利用matlab軟件求解常數(shù)e和歐拉常數(shù)γ

5/5數(shù)學(xué)實驗報告利用matlab軟件求解常數(shù)e和歐拉常數(shù)γ實驗?zāi)康模豪胢atlab軟件計算常數(shù)e和γ，并嘗試?yán)貌煌乃惴ㄓ嬎悖容^計算精度和時間，找到較好的算法。掌握matlab程序求和、求極限的方法，學(xué)會尋找更優(yōu)算法。實驗內(nèi)容：1、求ee可以來源于兩個數(shù)列的極限和，即en=lim(1+1/x)^x,(x->+∞)（1式）sn=1/0!+1/1!+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+……（2式），根據(jù)1式，可在matlab上設(shè)計如下代碼：forn=1:15n=10^n;e=(1+1/n)^n%求常數(shù)e的循環(huán)語句endformatlong%使結(jié)果顯示16位雙精度數(shù)結(jié)果：n算出的en算出的e12.59374246010000292.71828205201156022.704813829421529102.71828205323478832.716923932235594112.71828205335711042.718145926824926122.71852349603723852.718268237192298132.71611003408690162.718280469095753142.71611003408702372.718281694132082153.03503520654926282.718281798347358e的標(biāo)準(zhǔn)值約為：2.71828182845904523536由上述結(jié)果可知，使用1式，有很大的缺陷，不僅精度連10^-7都沒有，而且當(dāng)n>=10^9誤差開始變大。根據(jù)2式，可得如下代碼：sum=0;t=1;forn=1:18t=n*t;sum=sum+(1/t);end%求常數(shù)e的循環(huán)語句e=1+sumformatlong%使結(jié)果顯示16位雙精度數(shù)結(jié)果：n算出的en算出的e12102.71828180114638522.500000000000000112.71828182619849332.666666666666667122.71828182828616942.708333333333334132.71828182844675952.716666666666667142.71828182845823062.718055555555556152.71828182845899572.718253968253968162.71828182845904282.718278769841270172.71828182845904692.718281525573192182.718281828459046e的標(biāo)準(zhǔn)值約為：2.71828182845904523536如上所示，隨著n的增大，e的計算值越來越接近e的真實值.但是，當(dāng)n的值大于17后，計算的精度不再提高，原因是雙精度型數(shù)只能精確到16位，所以結(jié)果只有個位以及小數(shù)點后15位（最后一位是近似取的），而1/18!=1.56*10^-16，所以n超過18再往下計算不會更精確。。在1式代碼中，(1+1/n)和n都只能精確到小數(shù)點后16位，兩者相乘，結(jié)果精度將只能精確到8位。在2式中，,每一項都能精確到小數(shù)點后16位，而e是所有項的和，求和后仍然能夠精確到小數(shù)點后16位。所以，對于某些使用數(shù)學(xué)軟件求解的問題，如果對精度有要求，應(yīng)該盡量使用加、減運算，少用其他的運算(例如乘、除、乘方、對數(shù)等)，這樣可以提高運算精度。2、求γ如此歐拉常數(shù)γ也可以使用matlab求出較為精確的值?？捎晒溅?lim(n→∞)[(1+1/2+1/3+…+1/n)-ln(n)]得出。forn=1:10s=0;fori=1:10^ns=s+(1/i);endy=s-log(10^n)%求常數(shù)γ的循環(huán)語句endformatlong%使結(jié)果顯示16位雙精度數(shù)結(jié)果：n算出的γn算出的γ10.62638316097420860.57721616490071520.58220733165152970.57721571489895130.57771558156820680.57721566990018840.57726566406816590.57721566540213950.577220664893106100.577215665057043γ的權(quán)威數(shù)值約等于0.57721566490153286060651209。上述結(jié)果精度約有10^-8，雖然精度還有提高空間，然而matlab上運行時，結(jié)果表明，增加n值，精度提高，運算時間也將大大加長（通常n超過10就需要好幾分鐘）使用級數(shù)來計算：forn=1:9s=0;fori=1:10^ns=s+(1/i)-log(1+1/i);endy=s%求常數(shù)γ的循環(huán)語句endformatlong%使結(jié)果顯示16位雙精度數(shù)結(jié)果：n算出的γn算出的γ10.53107298116988460.57721516490209820.57225700079836170.57721561490116630.57671608123512580.57721566039529940.57716566906787090.57721566039536650.577210664943251γ的權(quán)威數(shù)值約等于0.57721566490153286060651209。上述結(jié)果精度也約有10^-8，n再大就計算時間大大增加了，且可能會出錯。上面兩個算法都不能算出更為精確的歐拉常數(shù)的值，因為調(diào)和級數(shù)收斂較慢，因此matlab計算很緩慢。這也表明，這個算法還有待改進，需要更好的算法才能計算出γ更精確的值。實驗總結(jié)：本文探索了使用數(shù)學(xué)軟件