專題07 圖形的軸對(duì)稱、平移與旋轉(zhuǎn)（解析版）

專題07圖形的軸對(duì)稱、平移與旋轉(zhuǎn)目錄TOC\o"1-3"\n\h\z\u題型01圖形的識(shí)別題型02與圖形變化有關(guān)的作圖問(wèn)題題型03幾何圖形的平移變化題型04與函數(shù)圖象有關(guān)的平移變化題型05幾何圖形的折疊問(wèn)題題型06與函數(shù)圖象有關(guān)的軸對(duì)稱變化題型07幾何圖形的旋轉(zhuǎn)變化題型08與函數(shù)圖象有關(guān)的旋轉(zhuǎn)變化題型09利用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解決多結(jié)論問(wèn)題題型10與圖形變化有關(guān)的最值問(wèn)題題型11圖案設(shè)計(jì)（時(shí)間：60分鐘）題型01圖形的識(shí)別1．（2023·江蘇宿遷·三模）數(shù)學(xué)來(lái)源于生活，下列圖案是由平移形成的是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】根據(jù)平移的性質(zhì)，結(jié)合圖形，對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行一一分析，選出正確答案．【詳解】根據(jù)平移的性質(zhì)，平移后不改變圖形的形狀和大小，也不改變圖形的方向（角度），符合條件的只有A．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了平移的性質(zhì)，掌握平移的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023·四川成都·二模）我們根據(jù)一些簡(jiǎn)單的函數(shù)方程式，就可以在坐標(biāo)系中繪制出形狀優(yōu)美、寓意美妙的曲線．下列平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的曲線中，既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形的是（

）A． B． C．D．【答案】B【分析】中心對(duì)稱圖形的定義：把一個(gè)圖形繞某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形就叫做中心對(duì)稱圖形；軸對(duì)稱圖形的定義：如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對(duì)稱圖形．【詳解】解：A．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；B．既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；C．是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意；D．既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了中心對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱圖形的概念，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．3．（2022·貴州遵義·模擬預(yù)測(cè)）在如圖所示的人眼成像的示意圖中，可能沒(méi)有蘊(yùn)含的初中數(shù)學(xué)知識(shí)是（

）A．位似圖形 B．相似三角形的判定 C．旋轉(zhuǎn) D．平行線的性質(zhì)【答案】C【分析】根據(jù)位似圖形，相似三角形的判定，旋轉(zhuǎn)的概念，平行線的性質(zhì)逐一判斷即可得到答案．【詳解】解：∵兩棵樹(shù)是相似圖形，而且對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交一點(diǎn)，對(duì)應(yīng)邊互相平行，∴這兩個(gè)圖形是位似圖形，∴本題蘊(yùn)含的初中數(shù)學(xué)知識(shí)有位似圖形，相似三角形的判定，平行線的性質(zhì)，故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形，相似三角形的判定，旋轉(zhuǎn)的概念，平行線的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．4．（2023·河北廊坊·三模）在研究相似問(wèn)題時(shí)，嘉嘉和淇淇?jī)赏瑢W(xué)的觀點(diǎn)如下：嘉嘉：將邊長(zhǎng)為1的正方形按圖1的方式向外擴(kuò)張，得到新正方形，它們的對(duì)應(yīng)邊間距為1，則新正方形與原正方形相似，同時(shí)也位似；淇淇：將邊長(zhǎng)為1的正方形按圖2的方式向外擴(kuò)張，得到新正方形，每條對(duì)角線向其延長(zhǎng)線兩個(gè)方向各延伸1，則新正方形與原正方形相似，同時(shí)也位似．對(duì)于兩人的觀點(diǎn)，下列說(shuō)法正確的是（

）

A．兩人都對(duì) B．兩人都不對(duì) C．嘉嘉對(duì)，淇淇不對(duì) D．嘉嘉不對(duì)，淇淇對(duì)【答案】A【分析】根據(jù)相似與位似的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由題意知，嘉嘉向外擴(kuò)張得到的新的正方形的邊長(zhǎng)為3，且仍為正方形，故新正方形與原正方形相似，同時(shí)也位似，位似中心為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)．淇淇向外擴(kuò)張得到的新的正方形的邊長(zhǎng)為2+1故新正方形與原正方形相似，同時(shí)也位似，位似中心為正方形對(duì)角線的交點(diǎn)．故兩人說(shuō)法正確，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了相似與位似．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．題型02與圖形變化有關(guān)的作圖問(wèn)題5．（2024·安徽宿州·一模）新考法·借助網(wǎng)格找點(diǎn)，如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位的小正方形組成的網(wǎng)格中，四邊形ABCD的頂點(diǎn)均為格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．(1)將線段AD先向上平移2個(gè)單位，再向右平移1個(gè)單位得到線段A'D'(2)以D為旋轉(zhuǎn)中心，將線段BC按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°，得到線段B'C'(3)以A'，B'，【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】本題考查了平移作圖、旋轉(zhuǎn)作圖，熟練掌握相關(guān)作圖方法及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖即可；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖即可；（3）根據(jù)菱形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形求解即可．【詳解】（1）解：如圖所示，A'（2）如圖所示，B'（3）如圖，取格點(diǎn)E，由勾股定理可得A'∴四邊形A'菱形既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形，即：四邊形A'6．（2024·安徽阜陽(yáng)·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為-2,3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為-1,2，點(diǎn)C(1)將△ABC向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，畫(huà)出平移后的△(2)以原點(diǎn)O為位似中心，畫(huà)出△A1B1C1的位似圖形△A【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】本題考查了作圖—平移變換、位似變換，熟練掌握平移規(guī)律，位似變換的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)“橫坐標(biāo)：左減右加，縱坐標(biāo)：上加下減”的平移規(guī)律，得到平移后的點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)，連接即可；（2）根據(jù)位似的性質(zhì)，將橫坐標(biāo)，縱坐標(biāo)都按照位似比進(jìn)行變化，得到變換后的點(diǎn)坐標(biāo)，描點(diǎn)，連接即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為-2,3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為-1,2，點(diǎn)C的坐標(biāo)為-1,1，點(diǎn)A1，B1，C1，為點(diǎn)A，B，∴A1(-2+3,3-1)，B1∴A1(1,2)，B1如圖所示，連接A1，B1，C1（2）解：∵A1(1,2)，B1(2,1)，C1(2,0)，△A∴A2(1×2,2×2)，B2(2×2,1×2)，C2(2×2,0)，即如圖所示，連接A2，B2，C27．（2023·寧夏石嘴山·二模）如圖，在由邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A，B，C均在格點(diǎn)上，試按要求畫(huà)出相應(yīng)格點(diǎn)圖形．(1)如圖1，作一條線段，使它是AB向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后的圖形；(2)如圖2，作一個(gè)軸對(duì)稱圖形，使AB和AC是它的兩條邊；(3)如圖3，作一個(gè)與△ABC相似的三角形，相似比不等于1【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了相似三角形的判定與平移變換．（1）把點(diǎn)B、A向右作平移2個(gè)單位得到CD；（2）作A點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)D即可；（3）延長(zhǎng)CB到D使CD=2CB，延長(zhǎng)CA到E點(diǎn)使CE=2【詳解】（1）解：如圖1，CD為所作；；（2）解：如圖2所示圖形即為所求，；（3）解：如圖3，△EDC．題型03幾何圖形的平移變化8．（2023·河南南陽(yáng)·一模）如圖，在等腰△ABC中，AB=BC=5，AC=25，點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸上，且BC∥x軸，將△ABC沿x

A．-2,2 B．-2,4 C．-3,2【答案】D【分析】本題考查了坐標(biāo)與圖形變化-平移，圖形的平移與圖形上某點(diǎn)的平移相同．平移中點(diǎn)的變化規(guī)律是：橫坐標(biāo)右移加，左移減；縱坐標(biāo)上移加，下移減．也考查了兩點(diǎn)間的距離公式．設(shè)A(x,0)，B(0,y)，則C(5,y)．分別根據(jù)AB=5，AC=2【詳解】解：設(shè)A(x,0)，B(0,y∵BC=5，∴C∵AB∴x2∵AC∴(x①-②得，10x∴x∴A(3,0)，把x=3代入①，得y∴B∴將△ABC沿x軸向左平移，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)O重合時(shí)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,4)故選：D．9．（2023·河南新鄉(xiāng)·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(1,3)，B(2，0)，若平移點(diǎn)B到點(diǎn)C，使以點(diǎn)O，A，A．向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度B．向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度D．向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移3個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】B【分析】本題考查菱形判定，平行四邊形判定及性質(zhì)．根據(jù)題意畫(huà)出平移后的圖象，再根據(jù)選項(xiàng)逐一進(jìn)行分析即可得到本題答案．【詳解】解：如圖，，∵B(2∴OB=2A、由平移的性質(zhì)得：AC∥OB，AC=∴OC=12+∴四邊形OBAC是平行四邊形，OB=∴平行四邊形OBAC是菱形，故選項(xiàng)A不符合題意；B、向左平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，四邊形OBAC不是菱形，故選項(xiàng)B符合題意；C、同A得平行四邊形OBAC是菱形，故選項(xiàng)C不符合題意；D、同C得平行四邊形OBAC是菱形，故選項(xiàng)D不符合題意；故選：B．10．（2023·江西南昌·二模）數(shù)學(xué)小組將兩塊全等的含30°角的三角尺按較長(zhǎng)的直角邊重合的方式擺放，并通過(guò)平移對(duì)特殊四邊形進(jìn)行探究．如圖1，其中∠ADB=∠CBD=30°，∠ABD=∠BDC=90°，AB=CD=3，將Rt△BCD

