專題06 雙曲線的標準方程及幾何性質（10大考點知識串講+熱考題型+專題訓練）

專題06雙曲線的標準方程及幾何性質知識點1雙曲線的定義1、雙曲線定義：在平面內與兩個定點、的距離之差的絕對值等于非零常數(shù)（小于）的點的軌跡叫做雙曲線，兩個定點、為焦點，兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距，表示為.2、雙曲線定義的集合語言表示：．要點注意：（1）若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；若（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；（2）若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線（包括端點）；（3）若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡不存在；（4）若常數(shù)，則動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線。知識點2雙曲線的方程與幾何性質1、雙曲線的方程與幾何性質標準方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)性質圖形性質范圍x≤－a或x≥a，y∈eq\a\vs4\al(R)y≤－a或y≥a，x∈eq\a\vs4\al(R)對稱性對稱軸：坐標軸；對稱中心：原點頂點A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)軸實軸：線段A1A2，長：eq\a\vs4\al(2a)；虛軸：線段B1B2，長：eq\a\vs4\al(2b)；半實軸長：eq\a\vs4\al(a)，半虛軸長：eq\a\vs4\al(b)離心率e＝eq\a\vs4\al(\f(c,a))∈(1，＋∞)漸近線y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x2、等軸雙曲線在雙曲線中，若，則雙曲線的長軸和短軸相等，即等軸雙曲線，等軸雙曲線的性質有：（1）離心率：等軸雙曲線的離心率為：；（2）漸近線：等軸雙曲線的漸近線為：；等軸雙曲線的漸近線互相垂直，且斜率分別為45°和135°.3、雙曲線的焦點三角形（1）定義：雙曲線上一點與兩焦點構成的成為焦點三角形，（2）焦點三角形的應用：設，，，則，，焦點三角形中一般要用到的關系是知識點3直線與雙曲線的位置關系1、點與雙曲線的位置關系2、直線與雙曲線的位置關系將雙曲線方程與直線方程聯(lián)立消去得到關于的一元二次方程，（1）當，即，直線與雙曲線的漸近線平行，直線與雙曲線只有一個交點；（2）當，即，設該一元二次方程的判別式為，若，直線與雙曲線相交，有兩個公共點；若，直線與雙曲線相切，有一個公共點；若，直線與雙曲線相離，沒有公共點；注意：直線與雙曲線有一個公共點時，可能相交或相切.3、直線與雙曲線相交的弦長問題若直線與雙曲線（，）交于，兩點，則或（）．4、解決中點弦問題的兩種方法（1）根與系數(shù)關系法：聯(lián)立方程，消元，利用根與系數(shù)的關系進行舍而不求，從而簡化運算；（2）點差法：利用交點在曲線上，坐標滿足方程，將交點坐標分別代入雙曲線方程，然后作差，構造出中點坐標和斜率的關系，具體如下：直線(不平行于軸)過雙曲線上兩點、，其中中點為，則有.證明：設、，則有，上式減下式得，∴，∴，∴.考點1雙曲線定義的辨析【例1】（2023·河北石家莊·高二石家莊精英中學校考階段練習）（多選）已知平面直角坐標系中，,點P為平面內一動點，且,則下列說法正確的是（）A．當時，點P的軌跡為一條直線B．當時，點P的軌跡為一條射線C．當時，點P的軌跡不存在D．當時，點P的軌跡是雙曲線【變式1-1】（2023·內蒙古呼倫貝爾·高二校考階段練習）平面內動點到兩定點的距離之差為，若動點的軌跡是雙曲線，則的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式1-2】（2023·廣西玉林·高二校聯(lián)考階段練習）是雙曲線上一點，點，分別是雙曲線左右焦點，若，則.【變式1-3】（2023·江西南昌·高二江西師大附中?？计谥校┮阎獎訄AC與圓外切，與圓內切，則動圓圓心C的軌跡方程為（）A．圓B．橢圓C．雙曲線D．雙曲線一支【變式1-4】（2023·重慶·高二統(tǒng)考期末）與圓：及圓：都外切的圓的圓心在（）A．橢圓上B．雙曲線的一支上C．拋物線上D．圓上考點2求雙曲線的標準方程【例2】（2023·湖北武漢·高二武漢外國語學校?？茧A段練習）以橢圓的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線的標準方程為（）A．B．C．D．【變式2-1】（2023·山東青島·高二青島二中?？茧A段練習）與橢圓：共焦點且過點的雙曲線的標準方程為（）A．B．C．D．【變式2-2】（2023·河北·高二校聯(lián)考階段練習）一條漸近線方程為，且經(jīng)過點的雙曲線的標準方程是（）A．B．C．D．