《自動(dòng)控制原理》課件第3章

第三章線性系統(tǒng)的時(shí)域分析法3.1動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)3.2一階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.4高階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差3.7基于MATLAB的線性系統(tǒng)時(shí)域分析小結(jié)習(xí)題3.1動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能指標(biāo)3.1.1典型輸入信號(hào)

1.階躍函數(shù)階躍函數(shù)(見(jiàn)圖3-1(a))的時(shí)域表達(dá)式為(3.1)式中,R為常數(shù),當(dāng)R＝1時(shí),稱r(t)=1(t)為單位階躍函數(shù)。圖3-1典型輸入信號(hào)2.斜坡函數(shù)(速度函數(shù))

斜坡函數(shù),也稱速度函數(shù)(見(jiàn)圖3-1(b))，其時(shí)域表達(dá)式為(3.2)式中,R為常數(shù)。當(dāng)R＝1時(shí),稱r(t)=t為單位斜坡函數(shù)。因?yàn)閐r(t)/dt=R,所以斜坡函數(shù)代表勻速變化的信號(hào)。3.加速度函數(shù)加速度函數(shù)(見(jiàn)圖3-1(c))的時(shí)域表達(dá)式為(3.3)式中，R為常數(shù)。當(dāng)R＝1時(shí),稱r(t)=t2/2為單位加速度函數(shù)。因?yàn)閐2r(t)/dt2=R,所以加速度函數(shù)代表勻加速變化的信號(hào)。4.脈沖函數(shù)脈沖函數(shù)(見(jiàn)圖3-1(d))的時(shí)域表達(dá)式為(3.4)式中,h稱為脈沖寬度,脈沖的面積為1。若對(duì)脈沖的寬度取趨于零的極限,則有(3.5)及(3.6)稱此函數(shù)為理想脈沖函數(shù),又稱δ函數(shù)(見(jiàn)圖3-1(e))。5.正弦函數(shù)正弦函數(shù)(見(jiàn)圖3-1(f))的時(shí)域表達(dá)式為(3.7)式中,A為振幅,ω為角頻率。3.1.2動(dòng)態(tài)過(guò)程和穩(wěn)態(tài)過(guò)程

1.動(dòng)態(tài)過(guò)程動(dòng)態(tài)過(guò)程又稱過(guò)渡過(guò)程或瞬態(tài)過(guò)程,指系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下,系統(tǒng)輸出量從開(kāi)始狀態(tài)到最終狀態(tài)的響應(yīng)過(guò)程。由于實(shí)際控制系統(tǒng)具有慣性、摩擦以及其他一些原因,系統(tǒng)輸出量不可能完全復(fù)現(xiàn)輸入量的變化。根據(jù)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)選擇的情況,動(dòng)態(tài)過(guò)程表現(xiàn)為衰減、發(fā)散或等幅振蕩形式。顯然,一個(gè)可以實(shí)際運(yùn)行的控制系統(tǒng),其動(dòng)態(tài)過(guò)程必須是衰減的,即系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的。動(dòng)態(tài)過(guò)程除提供系統(tǒng)的穩(wěn)定性信息外,還可以給出響應(yīng)速度、阻尼情況等信息。這些信息用動(dòng)態(tài)性能描述。

2.穩(wěn)態(tài)過(guò)程穩(wěn)態(tài)過(guò)程(穩(wěn)態(tài)響應(yīng)),是指當(dāng)時(shí)間t趨近于無(wú)窮大時(shí),系統(tǒng)輸出狀態(tài)的表現(xiàn)形式。它表征系統(tǒng)輸出量最終復(fù)現(xiàn)輸入量的程度,提供系統(tǒng)有關(guān)穩(wěn)態(tài)誤差的信息,用穩(wěn)態(tài)性能來(lái)描述。由此可見(jiàn),控制系統(tǒng)在典型輸入信號(hào)作用下的性能指標(biāo),通常由動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能兩部分組成。3.1.3動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠運(yùn)行的首要條件,因此只有當(dāng)動(dòng)態(tài)過(guò)程收斂時(shí),研究系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能才有意義。

1.動(dòng)態(tài)性能

當(dāng)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)c(t)中的瞬態(tài)分量較大而不能忽略時(shí),稱系統(tǒng)處于動(dòng)態(tài)或過(guò)渡過(guò)程中,這時(shí)系統(tǒng)的特性稱為動(dòng)態(tài)性能。動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)通常根據(jù)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線定義。設(shè)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖3-2所示。圖中 為輸出的穩(wěn)態(tài)值。圖3-2動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)

動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)通常有以下幾種:

延遲時(shí)間td:指響應(yīng)曲線第一次達(dá)到穩(wěn)態(tài)值的一半所需的時(shí)間。上升時(shí)間tr:若階躍響應(yīng)不超過(guò)穩(wěn)態(tài)值,上升時(shí)間指響應(yīng)曲線從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需的時(shí)間;對(duì)于有振蕩的系統(tǒng),上升時(shí)間定義為響應(yīng)從零第一次上升到穩(wěn)態(tài)值所需的時(shí)間。上升時(shí)間越短,響應(yīng)速度越快。峰值時(shí)間tp:指階躍響應(yīng)曲線超過(guò)穩(wěn)態(tài)值,到達(dá)第一個(gè)峰值所需要的時(shí)間。調(diào)節(jié)時(shí)間ts:在響應(yīng)曲線的穩(wěn)態(tài)線上,用穩(wěn)態(tài)值的百分?jǐn)?shù)(通常取5%或2%)作一個(gè)允許誤差范圍,響應(yīng)曲線達(dá)到并永遠(yuǎn)保持在這一允許誤差范圍內(nèi)所需的時(shí)間。

最大超調(diào)量σp:設(shè)階躍響應(yīng)的最大值為c(tp),則最大超調(diào)量σp可由下式確定:(3.8)

