點(diǎn)為，根據(jù)長方形和橢圓的對稱性可得，將該長方形繞軸旋轉(zhuǎn)得到的圓柱體的母線長為，底面圓的半徑為，由可得，所以圓柱體的體積為，令，則，令，解得，所以當(dāng)，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，有最大值，即此時圓柱體的體積最大，所以此時圓柱體的母線長為，底面圓的半徑為，故圓柱體的側(cè)面積為故選：C5．（2024·陜西咸陽·模擬預(yù)測）已知不等式有實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造兩個函數(shù)，先利用導(dǎo)數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，從而得到在處取到最小值，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)知在處取到最大值，從而可求出結(jié)果.【詳解】，所以不等式有實(shí)數(shù)解，即不等式成立，設(shè)，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間上是增函數(shù)，，又因為，當(dāng)時，，因為不等式有實(shí)數(shù)解，則故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：處理本題的關(guān)鍵在于，通過構(gòu)造兩個函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)，分別求出兩個函數(shù)的最值，兩個函數(shù)均在處取到最值，從而得解.6．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】題設(shè)中的不等式等價于，令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得該函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合可得的解，從而可求實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由有意義可知，.由，得.令，即有.因為，所以，令，問題轉(zhuǎn)化為存在，使得.因為，令，即，解得；令，即，解得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，所以當(dāng)時，.因為存在，使得成立，所以只需且，解得.故選：.7．（2024高三·全國·對口高考）已知在區(qū)間上的最大值就是函數(shù)的極大值，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)的極大值與最大值的關(guān)系即可求解.【詳解】，令，得，因為在區(qū)間上的最大值就是函數(shù)的極大值，則必有，所以.故選：C.8．（2024高三上·重慶沙坪壩·階段練習(xí)）已知a，，關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】數(shù)形結(jié)合，分類討論不成立，則，要最大，需要，，對于取定的b，要最大需要a更大，所以只需過的切線斜率最大.借助導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.【詳解】如圖，

由圖象可知，不成立，則，要最大，需要，；時，時不成立，則；對于取定的b，要最大需要a更大，所以只需過作的切線，切線斜率即為最大的a.設(shè)切點(diǎn)，則，.，,當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.所以在時，取得最大值.故選：B.9．（2024高三上·江蘇鎮(zhèn)江·開學(xué)考試）對于實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】構(gòu)造同構(gòu)函數(shù)，分析單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為恒成立，即，再求解的最小值即可.【詳解】已知，由知.故排除BD.由得，，構(gòu)造函數(shù)，是上的增函數(shù)，則由得，即，令，，由得，當(dāng)，則單調(diào)遞減，當(dāng)，則單調(diào)遞增，，則，又，則.故選：C.二、填空題10．（2024·全國·模擬預(yù)測）在直角坐標(biāo)系中，矩形的四個頂點(diǎn)都在橢圓上，將該矩形繞軸旋轉(zhuǎn)一周，得到一個圓柱體，當(dāng)該圓柱體的體積最大時，其側(cè)面積為【答案】/【分析】設(shè)橢圓與長方形在第一象限交點(diǎn)為，即可得圓柱體的母線長為，底面圓的半徑為，可得圓柱體的體積為，令，利用導(dǎo)數(shù)求的最大值，即可求得答案.【詳解】設(shè)矩形在第一象限的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)長方形和橢圓的對稱性可得，將該矩形繞軸旋轉(zhuǎn)一周得到的圓柱體的母線長，底面圓的半徑，由，可得，所以圓柱體的體積，令，則，令，解得，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，有最大值，即此時圓柱體的體積最大，所以此時圓柱體的母線長，底面圓的半徑，故圓柱體的側(cè)面積為．故答案為：.11．（2024高三上·重慶·階段練習(xí)）已知，則當(dāng)取得最大值時，．【答案】【分析】設(shè)，利用二倍角的正切公式得到，再利用導(dǎo)數(shù)即可求出其最值時的值，再代入即可得到答案.【詳解】設(shè)，因為，則，則，則．設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時，即，，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，即，，此時單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得最大值，即取得最大值，此時．