A．先是平行四邊形，平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后是菱形B．先是平行四邊形，平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后是矩形，再平移23個(gè)單位長(zhǎng)度后是菱形C．先是平行四邊形，平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后是矩形，再平移33個(gè)單位長(zhǎng)度后是正方形D．在Rt△【答案】B【分析】根據(jù)平移過(guò)程逐步分析，排除正方形的可能，再分矩形和菱形，利用性質(zhì)求出平移距離即可．【詳解】解：由題意可得：平移過(guò)程中，AD∥B'C'∴四邊形AB剛開(kāi)始平移時(shí)，∠ADC∴如圖，當(dāng)平移至∠ADC=∠ABC=90°∴此時(shí)四邊形AB'C∴平移距離為：DD即平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后是矩形，

繼續(xù)平移，當(dāng)AB與C'此時(shí)AB⊥B'此時(shí)的總平移距離為BD=即再平移23個(gè)

綜上可得：平移過(guò)程中，四邊形AB'C'D故選B．【點(diǎn)睛】此題主要考查平行四邊形、矩形、菱形的判定和性質(zhì)，勾股定理，含30度的直角三角形，綜合利用了特殊四邊形的判定和性質(zhì)，掌握特殊平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·山西晉城·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，沿對(duì)角線BD剪開(kāi)，△ABD不動(dòng)，將△BCD沿CB方向平移，得到△B'C'D'．與

(1)請(qǐng)判斷在△BCD平移過(guò)程中，四邊形EBF(2)小明發(fā)現(xiàn)在上述平移過(guò)程中，四邊形EBFD'會(huì)成為菱形．請(qǐng)寫(xiě)出你是否同意小明的觀點(diǎn)，若同意，請(qǐng)?jiān)趫D(3)在平移過(guò)程中，當(dāng)EF∥BC時(shí)，平移的距離為【答案】(1)四邊形EBFD(2)同意，菱形EBFD'(3)2【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)得出B'（2）先作出∠ABD的角平分線交AD于D'，連接BD'，再作BD'的垂直平分線，交AB與BD于E，F(xiàn)點(diǎn)，連接D'E、D'F，即可作出菱形EBFD（3）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理進(jìn)行求解，進(jìn)而得出平移距離即可．【詳解】（1）解：四邊形EBFD理由如下：∵△BCD沿CB方向平移，得到△B'∴B∵BE在AB上，D'F在C'D'上，D'∴BE∴四邊形EBFD（2）解：同意，菱形EBFD

，方法：先以B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AB、BD于兩點(diǎn)，再以此兩點(diǎn)分別為圓心，以相同長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交于一點(diǎn)，連接B與此點(diǎn)交AD于點(diǎn)D'，再分別以B，D'為圓心，大于12BD'長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧分別交于兩點(diǎn)，連接兩點(diǎn)交∵四邊形EBFD∴E∴△AE∵AB∴BD設(shè)BE=D'∴AE即35解得：a=即菱形的邊長(zhǎng)為158（3）解：如圖2，

，此時(shí)EF∥∴EF由平移的性質(zhì)可得：CD∥∵四邊形ABCD是矩形，∴BE∴BE∴BE∴四邊形BC∴BC'同理可得，四邊形AEFD∴AE由（1）可知，四邊形EBFD∴BE∴BE∵EF∴EF是△∴EF∴C即平移的距離為2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理、三角形中位線定理，是解題的關(guān)鍵．題型04與函數(shù)圖象有關(guān)的平移變化12．（2020·廣西玉林·模擬預(yù)測(cè)）如圖，將函數(shù)y=12(x-2)2+1的圖象沿y軸向上平移得到一條新函數(shù)的圖象，其中點(diǎn)A1,m，BA．y=12(x-2)2-【答案】D【分析】曲線段AB掃過(guò)的面積=（xB-xA）×AA′=4AA′=20，則AA′=5，即可求解．【詳解】解：曲線段AB掃過(guò)的面積=（xB-xA）×AA′=4AA′=20，則AA′=5，故拋物線向上平移5個(gè)單位，則y=故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是拋物線與x軸的交點(diǎn)，主要考查函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，要求學(xué)生非常熟悉函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)、頂點(diǎn)等點(diǎn)坐標(biāo)的求法，及這些點(diǎn)代表的意義及函數(shù)特征．13．（2023·浙江杭州·一模）已知函數(shù)y1=k1x和函數(shù)y2=k2(1)若兩函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A1,4，點(diǎn)Ba,1，求函數(shù)y(2)若點(diǎn)C-1,n向上平移6個(gè)單位恰好落在函數(shù)y1上，又點(diǎn)C-1,n向右平移2【答案】(1)y1=(2)b【分析】（1）先將點(diǎn)A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)的解析式求出k,從而求出反比例函數(shù)的解析式，最后將B點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式就可以求出a（2）根據(jù)點(diǎn)的平移得出平移后的坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式分別求得k1,k【詳解】（1）解：將點(diǎn)A1,4，代入y∴k1∴y1∵點(diǎn)Ba,1在∴1=∴a=4∴B4,1將A1,4，B4,1∴k解得：k∴y（2）∵點(diǎn)C-1,n向上平移6依題意，點(diǎn)-1,n+6則n+6=-解得：n=-點(diǎn)C-1,n向右平移2依題意，1,n在函數(shù)y∴n=∴-即k又∵k1∴b=-6【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，點(diǎn)的平移，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．（2023·遼寧沈陽(yáng)·三模）在平面直角坐標(biāo)系中，△DOE是等腰直角三角形，∠ODE=90°，DO=DE=3，點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)E在第二象限，矩形ABCO的頂點(diǎn)B4，2，點(diǎn)C在x軸的正半軸上，點(diǎn)A在y軸的正半軸上．將△

(1)如圖1，當(dāng)E'O'經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2)設(shè)OO'=t，△D①如圖②，當(dāng)△D'O'E'與矩形ABCO重疊部分為五邊形時(shí)，D'E'與AB相交于點(diǎn)M，E'O'分別與AB，BC②請(qǐng)直接寫(xiě)出滿足S=72的所有t【答案】(1)y(2)①S=-12t2+4t-4【分析】（1）根據(jù)平移的性質(zhì)可得△AOO'是等腰直角三角形，根據(jù)矩形的性質(zhì)可得O（2）①根據(jù)S=S矩形BCD'M-S△BPN，即可求得S=-12t2+4t-4，再結(jié)合題意列不等式組即可求得4<t<6；②分五種情況討論：當(dāng)0<t≤2【詳解】（1）解：如圖①，當(dāng)E'O'

，∵矩形ABCO的頂點(diǎn)B4∴OA由平移的性質(zhì)可得：△D∴∠E∵∠AO∴△AO∴O∴A設(shè)直線O'A的解析式為將A0，2解得：k=-1∴直線O'A的解析式為：（2）解：①如圖②，當(dāng)△D'O

∵矩形ABCO中，AB=∴四邊形BCD設(shè)OO'=∴CD'=∵∠O∴△BPN∴BN∴S=S∵t∴4<t②當(dāng)0<t≤2時(shí)，△D

重疊部分的面積為：S=∵S∴12t∵0<t∴t=±7當(dāng)2<t<3時(shí)，△D'O

則OD∴S∴2t解得：t=∵2<t∴t當(dāng)3≤t≤4時(shí)，重疊部分為梯形，S=當(dāng)4<t<6時(shí)，△D由①知：S=-∴-1解得：t1=3（舍去），當(dāng)6≤t<7時(shí)，重疊部分為矩形BCD

