全概率公式課件高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選擇性

7.1.2全概率公式事件A

事件B

復(fù)習(xí)引入2.條件概率與事件獨(dú)立性的關(guān)系：若事件A與B相互獨(dú)立,且P(A)>0,則P(B|A)=

.

P(B)3.概率的乘法公式(P(A)>0)：4.概率的性質(zhì)(P(A)>0)：(1)P(Ω|A)=1;(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件,則P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)（概率的加法公式）;(3)設(shè)和B是兩個(gè)對(duì)立事件,則P(|A)=1-P(B|A).探究：全概率公式思考：從有a個(gè)紅球和b個(gè)藍(lán)球的袋子中，每次隨機(jī)摸出1個(gè)球，摸出的球不再放回.顯然，第1次摸到紅球的概率為

，那么第2次摸到紅球的概率是多大?如何計(jì)算這個(gè)概率呢?下面我們給出嚴(yán)格的推導(dǎo).分析：因?yàn)槌楹灳哂泄叫?，所以?次摸到紅球的概率也應(yīng)該是.但是這個(gè)結(jié)果并不顯然，因?yàn)榈?次摸球的結(jié)果受第1次摸球結(jié)果的影響.332事件R2可按第1次可能的摸球結(jié)果（紅球或藍(lán)球）表示為兩個(gè)互斥事件的并，即R2=R1R2UB1R2.用Ri表示事件“第i次摸到紅球”，Bi表示事件“第i次摸到藍(lán)球”，i=1,2.P(R2|R1)P(B2|R1)P(R2|B1)P(B2|B1)利用概率的加法公式和乘法公式，得上述過程采用的方法是:按照某種標(biāo)準(zhǔn),將一個(gè)復(fù)雜事件表示為兩個(gè)互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式，求得這個(gè)復(fù)雜事件的概率.R27思考：按照某種標(biāo)準(zhǔn),將一個(gè)復(fù)雜事件B表示為n個(gè)(A1,A2,....An)互斥事件的并,根據(jù)概率的加法公式和乘法公式，如何求這個(gè)復(fù)雜事件B的概率？A1A2A3AnA4…B

加法公式

乘法公式歸納總結(jié)全概率公式一般地，設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n，則對(duì)任意的事件

，有我們稱上面的公式為全概率公式．全概率公式使用條件:①A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件；②A1∪A2∪…∪An=Ω；

A1A2A3AnA4…B③P(Ai)>0,且.對(duì)全概率公式的理解某一事件B的發(fā)生可能有各種的原因，如果B是由原因Ai(i=1,2,…,n)(Ai

兩兩互斥，構(gòu)成一個(gè)完備事件)所引起，則B發(fā)生的概率是P(AiB)=P(Ai)P(B|Ai).每一原因都可能導(dǎo)致B發(fā)生，故B發(fā)生的概率是各原因Ai引起，AiB(i=1,2,…,n)發(fā)生概率的總和，即全概率公式.由此可以形象地把全概率公式看成為“由原因求結(jié)果”，每個(gè)原因?qū)Y(jié)果的發(fā)生有一定的“作用”，即結(jié)果發(fā)生的可能性與各種原因的“作用”大小有關(guān).例1：某學(xué)校有A，B兩家餐廳，王同學(xué)第1天午餐時(shí)隨機(jī)地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.6；如果第1天去B餐廳，那么第2天去A餐廳的概率為0.8.計(jì)算王同學(xué)第2天去A餐廳用餐的概率.分析：第2天去哪家餐廳用餐的概率受第1天在哪家餐廳用餐的影響，可根據(jù)第1天可能去的餐廳，將樣本空間表示為“第1天去A餐廳”和“第1天去B餐廳”兩個(gè)互斥事件的并，利用全概率公式求解.例題課本50頁

設(shè)A1＝“第1天去A餐廳用餐”,B1＝“第1天去B餐廳用餐”,A2＝“第2天去A餐廳”,則解：

設(shè)事件

寫概率

代公式利用全概率公式求概率的步驟：1.設(shè)事件：把事件B(結(jié)果事件)看作某一過程的結(jié)果,把A1,A2,…,An

看作導(dǎo)致結(jié)果的若干個(gè)原因（注意：A1,A2,…,An兩兩互斥，且A1∪A2∪…∪An＝Ω）；2.寫概率：由已知，寫出每一原因發(fā)生的概率(即P(Ai)),且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度(即P(B|Ai))；3.代公式：用全概率公式計(jì)算結(jié)果發(fā)生的概率(即P(B)).由因求果反思?xì)w納課本52頁現(xiàn)有12道四選一的單選題，學(xué)生張君對(duì)其中9道題有思路，3道題完全沒有思路.有思路的題做對(duì)的概率為0.9，沒有思路的題只好任意猜一個(gè)答案，猜對(duì)答案的概率為0.25.張君從這12道題中隨機(jī)選擇1題，求他做對(duì)該題的概率.練習(xí)解:例2：有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.(1)任取一個(gè)零件，計(jì)算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第i(i＝1，2，3)臺(tái)車床加工的概率.例題分析:取到的零件可能來自第1臺(tái)車床,也可能來自第2臺(tái)或第3臺(tái)車床,有3種可能.設(shè)B=“任取一零件為次品”,Ai=“零件為第i臺(tái)車床加工”(i=1,2,3),如圖所示,可將事件B表示為3個(gè)兩兩互斥事件的并,利用全概率公式可以計(jì)算出事件B的概率.A1A2A3A3BA1BA2B課本50頁解：設(shè)B＝“任取一個(gè)零件為次品”,Ai＝“零件為第i臺(tái)車床加工”(i＝1,2,3),則

