湖北省隨州市部分高中2024-2025學年高二上學期12月月考數(shù)學試卷（含解析）

2024年秋季湖北省隨州市部分高中12月月考高二數(shù)學試題本試卷共4頁，全卷滿分150分，考試用時120分鐘?？荚嚂r間：2024年12月23日8:00——10:00★?？荚図樌镒⒁馐马棧?、答題前，請將自己的姓名、準考證號、考場號、座位號填寫在試卷和答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡上的制定位置。2、選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。3、非選擇題作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡對應的答題區(qū)域內，寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效。4、考試結束后，請將答題卡上交。一、選擇題：本題共8小題，每題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、如果直線a?平面α,直線b?平面β,且α∥β,則a與b()A.共面B.平行C.是異面直線D.可能平行,也可能是異面直線2、如圖,在正方體ABCD?A1B1C1D1中,E,F分別為BC,BB1的中點,則下列直線中與直線EF相交的是()A.直線B1C1B.直線A1B1C.直線A1D1D.直線AA13、已知a,b是兩條直線,α,β是兩個平面,則下列說法中正確的為()A.若a平行于α內的無數(shù)條直線,則a∥αB.若α∥β,a?α,b?β,則a與b是異面直線C.若α∥β,a?α,則a∥βD.若α∩β=b,a?α,則a與β一定相交4、如圖,正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面邊長為1,∠B1AB=,E是D1D的中點,則A1C1到平面EAC的距離為()A.B.2C.D.5、設F1,F2為橢圓C:+y2=1的兩個焦點,點P在C上,若=0,則|PF1|·|PF2|=()A.1B.2C.4D.56、設雙曲線C:=1(a>0,b>0),M,N是雙曲線C上關于坐標原點對稱的兩點,P為雙曲線C上的一動點,若kPM·kPN=4,則雙曲線C的離心率為()A.B.C.2D.57、若點O和點F分別為橢圓=1的中心和左焦點,點P為橢圓上的任意一點,則的最大值為()A.2B.3C.6D.88、等軸雙曲線的一個焦點是F1(0,-6),則其標準方程為()A.=1B.=1C.=1D.=1二、選擇題：9、(多選題)給出以下說法,其中正確的是()A.不共面的四點中,其中任意三點不共線B.若點A,B,C,D共面,點A,B,C,E共面,則點A,B,C,D,E共面C.若直線a,b共面,直線a,c共面,則直線b,c共面D.過直線外一點和直線上三點的三條直線共面10、(多選題)如圖,G,H,M,N分別是正三棱柱的頂點或所在棱的中點,則表示GH,MN是異面直線的圖形的是()ABCD11、(多選題)設O為坐標原點,直線y=-(x-1)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點,且與C交于M,N兩點,l為C的準線,則()A.p=2B.|MN|=C.以線段MN為直徑的圓與l相切D.△OMN為等腰三角形三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分12、如圖,直三棱柱ABC?A1B1C1的各棱長均為2,D為棱B1C1上任意一點,則三棱錐D?A1BC的體積是