振蕩次數(shù)N:在0≤t≤ts內(nèi),階躍響應(yīng)曲線穿越穩(wěn)態(tài)值c(∞)次數(shù)的一半稱為振蕩次數(shù)。上述動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)中,常用的指標(biāo)有tr、ts和σp。上升時(shí)間tr評(píng)價(jià)系統(tǒng)的響應(yīng)速度;σp評(píng)價(jià)系統(tǒng)的運(yùn)行平穩(wěn)性或阻尼程度;ts是同時(shí)反映響應(yīng)速度和阻尼程度的綜合性指標(biāo)。應(yīng)當(dāng)指出,除簡(jiǎn)單的一、二階系統(tǒng)外,要精確給出這些指標(biāo)的解析表達(dá)式是很困難的。

2.穩(wěn)態(tài)性能穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的一種性能指標(biāo),通常在階躍函數(shù)、斜坡函數(shù)或加速度函數(shù)作用下進(jìn)行測(cè)定或計(jì)算。若時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí),系統(tǒng)輸出不等于輸入量或輸入量的確定函數(shù),則系統(tǒng)存在穩(wěn)態(tài)誤差。穩(wěn)態(tài)誤差是系統(tǒng)控制精度或抗擾動(dòng)能力的一種度量。3.2一階系統(tǒng)的時(shí)域分析圖3-3(a)一階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖；(b)簡(jiǎn)化結(jié)構(gòu)圖描述時(shí)間常數(shù)為T的一階系統(tǒng)的微分方程和傳遞函數(shù)分別如下：(3.9)(3.10)3.2.1一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)對(duì)于單位階躍輸入有由拉氏反變換可以得到一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)c(t)為(3.11)式中,cs(t)=1是穩(wěn)態(tài)分量,由輸入信號(hào)決定。ct(t)=-et/T是瞬態(tài)分量(暫態(tài)分量),它的變化規(guī)律由傳遞函數(shù)的極點(diǎn)s=-1/T決定。當(dāng)t→∞時(shí),瞬態(tài)分量按指數(shù)規(guī)律衰減到零。以下是一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的典型數(shù)值。圖3-4一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)曲線3.2.2一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)如果輸入信號(hào)為理想單位脈沖函數(shù)

r(t)=δ(t),R(s)=1輸出量的拉氏變換與系統(tǒng)的傳遞函數(shù)相同,即這時(shí)的輸出響應(yīng)稱為單位脈沖響應(yīng),記作g(t)。因?yàn)間(t)=L-1［G(s)］,其表達(dá)式為3.2.3一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)對(duì)于單位斜坡函數(shù)可求得系統(tǒng)輸出信號(hào)的拉氏變換為取拉氏反變換可得系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)為(t≥0)式中,cs(t)=t-T是穩(wěn)態(tài)分量,它是一個(gè)與輸入信號(hào)等斜率的斜坡函數(shù),但時(shí)間上滯后一個(gè)時(shí)間常數(shù)T;ct(t)=Te-t/T是瞬態(tài)分量,當(dāng)t→∞時(shí),ct(t)按指數(shù)規(guī)律衰減到零,衰減速度由極點(diǎn)s=-1/T決定。單位斜坡響應(yīng)也可由單位階躍響應(yīng)積分得到,其中初始條件為零。系統(tǒng)的誤差信號(hào)e(t)為(3.14)當(dāng)t→∞時(shí), 。這表明一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)在過(guò)渡過(guò)程結(jié)束后存在常值誤差,其值等于時(shí)間常數(shù)T。

一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)曲線如圖3-5所示。由圖可知,時(shí)間常數(shù)越小,響應(yīng)越快,跟蹤誤差越小,輸出信號(hào)的滯后時(shí)間也越短。本節(jié)最后給出線性定常系統(tǒng)的一個(gè)重要特性——等價(jià)關(guān)系,即線性定常系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)的響應(yīng),等于此系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的導(dǎo)數(shù);線性定常系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)積分的響應(yīng),就等于此系統(tǒng)對(duì)該輸入信號(hào)響應(yīng)的積分,積分常數(shù)由零初始條件確定。這個(gè)重要特性適用于任何階線性定常系統(tǒng),但不適用于線性時(shí)變系統(tǒng)和非線性系統(tǒng)。因此,研究線性定常系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng),不必對(duì)每種輸入信號(hào)進(jìn)行測(cè)定和計(jì)算,往往只取其中一種典型形式進(jìn)行研究。圖3-5一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)3.3二階系統(tǒng)的時(shí)域分析3.3.1二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式典型的二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如圖3-6(a)所示,它是由一個(gè)慣性環(huán)節(jié)和一個(gè)積分環(huán)節(jié)串聯(lián)組成前向通道的單位負(fù)反饋系統(tǒng)。系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為令ω2n=K1K2/τ,1/τ=2ζωn,則可將二階系統(tǒng)化為如下標(biāo)準(zhǔn)形式:(3.15)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)微分方程為(3.16)式中,ζ稱為阻尼比,ωn稱為無(wú)阻尼自振角頻率。與式(3.15)對(duì)應(yīng)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-6(b)所示。二階系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性,可以用ζ和ωn這兩個(gè)參量的形式加以描述。這兩個(gè)參數(shù)是二階系統(tǒng)的重要結(jié)構(gòu)參數(shù)。由式(3.15)可得二階系統(tǒng)的特征方程為(3.17)所以,系統(tǒng)的兩個(gè)特征根(極點(diǎn))為(3.18)隨著阻尼比ζ的不同,二階系統(tǒng)特征根(極點(diǎn))也不相同。圖3-6二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖1.欠阻尼(0＜ζ＜1)當(dāng)0＜ζ＜1時(shí),兩特征根為這是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)根,如圖3-7(a)所示。圖3-7復(fù)平面上二階系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)分布

2.臨界阻尼(ζ=1)

當(dāng)ζ=1時(shí),特征方程有兩個(gè)相同的負(fù)實(shí)根,即

s1,2=-ωn

此時(shí),s1,s2如圖3-7(b)所示。3.過(guò)阻尼(ζ＞1)