故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用二倍角公式構(gòu)造出關(guān)于的函數(shù)關(guān)系，再利用導(dǎo)數(shù)法求出最值即可.12．（2024高三上·四川成都·開學(xué)考試）已知面積為的銳角其內(nèi)角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且，則邊c的最小值為．【答案】2【分析】利用正余弦定理化簡可得，再由面積公式化簡得，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求最小值即可.【詳解】，,由正余弦定理可得：，化簡得，由余弦定理可得，即，又，故，所以，其中，令，，當(dāng)時，，則，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，則，單調(diào)遞增，、所以，所以，即，當(dāng)時，等號成立.故答案為：213．（2024高三上·吉林長春·開學(xué)考試）函數(shù)在內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】將函數(shù)在內(nèi)有最小值等價轉(zhuǎn)化成函數(shù)在內(nèi)必有極值點(diǎn)，再利用導(dǎo)函數(shù)研究極值點(diǎn)的范圍即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意可得，函數(shù)的定義域為，易知，若函數(shù)在內(nèi)有最小值，則函數(shù)在內(nèi)必有極值點(diǎn)，又，不妨設(shè)為方程的兩個不相等實(shí)數(shù)根，則有，不妨令，因此即可；令，根據(jù)零點(diǎn)存在定理可得，解得；經(jīng)檢驗在內(nèi)有最小值，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：函數(shù)在某開區(qū)間上有最值問題一般情況下是轉(zhuǎn)化成有極值點(diǎn)，再將極值點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化成其導(dǎo)函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)的問題，利用零點(diǎn)存在定理即可實(shí)現(xiàn)問題求解.14．（2024·湖北武漢·三模）已知函數(shù)，，則函數(shù)的最小值為.【答案】/0.5【分析】對求導(dǎo)，然后令，判斷的單調(diào)性，得到的值域，從而判斷的單調(diào)性，即可確定函數(shù)的最小值.【詳解】因為，所以，記，，則，因為，所以，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時，函數(shù)有最小值為，故答案為：15．（2024·安徽安慶·二模）已知，且，則的最小值為.【答案】1【分析】由，得，構(gòu)造函數(shù)，，用導(dǎo)數(shù)得在上為增函數(shù)，可得，即，代入后再構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求出最小值.【詳解】因為，，所以，所以，且，所以，設(shè)，，則，因為，所以，在上為增函數(shù)，因為，所以，則，所以，所以，令，則，令，則，則在上為增函數(shù)，令得，即，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，所以當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以.所以的最小值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將變形為，再利用指對同構(gòu)，設(shè)，，將化為是本題解題關(guān)鍵.16．（2024·海南海口·模擬預(yù)測）已知正實(shí)數(shù)，滿足：，則的最小值為.【答案】【分析】將變形為，設(shè)，對求導(dǎo)可知在上單調(diào)遞增，所以，則，所以，令，對求導(dǎo)，即可求出的最小值【詳解】由可得：,所以，，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，則，所以，所以，所以，令，令，解得：；令，解得：；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.故的最小值為.故答案為：.17．（2024高三·福建泉州·階段練習(xí)）已知函數(shù)的最小值為0，則a的取值范圍為．【答案】【分析】把函數(shù)化成分段函數(shù)，按分段討論函數(shù)的取值情況作答.【詳解】函數(shù)定義域為，，顯然，當(dāng)時，，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，因此，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，其取值集合為，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)值集合為，因此存在，使得，而，于是，不符合題意，當(dāng)時，，令，，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，，，即有，當(dāng)時，，即，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此，當(dāng)時，，顯然當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，不符合題意，綜上得，，所以則a的取值范圍為.故答案為：18．（2024高三下·江蘇南通·開學(xué)考試）若函數(shù)的最小值為，則．【答案】【分析】分類討論，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系求解.【詳解】當(dāng)時，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以解得，與矛盾；當(dāng)時，，(i)若，即，則有在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以解得，與矛盾；(ii)若，即，則有在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以解得，滿足題意；綜上，，故答案為:.19．