廣州大學(xué)版高數(shù)課件高數(shù)

廣州大學(xué)版高等數(shù)學(xué)課件本課程旨在幫助學(xué)生掌握高等數(shù)學(xué)的基本理論和方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力和解決實(shí)際問題的能力。課程內(nèi)容涵蓋微積分、線性代數(shù)、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)等，并結(jié)合實(shí)例講解。課件大綱1第一章函數(shù)與極限函數(shù)的定義、圖象、性質(zhì)、運(yùn)算，極限的概念和性質(zhì)，無窮小和無窮大，連續(xù)性。2第二章導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，微分的概念和應(yīng)用，高階導(dǎo)數(shù)。3第三章微積分基本定理不定積分和定積分的概念，微積分基本定理，牛頓-萊布尼茨公式。4第四章微分方程微分方程的概念，一階微分方程和高階微分方程的解法，應(yīng)用問題。第一章函數(shù)與極限本部分探討數(shù)學(xué)中的基本概念之一：函數(shù)。我們將深入研究函數(shù)的定義、性質(zhì)和圖象，并引出函數(shù)的極限，為后續(xù)的微積分學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)。函數(shù)的定義和圖象定義函數(shù)是指自變量的變化而引起因變量的變化，這種變化的對(duì)應(yīng)關(guān)系。例如，函數(shù)f(x)=x^2，當(dāng)自變量x取值1、2、3時(shí)，因變量y分別取值1、4、9。圖象函數(shù)的圖象是指在平面直角坐標(biāo)系中，以自變量為橫坐標(biāo)，因變量為縱坐標(biāo)，所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)連接而成的曲線。通過圖象，我們可以直觀地了解函數(shù)的變化趨勢，例如，函數(shù)f(x)=x^2的圖象是一個(gè)開口向上的拋物線。函數(shù)的性質(zhì)單調(diào)性函數(shù)值隨自變量的變化而增減，對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)遞增或遞減。奇偶性函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱或關(guān)于y軸對(duì)稱，對(duì)應(yīng)奇函數(shù)或偶函數(shù)。周期性函數(shù)在一定區(qū)間內(nèi)重復(fù)出現(xiàn)相同的變化規(guī)律，對(duì)應(yīng)周期函數(shù)。有界性函數(shù)的值在某個(gè)區(qū)間內(nèi)存在上下界，對(duì)應(yīng)有界函數(shù)。函數(shù)的運(yùn)算加法兩個(gè)函數(shù)的加法運(yùn)算，對(duì)應(yīng)自變量的函數(shù)值相加。減法兩個(gè)函數(shù)的減法運(yùn)算，對(duì)應(yīng)自變量的函數(shù)值相減。乘法兩個(gè)函數(shù)的乘法運(yùn)算，對(duì)應(yīng)自變量的函數(shù)值相乘。除法兩個(gè)函數(shù)的除法運(yùn)算，對(duì)應(yīng)自變量的函數(shù)值相除。極限的概念函數(shù)值的逼近當(dāng)自變量無限接近某個(gè)值時(shí)，函數(shù)值無限接近某個(gè)定值，這個(gè)定值稱為極限。極限的概念極限反映了函數(shù)在自變量趨于某個(gè)值時(shí)的變化趨勢，是微積分的基礎(chǔ)概念。極限的應(yīng)用極限在數(shù)學(xué)分析、微積分、物理學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，是理解連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、積分等概念的重要工具。極限的性質(zhì)和的極限兩個(gè)函數(shù)的和的極限等于它們各自極限的和。積的極限兩個(gè)函數(shù)的積的極限等于它們各自極限的積。商的極限兩個(gè)函數(shù)的商的極限等于它們各自極限的商，前提是分母的極限不為零。常數(shù)的極限常數(shù)函數(shù)的極限等于該常數(shù)本身。無窮小和無窮大11.無窮小當(dāng)自變量趨近于某個(gè)值時(shí)，函數(shù)的值無限接近于零。22.無窮大當(dāng)自變量趨近于某個(gè)值時(shí)，函數(shù)的值無限增大。33.重要性理解無窮小和無窮大的概念對(duì)于理解極限、連續(xù)性和微積分的基本定理至關(guān)重要。連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)在某一點(diǎn)連續(xù)意味著該點(diǎn)左右兩側(cè)的函數(shù)值趨于相同。直觀地，函數(shù)圖像在該點(diǎn)沒有斷裂。