《自動(dòng)控制原理》課件第2章

第二章線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述2.1線性系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型

2.2傳遞函數(shù)

2.3結(jié)構(gòu)圖

2.4信號(hào)流圖

2.5線性定常系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的MATLAB實(shí)現(xiàn)

小結(jié)習(xí)題2.1線性系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型

控制系統(tǒng)中的輸出量和輸入量通常都是時(shí)間t的函數(shù)。很多常見(jiàn)的元件或系統(tǒng)的輸出量和輸入量之間的關(guān)系都可以用一個(gè)微分方程表示,方程中含有輸出量、輸入量及它們各自對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)或積分。這種微分方程又稱(chēng)為動(dòng)態(tài)方程或運(yùn)動(dòng)方程。微分方程的階數(shù)一般是指方程中最高導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的階數(shù),又稱(chēng)為系統(tǒng)的階數(shù)。對(duì)于單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng),采用下列微分方程來(lái)描述:式中,r(t)和c(t)分別是系統(tǒng)的輸入信號(hào)和輸出信號(hào)；c(n)(t)為c(t)對(duì)時(shí)間t的n階導(dǎo)數(shù);ai(i=1,2,…,n)和bj(j=0,1,…,m)是由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的系數(shù),n≥m。

(2.1)2.1.1電氣系統(tǒng)電氣系統(tǒng)中最常見(jiàn)的裝置是由電阻、電容、運(yùn)算放大器等元件組成的電路,又稱(chēng)電氣網(wǎng)絡(luò)。我們將電阻、電感和電容等本身不含有電源的器件稱(chēng)為無(wú)源器件,而將運(yùn)算放大器這樣本身包含電源的器件稱(chēng)為有源器件。僅由無(wú)源器件構(gòu)成的電氣網(wǎng)絡(luò)稱(chēng)為無(wú)源網(wǎng)絡(luò)；如果電氣網(wǎng)絡(luò)中含有有源器件或電源,就稱(chēng)之為有源網(wǎng)絡(luò)。

圖

2-1RLC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)

【例2-1】圖2-1是由電阻R、電感L和電容C組成的無(wú)源網(wǎng)絡(luò),試列寫(xiě)以u(píng)i(t)為輸入量,以u(píng)o(t)為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。

解設(shè)回路電流為i(t),由基爾霍夫電壓定律可寫(xiě)出回路方程為消去中間變量i(t),可得描述該無(wú)源網(wǎng)絡(luò)輸入輸出關(guān)系的微分方程

(2.2)上式也可以寫(xiě)為

(2.3)其中,T1=L/R,T2=RC。方程(2.2)和(2.3)就是所求的微分方程。這是一個(gè)典型的二階線性常系數(shù)微分方程,對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)稱(chēng)為二階線性定常系統(tǒng)。

【例2-2】

圖2-2是一個(gè)由理想運(yùn)算放大器組成的電容負(fù)反饋電路,電壓ui(t)和uo(t)分別表示輸入量和輸出量,試確定這個(gè)電路的微分方程式。圖

2-2電容負(fù)反饋電路

解理想運(yùn)算放大器正、反相輸入端電位相同,且輸入電流為零。根據(jù)基爾霍夫電流定律有

整理后得

(2.4)或?yàn)?/p>

(2.5)其中,T=RC為時(shí)間常數(shù)。方程(2.4)和(2.5)就是該系統(tǒng)的微分方程,這是一個(gè)一階系統(tǒng)。2.1.2機(jī)械系統(tǒng)

【例2-3】

圖2-3表示一個(gè)含有彈簧、運(yùn)動(dòng)部件、阻尼器的機(jī)械位移裝置。其中k是彈簧系數(shù),m是運(yùn)動(dòng)部件質(zhì)量,μ是阻尼器的阻尼系數(shù);外力f(t)是系統(tǒng)的輸入量,位移y(t)是系統(tǒng)的輸出量。試確定系統(tǒng)的微分方程。

解

根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律,運(yùn)動(dòng)部件在外力作用下克服彈簧拉力ky(t)、阻尼器的阻力 ,將產(chǎn)生加速度力所以系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

(2.6)或?qū)懗?/p>

(2.7)

這也是一個(gè)二階線性常微分方程。比較表達(dá)式(2.7)和(2.3)可以發(fā)現(xiàn),兩個(gè)不同的物理系統(tǒng)具有相同形式的運(yùn)動(dòng)方程,即具有相同的數(shù)學(xué)模型。

圖2-3機(jī)械阻尼器示意圖

【例2-4】圖2-4表示一個(gè)單擺系統(tǒng),輸入量為零(不加外力),輸出量為擺幅θ(t)。擺錘的質(zhì)量為M,擺桿長(zhǎng)度為l,阻尼系數(shù)為μ,重力加速度為g。試建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程。

解對(duì)于圖2-4所示的單擺系統(tǒng),根據(jù)牛頓運(yùn)動(dòng)定律可以直接推出如下系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程:

(2.8)顯然方程(2.8)是一個(gè)二階的非線性微分方程(因?yàn)楹衧inθ),但是在擺幅較小的情況下,單擺運(yùn)動(dòng)方程可以認(rèn)為是線性的,對(duì)應(yīng)的微分方程為