（2024高三·全國·專題練習(xí)）若函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為【答案】【分析】根據(jù)開區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值點(diǎn)必為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，然后求導(dǎo)，數(shù)形結(jié)合，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理建立不等式即可求解【詳解】因為，且函數(shù)在區(qū)間上存在最大值，故只需滿足，所以，解得．故答案為：20．（2024·山西運(yùn)城·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若函數(shù)在上存在最小值.則實(shí)數(shù)的取值范圍是.【答案】【分析】先利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的極值點(diǎn)，建立不等式，即可求出的取值范圍.【詳解】，，當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)或時，，單調(diào)遞增，∴在處取得極小值，在處取得極大值.令，解得或，又∵函數(shù)在上存在最小值，且為開區(qū)間，所以，解得.即的取值范圍是.故答案為：.21．（2024·貴州黔東南·模擬預(yù)測）若存在實(shí)數(shù)（），使得關(guān)于x的不等式對恒成立，則b的最大值是.【答案】【分析】先考慮恒成立，得到.再考慮恒成立，得到，再解不等式即得解.【詳解】當(dāng)，且時，由，得.設(shè)，則.當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減.所以，得，等價于，而，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.所以，則，所以，解得，所以b的最大值是.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求解不等式的恒成立問題，常用的方法有：（1）分離參數(shù)求最值；（2）直接求函數(shù)的最值；（3）端點(diǎn)優(yōu)先法.要根據(jù)已知條件靈活選擇方法求解.22．（2024高三下·陜西安康·階段練習(xí)）若不等式對恒成立，則a的取值范圍是.【答案】【分析】觀察解析式的結(jié)構(gòu)，用同構(gòu)思路構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求解.【詳解】令，則，令，，則,當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以,當(dāng)x趨近于0時，趨近于，所以，令，，，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，若恒成立，即恒成立，所以，所以；故答案為：.【點(diǎn)睛】觀察函數(shù)的解析式的結(jié)構(gòu)是問題的核心，如果是直接求導(dǎo)，則很難計算，一般來說，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)的結(jié)構(gòu)很復(fù)雜的時候，應(yīng)該考慮是否存在其他方式解決問題.三、解答題23．（2024·北京）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.【分析】（1）求出、的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；（2）由可求得實(shí)數(shù)的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性與極值，由此可得出結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，，，此時，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）因為，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，，.24．（2004·浙江）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線l與x軸y軸所圍成的三角形面積為．(1)求切線l的方程；(2)求的最大值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線方程；（2）求出切線與坐標(biāo)的交點(diǎn)坐標(biāo)，計算出三角形面積后，由導(dǎo)數(shù)求得最大值．【詳解】（1），時，所以切線方程為，即．（2）在中，令得，令得，因為，所以，，所以時，，遞增，時，，遞減，所以．25．（2004·湖南）已知函數(shù)，其中，e為自然對數(shù)的底數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．【答案】(1)當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在和上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；(2)當(dāng)時，最大值是；當(dāng)時，最大值是；當(dāng)時，在區(qū)間上的最大值是.【分析】（1）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)，討論，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式和即可．（2）欲求函數(shù)在區(qū)間上的最大值，先求在區(qū)間上的單調(diào)性，討論的值，分別求出最大值．