連續(xù)性的重要性連續(xù)性是微積分的基礎(chǔ)概念之一，它保證了函數(shù)的許多性質(zhì)，如可微性、可積性等。在應(yīng)用領(lǐng)域，連續(xù)性也至關(guān)重要，例如在物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和工程學(xué)等領(lǐng)域。第二章導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)和微分是微積分中的基本概念，它們與函數(shù)的變化率密切相關(guān)。導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率，可以用來描述函數(shù)的增長或下降速度。微分則是導(dǎo)數(shù)的增量，它可以用來近似地描述函數(shù)的改變量。導(dǎo)數(shù)的概念切線斜率導(dǎo)數(shù)定義為函數(shù)曲線在某一點(diǎn)的切線斜率。它表示函數(shù)在該點(diǎn)處的變化率。瞬時(shí)變化率導(dǎo)數(shù)也表示函數(shù)在某一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率，反映了函數(shù)值隨自變量的變化而變化的速度。數(shù)學(xué)定義導(dǎo)數(shù)的數(shù)學(xué)定義是極限，它描述了函數(shù)值在自變量變化趨近于零時(shí)的變化趨勢。導(dǎo)數(shù)的計(jì)算求導(dǎo)公式基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，例如常數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)等。導(dǎo)數(shù)法則和差法則、積法則、商法則和鏈?zhǔn)椒▌t等，用于計(jì)算復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。隱函數(shù)求導(dǎo)利用隱函數(shù)的定義，對(duì)隱函數(shù)兩邊求導(dǎo)，并解出導(dǎo)數(shù)。參數(shù)方程求導(dǎo)參數(shù)方程表示曲線，對(duì)參數(shù)方程分別對(duì)參數(shù)求導(dǎo)，然后求出曲線斜率的導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用求函數(shù)的最值利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值，從而求得函數(shù)的最大值和最小值。求曲線的切線方程利用導(dǎo)數(shù)求出曲線在某一點(diǎn)處的切線斜率，再利用點(diǎn)斜式求出切線方程。解決實(shí)際問題導(dǎo)數(shù)可應(yīng)用于解決經(jīng)濟(jì)學(xué)、物理學(xué)、工程學(xué)等領(lǐng)域的實(shí)際問題，如求最大利潤、最短時(shí)間、最大速度等。微分的概念定義微分是函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率的近似值。它表示函數(shù)在該點(diǎn)附近的變化量。公式微分的公式為dy=f'(x)dx，其中f'(x)是函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)，dx是自變量的增量。應(yīng)用微分在物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)和工程學(xué)等領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，例如計(jì)算速度、加速度和體積等。微分的應(yīng)用11.近似計(jì)算微分可以用來近似計(jì)算函數(shù)在某一點(diǎn)附近的函數(shù)值，例如用一階微分來近似計(jì)算函數(shù)的增量。22.最值問題微分可以用來求解函數(shù)的極值點(diǎn)，即函數(shù)取得最大值或最小值的點(diǎn)，可以用來求解最優(yōu)化問題。33.速度和加速度微分可以用來計(jì)算物體的速度和加速度，例如可以用導(dǎo)數(shù)來表示物體的瞬時(shí)速度和瞬時(shí)加速度。44.經(jīng)濟(jì)學(xué)微分在經(jīng)濟(jì)學(xué)中也有廣泛的應(yīng)用，例如用微分來分析成本、利潤和邊際收益等經(jīng)濟(jì)指標(biāo)。高階導(dǎo)數(shù)定義高階導(dǎo)數(shù)是指對(duì)函數(shù)進(jìn)行多次求導(dǎo)的結(jié)果。例如，二階導(dǎo)數(shù)是對(duì)函數(shù)求導(dǎo)兩次，三階導(dǎo)數(shù)是對(duì)函數(shù)求導(dǎo)三次，以此類推。