【變式2-3】（2023·安徽宣城·高二宣城中學校考階段練習）與雙曲線有相同離心率和相同漸近線的雙曲線方程是（）A．B．C．D．【變式2-4】（2023·福建泉州·高二?？计谥校┣鬂M足下列條件的雙曲線的標準方程．（1）經(jīng)過點，且；（2）經(jīng)過點、．考點3根據(jù)雙曲線方程求參數(shù)【例3】（2023·陜西榆林·高二校考階段練習）已知曲線表示雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍是（）A．B．C．D．【變式3-1】（2023·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習）“”是“方程表示的曲線為雙曲線”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【變式3-2】（2023·上?！そy(tǒng)考一模）在平面直角坐標系中，“”是“方程表示的曲線是雙曲線”的（）條件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【變式3-3】（2023·江蘇常州·高二校聯(lián)考期中）方程表示實軸在軸上的雙曲線，則實數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式3-4】（2023·河南鄭州·高二鄭州四中?？计谀┮阎€的方程為（），若曲線是焦點在軸上的雙曲線，則實數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．或5D．考點4雙曲線的焦點三角形應用【例4】（2023·山東德州·高二統(tǒng)考期中）雙曲線的左右焦點分別為，，點為雙曲線上異于頂點的任意一點，且，則（）A．B．C．1D．【變式4-1】（2023·河北石家莊·高二校聯(lián)考期中）設，分別是雙曲線的下、上焦點，P是該雙曲線上的一點，且，則的面積等于（）A．B．C．D．【變式4-2】（2022·廣東江門·高二臺山市第一中學校考期中）設雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為，是雙曲線上一點，且．若的面積為，則的周長為（）A．B．C．D．【變式4-3】（2023·福建漳州·高二福建省華安縣第一中學?？茧A段練習）若是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線左支上的點，且的面積是16，則【變式4-4】（2022·福建廈門·高二統(tǒng)考期末）已知點P在雙曲線的右支上，直線交曲線C于點Q（異于P），點F為C的左焦點，若為銳角，則b的取值范圍為（）A．B．C．D．考點5雙曲線中距離和差的最值【例5】（2023下·四川內江·高二威遠中學校?？计谥校┮阎狥是雙曲線C：的右焦點，P是C的左支上一點，，則的最小值為（）A．5B．6C．7D．8【變式5-1】（2023·河南鄭州·統(tǒng)考一模）設，為雙曲線C：的左、右焦點，Q為雙曲線右支上一點，點P（0，2）．當取最小值時，的值為（）A．B．C．D．【變式5-2】（2023·江蘇宿遷·高二統(tǒng)考期中）已知是雙曲線上的點，為雙曲線的右焦點，點的坐標為，則的最小值是．【變式5-3】（2023·廣東廣州·高二廣州市第八十六中學?？计谀┮阎p曲線：，，是其左右焦點.圓：，點為雙曲線右支上的動點，點為圓上的動點，則的最小值是.【變式5-4】（2023·江蘇南京·高二校考開學考試）過雙曲線的右支上一點，分別向圓和圓作切線，切點分別為，，則的最小值為.考點6與雙曲線相關的軌跡問題【例6】（2023·廣東廣州·高二統(tǒng)考期末）動圓P過定點M(0，2)，且與圓N：相內切，則動圓圓心P的軌跡方程是（）A．B．C．D．【變式6-1】（2022·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？计谀┦且粋€動點，與直線垂直，垂足位于第一象限，與直線垂直，垂足位于第四象限，若四邊形（為原點）的面積為4，則動點的軌跡方程是（）A．B．C．D．【變式6-2】（2023·寧夏銀川·高二賀蘭縣第一中學?？计谥校┮阎獎狱cM與兩定點，構成，且直線，的斜率之積為4，求動點M的軌跡方程.【變式6-3】（2023·重慶·重慶南開中學?？寄M預測）已知雙曲線與直線有唯一的公共點，過點且與垂直的直線分別交軸、軸于兩點．當點運動時，點的軌跡方程是（）A．B．C．D．【變式6-4】（2023·廣東廣州·高二廣州市天河中學?？茧A段練習）已知點為圓上的動點，點，延長至，使得，線段的垂直平分線交直線于點，記的軌跡為.則的方程為.考點7雙曲線離心率的值或范圍【例7】（2023·河北石家莊·高二石家莊二中?？茧A段練習）已知、分別為雙曲線的左、右焦點，過向直線引垂線，垂足為點，，且，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．【變式7-1】（2023·江蘇南京·高二統(tǒng)考期中）在平面直角坐標系中，已知雙曲線的左、右焦點分別為，為雙曲線右支上一點，連接交軸于點．