【詳解】（1），函數(shù)定義域為，．當(dāng)時，令，得．若，則，從而在上單調(diào)遞增；若，則，從而在上單調(diào)遞減．當(dāng)時，令，得，解得或，有．若，則或，從而在和上單調(diào)遞減；若，則，從而在上單調(diào)遞增；（2）由（1）中求得單調(diào)性可知，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，最大值是．當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，最大值是．當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，最大值是．26．（2024高二下·黑龍江大慶·期中）已知函數(shù).(1)若時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)求在上的最小值.【答案】(1)遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；(2)答案見解析.【分析】（1）把代入，利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間作答.（2）利用導(dǎo)數(shù)分段討論函數(shù)在上的單調(diào)性，再求出最小值作答.【詳解】（1）當(dāng)時，的定義域為，求導(dǎo)得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為.（2），函數(shù)，求導(dǎo)得，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時取等號，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時，由，得，由，得，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，由，得，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為.27．（2024·江西）已知函數(shù)在上單調(diào)遞減，且滿足，.(1)求的取值范圍；(2)設(shè)，求在上的最大值和最小值.【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）由題設(shè)條件可得，求出導(dǎo)數(shù)后就、、、分類討論后可求其范圍.（2）易得，求出其導(dǎo)數(shù)后就、、、分類討論后可得參數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）由，得，則，，依題意須對于任意，有.當(dāng)時，因為二次函數(shù)的圖像開口向上，而，所以須，即.當(dāng)時，對任意有，符合條件；當(dāng)時，對于任意，，符合條件；當(dāng)時，因，不符合條件，故的取值范圍為.（2）因（i）當(dāng)時，，在上取得最小值，在上取得最大值，（ii）當(dāng)時，對于任意有.在取得最大值，在取得最小值.（iii）當(dāng)時，由得，①若，即時，在上單調(diào)遞增，在得最小值；在取得最大值.②若，即時，在取得最大值，在或取得最小值，而，，則當(dāng)時，在取得最小值，當(dāng)時，在取得最小值.28．（2024高二下·山西朔州·階段練習(xí)）設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)＝ax3－3x2.（1）若x＝2是函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)，求a的值；（2）若函數(shù)g(x)＝f(x)＋，x∈[0，2]，在x＝0處取得最大值，求a的取值范圍【答案】（1）a＝1；（2）.【分析】（1）根據(jù)＝0，即可求出a的值，然后驗證所求a的值滿足x＝2是函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)；（2）利用最大值求出的取值范圍，然后再驗證所求的取值范圍滿足在x＝0處取最大值即可.【詳解】（1）＝3ax2－6x＝3x(ax－2)．因為x＝2是函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)，所以＝0，即6(2a－2)＝0，因此a＝1.經(jīng)驗證，當(dāng)a＝1時，x＝2是函數(shù)y＝f(x)的極值點(diǎn)，所以.（2）由題意知，，因為當(dāng)g(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值為g(0)，所以，即，故得.反之，當(dāng)時，對任意x∈[0，2]，而g(0)＝0，故g(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值為g(0)．綜上所述，a的取值范圍為.29．（2024高三上·重慶沙坪壩·開學(xué)考試）已知函數(shù).(1)設(shè)，經(jīng)過點(diǎn)作函數(shù)圖像的切線，求切線的方程；(2)若函數(shù)有極大值，無最大值，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，求導(dǎo)得，令，然后分與兩種情況，分別討論，即可得到結(jié)果.【詳解】（1）時，設(shè)切點(diǎn)為，則切線斜率為，切線方程：，將點(diǎn)帶入得：，此時斜率，所以切線方程為.（2）函數(shù)的定義域為，令，則（1）當(dāng)時在單調(diào)遞增，注意到時，，注意到時，，故存在，使得，在時單調(diào)遞減，在時，單調(diào)遞增，函數(shù)有極小值，無極大值，不符合題意.（2）當(dāng)時，令，令，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.當(dāng)時，當(dāng)時，所以，若，則恒成立，在單調(diào)遞減，無極值和最值.若，即，此時存在，使得，且在有單調(diào)遞減；在有單調(diào)遞增，此時為的極大值.注意到時，要使無最大值，則還應(yīng)滿足，即，同時，帶入整理得.