當(dāng)ζ＞1時(shí),兩特征根為這是兩個(gè)不同的實(shí)根,如圖3-7(c)所示。4.無(wú)阻尼(ζ=0)當(dāng)ζ=0時(shí),特征方程具有一對(duì)共軛純虛數(shù)根,即此時(shí),s1,s2如圖3-7(d)所示。3.3.2二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)令r(t)=1(t),則有R(s)=1/s。所以,由式(3.15)可得二階系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下輸出信號(hào)的拉氏變換為(3.19)對(duì)上式求拉氏反變換,可得二階系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的過(guò)渡過(guò)程為1.欠阻尼情況(0＜ζ＜1)在這種情況下,式(3.19)可以展成如下部分分式形式:(3.20)式中, 稱為有阻尼自振角頻率。方程(3.20)的拉氏反變換為(3.21)上式還可以改寫(xiě)為(3.22)式中,

由式(3.22)可知,在欠阻尼情況下,二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是衰減的正弦振蕩曲線(如圖3-8所示)。衰減速度取決于特征根實(shí)部的絕對(duì)值ζωn的大小,振蕩角頻率是特征根虛部的絕對(duì)值,即有阻尼自振角頻率ωd,振蕩周期為(3.23)

2.無(wú)阻尼情況(ζ=0)當(dāng)ζ=0時(shí),系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為所以,無(wú)阻尼情況下系統(tǒng)的階躍響應(yīng)是等幅正(余)弦振蕩曲線(如圖3-8所示),振蕩角頻率是ωn。(3.24)3.臨界阻尼情況(ζ=1)

當(dāng)ζ=1時(shí),由式(3.19)可得對(duì)上式進(jìn)行拉氏反變換得(3.25)所以,二階系統(tǒng)臨界阻尼情況下的單位階躍響應(yīng)是一條無(wú)超調(diào)的單調(diào)上升曲線(如圖3-8所示)。4.過(guò)阻尼情況(ζ＞1)

這種情況下,系統(tǒng)存在兩個(gè)不等的實(shí)根,即由式(3.19)可得式中,取上式的拉氏反變換可得過(guò)阻尼情況下二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為(3.26)(t≥0)

顯然,這時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)c(t)包含兩個(gè)衰減的指數(shù)項(xiàng),其過(guò)渡過(guò)程曲線如圖3-8所示。此時(shí)的二階系統(tǒng)就是兩個(gè)慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)。有關(guān)分析表明,當(dāng)ζ≥2時(shí),兩極點(diǎn)s1和s2與虛軸的距離相差很大,此時(shí)靠近虛軸的極點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間響應(yīng)與原二階系統(tǒng)非常接近,可以用該慣性環(huán)節(jié)來(lái)代替原來(lái)的二階系統(tǒng)。圖3-8二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線

不同阻尼比的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線見(jiàn)圖3-8。從圖中可以看出,隨著阻尼比ζ的減小,階躍響應(yīng)的振蕩程度加劇。ζ=0時(shí)是等幅振蕩,ζ≥1時(shí)是無(wú)振蕩的單調(diào)上升曲線,其中臨界阻尼對(duì)應(yīng)的過(guò)渡過(guò)程時(shí)間最短。在欠阻尼的狀態(tài)下,當(dāng)0.4＜ζ＜0.8時(shí),過(guò)渡過(guò)程時(shí)間比臨界阻尼時(shí)更短,而且振蕩也不嚴(yán)重。因此在控制工程中,除了那些不允許產(chǎn)生超調(diào)和振蕩的情況外,通常都希望二階系統(tǒng)工作在0.4＜ζ＜0.8的欠阻尼狀態(tài)。3.3.3二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)在許多實(shí)際情況中,評(píng)價(jià)控制系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的好壞是通過(guò)系統(tǒng)反映單位階躍函數(shù)的過(guò)渡過(guò)程的特征量來(lái)表示的。在一般情況下,希望二階系統(tǒng)工作在0.4＜ζ＜0.8的欠阻尼狀態(tài)下。因此,下面有關(guān)性能指標(biāo)的定義和定量關(guān)系的推導(dǎo)主要是針對(duì)二階系統(tǒng)的欠阻尼工作狀態(tài)進(jìn)行的。另外,系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的過(guò)渡過(guò)程與初始條件有關(guān),為了便于比較各種系統(tǒng)的過(guò)渡過(guò)程性能,通常假設(shè)系統(tǒng)的初始條件為零。1.上升時(shí)間tr

根據(jù)3.1節(jié)的定義,上升時(shí)間滿足所以有或根據(jù)反三角函數(shù)的性質(zhì)和式(3.22)中φ的表達(dá)式可得因此,二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)的上升時(shí)間為(3.27)2.峰值時(shí)間tp

將式(3.22)對(duì)時(shí)間求導(dǎo),并令其為零,即得整理、變換得根據(jù)三角函數(shù)的周期性,上式成立需滿足:ωdtp=0,π,2π,3π，…由于峰值時(shí)間是過(guò)渡過(guò)程達(dá)到第一個(gè)峰值所對(duì)應(yīng)的時(shí)間,因此應(yīng)取即二階系統(tǒng)過(guò)渡過(guò)程峰值時(shí)間為(3.28)

3.最大超調(diào)量σp

由最大超調(diào)量的定義式(3.8)和系統(tǒng)的階躍響應(yīng)式(3.21)可得即(3.29)

4.過(guò)渡過(guò)程時(shí)間ts

由式(3.22)可知,欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線c(t)位于一對(duì)曲線之內(nèi),這對(duì)曲線稱為響應(yīng)曲線的包絡(luò)線。可以采用包絡(luò)線代替實(shí)際響應(yīng)曲線估算過(guò)渡過(guò)程時(shí)間ts,所得結(jié)果一般略偏大。若允許誤差帶是Δ,則可以認(rèn)為ts就是包絡(luò)線衰減到Δ區(qū)域所需的時(shí)間,則有解得(3.30)若取Δ=5%,并忽略時(shí),則得若取Δ=2%,并忽略 時(shí),則得(0＜ζ＜0.9)5.振蕩次數(shù)N

根據(jù)振蕩次數(shù)的定義,有當(dāng)Δ=5%和Δ=2%時(shí),由式(3.31)和式(3.32)可得若已知σp,考慮到 ,即求得振蕩次數(shù)N與最大超調(diào)量之間的關(guān)系為(3.36)(3.37)圖3-9二階系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖【例3-1】