。

13、已知直線a,b和平面α,若a∥b,且直線b在平面α內,則直線a與平面α的位置關系是。

14、圓C1:x2+y2-2x+10y-24=0與圓C2:x2+y2+2x+2y-8=0的公共弦所在直線的方程為,公共弦長為。

四、解答題：本題共5小題，共77分15、（本小題滿分15分）如圖,已知平行六面體ABCD?A1B1C1D1中,底面ABCD是邊長為1的正方形,AA1=2,∠A1AB=∠A1AD=120°。(1)求線段AC1的長;(2)求異面直線AC1與A1D所成角的余弦值;(3)求證:AA1⊥BD。16、（本小題滿分15分）如圖,在四棱錐P?ABCD中,四邊形ABCD是矩形,E為AD的中點,AD⊥平面PAB,PA⊥PB,M為PB的中點。(1)求證:EM∥平面PCD;(2)若AP=AD,AB=AD,求直線EM與平面PCE所成角的正弦值。17、（本小題滿分15分）已知直線l:kx-y+1+2k=0(k∈R)。(1)證明:直線l過定點;(2)若直線l不經過第四象限,求k的取值范圍;(3)若直線l交x軸負半軸于點A,交y軸正半軸于點B,△AOB的面積為S(O為坐標原點),求S的最小值并求此時直線l的方程。18、（本小題滿分16分）已知橢圓+y2=1。(1)求斜率為2的平行弦中點的軌跡方程;(2)若過點N(1,2)的直線l與橢圓相交,求被l截得的弦的中點的軌跡方程;(3)求過點P且被P點平分的弦所在直線的方程。19、（本小題滿分16分）已知橢圓C:=1(a>b>0)過點M(2,3),點A為其左頂點,且直線AM的斜率為。(1)求橢圓C的方程;(2)設點N為橢圓C上任意一點,求△AMN的面積的最大值。高二數(shù)學試題參考答案一、選擇題：1、解析α∥β,說明a與b無公共點,所以a與b可能平行也可能是異面直線。故選D。2、解析根據異面直線的概念可知直線AA1,A1B1,A1D1都和直線EF為異面直線。因為直線B1C1和EF在同一平面內,且這兩條直線不平行,所以直線B1C1和直線EF相交。故選A。3、解析A中忽略了a在平面α內這一情況,故A錯誤;B中直線a與b沒有交點,所以直線a與b可能異面也可能平行,故B錯誤;C中直線a與平面β沒有公共點,所以a∥β,故C正確;D中直線a與平面β可能相交也可能平行,故D錯誤。故選C。4、解析由題意,以A為原點,,,的方向分別為x軸、y軸、z軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz,因為正四棱柱ABCD?A1B1C1D1的底面邊長為1,且∠B1AB=,所以BB1=AB·tan,則A(0,0,0),C(1,1,0),E,A1(0,0,),所以,,。設平面EAC的法向量為n=(x,y,z),則令z=2,則x=3,y=-3,所以n=(3,-3,2)是平面EAC的一個法向量。因為AC∥A1C1,且AC?平面EAC,A1C1?平面EAC,所以A1C1∥平面EAC,所以A1C1到平面EAC的距離d即點A1到平面EAC的距離,則d=。故選D。5、解析因為·=0,所以∠F1PF2=90°。由橢圓方程可知,c2=5-1=4,得c=2,所以+|PF2|2=|F1F2|2=42=16,又|PF1|+|PF2|=2a=2,平方得|PF1|2+|PF2|2+2|PF1||PF2|=16+2|PF1||PF2|=20,所以|PF1|·|PF2|=2。故選B。6、解析解法一(第三定義):由題知kPM·kPN==e2-1=4,所以e=。故選A。7、解析由橢圓=1可得F(-1,0),設P(x,y)(-2≤x≤2),則·(x+2)2+2,-2≤x≤2,當且僅當x=2時,·取得最大值6。故選C。8、解析等軸雙曲線的一個焦點是F1(0,-6),故焦點在y軸上,c=6且a=b,根據a2+b2=c2,得a=b=3,故雙曲線的標準方程為=1。故選B。二、選擇題：9、解析在A中,假設其中有三點共線,則該直線和直線外的另一點確定一個平面,這與四點不共面矛盾,故其中任意三點不共線,所以A正確;在B中,如圖,兩個相交平面有三個公共點A,B,C,且點A,B,C,D共面,點A,B,C,E共面,但點A,B,C,D,E不共面,B不正確;顯然選項C不正確,選項D正確。故選AD。10、解析在題圖A中,由G,M均為所在棱的中點可知GH∥MN;在題圖B中,N是平面HG內一點,且N不在直線HG上,M是平面HG外一點,所以GH與MN是異面直線;在題圖C中,連接GM,因為G,M均為所在棱的中點,所以GM∥HN,且GM=HN,所以四邊形GMNH為梯形,則GH與MN相交;在題圖D中,H是平面MNG外一點,G∈平面MNG,且G不在直線MN上,所以GH與MN是異面直線。