∵C∴S當(dāng)27-t=綜上所述，滿足S=72的所有t的值為11【點(diǎn)睛】本題是矩形綜合題，考查了矩形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，平移變換的性質(zhì)，三角形、梯形、矩形面積，代定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式等知識(shí)，解題關(guān)鍵是運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想．15．（2021·江蘇常州·二模）閱讀并解答下列問(wèn)題：老師給出了以下思考題：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，3），B（5，1），C（a，0），D（a+2，0），連接AC、CD、DB，求AC+CD+DB的最小值．【思考交流】小明：如圖2，先將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)A1，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B1，連接A1B1交x軸于點(diǎn)D，將點(diǎn)D向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)C，連接AC、BD．此時(shí)AC+CD+DB的最小值等于A1B1+CD．小穎：如圖3，先將點(diǎn)A向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度到點(diǎn)A1，作點(diǎn)A1關(guān)于x軸的的的點(diǎn)A2，連接A2B可以求解．小亮：對(duì)稱和平移還可以有不同的組合…【嘗試解決】在圖2中AC+CD+DB的最小值是________________________；【靈活運(yùn)用】如圖4，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，3），B（5，1），C（a，1)，D（a+2，0），連接AC、CD、DB，則AC+CD+DB的最小值是___________，此時(shí)a=__________．并請(qǐng)?jiān)趫D5中用直尺和圓規(guī)作出AC+CD+DB最小時(shí)CD的位置（不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）．【拓展提升】如圖6，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，3），C是一次函數(shù)y=x圖像上一點(diǎn)，CD與y軸垂直且CD=2（點(diǎn)D在點(diǎn)C右側(cè)），連接AC、CD、AD，直接寫(xiě)出AC+CD+DA的最小值是________________，此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)是________________．【答案】[嘗試解決]7；[靈活運(yùn)用]32+5，2；[拓展提升]【分析】嘗試解決：根據(jù)作圖痕跡分析出，小明的做法是先將A向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，再利用對(duì)稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短得到D點(diǎn)的位置，進(jìn)而得到C點(diǎn)的位置．寫(xiě)出A1，B靈活運(yùn)用：借助上一問(wèn)的思路，CD的長(zhǎng)度一定，利用平移和對(duì)稱，轉(zhuǎn)化AC+拓展提升：按照前面的思路，CD的長(zhǎng)度一定，利用平移，找到兩個(gè)固定點(diǎn)與在一條直線上運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，利用對(duì)稱求最小值．【詳解】解：[嘗試解決]：由題意得，A1(2,3)，∴A∴A∴AC+CD+DB的最小值是7，故答案為：7．[靈活運(yùn)用]：先將A點(diǎn)向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到A1，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B1，連接A1B1，與x軸的交點(diǎn)即為D點(diǎn)，以D點(diǎn)為圓心，AA1的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)圓，與直線y=1的交點(diǎn)即為C點(diǎn)，連接AC、CD、BD，此時(shí)AC+CD+DB最小，最小值等于A1B作圖如下：由作圖得，AA1=∴四邊形AA1DC是平行四邊形，且A1(2,2)，B∴最小值為A1此時(shí)a為C點(diǎn)的橫坐標(biāo)2，故答案為：32+5[拓展提升]：先將A點(diǎn)向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到A1，得到平行四邊形AA1DC，AC=A1D，而AC+CD+由題意得：D點(diǎn)在直線y=x-2上，作點(diǎn)A關(guān)于直線y=x-2的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接AA'交直線y=x-2于點(diǎn)B∵AA'∴設(shè)直線AA'的解析式為將A(0,3)代入得：m∴直線AA'的解析式為聯(lián)立y=-解得x=∴B∵B(52,∴0+解得x=5∴A設(shè)直線A1A'的解析式為y=kx3=2k解得k=-∴直線A1A'∵D點(diǎn)是直線y=-5解y=-53∴D∵C點(diǎn)是由D點(diǎn)向左平移2∴C此時(shí)，AC+故答案為：34+2，(【點(diǎn)睛】本題考查平移和對(duì)稱中的最短路徑問(wèn)題，還涉及利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式、求關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)等，綜合性較強(qiáng)，對(duì)學(xué)生的作圖能力、類比推理能力、計(jì)算能力要求都比較高，屬于壓軸題，解題的關(guān)鍵是掌握對(duì)稱的性質(zhì)，通過(guò)作圖找出最短路徑．題型05幾何圖形的折疊問(wèn)題16．（2023·江蘇南京·三模）如圖，⊙O的半徑為2，將⊙O沿弦AB折疊得到AnB，且AnB恰好經(jīng)過(guò)圓心O，則新月形陰影部分的面積為【答案】4【分析】本題考查扇形面積的計(jì)算，折疊性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．根據(jù)題意和圖形，可以求得弓形ACB的面積，然后即可用圓的面積減去兩個(gè)弓形的面積，即可得到新月形陰影部分的面積．【詳解】解：作OC⊥AB于點(diǎn)D，交⊙O于點(diǎn)C，連接OA由折疊的性質(zhì)可知，OD=∵∠ODA=90°，∴∠∴∠AOD∴∠AOB=120°，∴AB∴弓形ACB的面積是：120π∴新月形陰影部分的面積為：π×故答案為：4π17．（2023·廣西柳州·模擬預(yù)測(cè)）問(wèn)題情境：在綜合實(shí)踐課上，老師讓大家動(dòng)手操作三角形紙片的折疊問(wèn)題，“智慧”小組提供了如下折疊方法：

如圖①，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線折疊△ABC紙片，使得邊AB落在AC邊上，折痕為AM，AM交BC于點(diǎn)D，得到圖②，再將紙片展平在一個(gè)平面上，得到圖③．再次折疊．△ABC紙使得A與點(diǎn)D重合，折痕為PQ，得到圖④，再次將紙片展平在一個(gè)平面上，連接DP，DQ，操作與發(fā)現(xiàn)：（1）證明四邊形APDQ是菱形．操作與探究：（2）在圖⑤中，有∠B+∠C操作與實(shí)踐：（3）若△ABC中，∠BAC=90°【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）23；（3）【分析】（1）由折疊可知，AP=PD，AQ=DQ，∠PAD=∠DAQ（2）設(shè)AD與PQ相交于點(diǎn)O，先由三角形內(nèi)角和定理得到∠BAC∵四邊形APDQ是菱形，再由菱形的性質(zhì)得到AP=PD，∠PAD=∠QAD=30°，AO=（3）先證明菱形APDQ是正方形，再由S△ABC=S△【詳解】解：（1）由折疊可知，AP=PD，∴∠PAD∴∠PDA∴DP∥∴四邊形APDQ是平行四邊形．∵AP=∴四邊形APDQ是菱形；（2）設(shè)AD與PQ相交于點(diǎn)O，

∵∠BAC∴∠BAC∵四邊形APDQ是菱形，∴AP=PD，∠PAD=∠QAD∴AP=∴PD=（3）∵∠BAC∴菱形APDQ是正方形，∴PD⊥∵S△∴12∴2PD∴PD=∴AD=【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的性質(zhì)與判斷，正方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等等，熟知菱形的性質(zhì)與判定定理是解題的關(guān)鍵．18．（2023·江蘇泰州·二模）如圖1，將Rt△ABC∠A=90°紙片按照下列圖示方式折疊：①將△ABD沿BD折疊，使得點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)M處，折痕為BD；②將△BEF沿EF折疊，使得點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕為EF；③將△DEF沿DF折疊，點(diǎn)E落在點(diǎn)E'處，展開(kāi)后如圖2，BD(1)求證：DP∥(2)若DE'落在DM的右側(cè)，求∠(3)是否存在∠C使得DE與∠MDC的角平分線重合，如存在，請(qǐng)求【答案】(1)見(jiàn)解析；(2)0°<∠C(3)不存在，理由見(jiàn)解析．【分析】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）由第二次翻折可得EF垂直平分BD，由第一次翻折可得EF=EP，證出四邊形（2）設(shè)∠ABD=α，求出∠BDF=α，∠ADP=∠FDM（3）設(shè)∠ABD=α，∠ADP=∠FDM=∠C=90-2【詳解】（1）證明：由第二次翻折可得EF垂直平分BD，由第一次翻折可得EF=∴PF與BD∴四邊形PBFD是菱形，∴DP（2）解：設(shè)∠ABD∵四邊形PBFD是菱形，∴PB∴∠BDF=α當(dāng)DE'落在DM的右側(cè)時(shí)，α∴a∴90°-2α∴0°<∠C（3）解：不存在．若存在∠C使得DE'設(shè)∠ABD=α，∠∴90-2α∴α∴∠C∴不存在∠C使得DE與∠19．（2023·河南周口·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“正方形的折疊”為主題開(kāi)展實(shí)踐活動(dòng)．(1)操作判斷操作一：如圖（1），正方形紙片ABCD，點(diǎn)E是BC邊上（點(diǎn)E不與點(diǎn)B，C重合）任意一點(diǎn)，沿AE折疊△ABE到△AFE，如圖（操作二：將圖（2）沿過(guò)點(diǎn)F的直線折疊，使點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)G落在AE上，得到折痕MN，點(diǎn)C的對(duì)稱點(diǎn)記為H，如圖（3）所示；操作三：將紙片展平，連接BM，如圖（4）所示．根據(jù)以上操作，回答下列問(wèn)題：①B，M，N三點(diǎn)（填“在”或“不在”)一條直線上；②AE和BN的位置關(guān)系是，數(shù)量關(guān)系是；③如圖（5），連接AN，改變點(diǎn)E在BC上的位置，（填“存在”或“不存在”)點(diǎn)E，使AN平分∠DAE(2)遷移探究蘇鈺同學(xué)將正方形紙片換成矩形紙片ABCD，AB=4，BC=6，按照（1）中的方式操作，得到圖（6）或圖（①當(dāng)點(diǎn)N在CD上時(shí)，如圖（6），BE和CN有何數(shù)量關(guān)系？并說(shuō)明理由；②當(dāng)DN的長(zhǎng)為1時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出BE的長(zhǎng)．【答案】(1)①在，②AE⊥BN，相等；(2)①BECN=23，理由見(jiàn)解析；②【分析】（1）①E的對(duì)稱點(diǎn)為E'，BF⊥EE'，MF⊥EE'，即可判斷；②由①AE⊥BN，由同角的余角相等得∠BAE=∠CBN，由AAS可判定（2）①由（1）中的②可判定△ABE∽△BCN，由三角形相似的性質(zhì)即可求解；②當(dāng)N在CD上時(shí)，△ABE∽△BCN，由三角形相似的性質(zhì)即可求解；當(dāng)【詳解】（1）解：①E的對(duì)稱點(diǎn)為E'∴BF⊥E∴B、F、M故答案為：在；②由①知：B、F、M共線，N在FM上，∴AE∴∠AMB∴∠ABM∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABCAB=∴∠CBN∴∠BAE在△ABE和△∠BAE∴△ABE≌△BCN(∴AE故答案為：相等；③不存在，理由如下：假如存在，∵AN平分∠DAE∴∠DAN∵四邊形ABCD是正方形，AM⊥∴∠D在△DAN和△∠∴△DAN≌△MAN(∴AM∵AD∴AB∵AB是Rt∴AB>∴AB=AM故假設(shè)不成立，所以答案為：不存在；（2）解：①BECN由（1）中的②得：∠BAE∠ABE∴△ABE∴BECN②當(dāng)N在CD上時(shí)，CN=由①知：△ABE∴BECN∴BE當(dāng)N在AD上時(shí)，AN=∵∠BAE∠ABE∴△ABE∴BEAB∴BE4∴BE綜上所述：BE=2或16【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，三角形相似的判定及性質(zhì)，掌握相關(guān)的判定方法及性質(zhì)，“十字架”典型問(wèn)題的解法是解題的關(guān)鍵．題型06與函數(shù)圖象有關(guān)的軸對(duì)稱變化20．（2023·四川巴中·中考真題）規(guī)定：如果兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么稱這兩個(gè)函數(shù)互為“Y函數(shù)”．例如：函數(shù)y=x+3與y=-x+3互為“Y函數(shù)”．若函數(shù)y=k4x2+(【答案】C(3,0)或【分析】根據(jù)題意y=k4x2+(k-1)x+k-3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)和它的“Y函數(shù)【詳解】解：①當(dāng)k=0時(shí)，函數(shù)的解析式為y此時(shí)函數(shù)的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)成立，當(dāng)y=0時(shí)，可得0=-x-∴y=-x-3與根據(jù)題意可得，它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為3,0；①當(dāng)k≠0∵函數(shù)y=k4∴b2-解得k=-1∴函數(shù)的解析式為y=-當(dāng)y=0時(shí)，可得0=-解得x=-4根據(jù)題意可得，它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為4,0，綜上所述，它的“Y函數(shù)”圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為C(3,0)或C故答案為：C(3,0)或C【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，理解題意，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．21．（2023·江西新余·一模）如圖，點(diǎn)A、B是一次函數(shù)y1=xx≥0-x