某二階系統(tǒng)如圖3-9所示,其中系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)參數(shù)ζ=0.6,ωn=5rad/s。輸入信號(hào)為階躍函數(shù),求性能指標(biāo)tr、tp、ts、σp和N的數(shù)值。

解根據(jù)給定的參數(shù)可以得出所以【例3-2】

設(shè)一個(gè)帶速度反饋的伺服系統(tǒng),其結(jié)構(gòu)圖如圖3-10所示。要求系統(tǒng)的性能指標(biāo)為σp=20%,tp=1s。試確定系統(tǒng)的K和KA值,并計(jì)算性能指標(biāo)tr、ts和N。

解首先,根據(jù)要求的σp求取相應(yīng)的阻尼比ζ:解得ζ=0.456。其次,由已知條件tp=1s和已求出的ζ=0.456求無(wú)阻尼自振頻率ωn,即解得ωn=3.53rad/s,將此二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)形式比較,求K和KA值。由圖3-10得比較上式兩端,得所以K=12.5,KA=0.178。最后計(jì)算tr、ts和N:圖3-10控制系統(tǒng)框圖3.4高階系統(tǒng)的時(shí)域分析

凡是用高于二階的常微分方程描述輸出信號(hào)與輸入信號(hào)之間關(guān)系的控制系統(tǒng),均稱為高階系統(tǒng)。嚴(yán)格地說(shuō),大多數(shù)控制系統(tǒng)都是高階系統(tǒng),這些高階系統(tǒng)往往是由若干慣性子系統(tǒng)(一階系統(tǒng))或振蕩子系統(tǒng)(二階系統(tǒng))所組成的。由于高階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的確定是復(fù)雜的,因此這里只對(duì)高階系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)進(jìn)行簡(jiǎn)要的定性說(shuō)明。設(shè)高階系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的一般形式為設(shè)此傳遞函數(shù)的零、極點(diǎn)分別為-zi(i=1,2,…,m)和-pi(i=1,2,…,n),增益為K,則有(3.38)(3.39)令系統(tǒng)所有零、極點(diǎn)互不相同,且極點(diǎn)有實(shí)數(shù)極點(diǎn)和復(fù)數(shù)極點(diǎn),零點(diǎn)均為實(shí)數(shù)零點(diǎn)。當(dāng)輸入單位階躍函數(shù)時(shí),則有(3.40)式中,n=q+2r,q為實(shí)極點(diǎn)的個(gè)數(shù),r為復(fù)數(shù)極點(diǎn)的個(gè)數(shù)。將式(3.40)展成部分分式得對(duì)上式求拉氏反變換得(3.41)

由此可見(jiàn),單位階躍函數(shù)作用下高階系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)分量為A0,其瞬態(tài)分量是一階和二階系統(tǒng)瞬態(tài)分量的合成。分析表明,高階系統(tǒng)有如下結(jié)論:(1)高階系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)各分量的衰減快慢由指數(shù)衰減系數(shù)pj和ζkωnk決定。如果某極點(diǎn)遠(yuǎn)離虛軸(對(duì)應(yīng)的衰減系數(shù)大),那么其相應(yīng)的瞬態(tài)分量比較小,且持續(xù)時(shí)間較短。(2)高階系統(tǒng)各瞬態(tài)分量的系數(shù)Ak、Bk和Ck不僅與復(fù)平面中極點(diǎn)的位置有關(guān),而且與零點(diǎn)的位置有關(guān)。當(dāng)某極點(diǎn)pj越靠近某零點(diǎn)zi而遠(yuǎn)離其他極點(diǎn),同時(shí)與復(fù)平面原點(diǎn)的距離也很遠(yuǎn)時(shí),相應(yīng)瞬態(tài)分量的系數(shù)就越小,該瞬態(tài)分量的影響就越小。極端情況下,當(dāng)pj和zi重合時(shí)(稱這對(duì)重合的零極點(diǎn)為偶極子),該極點(diǎn)對(duì)系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)幾乎沒(méi)有影響。因此,對(duì)于系數(shù)很小的瞬態(tài)分量,以及遠(yuǎn)離虛軸的極點(diǎn)對(duì)應(yīng)的快速衰減的瞬態(tài)分量常可以忽略。于是高階系統(tǒng)的響應(yīng)就可以用低階系統(tǒng)的響應(yīng)去近似。(3)在系統(tǒng)中,如果距虛軸最近的極點(diǎn)，其實(shí)部的絕對(duì)值為其他極點(diǎn)實(shí)部絕對(duì)值的1/5甚至更小,并且在其附近沒(méi)有零點(diǎn)存在,則系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)將主要由此極點(diǎn)左右。這種支配系統(tǒng)瞬態(tài)響應(yīng)的極點(diǎn)叫做系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)。一般高階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)是有振蕩的,因此它的近似低階系統(tǒng)的主導(dǎo)極點(diǎn)往往是一對(duì)共軛的復(fù)數(shù)極點(diǎn)。3.5線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3.5.1穩(wěn)定性的基本概念設(shè)一個(gè)線性定常系統(tǒng)原處于某一平衡狀態(tài),若它瞬間受到某一擾動(dòng)的作用偏離了原來(lái)的平衡狀態(tài),當(dāng)擾動(dòng)消失后,如果系統(tǒng)還能回到原有的平衡狀態(tài),則稱該系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之,系統(tǒng)為不穩(wěn)定的。這表明穩(wěn)定性是表征系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后自身的一種恢復(fù)能力,它是系統(tǒng)的一種固有特性。