若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A．B．C．D．【變式7-2】（2023·四川瀘州·高二瀘縣第一中學?？茧A段練習）已知分別為雙曲線的左、右焦點，是左支上一點，，若存在點滿足，則的離心率為.【變式7-3】（2023·四川綿陽·高二南山中學實驗學校校考期末）設，分別為橢圓與雙曲線的公共焦點，它們在第一象限內交于點，，若橢圓的離心率，則雙曲線的離心率的取值范圍為【變式7-4】（2023·湖北鄂州·高二校考階段練習）已知雙曲線的焦距為，過右焦點且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點.設，到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的離心率的取值范圍為（）A．B．C．D．考點8直線與雙曲線位置關系判斷【例8】（2023·陜西西安·高二西安中學?？茧A段練習）（多選）若直線與雙曲線有且僅有一個公共點，則k的取值可能為（）A．B．C．D．【變式8-1】（2023·湖北·高二宜昌市一中校聯(lián)考階段練習）已知直線：與雙曲線：的右支交于兩點，則實數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式8-2】（2023·遼寧沈陽·高二沈陽市第十五中學校考階段練習）過點的直線與雙曲線的公共點只有1個，則滿足條件的直線有（）A．2條B．3條C．4條D．5條【變式8-3】（2023·廣東清遠·高二陽山縣南陽中學?？茧A段練習）已知雙曲線，直線，若直線與雙曲線的兩個交點分別在雙曲線的兩支上，則的取值范圍是（）A．或B．C．或D．【變式8-4】（2022·黑龍江哈爾濱·高二哈九中?？计谀┮阎本€與雙曲線沒有公共點，則的取值范圍是（）A．B．C．D．考點9雙曲線的中點弦與點差法【例9】（2023·全國·統(tǒng)考高考真題）設A，B為雙曲線上兩點，下列四個點中，可為線段AB中點的是（）A．B．C．D．【變式9-1】（2023·重慶·高二重慶巴蜀中學校考期中）雙曲線E：，過作直線l交雙曲線于A，B兩點，若不存在直線l使得P是線段的中點，則t的取值范圍是.【變式9-2】（2023·廣西河池·高二校聯(lián)考階段練習）過點的直線l與雙曲線交于A、B兩點，若M恰好是線段AB的中點，則直線l的斜率為．【變式9-3】（2023·江西贛州·高二校聯(lián)考期中）已知A，B為雙曲線C：上的兩點，且A，B關于直線：對稱，則線段中點的坐標為.【變式9-4】（2023·寧夏銀川·高二?？茧A段練習）過雙曲線的弦，且為弦的中點，求直線的方程.考點10直線與雙曲線相交弦長【例10】（2023·河北唐山·遷西縣第一中學?？级＃ǘ噙x）已知直線經(jīng)過雙曲線（，）的左焦點，且與C交于A，B兩點，若存在兩條直線，使得的最小值為4，則下列四個點中，C經(jīng)過的點為（）A．B．C．D．【變式10-1】（2022·高二課時練習）過雙曲線的右焦點作直線與雙曲線交于兩點，若，則這樣的直線有（）A．一條B．兩條C．三條D．四條【變式10-2】（2023·廣東東莞·高二?？计谥校﹦狱cM與定點的距離和它到定直線的距離比是常數(shù)，動點M的軌與經(jīng)過點且傾斜角為的直線交于D、E兩點．（1）求動點M的軌跡方程；（2）求線段的長．【變式10-3】（2023·江蘇蘇州·高二南京航空航天大學蘇州附屬中學?？茧A段練習）已知兩定點，滿足條件的點P的軌跡是曲線E，直線與曲線E交于A，B兩個不同的點．（1）求曲線E的方程；（2）求實數(shù)k的取值范圍；（3）若，求直線AB的方程．【變式10-4】（2023·重慶·高二重慶巴蜀中學?？计谥校┮阎p曲線：的左右焦點分別為，，到其中一條漸近線的距離為1，過且垂直于軸的直線交雙曲線于A，B，且.（1）求E的方程；（2）過的直線交曲線E于M，N兩點若，求直線的方程1．（2023·遼寧·高二校聯(lián)考期中）雙曲線的焦點到其漸近線的距離為（）A．4B．C．D．22．（2023·北京·高二陳經(jīng)綸中學?？茧A段練習）化簡方程的結果是（）A．B．C．D．3．（2023·重慶·高二重慶十八中?？茧A段練習）曲線（）與曲線（）的（）A．焦距相等B．離心率相C．焦點相同D．頂點相同4．（2023·福建廈門·高二廈門一中?？茧A段練習）若離心率為的雙曲線的一條漸近線與直線垂直，則（）A．B．C．D．5．（2023·廣東揭陽·高二惠來縣第一中學?？茧A段練習）已知橢圓與雙曲線共焦點（記為，），點是該橢圓與雙曲線的一個公共點，則的面積為（）.A．B．C．D．6．（2023·湖北·高二鄖陽中學校聯(lián)考期中）已知雙曲線，F(xiàn)為其右焦點，過F點的直線與雙曲線相交于A，B兩點，若，則這樣的直線l的條數(shù)為（）A．1條B．2條C．3條D．4條7．（2023·甘肅·高二天水市第一中學?？计谀┮阎獔A具有性質：若是圓上關于原點對稱的兩點，點是圓上異于任意一點，則為定值．類比圓的這個性質，雙曲線也具有這個性質：若是雙曲線上關于原點對稱的兩點，點為雙曲線上異于任意一點，則為定值（）A．B．C．D．8．（2023·四川甘孜·統(tǒng)考