(2.9)圖2-4單擺運(yùn)動(dòng)示意圖

在工程實(shí)際中,大多數(shù)系統(tǒng)是非線性的。比如,彈簧的剛度與其形變有關(guān)系,因此彈簧系數(shù)k實(shí)際上是其位移的函數(shù),而并非常數(shù);電阻、電容和電感等參數(shù)值與周?chē)沫h(huán)境(溫度、濕度、壓力等)及流經(jīng)它們的電流有關(guān),也并非常值;電動(dòng)機(jī)本身的摩擦、死區(qū)等非線性因素會(huì)使其運(yùn)動(dòng)方程復(fù)雜化而成為非線性方程。非線性系統(tǒng)的分析一般比線性系統(tǒng)復(fù)雜。但是當(dāng)控制系統(tǒng)在圍繞平衡點(diǎn)附近的小范圍內(nèi)動(dòng)作時(shí),通常采用泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)的方法,可將非線性系統(tǒng)線性化為平衡點(diǎn)附近的線性系統(tǒng),從而使問(wèn)題簡(jiǎn)化。如在上述的單擺系統(tǒng)中,在小幅擺動(dòng)的假設(shè)下,通過(guò)將sinθ在平衡點(diǎn)θ=0處作一階泰勒展開(kāi),可將方程(2.8)中的非線性項(xiàng)sinθ用其線性近似量θ表示,從而得到方程(2.9)描述的線性系統(tǒng)。

2.2傳

遞

函

數(shù)

2.2.1拉氏變換

1.拉氏變換的定義若將實(shí)變量t的函數(shù)f(t)乘上指數(shù)函數(shù)e-st(其中s=σ+jω是一個(gè)復(fù)數(shù)),并且在［0,+∞］上對(duì)t積分,就可以得到一個(gè)新的函數(shù)F(s),稱(chēng)F(s)為f(t)的拉氏變換,并用符號(hào)L［f(t)］表示。

(2.10)上式就是拉氏變換的定義式。從這個(gè)定義可以看出,拉氏變換將原來(lái)的實(shí)變量函數(shù)f(t)轉(zhuǎn)化為復(fù)變量函數(shù)F(s)。

通常將F(s)稱(chēng)作f(t)的象函數(shù),將f(t)稱(chēng)作F(s)的原函數(shù)。

2.拉氏變換的基本定理1)線性定理兩個(gè)函數(shù)和的拉氏變換,等于每個(gè)函數(shù)拉氏變換的和,即

(2.11)函數(shù)放大k倍的拉氏變換等于該函數(shù)拉氏變換的k倍,即

(2.12)2)微分定理如果初始條件

成立,則有

(2.13)3)積分定理一個(gè)函數(shù)積分后再取拉氏變換等于這個(gè)函數(shù)的拉氏變換除以復(fù)參數(shù)s,即

重復(fù)運(yùn)用式(2.14)可以推出

(2.14)(2.15)4)初值定理函數(shù)f(t)在t=0時(shí)的函數(shù)值可以通過(guò)f(t)的拉氏變換F(s)乘以s取s→∞時(shí)的極限而得到,即

(2.16)5)終值定理函數(shù)f(t)在t→+∞時(shí)的函數(shù)值(即穩(wěn)定值)可以通過(guò)f(t)的拉氏變換F(s)乘以s取s→0時(shí)的極限而得到,即

(2.17)2.2.2傳遞函數(shù)的定義和特點(diǎn)

1.傳遞函數(shù)的定義線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù),定義為零初始條件下,系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。設(shè)線性定常系統(tǒng)由下面的n階線性常微分方程描述:(2.18)式中,r(t)和c(t)分別是系統(tǒng)的輸入信號(hào)和輸出信號(hào);c(n)(t)為c(t)對(duì)時(shí)間t的n階導(dǎo)數(shù);ai(i=0,1,…,n)和bj(j=0,1,…,m)是由系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)決定的常系數(shù)。如果r(t)和c(t)及其各階導(dǎo)數(shù)在t=0時(shí)的值均為零,即滿(mǎn)足如下的零初始條件:則根據(jù)拉氏變換的定義和性質(zhì),對(duì)式(2.18)進(jìn)行拉氏變換,并令C(s)=L［c(t)］,R(s)=L［r(t)］,可得

由傳遞函數(shù)的定義可得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

式中,M(s)和N(s)分別稱(chēng)為傳遞函數(shù)G(s)的分子多項(xiàng)式和分母多項(xiàng)式。

(2.19)【例2-5】

試確定圖2-1所示的RLC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。解

由例2-1可知,RLC無(wú)源網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的微分方程為

在零初始條件下,對(duì)上述方程中各項(xiàng)求拉氏變換,并令Uo(s)=L［uo(t)］,Ui(s)=L［ui(t)］，可得復(fù)頻域的代數(shù)方程

(LCs2+RCs+1)Uo(s)=Ui(s)所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

【例2-6】

試確定如圖2-2所示的運(yùn)算放大器電路的傳遞函數(shù)。

解由例2-2可知,運(yùn)算放大器電路系統(tǒng)的微分方程為

在零初始條件下,對(duì)上述方程中各項(xiàng)求拉氏變換，

得

所以,系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(2.21)

【例2-7】

試確定如圖2-3所示的機(jī)械阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

解

由例2-3可知,該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程為

在零初始條件下,對(duì)上式進(jìn)行拉氏變換，

可得

(ms2+μs+k)Y(s)=F(s)所以系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

(2.22)

2.傳遞函數(shù)的特點(diǎn)