系統(tǒng)的穩(wěn)定性又分為兩種:一是大范圍的穩(wěn)定,即初始偏差可以很大,但系統(tǒng)仍穩(wěn)定;另一種是小范圍的穩(wěn)定,即初始偏差必須在一定限度內(nèi)系統(tǒng)才穩(wěn)定,超出了這個(gè)限定值則不穩(wěn)定。對(duì)于線性系統(tǒng),如果小范圍內(nèi)是穩(wěn)定的,則它一定也是大范圍穩(wěn)定的。而非線性系統(tǒng)不存在類似結(jié)論。通常而言,線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性表現(xiàn)為其時(shí)域響應(yīng)的收斂性。當(dāng)把控制系統(tǒng)的響應(yīng)分為過(guò)渡狀態(tài)和穩(wěn)定狀態(tài)來(lái)考慮時(shí),若隨著時(shí)間的推移,其過(guò)渡過(guò)程會(huì)逐漸衰減,系統(tǒng)的響應(yīng)最終收斂到穩(wěn)定狀態(tài),則稱該控制系統(tǒng)是穩(wěn)定的;而如果過(guò)渡過(guò)程是發(fā)散的,則該系統(tǒng)就是不穩(wěn)定的。3.5.2線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件線性系統(tǒng)的特性或狀態(tài)是由線性微分方程來(lái)描述的,而微分方程的解通常就是系統(tǒng)輸出量的時(shí)間表達(dá)式,它包含兩個(gè)部分:靜態(tài)分量和瞬態(tài)分量。其中靜態(tài)分量對(duì)應(yīng)微分方程的特解,與外部輸入有關(guān);瞬態(tài)分量對(duì)應(yīng)微分方程的通解,只與系統(tǒng)本身的參數(shù)、結(jié)構(gòu)和初始條件有關(guān),而與外部作用無(wú)關(guān)。研究系統(tǒng)的穩(wěn)定性,就是研究系統(tǒng)輸出量中瞬態(tài)分量的運(yùn)動(dòng)形式。這種運(yùn)動(dòng)形式完全取決于系統(tǒng)的特征方程,即齊次微分方程,這個(gè)特征方程反映了擾動(dòng)消除之后輸出量的運(yùn)動(dòng)情況。單輸入、單輸出線性定常系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式為系統(tǒng)的特征方程式為此方程的根稱為特征根,它由系統(tǒng)本身的參數(shù)和結(jié)構(gòu)所決定。從常微分方程理論可知,微分方程解的收斂性完全取決于其相應(yīng)特征方程的根。如果特征方程的所有根都是負(fù)實(shí)數(shù)或?qū)嵅繛樨?fù)的復(fù)數(shù),則微分方程的解是收斂的;如果特征方程存在正實(shí)數(shù)根或正實(shí)部的復(fù)根,則微分方程的解中就會(huì)出現(xiàn)發(fā)散項(xiàng)。

由上述討論可以得出如下結(jié)論:線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是,特征方程式的所有根均為負(fù)實(shí)根或其實(shí)部為負(fù)的復(fù)根,即特征方程的根均在復(fù)平面的左半平面。由于系統(tǒng)特征方程的根就是系統(tǒng)的極點(diǎn),因此也可以說(shuō),線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的極點(diǎn)均在復(fù)平面的左半部分。對(duì)于復(fù)平面右半平面沒(méi)有極點(diǎn),但虛軸上存在極點(diǎn)的線性定常系統(tǒng),稱之為臨界穩(wěn)定的,該系統(tǒng)在擾動(dòng)消除后的響應(yīng)通常是等幅振蕩的。在工程上,臨界穩(wěn)定屬于不穩(wěn)定,因?yàn)閰?shù)的微小變化就會(huì)使極點(diǎn)具有正實(shí)部,從而導(dǎo)致系統(tǒng)不穩(wěn)定。3.5.3勞斯穩(wěn)定判據(jù)根據(jù)線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的充分必要條件,可以通過(guò)求取系統(tǒng)特征方程式的所有根,并檢查所有特征根實(shí)部的符號(hào)來(lái)判斷系統(tǒng)是否穩(wěn)定。但由于一般特征方程式為高次代數(shù)方程,因此要計(jì)算其特征根必須依賴計(jì)算機(jī)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。采用勞斯穩(wěn)定判據(jù),可以不用求解方程,只根據(jù)方程系數(shù)做簡(jiǎn)單的運(yùn)算,就可以確定方程是否有(以及有幾個(gè))正實(shí)部的根,從而判定系統(tǒng)是否穩(wěn)定。以下是勞斯判據(jù)的具體內(nèi)容。設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為(3.42)

首先,勞斯穩(wěn)定判據(jù)給出控制系統(tǒng)穩(wěn)定的必要條件是:控制系統(tǒng)特征方程式式(3.42)的所有系數(shù)ai(i=0,1,2,…,n)均為正值,且特征方程式不缺項(xiàng)。其次,勞斯穩(wěn)定判據(jù)給出控制系統(tǒng)穩(wěn)定的充分條件是:勞斯表中第一列所有項(xiàng)均為正號(hào)。

如果方程式(3.42)所有系數(shù)都是正值,將多項(xiàng)式的系數(shù)排成下面形式的行和列,即為勞斯表:表中,系數(shù)b的計(jì)算,一直進(jìn)行到后面的b全部為零時(shí)為止。同樣采用上面兩行系數(shù)交叉相乘的方法,可以求出c,d,e,f等系數(shù),即這個(gè)過(guò)程一共進(jìn)行到第n+1行為止。其中第n+1行僅第一列有值,且正好是方程最后一項(xiàng)an。勞斯表是三角形。注意,在展開(kāi)的勞斯表中,為了簡(jiǎn)化其后的數(shù)值運(yùn)算,可以用一個(gè)正整數(shù)去除或乘某一整個(gè)行,這時(shí)并不改變穩(wěn)定性結(jié)論。

因此,采用勞斯判據(jù)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí),如果必要條件不滿足(即特征方程系數(shù)不全為正或缺項(xiàng)),則可斷定系統(tǒng)是不穩(wěn)定或臨界穩(wěn)定的;如果必要條件滿足,就需要列出勞斯表,檢查表中第一列的數(shù)值是否均為正值,如果是,則系統(tǒng)穩(wěn)定,否則系統(tǒng)不穩(wěn)定,并且系統(tǒng)在復(fù)平面右半平面極點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于勞斯表第一列系數(shù)符號(hào)改變的次數(shù)。