(1)求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)及△ABO(2)根據(jù)圖象直接寫(xiě)出當(dāng)x取什么值時(shí)，y1(3)點(diǎn)C在x軸上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，①直接寫(xiě)出AC+BC的最小值：②△ABC的面積是否發(fā)生變化，如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果不變化，請(qǐng)求出△【答案】(1)A2,2；B-2,2，三角形(2)-2<x(3)①42；②不變，【詳解】（1）解：當(dāng)x>0時(shí)，解方程組y=x∴A當(dāng)x<0時(shí)，解方程組y=-xy∴B∴AB//x∴△ABO的面積為：1（2）解：由圖象可知，當(dāng)-2<x<0或0<（3）解：①∵B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)B'-2,-2，則AC如圖，連接BB'、在Rt△ABB∴AC+BC故答案為：42

②∵AB∴△ABC的面積不發(fā)生變化，S【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合題，考查了函數(shù)與方程組、不等式的關(guān)系，軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，三角形的面積等知識(shí)，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．22．（2022·廣東深圳·三模）y=x+1x是一種類似于反比例函數(shù)的對(duì)勾函數(shù)，形如y=ax+bx．其函數(shù)圖像形狀酷似雙勾，故稱“對(duì)勾函數(shù)”，也稱“勾勾函數(shù)”、“海鷗函數(shù)”．y=x+1x函數(shù)圖像如下圖所示．根據(jù)y=x+1x圖像對(duì)函數(shù)y=|(1)繪制函數(shù)圖像：y=|x|+1列表：下表是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值x………-3-2-1-1-1

1

1123………y………

10

52

5

10

10

52

5

10………描點(diǎn)：根據(jù)表中各組對(duì)應(yīng)值，在平面直角坐標(biāo)系中描出各點(diǎn)；連線：用平滑的曲線順次連接各點(diǎn)，請(qǐng)你在平面直角坐標(biāo)系中將y=|x|+1|(2)觀察發(fā)現(xiàn)：①寫(xiě)出函數(shù)y=|x|+1|x②函數(shù)圖像與直線y=2有_________個(gè)交點(diǎn)，所以對(duì)應(yīng)的方程|x|+1|x|(3)分析思考：③方程的|x-1|+1|x-④不等式|x|+1|x|-52＜0(4)延伸探究：⑤當(dāng)x＞0時(shí)，直線y=kx+3與y=|x|+1|x|【答案】(1)見(jiàn)解析(2)①關(guān)于y軸對(duì)稱；②2；2(3)③x1=2，x2=0；④-2<x(4)-54【分析】（1）先描點(diǎn)，再連線即可得到；（2）①通過(guò)觀察圖像，可得圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；②利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解，把方程的解轉(zhuǎn)化為圖像之間的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即可求解；（3）③根據(jù)圖像的平移的性質(zhì)即可求解；④通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解即可；（4）把交點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程的根，一個(gè)交點(diǎn)，即方程只有一個(gè)根，需要進(jìn)行分類討論．【詳解】（1）解：y=|x|+1|（2）解：①通過(guò)觀察圖像可得：y=|x|+1|x|故答案為：關(guān)于y軸對(duì)稱；②如圖可知函數(shù)圖像與直線y=2有2個(gè)交點(diǎn)；即方程|x|+1|x|故答案為：2，2；（3）解：③方程的|x-1|+1|x-1|-2=0的解為方程|x|+1|x|-2=0的解x1=1，x2=-1④當(dāng)|x|+1|x|-5∴不等式|x|+1|x|-52＜0的解集為：故答案為：x1=2，x2=0；-2<x<-（4）解：當(dāng)x＞0時(shí)，直線y=kx+3與y=|x|+1|即kx+3=|∵x∴kxk(k當(dāng)k=1時(shí)，解得x當(dāng)k≠1Δ=即9-4(k解得：k=-綜上：k的值為-54或1時(shí)，直線y=kx+3與y=|x|+【點(diǎn)睛】題考查了反比例函數(shù)的圖像和性質(zhì)、畫(huà)函數(shù)圖象、方程的根、不等式的解集、函數(shù)圖象的平移，解題的關(guān)鍵是理解題意，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行求解．23．（2022·河北廊坊·二模）如圖，A點(diǎn)坐標(biāo)為6,0，直線l1經(jīng)過(guò)點(diǎn)B0,2和點(diǎn)C2,-2，交x(1)求直線l1(2)點(diǎn)M在直線l1上，且滿足2S△(3)過(guò)C點(diǎn)作一條直線l2，使得直線l1沿l2折疊之后正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A【答案】(1)y(2)12,1或(3)y=-1【分析】（1）設(shè)直線l1的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為m,-2m+2，由2SΔ（3）由直線l2經(jīng)過(guò)定點(diǎn)C2,-2得直線l2的表達(dá)式為y+2=kx-2，點(diǎn)A6,0關(guān)于直線l2的對(duì)稱點(diǎn)A【詳解】（1）解：設(shè)直線l1的函數(shù)表達(dá)式為y將B0,2，C得2=b解得k=-2∴直線l1的函數(shù)表達(dá)式為y（2）解：由（1）知直線l1的函數(shù)表達(dá)式為y令y=0得-解得x=1∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為D1,0∵A點(diǎn)坐標(biāo)為6,0，∴AD=6-1=5∵點(diǎn)M在直線l1∴設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為Mm∵2S∴2×1即2×1∴-2解得m=12當(dāng)m=12當(dāng)m=32∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為12,1或（3）解：由題意，直線l2經(jīng)過(guò)定點(diǎn)C∴直線l2的表達(dá)式為y+2=k∵直線l1沿l2折疊之后正好經(jīng)過(guò)點(diǎn)A∴點(diǎn)A6,0關(guān)于直線l2的對(duì)稱點(diǎn)A'在直線設(shè)A'的坐標(biāo)為n∴AA'的中點(diǎn)坐標(biāo)為n+6∴-2整理得，k=由對(duì)稱的性質(zhì)知CA=∴2-62整理得n-解得n=4或n當(dāng)n=4k=6-2×44+2=-1當(dāng)n=0k=6-2×00+2=3，直線∴直線l2的解析式為y=-1【點(diǎn)睛】本題考查求一次函數(shù)解析式，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)求三角形的面積，對(duì)稱的性質(zhì)，兩點(diǎn)間距離公式等，熟練掌握對(duì)稱的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型07幾何圖形的旋轉(zhuǎn)變化24．（2023·山東青島·二模）如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，以點(diǎn)A為圓心，1為半徑作圓，E是⊙A上的任意一點(diǎn)，將DE繞點(diǎn)D按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到DF，連接AF，則AF的最小值是（