故選BD。11、解析A項,直線y=-(x-1)過點(1,0),所以拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F(1,0),所以=1,p=2,2p=4,A項正確,且拋物線C的方程為y2=4x。B項,設M(x1,y1),N(x2,y2),由消去y并化簡得3x2-10x+3=(x-3)(3x-1)=0,解得x1=3,x2=,所以|MN|=x1+x2+p=3+,B項錯誤。C項,設線段MN的中點為A,M,N,A到直線l的距離分別為d1,d2,d,因為d=(d1+d2)=(|MF|+|NF|)=|MN|,即A到直線l的距離等于|MN|的一半,所以以線段MN為直徑的圓與直線l相切,C項正確。D項,由上述分析可知y1=-×(3-1)=-2,y2=-,所以|OM|=,|ON|=,所以三角形OMN不是等腰三角形,D項錯誤。故選AC。三、填空題：本題共3小題，每題5分，共15分12、解析因為D為棱B1C1上任意一點,所以S△BCD=×2×2=2。又點A1到平面BCC1B1的距離d=,所以。13、解析當a?α時,由a∥b,b?α,得a∥α;當a?α時,滿足題中條件。綜上,直線a與平面α的位置關系是a∥α或a?α。14、解析聯(lián)立兩圓的方程得兩式相減并化簡,得x-2y+4=0,即為兩圓公共弦所在直線的方程。由x2+y2-2x+10y-24=0,得(x-1)2+(y+5)2=50,則圓C1的圓心坐標為(1,-5),半徑r=5,圓心到直線x-2y+4=0的距離為d=。設公共弦長為2l,由勾股定理,得r2=d2+l2,即50=(3)2+l2,解得l=,故公共弦長為2。四、解答題：本題共5小題，共77分15、（本小題滿分15分）解(1)設=a,=b,=c,這三個向量不共面,{a,b,c}構成空間的一個基底,則|a|=|b|=1,|c|=2,a·b=0,c·a=c·b=2×1×cos120°=-1。因為=a+b+c,所以||=|a+b+c|=。所以線段AC1的長為。(2)設異面直線AC1與A1D所成的角為θ,則cosθ=|cos<,=a+b+c,=b-c,所以·=(a+b+c)·(b-c)=a·b-a·c+b2-c2=0+1+12-22=-2,|。所以cosθ=。故異面直線AC1與A1D所成角的余弦值為。(3)證明:因為=c,=b-a,所以·=c·(b-a)=c·b-c·a=(-1)-(-1)=0,所以,即AA1⊥BD。16、（本小題滿分15分）解(1)證明:如圖,取PC的中點為F,連接MF,DF,則MF∥BC∥DE,且MF=BC=DE,所以四邊形DEMF是平行四邊形,所以DF∥EM,因為DF?平面PCD,EM?平面PCD,所以EM∥平面PCD。(2)因為AD⊥平面PAB,PA,PB?平面PAB,所以AD⊥PA,AD⊥PB。以A為原點,以在平面PAB內垂直于AB的直線為x軸,AB,AD所在直線分別為y軸、z軸,建立空間直角坐標系Axyz,如圖所示。設AD=2,則AP=2,AB=2,因為PA⊥PB,所以∠PAB=45°。所以P(,,0),D(0,0,2),B(0,2,0),E(0,0,1),C(0,2,2),M,所以=(0,2,1),=(-,,2),。設平面PCE的法向量為n=(x,y,z),則不妨令y=-1,得z=2,x=3,所以n=(3,-1,2)是平面PCE的一個法向量,設直線EM與平面PCE所成的角為θ,則sinθ=|cos<,n>|=,所以直線EM與平面PCE所成角的正弦值為。17、（本小題滿分15分）解(1)證明:直線l的方程可化為k(x+2)+(1-y)=0,令所以無論k取何值,直線l總經過定點(-2,1)。(2)由方程知,當k≠0時,直線在x軸上的截距為-,在y軸上的截距為1+2k,要使直線不經過第四象限,則必須有解得k>0;當k=0時,直線為y=1,符合題意,故k的取值范圍是[0,+∞)。(3)由題意知k≠0,由l的方程,得A,B(0,1+2k)。依題意,得解得k>0。因為S=·|OA|·|OB|=··|1+2k|=·×(2×2+4)=4,當且僅當4k=,即k=時,等號成立,所以Smin=4,此時直線l的方程為x-2y+4=0。18、（本小題滿分16分）解設弦的兩端點為A(x1,y1),B(x2,y2),中點為M(x,y),則有=1,=1。兩式作差,得+(y2-y