(1)傳遞函數(shù)的概念適用于線性定常系統(tǒng),傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)和各項(xiàng)系數(shù)(包括常數(shù)項(xiàng))完全取決于系統(tǒng)本身結(jié)構(gòu),因此,它是系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)數(shù)學(xué)模型,而與輸入信號(hào)的具體形式和大小無(wú)關(guān),也不反映系統(tǒng)的任何內(nèi)部信息。因此可以用圖2-5的方塊圖來(lái)表示一個(gè)具有傳遞函數(shù)G(s)的線性系統(tǒng)。該圖說(shuō)明,系統(tǒng)輸入量和輸出量的因果關(guān)系可以用傳遞函數(shù)聯(lián)系起來(lái)。但是同一個(gè)系統(tǒng)若選擇不同的量作為輸入量和輸出量,所得到的傳遞函數(shù)可能不同。所以談到傳遞函數(shù),必須指明輸入量和輸出量。傳遞函數(shù)的概念主要適用于單輸入、單輸出的情況。若系統(tǒng)有多個(gè)輸入信號(hào),在求傳遞函數(shù)時(shí),除了指定的輸入量以外,其它輸入量(包括常值輸入量)一概視為零;對(duì)于多輸入、多輸出線性定常系統(tǒng),求取不同輸入和輸出之間的傳遞函數(shù)將得到系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。

圖

2-5傳遞函數(shù)的圖示

(2)傳遞函數(shù)是在零初始條件下定義的?？刂葡到y(tǒng)的零初始條件有兩層含義:一是指輸入量在t≥0時(shí)才起作用;二是指輸入量加于系統(tǒng)之前,系統(tǒng)處于穩(wěn)定工作狀態(tài)。

(3)傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù),具有復(fù)變函數(shù)的所有性質(zhì);并且理論分析和實(shí)驗(yàn)都指出,對(duì)于實(shí)際的物理系統(tǒng)和元件而言,輸入量和它所引起的響應(yīng)(輸出量)之間的傳遞函數(shù),分子多項(xiàng)式M(s)的階次m總是小于分母多項(xiàng)式N(s)的階次n,即m＜n。這個(gè)結(jié)論可以看作是客觀物理世界的基本屬性。它反映了一個(gè)基本事實(shí):一個(gè)物理系統(tǒng)的輸出不可能立即復(fù)現(xiàn)輸入信號(hào),只有經(jīng)過(guò)一段時(shí)間后,輸出量才能達(dá)到輸入量所要求的數(shù)值。

對(duì)于具體的控制元件和系統(tǒng),我們總是可以找到形成上述事實(shí)的原因。例如對(duì)于機(jī)械系統(tǒng),由于物體都有質(zhì)量,物體受到外力和外力矩作用時(shí)都要產(chǎn)生形變,相互接觸并存在相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體之間總是存在摩擦,這些都是造成機(jī)械裝置傳遞函數(shù)分母階次高于分子階次的原因。電氣網(wǎng)絡(luò)中,由運(yùn)算放大器組成的電壓放大器,如果考慮其中潛在的電容和電感,輸出電壓和輸入電壓間的傳遞函數(shù),分子多項(xiàng)式的階次一定低于分母多項(xiàng)式的階次。

(4)傳遞函數(shù)與線性常微分方程一一對(duì)應(yīng)。傳遞函數(shù)分子多項(xiàng)式系數(shù)和分母多項(xiàng)式系數(shù),分別與相應(yīng)微分方程的右端及左端微分算符多項(xiàng)式系數(shù)相對(duì)應(yīng)。所以,將微分方程的算符d/dt用復(fù)數(shù)s置換便可以得到傳遞函數(shù);反之,將傳遞函數(shù)中的復(fù)數(shù)s用算符d/dt置換便可以得到微分方程。例如,由傳遞函數(shù)可得s的代數(shù)方程

(a0s2+a1s+a2)C(s)=(b1s+b2)R(s)用算符d/dt置換復(fù)數(shù)s,便得到相應(yīng)的微分方程

(5)傳遞函數(shù)不能反映系統(tǒng)或元件的學(xué)科屬性和物理性質(zhì)。物理性質(zhì)和學(xué)科類(lèi)別截然不同的系統(tǒng)可能具有完全相同的傳遞函數(shù)。例如,例2-5表示的RLC電路和例2-7表示的機(jī)械阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在適當(dāng)?shù)膮?shù)代換后可以具有相同的形式,但是兩者屬于完全不同的學(xué)科領(lǐng)域。另一方面,研究某一種傳遞函數(shù)所得到的結(jié)論,可以適用于具有這種傳遞函數(shù)的各種系統(tǒng),不管它們的學(xué)科類(lèi)別和工作機(jī)理如何不同。這就極大地提高了控制工作者的效率。(6)傳遞函數(shù)除具有式(2.19)表示的分子、分母多項(xiàng)式形式外,還具有如下兩種常見(jiàn)形式:(2.23)(2.24)表達(dá)式(2.23)和(2.24)分別稱(chēng)為傳遞函數(shù)的零極點(diǎn)形式和時(shí)間常數(shù)形式。式(2.23)的特點(diǎn)是每個(gè)一次因子項(xiàng)中s的系數(shù)為1。M(s)=0和N(s)=0的根zi(i=1,2,…,m)和pj(j=1,2,…,n)分別稱(chēng)為傳遞函數(shù)的零點(diǎn)和極點(diǎn),k稱(chēng)為傳遞函數(shù)的增益或根軌跡增益。由于M(s)和N(s)的系數(shù)均為實(shí)數(shù),因此零極點(diǎn)是實(shí)數(shù)或共軛復(fù)數(shù)。式(2.24)的特點(diǎn)是各個(gè)因式的常數(shù)項(xiàng)均為1,τi(i=1,2,…,m)和Tj(j=1,2,…,n)為系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù),K為系統(tǒng)的放大倍數(shù)。(7)令系統(tǒng)的傳遞函數(shù)分母等于零,所得方程稱(chēng)為特征方程,即N(s)=0。特征方程的根稱(chēng)為特征根,也就是系統(tǒng)的極點(diǎn)。2.2.3典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)