由于，且在單調(diào)遞減，故，即，綜上實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題主要考查了求切線方程問題以及導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值，最值的綜合問題，難度較大，解決本題的關(guān)鍵在于分情況進(jìn)行討論，將問題合理轉(zhuǎn)化.30．（2024高三·廣東中山·階段練習(xí)）用長為的鋼條圍成一個長方體形狀的框架，要求長方體的長與寬之比為，問該長方體的長、寬、高各為多少時，其體積最大？最大體積是多少？【答案】長為m，寬為1m，高為m時，體積最大，最大體積為3【分析】設(shè)出長方體的寬為m，表達(dá)出長方體的長和高，從而體積，并根據(jù)長寬高均大于0，求出，求導(dǎo)后得到的單調(diào)性和極值，最值情況，并確定此時的長、寬、高.【詳解】設(shè)長方體的寬為m，則長方體的長為m，故長方體的高為m，由，解得：，設(shè)長方體的體積為，故，則，令，解得：，令，解得：，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故在處取得極大值，也是最大值，最大值為，此時長為m，寬為1m，高為m.31．（2024高二下·廣東汕頭·期中）某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：），其中容器的中間為圓柱形，左、右兩端均為半球形，按照設(shè)計要求容器的容積為，且，假設(shè)該容器的建造費(fèi)用僅與其表面積有關(guān)，已知圓柱形部分每平方米的建造費(fèi)用為3萬元，半球形部分每平方米的建造費(fèi)用為（）萬元，該容器的總建造費(fèi)用為萬元.（1）寫出關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，并求該函數(shù)的定義域；（2）求該容器的總建造費(fèi)用最少時的的值.【答案】（1），定義域為；（2）當(dāng)時，；當(dāng)時，.【分析】（1）利用，可得，則可得關(guān)于的函數(shù)表達(dá)式，，代入即得解；（2）求導(dǎo)，分，兩種情況討論，即得解【詳解】（1）設(shè)容器的容積為，由題意，知.又，故.由于，解得，所以，其定義域為.（2）由（1）得，.由于，所以.當(dāng)時，.令，則，所以.①當(dāng)，即時，若，則；若，則；若，則.所以是該函數(shù)的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn).②當(dāng)，即時，若，則（僅當(dāng)時，），所以函數(shù)單調(diào)遞減.所以是該函數(shù)的最小值點(diǎn).綜上所述，當(dāng)時，總建造費(fèi)用最少時；當(dāng)時，總建造費(fèi)用最少時.32．（2023·福建）在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形的長為2，寬為1，邊分別在軸、軸的正半軸上，點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖所示）．將矩形折疊，使A點(diǎn)落在線段上．(1)若折痕所在直線的斜率為，試寫出折痕所在直線的方程；(2)求折痕的長的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】(1)分與分類討論，根據(jù)對稱關(guān)系即可求解;(2)根據(jù)折痕在不同的位置分類討論即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，此時點(diǎn)與點(diǎn)重合，折痕所在的直線方程;②當(dāng)時，將矩形折疊后點(diǎn)落在線段上的點(diǎn)為，所以與關(guān)于折痕所在的直線對稱，有，故點(diǎn)坐標(biāo)為，從而折痕所在的直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)（線段的中點(diǎn)）為.故折痕所在的直線方程,即，由①②得折痕所在的直線方程為；（2）折痕所在的直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)分別為，解，得；解，得，因為在上,所以，當(dāng)時，直線交于；②當(dāng)時，直線與軸、軸的交點(diǎn)落在矩形的邊和上，，所以，令，解得，此時取得最大值，且；③當(dāng)時，直線交于，所以折痕的長度的最大值為.33．（2024高二下·廣東揭陽·期末）如圖，有一塊半橢圓形鋼板，其長半軸為，短半軸為，計劃將此鋼板切割成等腰梯形的形狀，下底是半橢圓的短軸，上底的端點(diǎn)在橢圓上，記，梯形面積為．(Ⅰ)求面積關(guān)于變量的函數(shù)表達(dá)式，并寫出定義域；(Ⅱ)求面積的最大值．【答案】（I），其定義域為（II）梯形面積的最大值為【詳解】試題分析：（1）建立平面直角坐標(biāo)系，得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，即滿足的方程：(y≥0)，由于，可解得y＝2(0<x<r)．從而得梯形面積，其中；（2）要求最大值，可先求的最大值，這可由導(dǎo)數(shù)的知識求得解．試題解析：（1）依題意，以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系(如圖)，設(shè)點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為x.點(diǎn)C的縱坐標(biāo)y滿足方程(y≥0)，解得y＝2(0<x<r)．S＝(2x＋2r)2＝2(x＋r)·，其定義域為{x|0<x<r}．（2）記f(x)＝4(x＋r)2(r2－x2)，0<x<r，則f′(x)＝8(x＋r)2(r－2x)．令f′(x)＝0，則x＝r.因為當(dāng)0<x<時，f′(x)>0；當(dāng)<x<r時，f′(x)<0，所以f(r)是f(x)的最大值．因此，當(dāng)x＝r時，S取得最大值，最大值為＝r2，即梯形面積S的最大值為r2.考點(diǎn)：橢圓在實(shí)際問題中的應(yīng)用，用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值．