【例3-3】

設(shè)控制系統(tǒng)的特征方程式為

試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解系統(tǒng)特征方程式的系數(shù)均大于零,并且沒(méi)有缺項(xiàng),所以穩(wěn)定的必要條件滿足。列勞斯表由于該表第一列系數(shù)的符號(hào)變化了兩次,因此該方程中有兩個(gè)根在復(fù)平面的右半平面,故系統(tǒng)是不穩(wěn)定的?！纠?-4】

設(shè)有一個(gè)三階系統(tǒng)的特征方程式中所有系數(shù)均為正數(shù)。試證明該系統(tǒng)穩(wěn)定的條件是a1a2＞a0a3。證明上式對(duì)應(yīng)的勞斯表為

根據(jù)勞斯判據(jù),系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是勞斯表第一列系數(shù)均大于零。所以有a1a2＞a0a3

【例3-5】

考慮圖3-11所示的系統(tǒng),確定使系統(tǒng)穩(wěn)定的K的取值范圍。圖3-11控制系統(tǒng)框圖解由圖3-11可知,系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為所以系統(tǒng)的特征方程為由穩(wěn)定的必要條件可知,K＞0。列勞斯表如下:根據(jù)勞斯判據(jù),系統(tǒng)穩(wěn)定必須滿足因此,使系統(tǒng)閉環(huán)穩(wěn)定的K的取值范圍為當(dāng)K=14/9時(shí),系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

需要指出,在運(yùn)用勞斯穩(wěn)定判據(jù)分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性時(shí),有時(shí)會(huì)遇到下列兩種特殊情況:(1)在勞斯表的某一行中,出現(xiàn)第一個(gè)元為零,而其余各元均不為零,或部分不為零的情況;(2)在勞斯表的某一行中,出現(xiàn)所有元均為零的情況。在這兩種情況下,表明系統(tǒng)在復(fù)平面內(nèi)存在正根或存在兩個(gè)大小相等符號(hào)相反的實(shí)根或存在兩個(gè)共軛虛根,系統(tǒng)處在不穩(wěn)定狀態(tài)或臨界穩(wěn)定狀態(tài)。

下面通過(guò)實(shí)例說(shuō)明這時(shí)應(yīng)如何排勞斯表。若遇到第一種情況,可用一個(gè)很小的正數(shù)ε代替為零的元素,然后繼續(xù)進(jìn)行計(jì)算,完成勞斯表。例如,系統(tǒng)的特征方程為其勞斯表為因?yàn)閯谒贡淼谝涣性氐姆?hào)改變了兩次,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定,且有兩個(gè)正實(shí)部的特征根。

若遇到第二種情況,先用全零行的上一行元素構(gòu)成一個(gè)輔助方程,它的次數(shù)總是偶數(shù),它表示特征根中出現(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的根的數(shù)目(這些根或?yàn)楣曹椞摳?或?yàn)榉?hào)相異但絕對(duì)值相同的成對(duì)實(shí)根;或?yàn)閷?shí)部符號(hào)相異而虛部數(shù)值相同的成對(duì)的共軛復(fù)根;或上述情況同時(shí)存在)。再將上述輔助方程對(duì)s求導(dǎo),用求導(dǎo)后的方程系數(shù)代替全零行的元素,繼續(xù)完成勞斯表。例如,系統(tǒng)的特征方程為勞斯表為→輔助方程2s2+2=0←輔助方程求導(dǎo)后的系數(shù)由以上可以看出,勞斯表第一列元素符號(hào)均大于零,故系統(tǒng)不含具有正實(shí)部的根,而含一對(duì)純虛根,可由輔助方程2s2+2=0解出±j。3.6控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差

穩(wěn)態(tài)誤差是衡量系統(tǒng)控制精度的,在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中作為穩(wěn)態(tài)指標(biāo)。實(shí)際的控制系統(tǒng)由于本身結(jié)構(gòu)和輸入信號(hào)的不同,其穩(wěn)態(tài)輸出量不可能完全與輸入量一致,也不可能在任何擾動(dòng)作用下都能準(zhǔn)確地恢復(fù)到原有的平衡點(diǎn)。另外,系統(tǒng)中還存在摩擦、間隙和死區(qū)等非線性因素。因此,控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差總是不可避免的?？刂葡到y(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)盡可能減小穩(wěn)態(tài)誤差。當(dāng)穩(wěn)態(tài)誤差足夠小，可以忽略不計(jì)的時(shí)候,可以認(rèn)為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零,這種系統(tǒng)稱為無(wú)差系統(tǒng),而穩(wěn)態(tài)誤差不為零的系統(tǒng)則稱為有差系統(tǒng)。應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是,只有當(dāng)系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí),才可以分析系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。3.6.1誤差與穩(wěn)態(tài)誤差根據(jù)控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)(如圖3-12所示),可以定義系統(tǒng)的誤差與穩(wěn)態(tài)誤差。圖3-12控制系統(tǒng)的一般結(jié)構(gòu)從輸出端定義的誤差是系統(tǒng)輸出量的期望值與實(shí)際值之差,即式中cr(t)是與系統(tǒng)設(shè)定輸入量r(t)相應(yīng)的期望輸出量。這種定義物理意義明確,但在實(shí)際系統(tǒng)中往往不可測(cè)量。從輸入端定義的誤差是系統(tǒng)設(shè)定輸入量與主反饋量之差,即式中b(t)是實(shí)際輸出量經(jīng)反饋后送到輸入端的主反饋量。這樣定義的誤差可用系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖中相應(yīng)的量表示,便于進(jìn)行理論分析,在實(shí)際系統(tǒng)中也可以測(cè)量。(3.43)