1.比例環(huán)節(jié)比例環(huán)節(jié)又稱(chēng)放大環(huán)節(jié),該環(huán)節(jié)的運(yùn)動(dòng)方程和相對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)分別為

式中K為增益。特點(diǎn):輸入輸出量成比例,無(wú)失真和時(shí)間延遲。實(shí)例:電子放大器,齒輪,電阻(電位器),感應(yīng)式變送器等。

(2.25)(2.26)

2.慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié)又稱(chēng)非周期環(huán)節(jié),該環(huán)節(jié)的運(yùn)動(dòng)方程和相對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)分別為

(2.27)(2.28)式中T為時(shí)間常數(shù),K為比例系數(shù)。特點(diǎn):含一個(gè)儲(chǔ)能元件,對(duì)突變的輸入,其輸出不能立即復(fù)現(xiàn),輸出無(wú)振蕩。實(shí)例:直流伺服電動(dòng)機(jī)的勵(lì)磁回路。

3.純微分環(huán)節(jié)純微分環(huán)節(jié)常簡(jiǎn)稱(chēng)為微分環(huán)節(jié),其運(yùn)動(dòng)方程和傳遞函數(shù)分別為

(2.29)(2.30)特點(diǎn):輸出量正比輸入量變化的速度,能預(yù)示輸入信號(hào)的變化趨勢(shì)。實(shí)例:實(shí)際中沒(méi)有純粹的微分環(huán)節(jié),它總是與其他環(huán)節(jié)并存的。實(shí)際中可實(shí)現(xiàn)的微分環(huán)節(jié)都具有一定的慣性,其傳遞函數(shù)如下:(2.31)4.積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)方程和傳遞函數(shù)分別為

(2.32)(2.33)

特點(diǎn):輸出量與輸入量的積分成正比例,當(dāng)輸入消失,輸出具有記憶功能。實(shí)例:電動(dòng)機(jī)角速度與角度間的傳遞函數(shù),模擬計(jì)算機(jī)中的積分器等。

5.振蕩環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)的運(yùn)動(dòng)方程和傳遞函數(shù)分別為

(2.34)(2.35)式中ζ為振蕩環(huán)節(jié)的阻尼比,T為時(shí)間常數(shù),ωn為系統(tǒng)的自然振蕩角頻率(無(wú)阻尼自振角頻率),并且有

特點(diǎn):環(huán)節(jié)中有兩個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件,并可進(jìn)行能量交換,其輸出出現(xiàn)振蕩。實(shí)例:RLC電路的輸出與輸入電壓間的傳遞函數(shù),以及機(jī)械阻尼系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

6.純時(shí)間延時(shí)環(huán)節(jié)延時(shí)環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)方程和傳遞函數(shù)分別為

(2.36)(2.37)式中τ為該環(huán)節(jié)的延遲時(shí)間。特點(diǎn):輸出量能準(zhǔn)確復(fù)現(xiàn)輸入量,但要延遲一固定的時(shí)間間隔τ。實(shí)例:管道壓力、

流量等物理量的控制,其數(shù)學(xué)模型就包含有延遲環(huán)節(jié)。

2.3結(jié)

構(gòu)

圖2.3.1結(jié)構(gòu)圖的組成與繪制

1.結(jié)構(gòu)圖的組成

(1)結(jié)構(gòu)圖的每一元件用標(biāo)有傳遞函數(shù)的方框表示,方框外面帶箭頭的線段表示這個(gè)環(huán)節(jié)的輸入信號(hào)(箭頭指向方框)和輸出信號(hào)(箭頭離開(kāi)方框),其方向表示信號(hào)傳遞方向。箭頭處標(biāo)有代表信號(hào)物理量的符號(hào)字母,如圖2-6所示。

圖

2-6元件的結(jié)構(gòu)圖

(2)然后把系統(tǒng)中所有元件都用上述方框形式表示,按系統(tǒng)輸入信號(hào)經(jīng)過(guò)各元件的先后次序,依次將代表各元件的方塊用連接線連接起來(lái)。顯然,前后兩方塊連接時(shí),前面方塊輸出信號(hào)必為后面方塊的輸入信號(hào)。

(3)對(duì)于閉環(huán)系統(tǒng),需引入兩個(gè)新符號(hào),分別稱(chēng)為相加點(diǎn)和分支點(diǎn)(如圖2-7所示)。其中相加點(diǎn)如圖2-7(a)所示,它是系統(tǒng)的比較元件,表示兩個(gè)以上信號(hào)的代數(shù)運(yùn)算。箭頭指向的信號(hào)流線表示它的輸入信號(hào),箭頭離開(kāi)它的信號(hào)流線表示它的輸出信號(hào),附近的＋、－號(hào)表示信號(hào)之間的運(yùn)算關(guān)系是相加還是相減。在框圖中,可以從一條信號(hào)流線上引出另一條或幾條信號(hào)流線,而信號(hào)引出的位置稱(chēng)為分支點(diǎn)或引出點(diǎn)(如圖2-7(b)所示)。需要注意的是,無(wú)論從一條信號(hào)流線或一個(gè)分支點(diǎn)引出多少條信號(hào)流線,它們都代表一個(gè)信號(hào),即原始大小的信號(hào)。圖