A．43-1 B．42-1【答案】B【分析】此題是正方形的性質(zhì)，主要考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解本題的關(guān)鍵是確定AF最小時(shí)，F(xiàn)在線段AC上，是一道中等難度的試題．根據(jù)題意先證明△ADE≌△CDF，則CF=AE=1，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得：AF≥AC-CF，即AF≥【詳解】解：如圖，連接FC，∵ED∴∠EDF∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=CD∴∠ADF∴∠EDA在△ADE和△∵AD∴△ADE∴CF∴AF≥AC∴當(dāng)F在AC上時(shí)，AF最小，∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，∴AC∴AF的最小值是4故答案為：B．25．（2024·湖北·一模）從特殊到一般再到特殊是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要模式，某數(shù)學(xué)興趣小組擬做以下探究學(xué)習(xí)．在Rt△ABC中，∠ACB=90°,AC=BC，將線段BC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α（0°<α<180°），得到線段DC，取AD中點(diǎn)H【感知特殊】（1）如圖1，當(dāng)α=30°時(shí)，小組探究得出：△【探究一般】（2）如圖2，當(dāng)0°<α<90°時(shí)，試探究線段【應(yīng)用遷移】（3）已知AC=5，在線段DC的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AE=3【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）EB+EA=2EC，見(jiàn)解析；（【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到CH垂直平分AD，推出∠EDA（2）過(guò)點(diǎn)C作CF⊥CE，交直線BD與點(diǎn)F，證明△FBC（3）分0°<a<90°和【詳解】解：（1）證明：∵∠ACB∴∠ACD∵CA∴∠CAD∵H是AD∴CH垂直平分AD∴EA∴∠EAD在△BCD中，CB∴∠CDB∴∠EDA∴∠AED∴△AED（2）EA+證明：∵∠ACB∴∠ACD∵CA∴∠CAD∵H是AD∴CH垂直平分AD∴EA∴∠EAD在△BCD中，CB∴∠CDB∴∠EDA∴∠AED∴△AED是等腰直角三角形，如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥CE，交直線BD與點(diǎn)∵∠ECF∴∠ECF-∠ECB在四邊形ACBE中，∠AEB∴∠EAC∵∠FBC∴∠FBC在△FBC和△∠∴△FBC∴BF∴△ECF∴EF∵EF∴EB（3）當(dāng)0°<a<90°時(shí)，由（2）得在Rt△ACB中，∴AB在△AEB中，AE∴EB∴2∴EC當(dāng)90°<a<180°時(shí)，如下圖，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥CE，交直線由（2）得，△ECFEF=2EC∴∠CFD∵CB∴∠CBE在△CBE和△∠∴△CBE∴EB由（1）得：EA=∴EA在Rt△ACB中，∴AB在△AEB中，AE∴EB∴2∴EC綜上所述，在線段DC的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，EC=22或【點(diǎn)睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，添加恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．26．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師出示兩個(gè)大小不一樣的等腰直角△ABC和△ADE擺在一起，其中直角頂點(diǎn)A重合，AB=AC，(1)用數(shù)學(xué)的眼光觀察．如圖1，連接BD，CE，判斷BD與CE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)用數(shù)學(xué)的思維思考．如圖2，連接BE，CD，若F是BE中點(diǎn)，判斷AF與CD的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；(3)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言表達(dá)．如圖3，延長(zhǎng)CA至點(diǎn)F，滿足AF=AC，然后連接DF，BE，當(dāng)AB=2，AD=1，△ADE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到D，【答案】(1)BD=(2)CD=2(3)6-2【分析】（1）用SAS證明△BAD（2）證明△FAE≌△FBQ（3）①如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥D1F于M，求出D1E1=AD12+【詳解】（1）解：BD=∵∠BAD∵AB=AC∴△BAD則BD=（2）解：CD=2點(diǎn)B作BQ∥AE交AF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)∴∠Q=∠EAF∵F是BE中點(diǎn)，則FE∴△FAE∴AF=FQ∵BQ∴∠QBA∵∠DAC∴∠DAC∵AB∴△DAC則CD=（3）解：△ADE旋轉(zhuǎn)得到D，E，F(xiàn)①如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥D1∵Rt△ADE是等腰三角形，AD∴D1E在Rt△AFM中，∴MF∴D1F=MF-D1M=6②如圖所示，過(guò)點(diǎn)A作AN⊥D2同理，D2F=MF-D2M=6+綜上所述，線段DF的長(zhǎng)為：6-22【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的全等的判定和性質(zhì)，理解圖示中旋轉(zhuǎn)的規(guī)律，掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，直角三角形中勾股定理的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．題型08與函數(shù)圖象有關(guān)的旋轉(zhuǎn)變化27．（2024·河南·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A6,0，B2,2，反比例函數(shù)y=(1)求反比例函數(shù)的表達(dá)式．(2)將△OAB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△O'A'【答案】(1)y(2)2+5【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸交x軸于點(diǎn)C，首先得到CO=BC=2，然后利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠OBO【詳解】（1）∵反比例函數(shù)y=kx∴2=k2∴y=（2）過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸交x軸于點(diǎn)∵B∴CO∵將△OAB繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△O'A'∴∠OB∴O∵A∴OA∴O∴S∵A6,0，∴AB∴S∴陰影部分的面積=S【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的圖象、待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，求扇形面積等知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用反比例函數(shù)的性質(zhì)和數(shù)形結(jié)合的思想解答．28．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·二模）定義：若一個(gè)函數(shù)的圖象上存在橫、縱坐標(biāo)之和為零的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖像的“平衡點(diǎn)”．例如，點(diǎn)-1,1是函數(shù)y=x+2的圖像的(1)在函數(shù)①y=-x+3，②y=3x，③y=-x2+2(2)設(shè)函數(shù)y=-4xx>0與y=2x+b的圖象的“平衡點(diǎn)”分別為點(diǎn)A、B，過(guò)點(diǎn)A(3)若將函數(shù)y=x2+2x的圖像繞y軸上一點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°，M在0,-1下方，旋轉(zhuǎn)后的圖象上恰有1個(gè)“【答案】(1)③(2)0或-3或-6+3(3)M【分析】（1）根據(jù)“平衡點(diǎn)”的定義進(jìn)行逐一計(jì)算判斷即可；（2）可求A2,-2，B-b3,b3，①當(dāng)C為等腰三角形的頂點(diǎn)時(shí)，CA=CB，此時(shí)B在以C圓心，CA長(zhǎng)為半徑的圓周上，由-b32+b3-22=4進(jìn)行求解即可；②當(dāng)A為等腰三角形的頂點(diǎn)時(shí)，AC=AB（3）設(shè)M0,m（m<-1），先將拋物線向上平移m個(gè)單位得y=x2+2x-然后將y=-x2+2x+m向下平移m個(gè)單位得y=-x【詳解】（1）解：①∵y=-∴x故此函數(shù)不存在“平衡點(diǎn)”；②當(dāng)x+y=0∵y=∵3∴x故此函數(shù)不存在“平衡點(diǎn)”；③當(dāng)x+y=0∵y=-∴-x整理得：x2∵=13>0，∴此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，∴此函數(shù)存在“平衡點(diǎn)”；④當(dāng)x+y=0∵y=∴x整理得：x2∵∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根，∴此函數(shù)不存在“平衡點(diǎn)”；故答案：③．（2）解：當(dāng)x+y=0∵y=-∴-4解得：x1=2，x2∴y∴A同理可求：B-①如圖，當(dāng)C為等腰三角形的頂點(diǎn)時(shí)，CA=此時(shí)B在以C圓心，CA長(zhǎng)為半徑的圓周上，

∴-b解得：b1=0，∵當(dāng)b=-6時(shí)，2,-2∴B與A重合，b2∴b②如圖，當(dāng)A為等腰三角形的頂點(diǎn)時(shí)，AC=此時(shí)B在以A圓心，AC長(zhǎng)為半徑的圓周上，

∴-b解得：b1=-6+32③如圖，當(dāng)B為等腰三角形的頂點(diǎn)時(shí)，BA=此時(shí)B在AC的垂直平分線上，

∴-b解得：b=-3綜上所述：b的值為0、-3、-6+32（3）解：設(shè)M0,m（m<-1），先將拋物線向上平移m個(gè)單位得y=x2+2x-然后將y=-x2+2x+m向下平移m個(gè)單位得y∴-x整理得：x2∵旋轉(zhuǎn)后的圖象上恰有1個(gè)“平衡點(diǎn)”，∴Δ解得：m=-∴M【點(diǎn)睛】本題考查了新定義“平衡點(diǎn)”，等腰三角形的判定，函數(shù)圖象的旋轉(zhuǎn)，理解定義，掌握等腰三角形的判定方法和函數(shù)圖象旋轉(zhuǎn)中解析式的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．29．（2023·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知一次函數(shù)y=mx-3m(1)一次函數(shù)y=mx-(2)當(dāng)m=-2時(shí)，一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象交于點(diǎn)A，B，與x，y軸分別交于點(diǎn)C，D，連接BO并延長(zhǎng)，交反比例另一支于點(diǎn)E，求出此時(shí)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及△(3)直線y=mx-3m【答案】(1)3(2)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為1，4，2，2(3)-【分析】（1）由題意知y=mx-3，令x（2）由m=-2，可得y=-2x+6，聯(lián)立y=-2x+6y=4x，求解可得A1，4，B2，2，由題意知E-2，-2，如圖，過(guò)B作HF⊥x軸，過(guò)A作（3）由題意知，C3，0，令mx-3m=【詳解】（1）解：由題意知y=令x-3=0，即x=3∴一次函數(shù)y=mx-故答案為：3，（2）解：∵m=-2，則y聯(lián)立y=-2x+6y=∴A1，4∴E-如圖，過(guò)B作HF⊥x軸，過(guò)A作AH⊥HF于H，過(guò)E作則AH=1，BH=2，EF=4，BF∴S===6∴A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為1，4，2，2，（3）解：由題意知，C3令mx-3m令Δ=9解得-16∴直線與反比例圖象無(wú)交點(diǎn)時(shí)m的取值范圍為-16【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，反比例函數(shù)與幾何綜合等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的熟練掌握與靈活運(yùn)用．30．（2022·廣東湛江·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，拋物線y=ax2+bx-2與x軸交于點(diǎn)A-1,0，B

(1)求拋物線的解析式(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)A于作BE的平行線交拋物線于另一點(diǎn)D，點(diǎn)P是拋物線位于線段AD下方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，聯(lián)結(jié)PA，EA，ED，PD，當(dāng)四邊形EAPD面積最大時(shí)，求點(diǎn)P坐標(biāo)．(3)如圖3，連接AC，將△AOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記旋轉(zhuǎn)中的三角形為△A'OC'，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，直線OC'與直線【答案】(1)y(2)1,-3(3)-125,165或【分析】（1）把點(diǎn)A-1，0，（2）先用待定系數(shù)法求出直線BE的解析式，進(jìn)而求得直線AD的解析式，設(shè)Gm,-12m-12，則Pm,（3）分兩種情況進(jìn)行討論即可，見(jiàn)解析．【詳解】（1）∵A-1，∴a-解得a=∴拋物線的解析式為y（2）過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸交AD于點(diǎn)