計(jì)算高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法是依次對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，直到得到所需的階數(shù)的導(dǎo)數(shù)。應(yīng)用高階導(dǎo)數(shù)在物理學(xué)、工程學(xué)和經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。例如，在物理學(xué)中，二階導(dǎo)數(shù)可以用來表示加速度，三階導(dǎo)數(shù)可以用來表示加加速度。第三章微積分基本定理微積分基本定理是微積分學(xué)的重要定理之一，它建立了微分和積分之間的聯(lián)系，是微積分學(xué)的一個(gè)重要理論基礎(chǔ)。微積分基本定理可以用來計(jì)算函數(shù)的積分，并提供了微積分在許多應(yīng)用領(lǐng)域中的重要工具。不定積分的概念逆運(yùn)算不定積分是導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算，也被稱為原函數(shù)。函數(shù)族不定積分的結(jié)果是一個(gè)函數(shù)族，而不是一個(gè)單一函數(shù)，因?yàn)閷?dǎo)數(shù)相同的函數(shù)有無數(shù)個(gè)。積分常數(shù)不定積分中包含一個(gè)積分常數(shù)C，代表導(dǎo)數(shù)為0的所有常數(shù)函數(shù)。定積分的概念面積定積分是函數(shù)曲線與坐標(biāo)軸之間的面積.分割將積分區(qū)間分成多個(gè)子區(qū)間，每個(gè)子區(qū)間對(duì)應(yīng)一個(gè)矩形.求和將所有矩形的面積加起來，得到定積分的值.微積分基本定理11.積分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系微積分基本定理建立了積分與導(dǎo)數(shù)之間的橋梁，它們是互逆運(yùn)算。22.計(jì)算定積分利用微積分基本定理，可以將定積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)，簡化計(jì)算過程。33.應(yīng)用廣泛微積分基本定理在許多領(lǐng)域都有應(yīng)用，例如物理學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、工程學(xué)等。牛頓-萊布尼茨公式積分和導(dǎo)數(shù)關(guān)系定積分和導(dǎo)數(shù)是微積分中的基本概念，牛頓-萊布尼茨公式揭示了它們之間的緊密聯(lián)系。函數(shù)的積分公式表明定積分的值等于原函數(shù)在積分區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)處的值之差。計(jì)算方法該公式提供了一種計(jì)算定積分的便捷方法，避免了繁瑣的求和運(yùn)算。第四章微分方程微分方程是數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支，它描述了函數(shù)與其導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系。微分方程在物理學(xué)、化學(xué)、工程學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等許多領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用。微分方程的概念包含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)微分方程是數(shù)學(xué)方程式，涉及未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)，例如y'和y''。描述物理現(xiàn)象它們常用于描述物理現(xiàn)象，例如運(yùn)動(dòng)、熱量流動(dòng)和電磁場。通過求解找到函數(shù)求解微分方程的目標(biāo)是找到滿足方程的函數(shù)，即找出該函數(shù)的顯式或隱式表達(dá)式。一階微分方程的解法1可分離變量法可分離變量法是最常用的解法之一，它將微分方程化為兩個(gè)變量的積分。2積分因子法積分因子法是另一種常見的解法，它將微分方程化為一個(gè)精確微分的形式。3常數(shù)變易法常數(shù)變易法是一種特殊方法，適用于解決一階線性非齊次微分方程。高階微分方程的解法1降階法將高階微分方程轉(zhuǎn)化為低階微分方程2常數(shù)變易法將齊次方程的解代入非齊次方程3特征根法利用特征根求解線性常系數(shù)微分方程4拉普拉斯變換將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程應(yīng)用問題物理微分方程在描述物體運(yùn)動(dòng)、熱傳遞和波傳播等方面發(fā)揮重要作用。化學(xué)微分方程可用于模擬化學(xué)反應(yīng)速率、物質(zhì)濃度變化和反應(yīng)平衡等。生物學(xué)微分方程有助于理解種群增長、傳染病傳播和生物代謝過程等