2-7結(jié)構(gòu)圖的相加點(diǎn)和分支點(diǎn)

2.結(jié)構(gòu)圖的繪制

(1)列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程組,并求出其對(duì)應(yīng)的拉氏變換方程組。

(2)從輸出量開(kāi)始寫(xiě),以系統(tǒng)輸出量作為第一個(gè)方程左邊的量。(3)每個(gè)方程左邊只有一個(gè)量。從第二個(gè)方程開(kāi)始,每個(gè)方程左邊的量是前面方程右邊的中間變量。列寫(xiě)方程時(shí)盡量用已出現(xiàn)過(guò)的量。

(4)輸入量至少要在一個(gè)方程的右邊出現(xiàn);除輸入量外,在方程右邊出現(xiàn)過(guò)的中間變量一定要在某個(gè)方程的左邊出現(xiàn)。

(5)按照上述整理后拉氏變換方程組的順序,從輸出端開(kāi)始繪制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖?！纠?-8】

在圖2-8(a)中,電壓u1(t)、u2(t)分別為輸入量和輸出量,繪制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。圖

2-8RC濾波電路結(jié)構(gòu)圖

解對(duì)于電氣網(wǎng)絡(luò)可以采用電路理論中“運(yùn)算阻抗”的概念和方法,不列寫(xiě)微分方程就可以方便地求出相應(yīng)的傳遞函數(shù)。具體地講,電阻R的運(yùn)算阻抗就是電阻R本身。電感L的運(yùn)算阻抗是Ls,電容C的運(yùn)算阻抗是1/(Cs),其中s是拉氏變換的復(fù)參量。把電路中的電阻R、電感L和電容C全換成運(yùn)算阻抗,把電流i(t)和電壓u(t)全換成相應(yīng)的拉氏變換式I(s)和U(s),把運(yùn)算阻抗當(dāng)作普通電阻。這樣從形式上看,在零初始條件下,電路中的運(yùn)算阻抗和電流、電壓的拉氏變換式之間的關(guān)系滿(mǎn)足各種電路定律,如歐姆定律、基爾霍夫定律。從而采用普通的電路定律,經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算就可求解I(s)和U(s)及相應(yīng)的傳遞函數(shù)。采用運(yùn)算阻抗的方法又稱(chēng)運(yùn)算法,相應(yīng)的電路圖稱(chēng)為運(yùn)算電路。圖2-8(a)對(duì)應(yīng)的運(yùn)算電路如圖2-8(b)所示。設(shè)中間變量I1(s)、I2(s)和U3(s)。從輸出量U2(s)開(kāi)始按上述步驟列寫(xiě)系統(tǒng)方程式:

按照上述方程的順序,從輸出量開(kāi)始繪制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖,其繪制結(jié)果如圖2-8(c)所示(注意這是一個(gè)還沒(méi)有經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)化的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖)。值得注意的是,一個(gè)系統(tǒng)可以具有不同的結(jié)構(gòu)圖,但由結(jié)構(gòu)圖得到的輸出和輸入信號(hào)的關(guān)系都是相同的。2.3.2閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖一個(gè)閉環(huán)負(fù)反饋系統(tǒng)通常用圖2-9所示的結(jié)構(gòu)圖來(lái)表示。輸出量C(s)反饋到相加點(diǎn),并且在相加點(diǎn)與參考輸入量R(s)進(jìn)行比較。圖中各信號(hào)之間的關(guān)系為

C(s)=G(s)E(s)

E(s)=R(s)-B(s)B(s)=H(s)C(s)式中E(s)和B(s)分別為偏差信號(hào)和反饋信號(hào)的拉氏變換,H(s)為閉環(huán)系統(tǒng)中的反饋傳遞函數(shù)。并且反饋到相加點(diǎn)與輸入量進(jìn)行比較的反饋信號(hào)B(s)=H(s)C(s)。

圖2-9閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖反饋信號(hào)B(s)與偏差信號(hào)E(s)之比,叫做開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),即

輸出量C(s)和偏差信號(hào)E(s)之比,叫做前向傳遞函數(shù),即

如果反饋傳遞函數(shù)等于1,那么開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)和前向傳遞函數(shù)相同,并稱(chēng)這時(shí)的閉環(huán)反饋系統(tǒng)為單位反饋系統(tǒng)。從圖2-9可以推出系統(tǒng)輸出量C(s)和輸入量R(s)之間的關(guān)系,具體推導(dǎo)如下:C(s)=G(s)E(s)

E(s)=R(s)-B(s)=R(s)-H(s)C(s)

消去E(s)可得

C(s)=G(s)［R(s)-H(s)C(s)］

所以有

(2.38)上式就是系統(tǒng)輸出量C(s)和輸入量R(s)之間的傳遞函數(shù),稱(chēng)為閉環(huán)傳遞函數(shù)。這個(gè)傳遞函數(shù)將閉環(huán)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性與前向通道環(huán)節(jié)和反饋通道環(huán)節(jié)的動(dòng)態(tài)特性聯(lián)系在一起。由方程(2.38)可得

可見(jiàn),閉環(huán)系統(tǒng)的輸出量取決于閉環(huán)傳遞函數(shù)和輸入量的性質(zhì)。

2.3.3擾動(dòng)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)