因?yàn)锽4,0，E設(shè)直線BE的解析式為y=kx+bk0=4k+所以直線BE的解析式為y=-1因?yàn)锳D∥BE，設(shè)直線AD的解析式為y=-12x所以；直線AD的解析式為y=-設(shè)Gm,-1則PG=∵S四邊形EAPD=S△ADE+S△所以當(dāng)m=1時(shí)，PG的值最大，此時(shí)四邊形EAPD將m=1代入P∴P（3）①如圖中，當(dāng)OQ=OB時(shí)，作OT⊥

∵OB=4∴BE=∴BT=∴BQ=165設(shè)點(diǎn)Qm,∴n=由勾股定理得，BQ即165解得：m=-125故Q-②如圖中，當(dāng)BO=BQ1=4時(shí)，

故設(shè)Q1a因BO∴4-整理得：5解得：a=4±當(dāng)0<a<4，時(shí)a=4-故Q當(dāng)a>4，時(shí)a=4+8故Q當(dāng)OQ2=BQ2時(shí)，點(diǎn)Q2代入直線y=-12x+2即Q2綜上所述，滿足條件點(diǎn)點(diǎn)Q坐標(biāo)為-125,165或【點(diǎn)睛】本題考查了求拋物線和直線的解析式、三角形面積關(guān)系，解題的關(guān)鍵是注意分類討論，考慮到各種可能的情形．31．（2023·河北邯鄲·二模）如圖1，拋物線L:y=ax2+2ax+a-8與x軸相交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在，點(diǎn)B的左側(cè)），已知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是1，拋物線L的頂點(diǎn)為D，點(diǎn)P從原點(diǎn)開(kāi)始沿x軸正半軸運(yùn)動(dòng)，將拋物線

(1)求a的值及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，求拋物線L1(3)如圖2，明明設(shè)計(jì)小游戲：有一等邊三角形MNK（MN與x軸平行），邊長(zhǎng)為5，頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為（1,6），當(dāng)拋物線L1與△MNK有公共點(diǎn)時(shí)（含邊界），△MNK會(huì)變色，此時(shí)拋物線L1被稱為“美好曲線”，請(qǐng)直接寫(xiě)出拋物線L1為“【答案】(1)a=2；(2)y(3)1≤【分析】(1)將B(1,0)代入y=a(2)連接DE，作DH⊥x軸于點(diǎn)H，作EM⊥x軸于點(diǎn)M，證出△DBH(3)設(shè)Pm,0，利用D，E關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出E2m+1,8，G2m-1,0【詳解】（1）由題意可知，點(diǎn)B坐標(biāo)為(1,0)，將B(1,0)代入y=∴拋物線L的解析式為y∴頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-1,-8)；（2）如圖，連接DE，作DH⊥x軸于點(diǎn)H，作EM⊥根據(jù)題意，點(diǎn)D，E關(guān)于點(diǎn)B(1,0)∴DE過(guò)點(diǎn)B，且DB在△DBH和△∠∴△DBH∴EM=DH∴拋物線L1的頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3,8)∵拋物線L1由L繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)180°∴拋物線L1的函數(shù)表達(dá)式為y

（3）設(shè)P∵D，E關(guān)于點(diǎn)P成中心對(duì)稱，D∴根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)，得出P為DE的中點(diǎn)∴E同理可得G設(shè)L1的解析式為：∴-∴b∴-∴c=-8∴L當(dāng)點(diǎn)N在L1對(duì)稱軸左側(cè)且位于L∵等邊三角形的邊長(zhǎng)為5，M∴N∴將N點(diǎn)代入L1得-解得：m當(dāng)m=2時(shí)，對(duì)稱軸為：直線x=5，當(dāng)m=3時(shí)，對(duì)稱軸為：直線x∴m的值為0≤∵E點(diǎn)的橫坐標(biāo)為h∴h取值為1≤∴當(dāng)點(diǎn)E橫坐標(biāo)h的取值范圍為1≤h≤7時(shí)，拋物線L1為

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，圖形的旋轉(zhuǎn)，新定義“美好曲線”的理解與應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次項(xiàng)系數(shù)a確定函數(shù)的形狀，形狀相同．開(kāi)口方向相同則二次項(xiàng)系數(shù)相等，若形狀相同，開(kāi)口方向相反，則二次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)，根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)和頂點(diǎn)坐標(biāo)直接寫(xiě)出二次函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．題型09利用平移、軸對(duì)稱、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解決多結(jié)論問(wèn)題32．（2024·四川達(dá)州·二模）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD邊上一點(diǎn)，連接AE與對(duì)角線BD交于點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AE交BC于點(diǎn)F，連接AF交BD于點(diǎn)G，下列四個(gè)結(jié)論：①AP=PF；②DE+BF=EF；

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由題意易得∠APF=∠ABC=∠ADE=∠C=90°，AD=AB，∠ABD=45°，對(duì)于①：易知點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，然后可得∠AFP=∠ABD=45°，則問(wèn)題可判定；對(duì)于②：把△AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，則有DE=BH，∠DAE=∠BAH【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，PF⊥∴∠APF∵∠ABC∴∠BAP∴點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，∴∠AFP∴△APF∴AP=PF，故②把△AED繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△

∴DE=BH，∴∠HAF∵∠ABH∴H、又∵AF=∴△AEF∴HF=EF∵HF=∴DE+BF=③連接AC交BD于O，在BP上截取BM=DP，連接

∴OB=OD，∴OP=∴AB=由①可得點(diǎn)A、B、F、P四點(diǎn)共圓，∴∠APO∵∠ABF∴△AOP∴OPBF∴OP=∵BP-∴PB-PD=④由③可得APAF∵∠AFB∴△APG∴GPEF∴S△∴S△AGP=綜上所述：以上結(jié)論正確的有①②③④；故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．33．（2022·福建龍巖·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將位于第三象限的點(diǎn)Aa,b和位于第二象限的點(diǎn)Bm,b+1先向下平移1個(gè)單位，再向右平移h個(gè)單位得到點(diǎn)C和點(diǎn)D，連接AD，過(guò)點(diǎn)B作AD的垂線l，在l上任取一點(diǎn)E，連接DE，則DE的最小值為2．下列幾個(gè)結(jié)論：①直線l與y軸平行；②h=2；③四邊形ACDB是菱形；④若點(diǎn)A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由平移可得：C(a+h,b-1)，D(m+h,b)，推出AD∥x軸．再由l⊥AD，x軸⊥y軸，可得出直線l∥y軸，即可判斷①；根據(jù)垂線段最短，由DE的最小值為2，可得點(diǎn)E與點(diǎn)P重合，可得出【詳解】解：如圖，設(shè)直線l交AD于點(diǎn)P，

∵A(a,b)，B(m，b+1)(a≠m+1)一個(gè)點(diǎn)向右平移h個(gè)單位，則該點(diǎn)的橫坐標(biāo)加h；一個(gè)點(diǎn)向下平移1個(gè)單位，則該點(diǎn)的縱坐標(biāo)減1，∴C(a∵此時(shí)點(diǎn)A和點(diǎn)D的縱坐標(biāo)相同，∴AD∵AD∥x軸，l⊥AD∴直線l∥y軸，故當(dāng)DE取最小值時(shí)，點(diǎn)E與點(diǎn)P重合，即P(∵DE的最小值為2∴DP∴m即h=2，故②根據(jù)平移的性質(zhì)可知：AC=BD，∴四邊形ACDB是平行四邊形，故③錯(cuò)誤；設(shè)直線BD的解析式為y=kx+d(k、d為常數(shù)，且得：mk+解得：k=-∴直線BD的解析式為y=-∵點(diǎn)F(s,∴t∴s+2t綜上所述，共有3個(gè)正確結(jié)論；故選C【點(diǎn)睛】此題主要考查了平移的性質(zhì)，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，坐標(biāo)與圖形，理解平移的性質(zhì)和求出點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．34．（2023·四川宜賓·三模）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC=6，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)．將△ADE①△AEC≌△ADB；②CP存在最大值為3+33；③BP存在最小值為33-3；④

A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④【答案】C【分析】根據(jù)∠BAC=90°，AB=AC=6，點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)．得出∠DAE=90°，AD=AE=3，可證∠DAB=∠EAC，再證△DAB≌△EAC，可判斷①正確；證明∠BPC=90°，則BP=BC?sin∠BCP，則當(dāng)∠BCP最小時(shí)，BP最小利用勾股定理求出BC=62，在Rt△BCP中，斜邊BC一定，當(dāng)BP最小時(shí)，CP最大，則當(dāng)∠ACE最大時(shí)，∠BCP最小，此時(shí)AE⊥CP，如圖3所示，求出EC=33，證明△AEC≌△ADB，得到BD=EC=33,∠【詳解】解：設(shè)AB與CP交于G，如圖2所示：

∵∠BAC=90°,AB=AC=6，點(diǎn)∴AD=∴∠DAB在△AEC和△AE=∴△AEC≌△ADB∴∠DBA∵∠ECA∴∠DBA∴∠BPC∴BP=∴當(dāng)∠BCP最小時(shí)，BP在Rt△ABC中，由勾股定理得：在Rt△BCP中，斜邊BC一定，當(dāng)BP最小時(shí)，∵當(dāng)∠BCP最小時(shí)，BP最小，而∠∴當(dāng)∠ACE最大時(shí)，∠BCP最小，此時(shí)AE⊥