在單位負(fù)反饋情況下,兩種誤差的定義是一致的。在某些情況下,誤差也可以定義為

在工程實(shí)踐中,還會(huì)遇到更復(fù)雜的情況,對(duì)誤差的定義可視具體情況和要求而異。穩(wěn)態(tài)誤差是指一個(gè)穩(wěn)定的系統(tǒng)在設(shè)定的輸入或擾動(dòng)作用下,經(jīng)歷過(guò)渡過(guò)程進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后的誤差,即為了討論方便,這里取誤差為式(3.43)的形式。(3.44)3.6.2系統(tǒng)的類型穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算與系統(tǒng)的類型有關(guān),而系統(tǒng)的類型是由開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)決定的。一般情況下,系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可以表示為其中K為系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)放大倍數(shù);τi和Tj為時(shí)間常數(shù);γ為開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中積分單元的個(gè)數(shù),即開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在原點(diǎn)處極點(diǎn)的重?cái)?shù)。并且開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)K可以定義如下:

γ=0,1和2的系統(tǒng)分別稱為0型系統(tǒng)、Ⅰ型系統(tǒng)和Ⅱ型系統(tǒng)。Ⅲ型以上的系統(tǒng)很少見(jiàn)。3.6.3穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差的基本系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖3-12所示,并以輸入端定義的誤差信號(hào)作為研究基礎(chǔ)。圖中R(s)、N(s)、C(s)和E(s)分別為系統(tǒng)設(shè)定輸入、擾動(dòng)輸入、系統(tǒng)輸出和系統(tǒng)的誤差。根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加原理,可求得系統(tǒng)在設(shè)定輸入和擾動(dòng)輸入作用下的系統(tǒng)誤差為(3.47)其中,Go(s)=G1(s)G2(s)H(s)是系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù),并具有式(3.45)的形式。由式(3.47)可知,系統(tǒng)的誤差由兩部分組成:由系統(tǒng)設(shè)定輸入信號(hào)引起的誤差為系統(tǒng)誤差或原理誤差(對(duì)應(yīng)式中第一項(xiàng)),它反映了系統(tǒng)跟蹤輸入信號(hào)的能力;由擾動(dòng)輸入信號(hào)引起的誤差稱為擾動(dòng)誤差(對(duì)應(yīng)式中第二項(xiàng)),它反映了系統(tǒng)抑制擾動(dòng)的能力。1.設(shè)定輸入作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算

設(shè)定輸入作用下的系統(tǒng)誤差為(3.48)

根據(jù)穩(wěn)態(tài)誤差的定義(式(3.44))和拉氏變換的終值定理(假設(shè)E(s)的極點(diǎn)全位于復(fù)平面的左半平面),可得(3.49)為便于討論,定義如下一組靜態(tài)誤差系數(shù)。靜態(tài)位置誤差系數(shù)：(3.50)靜態(tài)速度誤差系數(shù):(3.51)靜態(tài)加速度誤差系數(shù):(3.52)則在單位階躍輸入信號(hào)作用下,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為(3.53)在單位斜坡信號(hào)輸入作用下,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為(3.54)在單位加速度信號(hào)輸入作用下,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為(3.55)

根據(jù)以上對(duì)三種典型輸入、三種類型系統(tǒng)的分析,可以得到如下結(jié)論:0型系統(tǒng)對(duì)于階躍輸入是有差系統(tǒng),并且無(wú)法跟蹤斜坡信號(hào);Ⅰ型系統(tǒng)由于含有一個(gè)積分環(huán)節(jié),所以對(duì)于階躍輸入是無(wú)差的,但對(duì)斜坡輸入是有差的,因此,Ⅰ型系統(tǒng)也稱一階無(wú)差系統(tǒng);Ⅱ型系統(tǒng)由于含有兩個(gè)積分環(huán)節(jié),對(duì)于階躍輸入和斜坡輸入都是無(wú)差的,但對(duì)加速度信號(hào)是有差的,因此,Ⅱ型系統(tǒng)也稱二階無(wú)差系統(tǒng)。表3-1設(shè)定輸入信號(hào)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差

2.擾動(dòng)輸入作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算對(duì)于擾動(dòng)輸入作用下系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差的計(jì)算,也可以按照類似設(shè)定輸入情況的方法進(jìn)行計(jì)算。在這種情況下,穩(wěn)定誤差的計(jì)算稍復(fù)雜些,這里就不再加以論述。感興趣的讀者可以自行推導(dǎo)。應(yīng)當(dāng)指出的是,對(duì)Ⅰ型以上的系統(tǒng),由擾動(dòng)作用引起的穩(wěn)態(tài)誤差與擾動(dòng)作用點(diǎn)之前的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)?！纠?-6】

已知某單位負(fù)反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為試求系統(tǒng)輸入分別為1(t),10t,3t2時(shí),系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解由勞斯穩(wěn)定判據(jù)分析可知,該系統(tǒng)是閉環(huán)穩(wěn)定的(這里從略)。由于此系統(tǒng)為Ⅰ型系統(tǒng),系統(tǒng)的靜態(tài)速度誤差系數(shù)為

根據(jù)表3-1，當(dāng)r(t)=1(t)時(shí),穩(wěn)態(tài)誤差ess=0;

當(dāng)r(t)=10t時(shí),穩(wěn)態(tài)誤差 ;

當(dāng)r(t)=3t2時(shí),穩(wěn)態(tài)誤差ess=∞。

【例3-7】

已知兩個(gè)系統(tǒng)分別如圖3-13(a)、(b)所示。輸入r(t)=4+6t+3t2,試分別計(jì)算兩個(gè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。

解圖3-13(a)為Ⅰ型系統(tǒng),它不能跟蹤輸入信號(hào)的加速度分量3t2,所以該系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess=∞。圖3-13例3-7圖

圖3-13(b)為Ⅱ型系統(tǒng),開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)為K=10/4。查表可知,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為需要指出的是,標(biāo)準(zhǔn)的加速度信號(hào)為t2/2,所以本題中的3t2是標(biāo)準(zhǔn)輸入的6倍,因此,用標(biāo)準(zhǔn)輸入下的公式計(jì)算穩(wěn)態(tài)誤差時(shí)要乘上這個(gè)倍數(shù)。3.6.4穩(wěn)態(tài)誤差的抑制措施