34．（2024·廣東廣州·一模）人們用大數(shù)據(jù)來描述和定義信息時代產(chǎn)生的海量數(shù)據(jù)，并利用這些數(shù)據(jù)處理事務(wù)和做出決策，某公司通過大數(shù)據(jù)收集到該公司銷售的某電子產(chǎn)品1月至5月的銷售量如下表.月份x12345銷售量y（萬件）4.95.86.88.310.2該公司為了預(yù)測未來幾個月的銷售量，建立了y關(guān)于x的回歸模型：.(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)與回歸模型，求y關(guān)于x的回歸方程（的值精確到0.1）；(2)已知該公司的月利潤z（單位：萬元）與x，y的關(guān)系為，根據(jù)（1）的結(jié)果，問該公司哪一個月的月利潤預(yù)報值最大？參考公式：對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計公式分別為，.【答案】(1)；(2)第9個月的月利潤預(yù)報值最大【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)與回歸方程的公式進(jìn)行求解，得到回歸方程；（2）結(jié)合第一問所求得到關(guān)于的函數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)求出單調(diào)區(qū)間，極值及最值，求出答案.【詳解】（1）令，則，，，，所以y關(guān)于x的回歸方程為；（2）由（1）知：，，令，令得：，令得：，令得：，所以在處取得極大值，也是最大值，所以第9個月的月利潤預(yù)報值最大.35．（2024高三·全國·專題練習(xí)）為落實(shí)立德樹人根本任務(wù)，堅持五育并舉全面推進(jìn)素質(zhì)教育，某學(xué)校舉行了乒乓球比賽，其中參加男子乒乓球決賽的12名隊員來自3個不同校區(qū)，三個校區(qū)的隊員人數(shù)分別是3，4，5.本次決賽的比賽賽制采取單循環(huán)方式，即每名隊員進(jìn)行11場比賽（每場比賽都采取5局3勝制），最后根據(jù)積分選出最后的冠軍.積分規(guī)則如下：比賽中以或取勝的隊員積3分，失敗的隊員積0分；而在比賽中以取勝的隊員積2分，失敗的隊員的隊員積1分.已知第10輪張三對抗李四，設(shè)每局比賽張三取勝的概率均為.(1)比賽結(jié)束后冠亞軍(沒有并列)恰好來自不同校區(qū)的概率是多少？(2)第10輪比賽中，記張三取勝的概率為，求出的最大值點(diǎn).【答案】(1)(2)【分析】（1）利用互斥事件的概率公式和古典摡型的概率計算公式，即可看求解；（2）由題意求得，然后利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【詳解】（1）解：根據(jù)題意，比賽結(jié)束后冠亞軍恰好來自不同校區(qū)的概率是；（2）解：由題可知，，令，得，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減.所以的最大值點(diǎn).36．（2024·河北·模擬預(yù)測）5G技術(shù)對社會和國家十分重要．從戰(zhàn)略地位來看，業(yè)界一般將其定義為繼蒸汽機(jī)革命、電氣革命和計算機(jī)革命后的第四次工業(yè)革命．某科技集團(tuán)生產(chǎn)A，B兩種5G通信基站核心部件，下表統(tǒng)計了該科技集團(tuán)近幾年來在A部件上的研發(fā)投入（億元）與收益y（億元）的數(shù)據(jù)，結(jié)果如下：研發(fā)投入x（億元）12345收益y（億元）3791011(1)利用樣本相關(guān)系數(shù)r說明是否可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系（當(dāng)時，可以認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性）；(2)求出y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程，并利用該方程回答下列問題：①若要使生產(chǎn)A部件的收益不低于15億元，估計至少需要投入多少研發(fā)資金？（精確到0.001億元）②該科技集團(tuán)計劃用10億元對A，B兩種部件進(jìn)行投資，對B部件投資元所獲得的收益y近似滿足，則該科技集團(tuán)針對A，B兩種部件各應(yīng)投入多少研發(fā)資金，能使所獲得的總收益P最大．附：樣本相關(guān)系數(shù)，回歸直線方程的斜率，截距．【答案】(1)答案見解析(2)回歸方程為，①6.684億元；②在A，B兩種部件上分別投入8億元，2億元.【分析】（1）先計算出，再根據(jù)公式計算出，再由即可判斷；（2）根據(jù)公式先求出回歸直線方程，①令，解不等式即可求解；②根據(jù)題意，寫出總收益的函數(shù)表達(dá)式，對函數(shù)求導(dǎo)，得出函數(shù)的單調(diào)性，然后利用函數(shù)的單調(diào)性求出最值即可.【詳解】（1），，，，，∴．可以用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．（2）∵，∴，∴y關(guān)于的經(jīng)驗回歸方程為，①令，得，解得，∴若要使生產(chǎn)A部件的收益不低于15億元，估計至少需要投入6.684億元研發(fā)資金．②設(shè)B部件的研發(fā)投入為億元，則A部件的研發(fā)投入為億元，總收益，，令得，當(dāng)時，，P單調(diào)遞增；當(dāng)，，P單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，P取得最大值22億元．所以該科技集團(tuán)在A，B兩種部件上分別投入8億元，2億元的研發(fā)資金，可使所獲得的總收益P最大．37．（2024高三·全國·專題練習(xí)）甲?乙兩人參加一個游戲，該游戲設(shè)有獎金256元，誰先贏滿5局，誰便贏得全部的獎金，已知每局游戲乙贏的概率為，甲贏的概率為，每局游戲相互獨(dú)立，在乙贏了3局甲贏了1局的情況下，游戲設(shè)備出現(xiàn)了故障，游戲被迫終止，則獎金應(yīng)該如何分配才為合理？