在Rt△AEC中，∴EC=∵AE=∴△AEC∴BD=∴四邊形ADPE是正方形，∴PD=∴BP=∴CP存在最大值為3+33,BP存在最小值為33-取BC的中點(diǎn)為O，連接OA、∵∠BAC∴點(diǎn)P在以BC為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)，OA=如圖4，當(dāng)AE⊥CP時(shí)，

∴∠ACE∴∠CAE∵將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°∴點(diǎn)P在以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)的軌跡為AP，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為：60π×32故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，線段中點(diǎn)定義，三角形全等判定與性質(zhì)，圓的切線，正方形判定與性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)，弧長(zhǎng)公式，本題難度大，正確添加輔助線是解題關(guān)鍵．35．（2023·浙江湖州·二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，點(diǎn)D，E分別是邊AB和BC上的兩點(diǎn)，連結(jié)DE，將△BDE沿DE折疊，點(diǎn)B恰好落在AC的中點(diǎn)M處，BM與DE交于點(diǎn)F．下列三個(gè)結(jié)論：①DF=EF【答案】③【分析】①由折疊的性質(zhì)可得ED是BM的垂直平分線，假設(shè)DF=EF，則四邊形BDME為菱形，MB平分∠ABC，由∠ACB=90°，∠B=30°，M②由BM不是∠ABC的平分線，可得∠MDA=∠DBM+∠③設(shè)CM=a，ME=x，應(yīng)用勾股定理，表示出CE的長(zhǎng)度，在Rt△本題考查了折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握折疊的性質(zhì)．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得：EB=EM，∴ED是BM的垂直平分線，假設(shè)DF=EF，則四邊形∴∠EBF=∠DBF，即：MB∵∠ACB=90°，∠B=30°，∴BM不是∠ABC∴假設(shè)DF=EF錯(cuò)誤，故∵BM不是∠ABC∴∠DBM∴∠MDA∴∠MAD+∠MDA設(shè)CM=a，ME=x，則：AM=a，由勾股定理得：BC=∴CE=在Rt△CME中，ME2=∴CE=2∴tan∠CME=綜上所述，只有③正確，故答案為：③．36．（2023·湖北孝感·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD是正方形紙片，AB=2．對(duì)折正方形紙片ABCD，使AD與BC重合，折痕為EF；展平后再過(guò)點(diǎn)B折疊正方形紙片，使點(diǎn)A落在EF上的點(diǎn)M處，折痕為BP；再次展平，延長(zhǎng)PM交CD于點(diǎn)Q．有如下結(jié)論：①∠ABM=60°；②AP=1；③AP+CQ=PQ；④CQ=4-23；⑤

【答案】①③④⑤【分析】①首先根據(jù)EF垂直平分AB，可得AM=BM；然后根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得AB=BM，據(jù)此判斷出△ABM為等邊三角形，即可判斷出∠ABM=60°．②首先根據(jù)∠ABM=60°，∠ABP=∠PBM，求出∠ABP=∠PBM=30°；然后在Rt△ABP中，根據(jù)AB=2，求出AP【詳解】解：如圖，連接AM，

∵EF垂直平分AB∴AM根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得：AB=∴AM∴△ABM∴∠ABM=60°，即結(jié)論∵∠ABM=60°，∴∠ABP∴AP=AB∵折疊，∴AP=∴CB∵BQ∴Rt∴CQ∴AP+CQ=設(shè)CQ=x，則∵AP=23∴PQ=在Rt由PQ∴23解得：x=4-23，即CQ=4-2過(guò)點(diǎn)H作HG⊥∵△BMA∴∠ABP∴HG=∴A,H,G此時(shí)AH+∴AH+12即結(jié)論⑤正確．故答案為：①③④⑤．【點(diǎn)睛】此題主要考查了幾何變換綜合題，考查了分析推理能力，考查了空間想象能力，考查了數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用，要熟練掌握．37．（2023·湖北孝感·二模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與A、C重合)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥BE交直線CD于F，將線段EF繞點(diǎn)F逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段GF，連接GA，GB，GC，下列結(jié)論：①EB=EF；②AC⊥GC；③CE

【答案】①②③④【分析】過(guò)E作EM⊥BC，EN⊥CD，可證△BEM≌△FEN得BE=EF，故①正確；可證四邊形BEFG是正方形，得∠EBG=90°，BE=BG，可證∠ABE=∠CBG，進(jìn)而得到△ABE≌△CBG，所以∠BAE=∠BCG，得∠BCA+∠BCG=90°，即∠ACG=90°，可證②正確；由②可知，【詳解】解：過(guò)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，作EN⊥CD于點(diǎn)N，作EH⊥

∵四邊形ABCD是正方形，AC平分∠BCD∴EM∵∠EMC∴∠MEN∵EF∴∠BEM∴∠BEM∵∠EMB=∠ENF∴△BEM∴BE=EF∵∠BEF=∠EFG=90°，∴BE=FG∴四邊形BEFG是平行四邊形，∵∠BEF=90°，∴四邊形BEFG是正方形，∴∠EBG=90°，∵∠ABC∴∠ABE∴∠ABE又∵AB=BC∴△ABE∴∠BAE∵∠BAE∴∠BCA+∠BCG∴AC⊥GC由②可知，△ABE∴AE∴CG∵∠ACB∴AC∴CG+CE如圖，延長(zhǎng)DC至H，使CH=BC=2，連接BG，GH

∵∠BCG=45°，∴∠BCG又∵BC=CH∴△BCG∴BG∴AG∴當(dāng)點(diǎn)G，點(diǎn)A，點(diǎn)H三點(diǎn)共線時(shí)，AG+GH有最小值，即AG+∴AH∴AG+BG的最小值為2故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，最短路徑問(wèn)題，綜合運(yùn)用正方形的判定與性質(zhì)定理，勾股定理等知識(shí)是解題的關(guān)鍵．題型10與圖形變化有關(guān)的最值問(wèn)題38．（2023·河南周口·三模）如圖，在矩形ABCD中，AB=15，BC=20，把邊AB沿對(duì)角線BD平移，點(diǎn)A'，B

【答案】9【分析】先證明四邊形A'B'CD是平行四邊形，作點(diǎn)D關(guān)于AA'的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接DD'交AA'于J，過(guò)點(diǎn)D'作D'E⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于E，連接CD【詳解】解：根據(jù)題意可得：AB=∴A∴四邊形A'∴B∴A如圖所示，作點(diǎn)D關(guān)于AA'的對(duì)稱點(diǎn)D'，連接DD'交AA'于J，過(guò)點(diǎn)D'作D'E⊥CD交CD的延長(zhǎng)線于