實(shí)際的系統(tǒng)經(jīng)常會(huì)受到外界擾動(dòng)的干擾,通常擾動(dòng)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖可由圖2-10表示。從圖2-10可知,這個(gè)系統(tǒng)存在兩個(gè)輸入量,即參考輸入量R(s)和擾動(dòng)量N(s)。

圖

2-10擾動(dòng)作用下的閉環(huán)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

根據(jù)線性系統(tǒng)滿(mǎn)足疊加性原理的性質(zhì),可以先對(duì)每一個(gè)輸入量單獨(dú)地進(jìn)行處理,然后將每個(gè)輸入量單獨(dú)作用時(shí)相應(yīng)的輸出量進(jìn)行疊加,就可得到系統(tǒng)的總輸出量。對(duì)于圖2-10所示的系統(tǒng),研究擾動(dòng)量N(s)對(duì)系統(tǒng)的影響時(shí),可以假設(shè)參考輸入信號(hào)R(s)=0,經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的推導(dǎo)可以得出系統(tǒng)對(duì)擾動(dòng)的響應(yīng)CN(s)為

所以,系統(tǒng)輸出對(duì)擾動(dòng)的傳遞函數(shù)ΦN(s)=CN(s)/N(s)為

(2.39)

同樣在分析系統(tǒng)對(duì)參考輸入的響應(yīng)時(shí),可以假設(shè)擾動(dòng)量N(s)=0,這時(shí)系統(tǒng)對(duì)參考輸入量R(s)的響應(yīng)CR(s)為

所以,系統(tǒng)輸出對(duì)參考輸入的傳遞函數(shù)Φ(s)=CR(s)/R(s)為

(2.40)

根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理可知,參考輸入量R(s)和擾動(dòng)量N(s)同時(shí)作用于系統(tǒng)時(shí),系統(tǒng)的響應(yīng)(總輸出)C(s)為

2.3.4結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化和變換規(guī)則

1.串聯(lián)環(huán)節(jié)的簡(jiǎn)化幾個(gè)環(huán)節(jié)的結(jié)構(gòu)圖首尾連接,前一個(gè)結(jié)構(gòu)圖的輸出是后一個(gè)結(jié)構(gòu)圖的輸入,稱(chēng)這種結(jié)構(gòu)為串聯(lián)環(huán)節(jié)。圖2-11(a)是三個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)的結(jié)構(gòu)。

根據(jù)結(jié)構(gòu)圖可知:消去中間變量X1(s)和X2(s)得

所以此系統(tǒng)的等效傳遞函數(shù)為

圖

2-11三個(gè)環(huán)節(jié)串聯(lián)

上述結(jié)論可以推廣到任意個(gè)環(huán)節(jié)的串聯(lián)，即n個(gè)環(huán)節(jié)(每個(gè)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為Gi(s),i=1,2,…,n)串聯(lián)的等效傳遞函數(shù)等于n個(gè)傳遞函數(shù)相乘。G(s)=G1(s)G2(s)…Gn(s)(2.42)

2.并聯(lián)環(huán)節(jié)的簡(jiǎn)化兩個(gè)或多個(gè)環(huán)節(jié)具有同一個(gè)輸入信號(hào),而以各自環(huán)節(jié)輸出信號(hào)的代數(shù)和作為總的輸出信號(hào),這種結(jié)構(gòu)稱(chēng)為并聯(lián)環(huán)節(jié)。圖2-12(a)表示三個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)的結(jié)構(gòu),根據(jù)結(jié)構(gòu)圖可知:所以,整個(gè)系統(tǒng)的等效傳遞函數(shù)為

(2.43)圖

2-12三個(gè)環(huán)節(jié)并聯(lián)

3.反饋回路的簡(jiǎn)化圖2-13(a)表示一個(gè)基本的反饋回路。根據(jù)2.3.2節(jié)的分析和得到的閉環(huán)傳遞函數(shù)形式可以推出

(2.44)所以,圖2-13(a)所表示的反饋系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖可簡(jiǎn)化為圖2-13(b)。圖

2-13基本反饋回路的簡(jiǎn)化

4.相加點(diǎn)和分支點(diǎn)的移動(dòng)

1)相加點(diǎn)前移圖2-14(a)和圖2-14(b)分別表示相加點(diǎn)前移變換前后的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖。

可以看出兩圖具有如下相同的輸入、

輸出關(guān)系:圖

2-14相加點(diǎn)前移

2)相加點(diǎn)后移

圖

2-15相加點(diǎn)后移

可以看出兩圖具有如下相同的輸入、

輸出關(guān)系：

3)分支點(diǎn)前移

圖

2-16分支點(diǎn)前移

可以看出兩圖具有如下相同的輸入、

輸出關(guān)系：

C(s)=R(s)G(s)4)分支點(diǎn)后移

圖

2-17分支點(diǎn)后移

可以看出兩圖具有如下相同的輸入、

輸出關(guān)系：

5)相鄰相加點(diǎn)之間的移動(dòng)如圖2-18所示,相鄰相加點(diǎn)之間可以互換位置而不改變?cè)摻Y(jié)構(gòu)輸入和輸出信號(hào)之間的關(guān)系。

D=A±B±C=A±C±B

并且,這個(gè)結(jié)論對(duì)于多個(gè)相鄰的相加點(diǎn)也適用。

圖

2-18相加點(diǎn)之間的移動(dòng)