有專家提出如下的獎金分配方案：如果出現(xiàn)無人先贏5局且游戲意外終止的情況，則甲?乙按照游戲再繼續(xù)進(jìn)行下去各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金.記事件A為“游戲繼續(xù)進(jìn)行下去甲獲得全部獎金”，試求當(dāng)游戲繼續(xù)進(jìn)行下去，甲獲得全部獎金的概率，并判斷當(dāng)時，事件A是否為小概率事件，并說明理由.（注：若隨機(jī)事件發(fā)生的概率小于，則稱隨機(jī)事件為小概率事件）【答案】；事件A是小概率事件，理由見解析【分析】設(shè)游戲繼續(xù)進(jìn)行Y局甲獲得全部獎金，則最后一局必然甲贏，則分時，甲以贏和時，甲以贏，得到甲獲得全部獎金的概率求解.【詳解】解：設(shè)游戲繼續(xù)進(jìn)行Y局甲獲得全部獎金，則最后一局必然甲贏.由題知，當(dāng)時，甲以贏，所以，當(dāng)時，甲以贏，所以，甲獲得全部獎金的概率，所以，所以，，，在上單調(diào)遞減，所以，故事件A是小概率事件.38．（2024高三上·云南保山·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若，函數(shù)在上恒成立，求整數(shù)a的最大值.【答案】(1)答案見解析(2)4【分析】（1）對函數(shù)求導(dǎo)后分解因式，對參數(shù)的取值范圍進(jìn)行分類討論即可得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）由可得，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可求得結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)題意可得，若，在上恒成立，此時函數(shù)在上單調(diào)遞增；若，此時，當(dāng)時，滿足，此時函數(shù)在，上單調(diào)遞增；當(dāng)時，滿足，此時函數(shù)在單調(diào)遞減；若，此時，當(dāng)時，滿足，此時函數(shù)在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時，滿足，此時函數(shù)在單調(diào)遞減；綜上可知，時，在上單調(diào)遞增；時，在和上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；時，在和上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）由可得，解得；所以，則，易知時，，若函數(shù)在上恒成立，等價成在上恒成立；令，則；令，則在上恒成立，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，易知，由于，所以，而，且，所以；因此在有且僅有一個零點(diǎn)，滿足，且；所以當(dāng)時，，當(dāng)時，；因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以的最小值為，顯然，因此，又是整數(shù)，所以的最大值為4.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題在求解函數(shù)的最小值時，需限定其導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的取值范圍，此時應(yīng)當(dāng)盡量縮小其范圍以便求得整數(shù)的最大值.39．（2024·甘肅臨夏·一模）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若對于任意正實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）研究函數(shù)的定義域，導(dǎo)數(shù)的符號，確定函數(shù)的單調(diào)性；（2）分離參數(shù)，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究該函數(shù)的最大值即可．【詳解】（1）定義域為，，令，①當(dāng)時，恒成立，，是增函數(shù)；②時，，當(dāng)，即時，由得，，由或，，故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，，當(dāng)，即時，恒成立，是增函數(shù)，綜上可知：時，是增函數(shù)，時，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（2）不等式恒成立，即恒成立，整理得恒成立，令，則，易知，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減，故，故即為所求，故的取值范圍是.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)不等式恒成立，研究參數(shù)的取值范圍，能分離參數(shù)的一定要分離參數(shù)，分離參數(shù)是本題的關(guān)鍵，分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最大值問題，一般需要利用導(dǎo)數(shù)求最大值得解.40．（2024·河北唐山·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)若，求的最小值．【答案】(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減(2)4【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性即可.（2）首先根據(jù)題意得到，從而得到，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最大值，即可得到答案.【詳解】（1）函數(shù)定義域為R，．當(dāng)或時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．（2）由得，，所以，因為，所以，即．令，則．