，則∠AJD=∠DE∴D∴△AJD∴DJ∵BD∴DJ∴DJ∴D∵D'∴∠E∴∠E∴△DE∴DE∴DE∴DE∴CE∴C∴A'C故答案為：917【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形相似的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形相似的判定與性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵．39．（2023·四川瀘州·二模）如圖，拋物線y=-x2-3x+4與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，若點(diǎn)D為拋物線上一點(diǎn)且橫坐標(biāo)為-3，點(diǎn)E為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F在以點(diǎn)A【答案】65-2【分析】先求出點(diǎn)A-4,0，點(diǎn)D-3,4，作點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)T，則點(diǎn)T3,4，連接AE交與軸于M，交⊙A于N，過(guò)點(diǎn)T作TH⊥x軸于H，連接AF，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)M重合，點(diǎn)F與點(diǎn)N重合時(shí)，DE+【詳解】解：對(duì)于y=-x2-3解得：x1=-4，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為-4,0對(duì)于y=-x2-3∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為-3,4作點(diǎn)D關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)T，則點(diǎn)T3,4連接AE交與y軸于M，交⊙A于N，過(guò)點(diǎn)T作TH⊥x軸于H當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)M重合，點(diǎn)F與點(diǎn)N重合時(shí)，DE+EF為最小，最小值為線段理由如下：當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)M不重合，點(diǎn)F與點(diǎn)N不重合時(shí)，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知：DE=∴DE根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”可知：TE+即：TE+∵AF∴TE即：DE+∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)M重合，點(diǎn)F與點(diǎn)N重合時(shí)，DE+∵點(diǎn)T3,4，A∴OH=3，TH=4∴AH在Rt△ATH中，AH=7由勾股定理得：TA=∴TN即DE+EF為最小值為故答案為：65-【點(diǎn)睛】此題主要考查了二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，利用軸對(duì)稱求最短路線，圓的性質(zhì)，勾股定理等，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確的求出二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，難點(diǎn)是確定當(dāng)DE+EF為最小時(shí)，點(diǎn)E，40．（2023·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC中，G為BC的中點(diǎn)，D為AG的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作EF∥BC交AB于E，交AC于F，P是線段EF上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BP，GP，則ΔBPG【答案】3【分析】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，熟練掌握將軍飲馬基本模型是解題的關(guān)鍵．連接AP，首先證明EF是AG的垂直平分線，得AP=GP，則ΔBPG的周長(zhǎng)為BP+AP+BG=BP+AP【詳解】解：連接AP，∵點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，ΔABC∴AG∵EF∴∠ADE∵點(diǎn)D為AG的中點(diǎn)，∴EF是AG∴AP∴ΔBPG的周長(zhǎng)為當(dāng)B、P、A共線時(shí)，BP+AP的最小值為∴ΔBPG的周長(zhǎng)最小值為故答案為：341．（2023·貴州貴陽(yáng)·二模）如圖，在正方形ABCD中，AB=10，點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，將AP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AQ，連接QD，BP，延長(zhǎng)BP交直線QD于點(diǎn)M，當(dāng)點(diǎn)P為BM的中點(diǎn)時(shí)，線段PC【答案】5【分析】以點(diǎn)B為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，作QS⊥AD于S，PR⊥AB于R，先證△QAS≌△PARAAS，推出AR=AS，PR=QS，設(shè)Pm,n，則AR=10-n，PR=m，利用待定系數(shù)法求出直線QD的函數(shù)關(guān)系式，將M2m,2n代入其中，得出2n=-【詳解】解：以點(diǎn)B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，BA所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，作QS⊥AD于S，PR⊥則∠QSA∵∠PAD+∠PAR∴∠QAS由旋轉(zhuǎn)知，AQ=∴△QAS∴AR=AS，∵正方形ABCD中，AB=10∴A0,10，C10,0，設(shè)Pm,n，則AR∴AS=AR=10-∴Q10-設(shè)直線QD的函數(shù)關(guān)系式為y=kx+b，將10-n解得k=-∴直線QD的函數(shù)關(guān)系式為y=-∵點(diǎn)P為BM的中點(diǎn)，Pm∴M2將M2m,2n代入即n2整理得n-設(shè)T52,∴點(diǎn)P在以T為圓心，522為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，且位于正方形ABCD內(nèi)，當(dāng)T、P、C共線且P在線段TC上時(shí)，此時(shí)PC=∴PC的最小值為510故答案為：510【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，點(diǎn)到圓上一點(diǎn)的距離，平面直角坐標(biāo)系內(nèi)兩點(diǎn)間距離公式，求一次函數(shù)解析式等，涉及知識(shí)點(diǎn)多，難度較大，求出點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是解題的關(guān)鍵．42．（2023·江蘇揚(yáng)州·一模）如圖，直角△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，點(diǎn)E是邊AC上一點(diǎn)，將BE繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°到點(diǎn)【答案】2【分析】本題考查了直角三角形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離垂線段最短等，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是解題關(guān)鍵．取AB的中點(diǎn)D，連接DE，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)H，可證得△BCF≌△BDE(SAS)，得出CF=DE，當(dāng)且僅當(dāng)DE⊥AC，即點(diǎn)【詳解】解：取AB的中點(diǎn)D，連接DE，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AC于點(diǎn)則AD=BD=∵∠A=30°，∴AB=2BC由旋轉(zhuǎn)得：BF=BE，∴∠EBC∵∠EBC∴∠CBF∵AD∴BC∴△BCF∴CF當(dāng)且僅當(dāng)DE⊥AC，即點(diǎn)E與點(diǎn)H重合時(shí)，DE=∴CF的最小值為2故答案為：2．43．（2023·四川眉山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形OABC中，OA=4，AB=2，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，反比例函數(shù)y1=kxx>0的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)D，交AB邊于點(diǎn)(1)求反比例函數(shù)y1=k(2)在x軸上找一點(diǎn)P，使△PDE的周長(zhǎng)最小，求出此時(shí)△PDE的周長(zhǎng)最小值和點(diǎn)【答案】(1)反比例函數(shù)的解析式為y1=4x((2)△PDE的周長(zhǎng)最小值是13+5，點(diǎn)P【分析】本題考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)綜合，軸對(duì)稱的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式的方法和步驟．（1）易得D2,2，把D2,2代入求出k的值，即可得出反比例函數(shù)的解析式為y1=4xx>0，進(jìn)而得出E4,1，把D2,2和E4,1（2）作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E'，連接E'D交x軸于P，連接PE，此時(shí)，△PDE的周長(zhǎng)最?。么ㄏ禂?shù)法求出直線DE'的解析式為y=-32x+5【詳解】（1）解：∵點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，BC=OA=4∴CD=2，則∵把D2,2代入y1=∴k∴反比例函數(shù)的解析式為y1當(dāng)x=4時(shí)，y∴E把D2,2和E4,1代入2m∴m=-∴直線DE的解析式為y2（2）解：作點(diǎn)E關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)E'，連接E'D交x軸于P，連接PE∵E點(diǎn)的坐標(biāo)為4,1∴E'的坐標(biāo)為4,-1，設(shè)直線DE'的解析式為∴4a解得：a=-∴直線DE'的解析式為令y=0，得x∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為103∵D2,2，E4,1∴BE=1，所以△PDE的周長(zhǎng)最小值=綜上所述，△PDE的周長(zhǎng)最小值為13+5，點(diǎn)P題型11圖案設(shè)計(jì)44．（2022·福建廈門·模擬預(yù)測(cè)）在古代的兩河流域，人們用粘土制成泥版，在泥版上進(jìn)行書(shū)寫(xiě)．古巴比倫時(shí)期的泥版BM15285（如圖1）記錄著祭司學(xué)校的數(shù)學(xué)幾何練習(xí)題，該圖片由完美的等圓組成．受泥版上的圖案啟發(fā)，某設(shè)計(jì)師設(shè)計(jì)出形似雨傘的圖案用作平面鑲嵌（如圖2），若圖案中傘頂與傘柄的最長(zhǎng)距離為2，則一塊傘形圖案的面積為．【答案】2【分析】觀察圖形，知一塊傘形圖案的面積為：矩形面積-下半圓面積+上半圓面積=矩形面積，據(jù)此即可求解．【詳解】解：觀察圖形，一塊傘形圖案的面積為：矩形面積-下半圓面積+上半圓面積=矩形面積，∴一塊傘形圖案的面積為：2×1=2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、中心對(duì)稱，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．45．（2022·浙江溫州·二模）如圖是由54個(gè)邊長(zhǎng)為1的小等邊三角形組成的網(wǎng)格，請(qǐng)按要求畫(huà)格點(diǎn)多邊形（頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上）．(1)在圖1中畫(huà)一個(gè)以AB為腰的△ABC(2)在圖2中畫(huà)一個(gè)四邊形ABDE，使其中一條對(duì)角線長(zhǎng)為4，且恰有兩個(gè)內(nèi)角為90°．【答案】(1)作圖見(jiàn)解析(2)作圖見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的特征進(jìn)行作圖即可；（2）以A或B為固定點(diǎn)，先確定其中一條對(duì)角線長(zhǎng)為4時(shí)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再根據(jù)其中恰有兩個(gè)內(nèi)角為90°進(jìn)行作圖即可．【詳解】（1）解：畫(huà)法不唯一，如圖1或圖2（2）解：畫(huà)法不唯一，如圖3、圖4、圖5、圖6、圖7或圖8【點(diǎn)睛】本題考查了作圖，解題的關(guān)鍵是找準(zhǔn)作圖的突破口，再根據(jù)題目要求進(jìn)行作圖．46．（2022·山西大同·二模）閱讀理解，并解答問(wèn)題：觀察發(fā)現(xiàn)：如圖1是一塊正方形瓷磚，分析發(fā)現(xiàn)這塊瓷磚上的圖案是按圖2所示的過(guò)程設(shè)計(jì)的，其中虛線所在的直線是正方形的對(duì)稱軸．問(wèn)題解決：用四塊如圖1所示的正方形瓷磚按下列要求拼成一個(gè)新的大正方形，并在圖3和圖4中各畫(huà)一種拼法．(1)圖3中所畫(huà)拼圖拼成的圖案是軸對(duì)稱圖形，但不是中心對(duì)稱圖形；(2)圖4中所畫(huà)拼圖拼成的圖案既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）按照軸對(duì)稱的意義得出答案即可；（2）按照軸對(duì)稱的定義和中心對(duì)稱的定義設(shè)計(jì)，所設(shè)計(jì)的圖案既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．【詳解】（1）解：（1）參考圖案，如圖所示：（2）（2）參考圖案，如圖所示：【點(diǎn)睛】本題考查利用軸對(duì)稱或中心對(duì)稱設(shè)計(jì)圖案，關(guān)鍵是理解軸對(duì)稱和中心對(duì)稱的定義．47．（2021·吉林長(zhǎng)春·一模）如圖，在6×6的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，且每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)均在格點(diǎn)上．按要求完成下列畫(huà)圖．（要求僅用無(wú)刻度的直尺，且保留必要的畫(huà)圖痕跡）(1)在圖1中，以AB為對(duì)角線，畫(huà)出一個(gè)是中心對(duì)稱，但不是軸對(duì)稱的四邊形ACBD，C、D為格點(diǎn)．(2)在圖2中，以AB為邊，畫(huà)出一個(gè)△ABC，使cos∠BAC＝22，點(diǎn)C(3)在圖3中，畫(huà)出一條直線CD，使CD⊥AB，交AB于點(diǎn)D，且滿足AD＝4BD．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格在圖1中以AB為對(duì)角線，畫(huà)出一個(gè)平行四邊形ACBD，C、D為格點(diǎn)；（2）根據(jù)網(wǎng)格在圖2中畫(huà)出等腰直角三角形，使∠ACB=90°，可得∠BAC=45°，所以cos∠BAC=22，點(diǎn)C（3）取格點(diǎn)C、F，連接CF交AB于點(diǎn)D，AC:FB=AD:DB=4:1，且△ABC~△CFB，即滿足CF⊥AB．【詳解】（1）解：如圖1，四邊形ACBD即為所求；（2）解：如圖2，△ABC即為所求；（3）解：如圖3，直線CD即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖-旋轉(zhuǎn)變換，作圖-軸對(duì)稱變換，解決本題的關(guān)鍵是掌握軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)和中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理以及相似三角形的判定和性質(zhì)．（時(shí)間：60分鐘）一、單選題1．（2023·山東青島·三模）下面的圖形中，既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【分析】本題主要考查了軸對(duì)稱圖形和中心對(duì)稱圖形，根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義和軸對(duì)稱圖形的定義進(jìn)行逐一判斷即可：如果一個(gè)平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì)稱圖形；把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)