例2：有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.(1)任取一個(gè)零件，計(jì)算它是次品的概率；

設(shè)事件

寫概率

代公式課本50頁例2：有3臺(tái)車床加工同一型號(hào)的零件，第1臺(tái)加工的次品率為6%，第2，3臺(tái)加工的次品率均為5%，加工出來的零件混放在一起，已知第1，2，3臺(tái)車床加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%，30%，45%.(2)如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第i(i＝1，2，3)臺(tái)車床加工的概率.解：如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第i(i＝1,2,3)臺(tái)車床加工的概率，就是計(jì)算在B發(fā)生的條件下，事件Ai發(fā)生的概率.課本50頁解：如果取到的零件是次品，計(jì)算它是第i(i＝1,2,3)臺(tái)車床加工的概率，就是計(jì)算在B發(fā)生的條件下，事件Ai發(fā)生的概率.思考：例2中P(Ai),P(Ai|B)的實(shí)際意義是什么？P(Ai)是試驗(yàn)之前就已知的概率，它是第i臺(tái)車床加工的零件所占的比例，稱為先驗(yàn)概率.當(dāng)已知抽到的零件是次品(B發(fā)生)，P(Ai|B)是這件次品來自第i臺(tái)車床加工的可能性大小，通常稱為后驗(yàn)概率.如果對(duì)加工的次品，要求操作員承擔(dān)相應(yīng)的責(zé)任，那么

就分別是第1,2,3臺(tái)車床操作員應(yīng)承擔(dān)的份額.已知結(jié)果求原因已知原因求結(jié)果將例2中的問題(2)一般化，可以得到貝葉斯公式（選學(xué)內(nèi)容，不作考試要求）.*貝葉斯公式：設(shè)A1,A2,…,An是一組兩兩互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1,2,…,n，則對(duì)任意的事件，P(B)>0，有對(duì)分子用乘法公式對(duì)分母用全概率公式注：貝葉斯公式是由英國數(shù)學(xué)家貝葉斯(T.Bayer,1702-1762)發(fā)現(xiàn)的，它用來描述兩個(gè)條件概率之間的關(guān)系.（1）我們把事件B看作某一過程的結(jié)果，（2）根據(jù)歷史資料，每一原因發(fā)生的概率已知，（3）而且每一原因?qū)Y(jié)果的影響程度已知，（3）如果已知事件B已經(jīng)發(fā)生，要求此時(shí)是由第i個(gè)原因引起的概率，則用Bayes公式.*貝葉斯公式的使用：執(zhí)果尋因課本52頁兩批同種規(guī)格的產(chǎn)品，第一批占40%，次品率為5%；第二批占60%，次品率為4%.將兩批產(chǎn)品混合，從混合產(chǎn)品中任取1件.(1)求這件產(chǎn)品是合格品的概率；

*(2)已知取到的是合格品，求它取自第一批產(chǎn)品的概率.解：設(shè)B＝“取到合格品”,Ai＝“取到的產(chǎn)品來自第i批”(i＝1,2),則課本52頁練習(xí)例3：在數(shù)字通信中，信號(hào)是由數(shù)字0和1組成的序列.由于隨機(jī)因素的干擾，發(fā)送的信號(hào)0或1有可能被錯(cuò)誤地接收為1或0.已知發(fā)送信號(hào)0時(shí)，接收為0和1的概率分別為0.9和0.1；發(fā)送信號(hào)1時(shí)，接收為1和0的概率分別為0.95和0.05.假設(shè)發(fā)送信號(hào)0和1是等可能的.(1)分別求接收的信號(hào)為0和1的概率；(2)已知接收的信號(hào)為0，求發(fā)送的信號(hào)是1的概率.例題分析:設(shè)A=“發(fā)送的信號(hào)為0”,B=“接收到的信號(hào)為0”.為便于求解,我們可將題目中所包含的各種信息用圖直觀表示.發(fā)送0(A)接收0(B)課本51頁解：設(shè)某公路上經(jīng)過的貨車與客車的數(shù)量之比為2∶1，貨車中途停車修理的概率為0.02，客車為0.01，今有一輛汽車中途停車修理，求該汽車是貨車的概率.解：設(shè)B＝“中途停車修理”，A1＝“經(jīng)過的是貨車”，A2＝“經(jīng)過的是客車”，則B＝A1B∪A2B，由貝葉斯公式，得練習(xí)1.一袋中裝有10個(gè)球，其中3個(gè)黑球、7個(gè)白球，從中先后隨意各取一球(不放回)，則第二次取到的是黑球的概率為（

）隨堂檢測(cè)2728293031解：設(shè)A＝“遲到”