6)相鄰分支點(diǎn)之間的移動(dòng)從一個(gè)信號(hào)流線上無(wú)論分出多少條信號(hào)線,它們都代表同一個(gè)信號(hào)。所以在一條信號(hào)流線上的各分支點(diǎn)之間可以隨意改變位置,不必作任何其他改動(dòng)(如圖2-19所示)。

圖

2-19相鄰分支點(diǎn)的移動(dòng)

【例2-9】

試簡(jiǎn)化圖2-20系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖,并求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。

圖

2-20系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖

解在圖2-20中,如果不移動(dòng)相加點(diǎn)或分支點(diǎn)的位置就無(wú)法進(jìn)行結(jié)構(gòu)圖的等效運(yùn)算。采用以下步驟簡(jiǎn)化原圖:①利用分支點(diǎn)后移規(guī)則,將G3(s)和G4(s)之間的分支點(diǎn)移到G4(s)方框的輸出端(注意不宜前移),變換結(jié)果如圖2-21(a)所示;②將G3(s)、G4(s)和H3(s)組成的內(nèi)反饋回路簡(jiǎn)化(如圖2-21(b)所示),其等效傳遞函數(shù)為③再將G2(s)、G34(s)、H2(s)和1/G4(s)組成的內(nèi)反饋回路簡(jiǎn)化(見(jiàn)圖2-21(c))。

其等效傳遞函數(shù)為

④將G1(s)、G23(s)和H1(s)組成的反饋回路簡(jiǎn)化便求得系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

圖

2-21系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化

應(yīng)當(dāng)指出,在結(jié)構(gòu)圖簡(jiǎn)化過(guò)程中,兩個(gè)相鄰的相加點(diǎn)和分支點(diǎn)不能輕易交換?？傊?根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)中各環(huán)節(jié)(子系統(tǒng))的結(jié)構(gòu)圖和信息流向,可建立系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。在確定系統(tǒng)的輸入量和輸出量后,經(jīng)過(guò)對(duì)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的簡(jiǎn)化和運(yùn)算,就能求出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。

這是經(jīng)典控制理論中利用傳遞函數(shù)來(lái)建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的基本方法。

圖

2-22信號(hào)流圖2.4信

號(hào)

流

圖

1.信號(hào)流圖中的術(shù)語(yǔ)下面結(jié)合圖2-23介紹信號(hào)流圖的有關(guān)術(shù)語(yǔ)。輸入節(jié)點(diǎn)(源)

僅具有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。如圖2-23中的x1。

圖

2-23信號(hào)流圖

輸出節(jié)點(diǎn)(阱)

僅有輸入支路的節(jié)點(diǎn)。有時(shí)信號(hào)流圖中沒(méi)有一個(gè)節(jié)點(diǎn)是僅具有輸入支路的。我們只要定義信號(hào)流圖中任一變量為輸出變量,然后從該節(jié)點(diǎn)變量引出一條增益為1的支路,即可形成一輸出節(jié)點(diǎn),如圖2-23中的x6。

混合節(jié)點(diǎn)既有輸入支路又有輸出支路的節(jié)點(diǎn)。如圖2-23中的x2,x3,x4,x5。

通道沿支路箭頭方向而穿過(guò)各相連支路的途徑。如果通道與任一節(jié)點(diǎn)相交不多于一次,就叫開(kāi)通道。如果通道的終點(diǎn)就是起點(diǎn),并且與任何其他節(jié)點(diǎn)相交不多于一次,就稱(chēng)作閉通道。

前向通道如果從輸入節(jié)點(diǎn)(源)到輸出節(jié)點(diǎn)(阱)的通道上,通過(guò)任何節(jié)點(diǎn)不多于一次,則該通道叫前向通道。如

前向通道增益前向通道上各支路增益之乘積,用Pk表示。回路起點(diǎn)和終點(diǎn)在同一節(jié)點(diǎn),并與其它節(jié)點(diǎn)相遇僅一次的通路,也就是閉合通道。以下是圖2-23中的一些回路:

回路增益回路中所有支路的乘積,用La表示。

不接觸回路回路之間沒(méi)有公共節(jié)點(diǎn)時(shí),這種回路叫做不接觸回路。在信號(hào)流圖中,可以有兩個(gè)或兩個(gè)以上的不接觸回路。

例如：

就是不接觸回路的例子。上述定義可以類(lèi)推到系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖中,從而采用梅遜公式(后面將介紹)求取由結(jié)構(gòu)圖表示的系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)。

2.信號(hào)流圖的性質(zhì)

(1)信號(hào)流圖適用于線性系統(tǒng)。

(2)支路表示一個(gè)信號(hào)對(duì)另一個(gè)信號(hào)的函數(shù)關(guān)系,信號(hào)只能沿支路上的箭頭指向傳遞。

(3)在節(jié)點(diǎn)上可以把所有輸入支路的信號(hào)疊加,并把相加后的信號(hào)送到所有的輸出支路。

(4)具有輸入和輸出支路的混合節(jié)點(diǎn),通過(guò)增加一個(gè)具有單位增益的支路可以把它作為輸出節(jié)點(diǎn)來(lái)處理。

(5)對(duì)于一個(gè)給定的系統(tǒng),信號(hào)流圖不是唯一的。由于描述同一個(gè)系統(tǒng)的方程可以表示為不同的形式,因此可以畫(huà)出不同的信號(hào)流程圖。