所以當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，因此，當(dāng)時取得最大值，即取得最大值，故的最小值為4．41．（2024高三上·河南·階段練習(xí)）設(shè)且，函數(shù)，且為奇函數(shù)．(1)求a；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）利用奇函數(shù)的定義結(jié)合條件即得；（2）由題可得，然后通過換元法可得，再利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值即得.【詳解】（1）因為，且為奇函數(shù)所以，即，所以，解得，又，故．（2）由（1）知，所以，令，則，所以，令，得，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增．所以當(dāng)取得最小值，即時，的最小值為．42．（2024高三上·陜西漢中·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；(2)當(dāng)時，求在上的最大值．【答案】(1)2(2)．【分析】（1）根據(jù)切線的斜率求得的值.（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷出在上的單調(diào)性，從而求得在上的最大值．【詳解】（1）由，得，，又曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故，．（2）當(dāng)時，，由、在上分別單調(diào)遞增、單調(diào)遞減可得：在上單調(diào)遞增，而，，使得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又，在上的最大值為．【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，步驟如下：先確定函數(shù)的定義域，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，對比極值點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值來求得最值.導(dǎo)函數(shù)的作用是得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，所以導(dǎo)函數(shù)主要看符號.43．（2024高三上·北京東城·開學(xué)考試）設(shè)函數(shù)(1)當(dāng)時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)當(dāng)時，求證：(3)當(dāng)時，求函數(shù)在上的最小值【答案】(1)(2)證明過程見解析(3)答案見解析【分析】（1）求出，，利用點(diǎn)斜式得到切線方程；（2）求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，極值和最值，證明出結(jié)論；（3）求導(dǎo)，分和兩種情況，求出函數(shù)在上的單調(diào)性，得到函數(shù)最小值.【詳解】（1）當(dāng)時，，，又，故，所以函數(shù)在處的切線方程為；（2）當(dāng)時，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在上取得極小值，也是最小值，且，故在R上恒成立.（3），，，令，解得，令，解得，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時在上取得極小值，也是最小值，故在上的最小值為，當(dāng)時，，故在上單調(diào)遞減，此時在上的最小值為綜上：當(dāng)時，在上的最小值為，當(dāng)時，在上的最小值為.44．（2024·北京）已知函數(shù)．（Ⅰ）求曲線的斜率等于的切線方程；（Ⅱ）設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為，求的最小值．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由點(diǎn)斜式可得結(jié)果；（Ⅱ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程，再得到切線在坐標(biāo)軸上的截距，進(jìn)一步得到三角形的面積，最后利用導(dǎo)數(shù)可求得最值.【詳解】（Ⅰ）因為，所以，設(shè)切點(diǎn)為，則，即，所以切點(diǎn)為，由點(diǎn)斜式可得切線方程為：，即.（Ⅱ）[方法一]：導(dǎo)數(shù)法顯然，因為在點(diǎn)處的切線方程為：，令，得，令，得，所以，不妨設(shè)時，結(jié)果一樣，則，所以，由，得，由，得，所以在上遞減，在上遞增，所以時，取得極小值，也是最小值為.[方法二]【最優(yōu)解】：換元加導(dǎo)數(shù)法

．因為為偶函數(shù)，不妨設(shè)，，令，則．令，則面積為，只需求出的最小值．．因為，所以令，得．隨著a的變化，的變化情況如下表：a0減極小值增所以．所以當(dāng)，即時，．因為為偶函數(shù)，當(dāng)時，．綜上，當(dāng)時，的最小值為32．[方法三]：多元均值不等式法同方法二，只需求出的最小值．令，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號．所以當(dāng)，即時，．因為為偶函數(shù)，當(dāng)時，．綜上，當(dāng)時，的最小值為32．[方法四]：兩次使用基本不等式法同方法一得到,下同方法一.【整體點(diǎn)評】（Ⅱ）的方法一直接對面積函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，方法二利用換元方法，簡化了運(yùn)算，確定為最優(yōu)解；方法三在方法二換元的基礎(chǔ)上，利用多元均值不等式求得最小值，運(yùn)算較為簡潔；方法四兩次使用基本不等式，所有知識最少，配湊巧妙，技巧性較高.45．（2024高三上·廣東惠州·階段練習(xí)）已知函數(shù)．(1)若的單調(diào)遞增區(qū)間為，求的值．(2)求在上的最小值．【答案】(1)(2)答案見解析【分析