1.提高系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)從表3-1可以看出:0型系統(tǒng)跟蹤單位階躍信號(hào)、Ⅰ型系統(tǒng)跟蹤單位斜坡信號(hào)、Ⅱ型系統(tǒng)跟蹤恒加速信號(hào)時(shí),其系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差均為常值,且都與開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)K有關(guān)。若增大開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)K,則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差可以顯著下降。提高開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)K固然可以使穩(wěn)態(tài)誤差下降,但K值取得過(guò)大會(huì)使系統(tǒng)的穩(wěn)定性變壞,甚至造成系統(tǒng)的不穩(wěn)定。如何解決這個(gè)矛盾,將是本書(shū)以后幾章中討論的中心問(wèn)題。

2.增大系統(tǒng)的類型數(shù)從表3-1可以看出:若開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)(H(s)=1時(shí),開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)就是系統(tǒng)前向通道傳遞函數(shù))中沒(méi)有積分環(huán)節(jié),即0型系統(tǒng)時(shí),跟蹤階躍輸入信號(hào)引起的穩(wěn)態(tài)誤差為常值;若開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中含有一個(gè)積分環(huán)節(jié),即Ⅰ型系統(tǒng)時(shí),跟蹤階躍輸入信號(hào)引起的穩(wěn)態(tài)誤差為零;若開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)中含有兩個(gè)積分環(huán)節(jié),即Ⅱ型系統(tǒng)時(shí),則系統(tǒng)跟蹤階躍輸入信號(hào)、斜坡輸入信號(hào)引起的穩(wěn)態(tài)誤差為零。

3.采用復(fù)合控制采用復(fù)合控制,即在反饋控制基礎(chǔ)上引入順饋(也稱前饋)補(bǔ)償。這種方法可以在基本不改變系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的前提下,有效改善系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。3.7基于MATLAB的線性系統(tǒng)時(shí)域分析

1.用MATLAB進(jìn)行動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析通過(guò)MATLAB提供的函數(shù)step()和inpulse(),可以方便地求出各階系統(tǒng)在階躍函數(shù)和脈沖函數(shù)作用下的輸出響應(yīng)。

【例3-8】

試用MATLAB繪制系統(tǒng)在單位階躍函數(shù)作用下的響應(yīng)曲線。

解獲取上述兩系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的程序如下:%ex-3-8num1=［1］;den1=［21］;G1=tf(num1,den1);num2=［25］;den2=［1325］;G2=tf(num2,den2);figure(1); step(G1); xlabel(′時(shí)間′);ylabel(′輸出響應(yīng)′);title(′一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)′); figure(2); step(G2); xlabel(′時(shí)間′);ylabel(′輸出響應(yīng)′);title(′二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)′);圖3-14例3-8的MATLAB仿真結(jié)果【例3-9】

試用MATLAB繪制例3-8中兩系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)。

解本題的程序?qū)崿F(xiàn)與例3-8類似,這里從略。仿真結(jié)果如圖3-15所示。應(yīng)當(dāng)指出的是,函數(shù)step()和inpulse()具有不同的參數(shù)形式和輸出形式,具體情況請(qǐng)通過(guò)MATLAB的Help查詢。另外,MATLAB還提供了在任意輸入信號(hào)作用下,獲取系統(tǒng)輸出響應(yīng)的函數(shù)lsim(),關(guān)于其用法請(qǐng)參見(jiàn)MATLAB軟件的聯(lián)機(jī)幫助。圖3-15例3-9的MATLAB仿真結(jié)果

2.用MATLAB進(jìn)行系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

可以利用MATLAB求系統(tǒng)特征方程的根來(lái)分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。

【例3-10】

設(shè)系統(tǒng)是由前向通道傳遞函數(shù)Gp(s)和反饋通道傳遞函數(shù)H(s)組成的負(fù)反饋控制系統(tǒng)。其中,試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

解

MATLAB采用roots()或eig()計(jì)算系統(tǒng)的特征根。以下是求取上述閉環(huán)系統(tǒng)特征根的程序:%ex-3-10Gp=tf(［1］,［124］);H=tf(1,［11］);G=feedback(Gp,H);p=eig(G)

計(jì)算結(jié)果為

p=-0.8389+1.7544i;-0.8389-1.7544i;-1.3222由于沒(méi)有正實(shí)部特征根,因此系統(tǒng)穩(wěn)定。

如果已知系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式,求取系統(tǒng)的特征根可采用函數(shù)roots()。需要說(shuō)明的是,程序中feedback()是構(gòu)建反饋回路的MATLAB函數(shù),對(duì)于幾個(gè)傳遞函數(shù)的串聯(lián)和并聯(lián),MATLAB也提供了相應(yīng)的實(shí)現(xiàn)函數(shù)series()和parallel(),具體用法請(qǐng)查詢MATLAB的聯(lián)機(jī)幫助。

【例3-11】

已知系統(tǒng)閉環(huán)特征多項(xiàng)式為

D(s)=s4+3s3+3s2+2s+3,試判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。

解可用下面程序求取系統(tǒng)特征根:%ex-311den=［13323］;p=roots(den)計(jì)算結(jié)果為

p=-1.6726±0.6531i;0.1726±0.9491i可見(jiàn),系統(tǒng)有兩個(gè)實(shí)部為正的根,所以系統(tǒng)不穩(wěn)定。小結(jié)

本章根據(jù)系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)分析了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能、穩(wěn)態(tài)性能以及穩(wěn)定性。其主要的研究?jī)?nèi)容有以下幾個(gè)方面：

(1)通過(guò)討論系統(tǒng)在典型信號(hào)下的時(shí)間響應(yīng),定義了描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)和穩(wěn)態(tài)性能的一系列指標(biāo)。動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)通常用單位階躍響應(yīng)的上升時(shí)間、超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間表示;穩(wěn)態(tài)性能用穩(wěn)態(tài)誤差表示。

(2)分析了一階、二階和高階系統(tǒng)在一些典型輸入信號(hào)作用下的時(shí)間響應(yīng)。重點(diǎn)研究了二階欠阻尼系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng),以及其動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)的計(jì)算方法;還指出,對(duì)于高階系統(tǒng)在一些條件下可以用低階系統(tǒng)代替。(3)系統(tǒng)的穩(wěn)