3.梅遜公式用梅遜公式可以直接求信號(hào)流圖從輸入節(jié)點(diǎn)到輸出節(jié)點(diǎn)的增益,其表達(dá)式為

(2.45)式中,

P——系統(tǒng)總增益(對(duì)于控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖而言,就是輸入到輸出的傳遞函數(shù));

k——前向通道數(shù)目;

Pk——第k條前向通道的增益;Δ——信號(hào)流圖的特征式,它是信號(hào)流圖所表示的方程組的系數(shù)矩陣的行列式。在同一個(gè)信號(hào)流圖中不論求圖中任何一對(duì)節(jié)點(diǎn)之間的增益,其分母總是Δ,變化的只是其分子。它可以通過(guò)下面的表達(dá)式計(jì)算:其中,∑L(1)——所有不同回路增益乘積之和;∑L(2)——所有任意兩個(gè)互不接觸回路增益乘積之和;∑L(3)——所有任意三個(gè)互不接觸回路增益乘積之和;∑L(m)

——所有任意m個(gè)不接觸回路增益乘積之和;Δk——信號(hào)流圖中除去與第k條前向通道Pk相接觸的支路和節(jié)點(diǎn)后余下的信號(hào)流圖的特征式,稱(chēng)為Pk的余因式。

【例2-10】

系統(tǒng)的方塊圖如圖2-24所示,試用梅遜公式求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)。

有三個(gè)獨(dú)立回路：

解

從圖中可以看出,該框圖只有一個(gè)前向通道,其增益為

沒(méi)有兩個(gè)及兩個(gè)以上的互相獨(dú)立回路。圖2-24系統(tǒng)的方塊圖所以,特征式Δ為

連接輸入節(jié)點(diǎn)和輸出節(jié)點(diǎn)的前向通道的余因式Δ1,可以通過(guò)除去與該通道接觸的回路的方法得到。因?yàn)橥ǖ繮1與三個(gè)回路都接觸,所以有

Δ1=1

因此,輸入量R(s)和輸出量C(s)之間的總增益或閉環(huán)傳遞函數(shù)為

【例2-11】

利用梅遜公式確定圖2-8(c)所表示的系統(tǒng)的傳遞函數(shù)Φ(s)=U2(s)/U1(s)及ΦE(s)=E(s)/U1(s)。

解

該圖有三個(gè)反饋回路:回路1和回路3不接觸,所以有

以U2(s)作為輸出信號(hào)時(shí),該系統(tǒng)只有一條前向通道。

且有

該前向通道與各回路都有接觸,所以

Δ1=1故

以E(s)作為輸出信號(hào)時(shí),該系統(tǒng)也只有一條前向通道。

且

P1=1這條前向通道與回路1相接觸,故

所以

總之,當(dāng)求解系統(tǒng)的傳遞函數(shù)時(shí),簡(jiǎn)單的系統(tǒng)可以直接用結(jié)構(gòu)圖運(yùn)算,既清楚又方便;復(fù)雜的系統(tǒng)可以將其看作信號(hào)流圖后,再利用梅遜公式計(jì)算。

需要強(qiáng)調(diào)的是,在利用梅遜公式時(shí),要考慮周到,不能遺漏任何應(yīng)當(dāng)計(jì)算的回路和前向通道。

2.5線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的MATLAB實(shí)現(xiàn)

1.MATLAB建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的方法下面通過(guò)一些示例說(shuō)明MATLAB建立線性定常系統(tǒng)三種數(shù)學(xué)模型的方法。

【例2-12】若給定系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

試用MATLAB語(yǔ)句表示該傳遞函數(shù)。

解輸入上述傳遞函數(shù)的MATLAB程序如下:%ex-212num=［12241220］;den=［24622］;

G=tf(num,den)程序第一行是注釋語(yǔ)句,不執(zhí)行;第二、三行分別按降冪順序輸入給定傳遞函數(shù)的分子和分母多項(xiàng)式的系數(shù);第四行建立系統(tǒng)的傳遞函數(shù)模型。運(yùn)行結(jié)果顯示

Transferfunction:12s^3+24s^2+12s+20-------------------------------------2s^4+4s^3+6s^2+2s+2注意，如果給定的分子或分母多項(xiàng)式缺項(xiàng),則所缺項(xiàng)的系數(shù)用0補(bǔ)充,例如一個(gè)分子多項(xiàng)式為3s2＋1,則相應(yīng)的MATLAB輸入為

num=［301］;如果分子或分母多項(xiàng)式是多個(gè)因子的乘積,則可以調(diào)用MATLAB提供的多項(xiàng)式乘法處理函數(shù)conv()。

【例2-13】已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

試用MATLAB實(shí)現(xiàn)此傳遞函數(shù)。

解輸入上述傳遞函數(shù)的MATLAB程序如下:%ex-213num=4*conv(［12］,conv(［166］,［166］));den=conv([10],conv([11],conv([11],conv([1,1],[1325]))));G=tf(num,den)程序中的conv()表示兩個(gè)多項(xiàng)式的乘法,并且可以嵌套。運(yùn)行結(jié)果為

Transferfunction:4s^5+56s^4+288s^3+672s^2+720s+288-------------------------------------------s^7+6s^6+14s^5+21s^4+24s^3+17s^2+5s

【例2-14】已知系統(tǒng)的零極點(diǎn)分布和增益,用MATLAB建立系統(tǒng)模型。系統(tǒng)零點(diǎn)為-2和-3,系統(tǒng)極點(diǎn)為-3,-4+j5和-4-j5,增益為10。

解用MATLAB建立上述系統(tǒng)零極點(diǎn)增益模型的程序如下:%ex-214z